4.5 函数的应用(二)-【一本】高中数学知识大盘点

考点6根据实际问题选择函数模型 (2)=-4+20+1=-4(-8)°+26， 例10我国的烟花名目繁多，花色品 所以烟花冲出后2.5s是爆裂的最佳时刻， 种繁杂，制造时一般是期望它在达 此时距地面的高度为26m. 修第 到最高点时爆裂.通过研究，发现某 例11某医药研究所研发了一种新 型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：m)与 药，据监测，如果成人按规定的剂量 册 时间t(单位：s)存在函数关系，并得到相关数 服用，服用药后每毫升血液中的含 据如下表所示！ 药量y(微克)与服药的时间t(时)之间近似 四 时间t 1 4 满足如图所示的曲线，其中OA段是线段，曲 高度h 10 线AB段是函数y=ka(t≥l,a>0,且k,a 25 17 数 是常数)的图象 数 (1)根据上表数据，从下列函数h=kt十b,2= (1)写出服药后y关于t的函数解析式 at十bt十c,y=ab中，选取一个函数描述该型 (2)据测定，每毫升血液中的 烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关 含药量不少于2微克时治疗 A(1,8) 数函数 系，确定此函数解析式，并简单说明理由； 疾病有效.假设某人第一次 服药为早上6：00，为保持疗 B(7,1) (2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳 时刻，并求出此时烟花距地面的高度 效，第二次服药最迟应当在 解：(1)由表中数据分析可知，烟花距地面的 当天几点？ 高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势， 解：(1)当0≤t<1时，y=8t; 则在给定的三类函数中，只有y2可能满足， 当≥1时ka=1, ka=8, 所以 /a② 故选取该函数 k=8√2， 8t(0≤t<1), 由题意，得 25=4a+2b+c, 所以y一 8(r≥1D. 17=16a+4b+c, a=-4, (2②)令8w2·(受)≥2，解得5， 解得b=20,所以y2=一4+20t十1(t>0): 所以第二次服药最迟应当在第一次服药后5 c=1, 小时，即在当天上午11时. 4.5 函数的应用（二） 5年22考 盘 必备知识 知识点1 函数的零点 今温馨提示 1.函数零点的定义：对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0 ①函数的零点是实数， 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.[温馨提示】【学以發用] 不是点，如函数f(x)= x一2的零点是2，而不 2.函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 是(2,0) 实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横 坐标 。086● 知识点2函数零点存在定理 1.定理：如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续不 ②并不是所有的函数都 断的曲线，且有f(a)f(b)<0,【温馨提示】那么，函数y=f(x) 有零点，如函数f(x) x2+1就没有零点 必 在区间(a,b)内至少有一个零点，即存在c∈(a,b),使得f(c) 修第 0,这个c也就是方程f(x)=0的解.不一定只有一个零点， 学以致用 函数f(x)=|x-1|-x 册 2.几何意义：在闭区间[a,b]上有连续曲线y=f(x),若连接曲 的零点是 第 线的始点(a,f(a)与终点(b,f(b)分别在x轴的两侧，则此 1 答案：2 连续曲线与x轴至少有一个交点. 章 ◆温馨提示 3.推论：若函数y=f(x)在区间[a,b]上单调，其图象是一条连 指 ①如果满足的是f(a)· 续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0,则函数y=f(x)在区间 f(b)>0,那么函数f(x) 函 (a,b)内有且只有一个零点，即存在唯一的c∈(a,b),使得 在(a,b)上也可能有 与 零点. f(c)=0.【方法点拨」 如图，f(1)f(3)>0,但 数 知识点3用二分法求函数零点的近似值 函数在(1,3)上有零，点. 1.定义：对于在区间[a,b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函 数y=f(x),通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所 0123x 得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方 ②函数的零点可以 法叫做二分法 分为： a.变号零点，即零点两 2.用二分法求函数零点的近似值：【学以致用1给定精确度€用二 侧的函数值异号. 分法求函数y=f(x)零点x的近似值的一般步骤如下（仅适 b不变号零点，即零点 两侧的函数值同号. 用于函数的变号零点)： 珍方法点拨 第一步：确定零点xo的初始区间[a,b],验证f(a)f(b)<0. ①若一个函数在区间 第二步：求区间(a,b)的中点c. [a,b]上单调，且其图象 是一条连续不断的曲 第三步：计算f(c),并进一步确定零点所在的区间： 线，则它在区间(a,b)上 (1)若f(c)=0(此时xo=c),则c就是函数的零点； 要么没有零点，要么有 (2)若f(a)f(c)<0(此时xo∈(a,c),则令b=c: 且只有一个零点. ②利用函数零，点存在定 (3)若f(c)f(b)<0(此时xo∈(c,b)),则令a=c. 理可以证明函数有零 第四步：判断是否达到精确度e:若|a一b<ε，则得到零点近 点，但不能判断函数零 似值a(或b);否则重复第二、三、四步 点的个数.若要判断函 数零点的个数，则要借 知识点4常见的8种函数模型 助图象或其他结论 1.一次函数模型：f(x)=kx十b(k,b为常数，k≠0) ® 学从致用 2反比例函数模型：f）=+b,b为常数，k≠0)。 已知函数y=f(x)的解 析式为f(x)=x 3.二次函数模型：f(x)=ax2十bx十c(a,b,c为常数，a≠0) 4log2x,用二分法计算此 4.指数函数模型：f(x)=ab十c(a,b,c为常数，a≠0，b>0,且 函数在区间[1,3]上零 点的近似值，第一次计算 b≠1). 。087● 5.对数函数模型：f(x)=nlogax十n(m,n,a为常数，a>0,且 f(1),f(3)的值，第二 a≠1，m≠0) 次计算f(x)的值，第 三次计算f(x2)的值， 6.幂函数模型：f(x)=ax十b(a,b,n为常数，a≠0) 修第 则x2= 7.“对勾"函数模型：f()=ax十(a,b为常数，a>0,6>0). 答案：2 册 8.分段函数模型， 第 章 高频考点 指 函数零点的求解与个 函 考点1 数判断 5年3考 由图象可知当f()=时，有4个报（函数 例1(1)已知函数f(x)=x十 对 y=f)的图象与直线y一浸有4个交点)： 2alog2(x|+2)-a-1的零点有 双函数 且只有一个，则实数a的取值集合 当f()=号时，有1个根（函数y=f)的 为 |x-1,0≤x<2, (2)已知函数f(x) 则 图象与直线y=号有1个交点) 2(x-3)2-1,x≥2， 函数y=f(f(x)- 昌的零点个数为 当f)=3-5时，有1个根（函数y=f(x) 2 的图象与直线y=3一有1个交点)： 2 解析(1)由题意，得函数f(x)为偶函数.因 为函数f(x)的零，点有且只有一个，所以函数 当)=3+时，有1个根（函数y=) f(x)的零点只能为x=0, 即f(0)=2alog22-a-1=0,解得a=1. 的图象与直线y=3十有1个交点) 2)令f(x)=,则y=ff(x)-分 综上所述，函数y=ff()-的零点个数 f)-2:令f0-号0则f0)=2 为4+1+1+1=7. 答案(1){1}(2)7 当0≤<2时，由t1川=2，解得=2 方法提炼求函数零点个数的四种方法 4=3:当2时，由24-3-1=司，解得 (1)方程法：方程f(x)=0的实数根即是函 6=8-受=3-g 数y=f(x)的零点. (2)图象法：形如f(x)=g(x)一h(x),可以 在平面直角坐标系中作出y=f(x)的图象如 分别画出g(x)和h(x)的图象，两图象有几 图所示. 个交点，f(x)就有几个零点. (3)结合函数的奇偶性判断：存在奇偶性的 函数的零点（零除外）是成对出现的.因此， y=fx) 研究奇函数或偶函数在区间[一a,a]上的零 点时，可以先研究其在区间(0，a]上的零点 情况. 088● (4)应用函数零点存在定理结合单调性判 已知函数零点所在区 断：只要判断函数y一f(x)在每个单调区间 考点3 间求参数的取值范围⑤年1考、 上是否有零点，即可确定函数零点的个数 例3(1)若函数f(x)=2:- -a 沙 已知函数零点个数求 存在一个零点位于区间(1,2)内，则 第 考点2 参数的取值范围 5年6考 实数a的取值范围是 册 例2已知函数f(x) A(0,3) B.（-3,3) 第 -x2+1,x≥0， C.[-3,3] D.(-3,0) 函数g(x)=f(x) 章 2-1,x<0, (2)若函数f(x)=log2(4·2x-4十m)在区 b.若函数g(x)有1个零点，则实数b的取值 间(0,2)上有且仅有一个零点，则m的取值 范围是 ;若函数g(x)有2个零 范围为 函 点，则实数b的取值范围是 解析(1)：函数f(x)=2一2一a存在一个 对 解析令g(x)=0,则f(x)=b. 在同一平面直角坐标系中分别画出直线y 零点位于区间(1,2)内，且f(x)=2-2-a b和函数y=f(x)的图象如图所示. 在(0，十∞)上单调递增， 根据零点存在定理，得f(1)=2一是- a<0,f2)=2-号-a>0,解得0<a<3. 若g(x)有1个零，点，则直线y=b和函数y= (2).函数f(x)=log2(4·2r-4十m)在区 f(x)的图象有1个交点，由图可知，0≤b≤1 间(0,2)上有且仅有一个零点， 或b≤-1； ∴.log2(4·2x-4+m)=0在区间(0,2)上有 若g(x)有2个零，点，则直线y=b和函数y 且仅有一个根，即4·2一4x十m=1在区间 f(x)的图象有2个交点，由图可知，一1< (0,2)上有且仅有一个根，可转化为y=m与 b<0. y=一4·22+4+1的图象在区间(0,2)上 答案(-∞，-1]U[0,1](-1,0) 有且仅有一个交点 方法提炼已知函数零点个数求参数范围的 设t=2r(1<t<4),则g(t)=t一4t+1,对称 常用方法 轴为t=2,开口向上，如图所示， (1)直接法：直接根据条件列出关于参数的 .g(t)在区间(2,4)上单调递增，在(1,2)上 不等式（组）进行求解. 单调递减，g(1)=-2,g(2)=-3,g(4)=1. (2)分离参数法：先将参数分离变形为k= 当函数f(x)=log2(4·2一4十m)在区间 g(x)的形式，转化成求y=g(x)的图象与直 (0,2)上有且仅有一个零，点时，m的取值范围 线y=k的交点个数问题. 为{mm=-3或-2≤m<1}. (3)数形结合法：先将解析式变形为g(x)= h(x)的形式，再在同一平面直角坐标系中画 出函数y=g(x)和y=h(x)的图象，然后数 形结合求解。 。089● 答案(1)A(2){mm=-3或-2≤m<1}》 ∴g(x)零点的近似值为1.5. (注：函数g(x)的零，点的近似值取区间[1.5， 方法提炼由函数零点所在区间求参数取值 范围时，要结合函数的单调性或函数图象建 1.75]中的任意一个数都可以) 修 立关于参数的不等式（组）求解， 二次函数零点分布情况（一元 考点5 二次方程根的分布) 5年1考、 册 利用二分法求函数零点近 例5已知关于x的一元二次方程 考点4 似值 四 x2+2mx+2m+1=0. 例4已知函数f(x)=x. (1)若方程有两根，其中一根在区间 (1)判断函数f(x)在区间[0，+∞) (一1,0)内，另一根在区间(1,2)内，求实数m 数 上的单调性，并用定义证明， 的取值范围； 数 (2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1， (2)若方程两根均在区间(0,1)内，求实数m 2)内是否有零点？若有零点，请用二分法求 数函数 的取值范围。 出零点的近似值（精确度0.3）；若没有零点， 解：设f(x)=x2+2mx+2+1. 请说明理由.（参考数据：√1.25≈1.118， (1)若方程有两根，其中一根在区间（一1,0） √1.5≈1.225，W1.75≈1.323，log21.25≈ 内，另一根在区间(1,2)内， 0.322,1og21.5≈0.585，log21.75≈0.807) íf(-1)=2>0, 解：(1)函数f(x)在区间[0，十∞)上是增 f(0)=2m+1<0, 则 f(1)=4m+2<0, 解得-名<m<一 函数 证明：对Hx1,x2∈[0，十o∞)，且x1<x2 f(2)=6m+5>0, 由于f(x1)-f(x2)=√x1一√x2 故实数m的取位范闲为（一骨，》。 -<0,即f(x1)<f(x2) (2)若方程两根均在区间(0,1)内， √x1+x2 f(0)=2m+1>0, 故函数f(x)在区间[0，十∞)上是增函数. f(1)=4m+2>0, (2)函数g(x)=f(x)+log2x-2在区间(1， 则 △=(2m)2-4(2m+1)≥0， 2)内有零，点..g(1)=1+log21-2=-1< 0<-m<1, 0,g(2)=√2+10g22-2=√2-1>0， ∴.函数g(x)在区间(1,2)内有零，点。 解得一2m1-②. .g(1.5)=√1.5+log21.5-2≈1.225+ 故实数m的取值范国为(-，1-2] 0.585-2=-0.19<0, ∴.函数的零点在区间(1.5,2)内 方法提炼设二次函数f(x)=ax2十bx十 'g(1.75)=√1.75+log21.75-2≈1.323+ c(a>0),研究其零点分布情况时，一般考虑 三个方面：①对应方程中△的符号；②对称 0.807-2=0.13>0, 轴的位置；③端点的函数值的正负.具体情 .函数的零点在区间(1.5,1.75)内. 形如下表： .1.75-1.5=0.25<0.3, 。090● 在一元二次方程ax2十bx十c=0(a>0)中， (3)两根在区间(m,n)上的分布 (1)根的正负情况分析 根的分布 图象 条件 根的分布 图象 条件 两根均在 y △≥0， f(m) 必修第一 (4>≥0， (n) b 两个正根 (m,n)内 m<- ∠n 2a (0< b0, (mx mx 2 f(m)>0, 6 x1≤x2) x2<n) x=-2a f(0)>0 2a f(n)>0 四章 m y↑ 两个负根 (△0， x (x1≤ 0 b∠0， 2 f(m)f(n)<0 指数函数与对数函数 x2<0) n x-- b f(0)>0 2a 一个正根、 ↑y 只有一个 f(m)=0, 一个负根 根在(m, (n) f(0)<0 (m) m<- b∠ (x1< n)内 O 2a 0<x2) mn 2a 2 (2)两根与常数的大小分析 y叶 (f(n)=0, 根的分布 图象 条件 f(m)x(n) b Omx2 x 2 2a f) A≥0， b 2a ∠n k<x1≤x2 k, 2a x=- b 2a f()>0 根在 f(m)>0, (m,n)内， f(n)<0, △≥0， n P 另一根在 f(p)<0, x<x<k b ∠k, 2a (p,q)内 f(q)>0 b X= 2a f(k)>0 考点6 函数模型及应用 5年12考 考向1建立函数模型解决实际问题 x<k<x f(k)<0 例6某地规划对一片面积为a的沙 b X=- 2a 漠进行治理，每年治理面积占上一 年底沙漠面积的百分比均为x(0< 。091● x<1).当治理面积达到这片沙漠面积的 3500元. 半时，正好用了10年时间. (1)求实数k的值. (1)求x的值 (2)给出以下三种函数模型： 修第 (2)若今年初这片沙漠面积为原沙漠面积的 ①Q(x)=px+q;②Q(x)=ax-18|+b; 册 2,按照规划至少还需多少年，才能使剩余 ③Q(x)=m√x-1十n. 请你依据表中的数据，从以上三种函数模型 第 沙漠面积至多为原沙漠面积的？ 中，选择出你认为最合适的一种函数模型来 章 描述该商品的日销售量Q(x)(百个)与时间 解：(1)由题意，得a(1一x)10= 2a. x(天)的变化关系，说明你选择的理由.借助 你选择的模型，预估该商品的日销售收入 数 整理，得1-x=(号)产，解得x=1-(2)产。 f(x)(1≤x≤30，x∈N*)(元)在哪一天达到 (2)设按照规划还需n年，能使剩余沙漠面积 最低？ 数函数 至多为原沙漠面积的子由题意，得 解：(1)由题意，得500×(2+)=3500，解 a1-0r≤a将x=1-(分》广代入， 得k=15. (2)选择模型③.理由：.当表格中Q(x)(百 得a[()门≤， 个)对应的数据匀速递增时，x对应的数据并 未匀速变化， 排除模型① 解得n≥15. .Q(x)=ax-18|十b表示在x=18两侧 等距的函数值相等（即函数图象关于直线 故按照规划至少还需15年，才能使剩余沙漠 面积至多为原沙漠面积的 x=18对称)，而表格中的数据并未体现出此 规律(5≠7)，∴.排除模型② 考向2实际问题中的函数模型选择问题 将(5,4)，(10,5)分别代入模型③，得 例7航天工程对人们的生活产生方 (2m十n=4, m=1, 解得 此时Q(x)= 方面面的影响，有关部门对某航模 3m+n=5, n=2, 专卖店的商品销售情况进行调查， √x一1十2.经验证，(17,6)，(26,7)均满足该 发现：该商品在过去的一个月内（以30天计） 函数解析式，∴选择模型③ 的日销售单价P(x)(元)与时间x(天)的函 f(x)=100Q(x)·P(x)=100· 数关系近似满足P(x)=2+ 飞一（常数 (V-1+2)(2+15 ）=100×(19+ √x-1 k>0),该商品的日销售量Q(x)(百个)与时 2x-I+ 30 Vz-] 1≥100×(19+4wW15)= 间x(天)的部分数据如下表所示： 1900+400√15， 2 5 10 17 26 Q(z) 5 7 当且仅当2x-1=30 ,即x=16时，等 √x-1 已知第10天该商品的日销售收入为 号成立，∴.日销售收入在第16天达到最低。 。092●