4.4 对数函数-【一本】高中数学知识大盘点

4.4 对数函数5年20考 必备知识 修第 知识点1对数函数 册 ® 1.对数函数的定义：一般地，函数y=logax(a>0,且a≠1)叫做 第 学以致用 对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，十∞).【学以致用] 章 下列函数是对数函数的 是 () 2.两个特殊的对数函数 指 A.y=loga(2x) 常用对数函数：y=lgx.自然对数函数：y=lnx. 数 B.y=1g 10* 知识点2对数丞数的图象与性质[温馨提际1学以致绑！◆ 重点 C.y=log.(x2+x) 项目 0<a<1 a>1 数函数 D.y=In x V 答案：D y=logx ◆温馨提示 图象 (1,0) (1,0) ①讨论对数函数的性质 y=logx 时，必须分a>1和0< a<1两种情况讨论. 定义域 (0,+∞) ②对数函数的图象都经 值域 R 过点（日，-1,1,0）， 定点 (1,0) 性质 单调性 减函数 增函数 (a,l),且图象都经过第 当0<x<1时，y>0; 当0<x<1时，y<0: 一、四象限。 函数值的 当x=1时，y=0; 当x=1时，y=0; ⑧ 变化范围 学以致用 当x>1时，y<0 当x>1时，y>0 已知函数f(x)=logx 知识点33底数a对对数函数图象的影响 (a>0,且a≠1)在区间 1.底数α与1的大小关系决定了对数函数图象的“升降” [子，16]上的最大位是 当a>1时，对数函数的图象从左到右“上升”； 2,则a= 当0<a<1时，对数函数的图象从左到右“下降”. 答案：或4 2.底数α的大小决定了不同对数函数图象相对位置的 动深入解读 高低【深入解读」 ①单调性相同的两个对 如图. 数函数，在直线x=1的 (1)上下比较：在直线x=1的右侧，当a>1时，a越大，图象 右侧，遵循“底大图低” 越靠近x轴；当0<a<1时，a越小，图象越靠近x轴 的规律。 (2)左右比较：比较图象与直线y=1的交点，交点横坐标越 。080● 大，对应的对数函数的底数越大.【温馨提示」 底 ②单调性不同的两个对 y=logx 底数大于 数函数，在直线x=1的 y=log x 右侧，当底数大于1时， 大 修第 图象位于x轴上方；当 b a 底数越来 且 底数大于0，且小于1 册 y=logx 时，图象位于x轴下方. 第 y=logx 1 ◆温馨提示 小0， 3.函数y=logx与y=log+x(a>0,且a≠1)的图象关于x轴 在第一象限内，自左向 对称。 右，图象对应的对数函 数 知识点4反函数 数的底数逐渐变大 1.指数函数和对数函数的比较 与 学以致用 名称 指数函数y=a 对数函数y=log x 函数y=3的反函数为 数函数 v=logx ( A.g(x)=x 图象 B.y=logsx y=x v=x y=logx a>1 0<a<1 C.y=x 定义域 (一∞，十∞) (0,+∞) D.y=log,3 值域 (0,+∞) (-∞，十0∞) 答案：B 2.反函数 吵深入解渎 (1)定义：一般地，指数函数y=a(a>0,且a≠1)与对数函数 ①三种函数中指数函数 y=logx(a>0,且a≠1)互为反函数.[学以致用】 的增长速度是最快的， (2)性质：①函数y=f(x)的定义域和值域分别是它的反函数 我们称之为“指数爆 的值域和定义域。 炸”，它的反函数（对数 ②互为反函数的两个函数的图象关于直线y=x对称 函数)的增长速度是最 ③若函数y=f(x)的图象上有一点(a,b),则点(b,a)必在其 慢的. 反函数的图象上.反之亦成立. ②当描述增长速度变化 知识点5几类函数的增长差异[深入解读】 很快的变化规律时，常 函数 y=k.x(k>0) y=a'(a>1) y=logax (a>1) 选用指数函数模型；当 单调性 递增 要求不断增长，但是又 增长速度 不变 先慢后快 先快后慢 不会增长过快，也不会 增长到很大时，常选用 随着x的增大逐 随着x的增大逐 对数函数模型！ 随着x的增大， 渐变“陡”，即图 渐变“缓”，即图象 图象变化 图象均匀上升 象上升的速度逐 上升的速度逐渐 渐变快 变慢 结果 存在一个xo,当x>x0时，一直有a>kx>logx 。081◆ 高频考点 修第 考点1 求对数型函数的定义域 考点2 对数型函数的图象及其应用、 例1求下列函数的定义域： 考向1图象过定点问题 多 (1)y=√1og(2x-1); 例2函数y=log.(2x-7)+2(a> 0,且a≠1)的图象过定点A,且点 四 (2)f(x)=log+1(16-4x); (3)y=log3[1og+(log3x)门； A在幂函数f(x)的图象上， 4 则f(f(4)= 数 (4)y=/1-1og.(z+ =(a>0,且a≠1). 解析令2x一7=1，解得x=4,此时y=2, 数 解：(1)由题意，得1og+(2x-1)≥0， 所以函数y=log.(2x-7)+2(a>0,且a≠ 对 即0<2x-1区1，解得2<<1， 1)的图象过定点A(4,2) 因为点A在幂函数y=f(x)=x的图象上， 故该函教的定义战为（分，1]， 所以2=4，解得a=司， 16-4x>0, 4x<16, 所以f(x)=x, (2)由题意，得x+1>0,即x>-1, 所以f(f(4)=f(4)=f(2)=2=√2 x+1≠1， x≠0， 答案√2 解得-1<x<0或0<x<4, 故该函数的定义域为（一1,0）U(0,4). 方法提炼解决函数y=logf(x)十m(a>0, 且a≠1)的图象过定点问题，只需令f(x)= (3)由题意，得log(1og3x)>0, 1,求出x=,即得定点坐标为(，m). 即0<log3x<1,解得1<x<3. 故该函数的定义域为(1,3). 考向2函数图象识辨 1-log.(x+a)>0, 例3函数y=logx与y=一x十a (4)由题意，得 x十a>0, 在同一直角坐标系中的图象可能是 解得当a>1时，一a<x<0;当0<a<1时， x>0. 故当a>1时，该函数的定义域为（一a,0)；当 0<a<1时，该函数的定义域为(0，十∞). B 方法提炼对数型函数定义域的求法 (1)首先注意函数要满足：真数大于0，底数 大于0，且不等于1. (2)y=logf(x)型函数的定义域就是f(x)> D 0的解集。 解析当0<a<1时，函数y=logx在(0， (3)y=f(logx)型函数的定义域要保证 十∞)上单调递减；函数y=一x十a在R上 f(x)的解析式有意义，且保证真数大于0. 单调递减，且当x=0时，y=a∈(0,1)，故A 。082● 正确，C错误。 对数（型)函数单调性的 当a>1时，函数y=logx在(0，十o∞)上单 考点3 应用 5年13考 调递增；函数y=一x十a在R上单调递减， 考向1利用单调性比较对数值的大小 必 且当x=0时，y=a∈(1，十o∞)，故B,D 例5(1)设a=log46,b=log23,c= 修第 错误 昌则 ) 答案A 册 考向3图象变换 A.a>b>c B.c>b>a 例4作出函数y=|1og2(x十1)川十2 C.ba>c D.b>c>a 四章 的大致图象 (2)已知a=1og3,b=ln号，c=(号3)，则 解：第一步，作y=log2x的图象，如 数 图1. A.b<a<c B.a<b<c 第二步，将y=log2x的图象沿x轴向左平移 C.a<c<b D.b<c<a 与对 1个单位长度，得到y=log2(x十1)的图象， 如图2. 解析()a=log,6=2log6=1og6, 数函数 第三步，将y=1og2(x十1)在x轴下方的图 C= =log28. 2 象进行关于x轴的对称变换，得y=|log2(x十 因为函数y=log2x在(0，十∞)上单调递增， 1)的图象，如图3. 且√6<√8<3， 第四步，将y=|log2(x+1)|的图象沿y轴 所以log2√6<log2√⑧<log23, 向上平移2个单位长度，得到所求函数的图 即a<c<b(b>c>a). 象，如图4. (2)因为函数y=log}x在(0，十∞)上单调递 减，2=(2)<3， 0/1 图1 图2 所以log+3<log+(2)厂，即a<-1. :V 因为e1<<1, -10 图3 图4 所以lne1<ln2<lnl,即-1<b<o. 方法提炼常见的对数函数的图象变换 因为c=(号)>0，所以a<b<c (1)y=logx的图象→向左平移m个单位长 答案(1)D(2)B 度，再向上平移n个单位长度→y=log.(x十 m)十n的图象，简记为“左加右减、上加下 方法提炼 减” 1.若底数相同、真数不同，则根据对数函数 (2)y=logx的图象→关于y轴对称，且与 的单调性进行比较；若底数不同、真数相同， 原图象合并→y=log。x的图象， 则先用换底公式化为同底后再进行比较， (3)y=logx的图象→将x轴下方部分翻折 2.若底数和真数均不相同，常引入中间值或 到x轴上方，并与原图象上方部分合并→ 根据单调性列出各对数值的范围或利用图 y=logax的图象， 象进行比较 。083● 考向2单调性（单调区间）的判断 4<x<6. 例6求函数f(x)=log:(3-2x 综上，当a>1时，该不等式的解集为{xx> 必 x2)的单调区间和值域： 6};当0<a<1时，该不等式的解集为{x 解：由题意，得3-2x一x2>0, 4<x<6} 即x2十2x-3<0, (2)①当a>1时，不等式的两边取对数，得 册 ∴.(x+3)(x-1)<0,∴.-3<x<1, logaxloR<log (a2),p (logc)2-2logx- 第 ∴.f(x)的定义域为（一3,1） 3<0, 章 令u=3-2x一x2=一(x十1)2十4，则u在 解得log.a =-1<logax<3=loga3, (一3，-1]上单调递增，在（一1,1）上单调 数 递减 即1<x<a3. 数 又f(u)=logu在(0，十∞)上单调递减， ②当0<a<1时，两边取对数得logxlog 对 ∴.f(x)在(-3，-1]上单调递减，在(-1,1) log.(a2),(log.)2-2log-30, 双函数 上单调递增。 .u≤4，.logu>log54=-2, 解得1ogx<-1与1og日或1ogx>3= .f(x)的值域为[一2，十o). oga,即⊙或0a<a 方法提炼 综上，当a>1时，不等式的解集为 1.判断对数（型）函数的单调性应遵循复合 函数的“同增异减”原则，解题时必须先求定 上<x<a,当0<a<1时，不等式的解 义域 集为{x0<x<a或x> 2.对于y=logf(x)型的函数的单调性，有 a 以下结论：函数y=logf(x)的单调性与函 方法提炼 数u=f(x)(f(x)>0)的单调性在a>1时 1.形如logf(x)<logg(x)的不等式： 相同，在0<a<1时相反. 当0<a<1时，可转化为f(x)>g(x)>0: 考向3解对数不等式 当a>1时，可转化为0<f(x)<g(x). 2.形如logf(x)<b的不等式可变形为 例7解下列关于x的不等式： logaf(x)<loga. (1)2log.(x一4)>log(x-2)(a>0, 3.形如logx>logx的不等式，可利用图象 且a≠1)； (2)xgx<a3x2(a>0,且a≠1). 或换底公式求解。 解：(1)原不等式可化为log(x-4)2> 对数型函数的奇偶性及其 x-4>0, 应用 loga(x-2),易得 解得x>4, 考点4) x-2>0, 例8已知函数f(x)=log.(3十 x>4, ①当a>1时，易得 解得 2x),g(x)=loga(3-2x),a>0,且 (x-4)2>x-2, a≠1. x>6. (1)求函数f(x)一g(x)的定义域； x>4, ②当0<a<1时，易得 (2)判断函数f(x)一g(x)的奇偶性，并予以 解得 (x-4)2<x-2, 证明； ●084● (3)求使f(x)一g(x)>0的x的取值范围. x(x0)的函数解析式分别为甲：f1(x)=2一 解：(1)若使f(x)一g(x)的解析式有意义， 1;乙：f2(x)=x2;丙：f3(x)=x;丁：f4(x)= 则须使f(x)=log(3十2x),g(x)=log(3 log2(x十1)，则以下结论正确的是（) 必 2x)的解析式都有意义， A.当x>1时，甲走在最前面 修第 3+2x>0, 解得-<<， B.当0<x<1时，丁走在最前面；当x>1 即 3-2x>0, 册 时，丁走在最后面 C.丙不可能走在最前面，也不可能走在最 第 所以函数f)一g)的定义战是（一多，》： 后面 章 (2)函数f(x)一g(x)是奇函数.证明如下： D.如果它们一直运动下去，那么最终走在最 由(1)，知函数f(x)一g(x)的定义域关于原 数 前面的是甲 点对称 数 解析甲、乙、丙、丁对应 .f(-x)-g(一x) 的函数模型分别为指数 =loga (3-2x)-loga (3++2x) 丙 型函数模型、二次函数模 数函数 2 =-[1og.(3+2x)-log.(3-2x)] 型、一次函数模型、对数 =-[f(x)-g(x)], 型函数模型，其大致图象O 234x ∴.函数f(x)一g(x)是奇函数 如图所示. (3)由题意，得loga(3+2x)>log.(3-2x). 当x=2时，f(2)=3,f2(2)=4,所以A不 当a>1时，得3十2x>3-2x,解得x>0,结 正确. 合(1)可得此时x的取值范周是(0，》： 根据四种函数的变化特点，得对数型函数的 增长速度是先快后慢.当x=1时，甲、乙、 当0<a<1时，得3+2x<3-2x,解得x<0, 丙、丁四个物体走过的路程相等，从而可知， 结合(1)可得此时x的取值范国是（一多，0）。 当0<x<1时，丁走在最前面；当x>1时， 丁走在最后面，所以B正确. 综上，当>1时，x的取值范国是(0，)；当 结合图象易知C正确， 0Ca1时，x的取值范国是（一，0）。 指数型函数的增长速度是先慢后快，当运动 的时间足够长时，最前面的物体一定是按照 方法提炼对数函数本身不具有奇偶性，但 指数型函数模型运动的物体，即一定是甲物 与某些函数经过运算或复合后，就有可能具 体，所以D正确. 有奇偶性，如y=log。x就是偶函数.这类 答案BCD 函数的奇偶性可利用函数奇偶性的定义，并 方法提炼当x较大时，指数型函数增长速 结合对数的运算性质来判断. 度最快，其次是一次函数，对数型函数增长 考点5不同函数的增长差异问题 速度最慢.对于指数函数y=a(a>1),一次 函数y=kx(k>0),对数函数y=logx(a> 例9（多选）甲、乙、丙、丁四个物体同 1),总会存在一个x0,使得当x>x时，恒有 时从某一点出发，向同一方向运动， a>kx>logax. 其路程f:(x)(i=1,2,3,4)关于时间 ◆085● 考点6根据实际问题选择函数模型 (2)=-4+20+1=-4(-8)°+26， 例10我国的烟花名目繁多，花色品 所以烟花冲出后2.5s是爆裂的最佳时刻， 种繁杂，制造时一般是期望它在达 此时距地面的高度为26m. 修第 到最高点时爆裂.通过研究，发现某 例11某医药研究所研发了一种新 型烟花爆裂时距地面的高度h(单位：m)与 药，据监测，如果成人按规定的剂量 册 时间t(单位：s)存在函数关系，并得到相关数 服用，服用药后每毫升血液中的含 据如下表所示！ 药量y(微克)与服药的时间t(时)之间近似 四 时间t 1 4 满足如图所示的曲线，其中OA段是线段，曲 高度h 10 线AB段是函数y=ka(t≥l,a>0,且k,a 25 17 数 是常数)的图象 数 (1)根据上表数据，从下列函数h=kt十b,2= (1)写出服药后y关于t的函数解析式 at十bt十c,y=ab中，选取一个函数描述该型 (2)据测定，每毫升血液中的 烟花爆裂时距地面的高度h与时间t的变化关 含药量不少于2微克时治疗 A(1,8) 数函数 系，确定此函数解析式，并简单说明理由； 疾病有效.假设某人第一次 服药为早上6：00，为保持疗 B(7,1) (2)利用你选取的函数，判断烟花爆裂的最佳 时刻，并求出此时烟花距地面的高度 效，第二次服药最迟应当在 解：(1)由表中数据分析可知，烟花距地面的 当天几点？ 高度随时间的变化呈先上升再下降的趋势， 解：(1)当0≤t<1时，y=8t; 则在给定的三类函数中，只有y2可能满足， 当≥1时ka=1, ka=8, 所以 /a② 故选取该函数 k=8√2， 8t(0≤t<1), 由题意，得 25=4a+2b+c, 所以y一 8(r≥1D. 17=16a+4b+c, a=-4, (2②)令8w2·(受)≥2，解得5， 解得b=20,所以y2=一4+20t十1(t>0): 所以第二次服药最迟应当在第一次服药后5 c=1, 小时，即在当天上午11时. 4.5 函数的应用（二） 5年22考 盘 必备知识 知识点1 函数的零点 今温馨提示 1.函数零点的定义：对于一般函数y=f(x),我们把使f(x)=0 ①函数的零点是实数， 的实数x叫做函数y=f(x)的零点.[温馨提示】【学以發用] 不是点，如函数f(x)= x一2的零点是2，而不 2.函数零点的意义：函数y=f(x)的零点就是方程f(x)=0的 是(2,0) 实数解，也就是函数y=f(x)的图象与x轴的公共点的横 坐标 。086●