4.3 对数-【一本】高中数学知识大盘点

2)=(25-24)+（2-2） ∴.22-1<0， ∴.f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), (2-2)(22-1) 必 2424 ∴.函数f(x)在（一∞，0]上单调递减. ,x1<x2≤0， 方法提炼指数函数本身不具有奇偶性，但 .0<2<24≤1， 册 是与指数函数有关的函数可能具有奇偶性， .224>0, 一般利用函数奇偶性的定义进行判断.同时 四章 ∴.2-2<0， 注意，要先看定义域是否关于原点对称。 指数 4.3对数5年8考 数与对数函数 必备知识 知识点1对数的定义 ◆温馨提示 1.对数的定义：一般地，如果a=N(a>0,且a≠1)，那么数x 只有符合a>0,且a≠ 叫做以a为底N的对数，记作x=log N. 1,N>0这三个条件时， (点拔(1)指数和对数互化： →对数底数真数 才可以相互转化.如 a'=N台x=log N. (一2)3=一8不可转化 (2)对符号“10g”的理解：同“十”“X”“一”等符号一样，表示 为对数式 一种运算。 到学以致用 (3)对数运算可以看作是指数运算的一种逆运算. 若log2=m,log.3=n, (4)范围：a>0,且a≠1，N>0. 则a2m-”= 2.两类常见的对数 答案号 (1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把1ogoN 记为lgN. ◆性质推导 (2)自然对数：以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ①因为当a>0时，总有 2.71828…,并把logeN记为lnN. N=a>0. 3.对数与指数的关系[温馨提示1【学以致用] ②因为a°=1，所以 指数 x∈R 对数 log1=0(a>0,且a≠1). a=N x=log N ③因为d=a,所以 幂 N>0 数 loga=1(a>0,且a≠1). 底数a>0,且a1 知识点2对数的性质←重点 1.对数的性质[性质推导】 (1)负数和0没有对数，即N>0. (2)1的对数等于0，即1oga1=0(a>0,且a≠1). (3)底数的对数等于1，即log.a=1(a>0,且a≠1). ·076● 2.两个常用结论 (1)对数恒等式：aogN=N(a>0,且a≠1，N>0).【等式证明】 或等式证明 设a=N(a>0,且a≠ (2)log.ab=b(a>0,且a≠1). 1,N>0),根据对数与 必 3.指数式a=N,根式N=a和对数式logN=b(a>0,且a≠ 指数间的关系得b= logN,将其代入a= 修第 1,N>0)是同一种数量关系的三种不同表示形式.具体对应 N,得algN=N. 关系如下：【温馨提示」 ◆温馨提示 册 由表格可知，开方运算 第 表示形式 b N 对应运算 和对数运算都是乘方运 算的逆运算。 章 a=N 底数 指数 幂 乘方，由a,b求N ◆性质理解 N-a 根指数 开方，由N,b求a 对于对数的每一条运算 指 方根 被开方数 性质，都要注意式子中 log,N=6 底数 对数 真数 对数，由N,a求b 的每一个对数必须都有 意义 数与 知识点3对数的运算性质【性顾理解】◆ 重点 国 型学以致用 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么【学以致用J 计算：log312+21+og5 数 (1)loga (MN)=log M++logN; 1og34= M 答案：11 (2)loge N -log.M-log.N: 3 学以致用 (3)log M"=nlog M(nER) 已知log189=a,18=5, 知识点4换底公式◆ 则1og3645= 重点 (用a,b表示). 1.换底公式：logb= logb (a>0,且a≠1；b>0;c>0,且c≠ 答案+日 loga 1).[学以数用] 型学以致用 2.常用推论【学认致用】 已知实数a,b满足2 (1)logb·loga=1. 相当于“约分” =m,且2+片-2，则 (2)logb·logc=logc. m 答案：25 (3)log.b"-"log.b. ,相当于对数的运算性质3的推广 m 高频考点 ●●●● 指数式与对数式的互 D.3=3与log33=1 考点个化和求值 5年2考 解析指数式与对数式的互化，即a=N台 例1（多选）下列指数式与对数式互 logaN=6. 化正确的是 ( 对于A,e°=1台ln1=0,故A正确； A.e°=1与ln1=0 对于B,1og24=2台22=4，故B错误； B.log24=2与42=2 C1ogs}=-号与25= 对于C,1og=号=-号台25=号，故C 正确； 。077● 对于D,3=3台l0g33=1,故D正确. 5lg33lg2_5 答案ACD 61g 221g 3 4' 必 方法提炼指数式与对数式的互化技巧 (5⑤)原式=（号1og3+}1og3)(log2+ a=N与logN=b的互化规则是“底数不 21og2)+1ogs3+2 册 变，左右互换”，即 (1)两式均以a为底数； 81g3x号og2-+2 (2)b,N两个字母在等号左右两边互换其位置. 章 -+2=8 考点2 对数式的化简求值 5年2考 数 方法提炼对数式化简思路 例2计算： 数 (1)底数相同的对数式，常正用或逆用对数 对 (1)3log2-1og9+1og5-5e, 的运算性质公式. 双函数 (2)log23×log34+(1g5)2+1g5×1g20+ (2)不同底数的对数式化简时，常用换底 21g16-2 公式. (3) 21g 2+1g 3 考点3对数方程问题 1+2lg0.36+7g8 例3解方程： (1)1og3(1-2·3x)=2x+1; 1 1og5 (2)log(x一5)=log+(x-2)+2; (4)(1og43+1og83)(1og32+log32); (3)log(x+1)-log±(x-3)=1; 27+ (4)1ogx-l1og5x2=3. (5)(1og3+1og3)(1og2+1og2)+1og,3 解：(1)，log3(1-2·3r)=2x+1, 71og,2 .1-2·3x=32x+1, 解：1)原式=log8-log智+1og,5一59= .∴.3·(3x)2+2·3-1=0, 1og(8×8×5)-9=1og9-9=2-9=-7 3=号浅3=-1合x-. ∴.方程的解为x=一1. (2)原式=多9×g4+1g51g5+1g20)+ 1g21g3 (2)原方程可化为1g+x-5)=log+4(红-2)， 21g2-3=2+2lg5+2lg2-3=2lg10-1=1. (3)原式= 1g 4+1g 3 x-5=4x-2, 1g10+lg√0.36+lg8 x-5>0, ∴.x=6, =2g5×=3lg2×-21g3=g1名-12= x-2>0, 1g 2 1g 3 1g 5 lg 12 .方程的解为x=6. -11. (3)原方程可化为log(x十1)十log(x-3)= ④原式-（货+3影（号+） 1og5,.(x+1)(x-3)=5, -(品器+品器号+器) 解得x=一2或x=4. 经检验，x=一2不合题意， 。078● ∴.方程的解为x=4. 方法提炼带附加条件的指数、对数问题主 (4)由log3x-log5x2=3,得log3x-2log5x 要是已知一些指数值、对数值或其等量关 3=0,解得1og5x=一1或log5x=3, 系，利用这些条件来表示所要求的式子.解 必 ∴x=号或x=125, 决此类问题需要对已知条件和所求式进行 修第 化简，原则是化为同底对数，以便利用对数 方程的解为x三或x=125 的运算性质，其次注意指数式和对数式的转 册 化以及整体思想的应用。 第 方法提炼对数方程一般通过化同底或换元 的方法，将其转化为一般方程求解，最后注 考点5对数的实际应用 ⑤年1考 章 意将解代入原方程进行检验.常见方程类型 例5中国的5G技术领先世界，5G 指 及解法如下： 技术的数学原理之一便是著名的 (1)基本型：logf(x)=b型，转化为f(x)= 数 a求解，注意检验f(x)>0. 香农公式，C=Mg:(1+》,它表 对 (2)同底数型：logf(x)=logg(x)型，转化 示在被高斯白噪声干扰的信道中，最大信息 为f(x)=g(x),同时需满足f(x)>0, 传送速率C取决于信道带宽W、信道内所传 g(x)>0. 信号的平均功率S、信道内部的高斯噪声功 (3)代换型：f(logx)=0型，将logax看成 率V的大小，其中S叫做信噪比.按照香农 整体，换元设为t,转化为关于t的方程.求得 t后再求x,注意检验x>0. 公式，者不改变信道带宽w,而将信噪比 (4)取对数型：af)=b)型，两边同时取对 从1000提升至5000，则C大约增加了（附： 数得f(x)lga=g(x)lgb. 1g2≈0.3010) () 含附加条件的求值问题5年2考、 A.20% B.23% C.28% D.50% 考点4 例4若2=-5=40，则子+名的值 解析将信噪比3从100提升至50，C大 a 约增加了 为 W1og2(1+5000)一W1og2(1+1000) 解析方法1（利用指数式和对数式 W1og2(1+1000) 的互化)：由24=56=40，可得a=10g240,b= lg5001_lg1001 1og40,所以d-1og02,名=logm5, 1og25001-1og21001=g2,1g2≈ a log21001 lg1001 Ig 2 所以2+号=3oge2+logo5=loge2+ lg5_1-1g2≈0.233， 3 3 1og4o5=1og4o(23×5)=1og4o40=1. 所以C大约增加了23%. 方法2（等式两边同时取对数）：条件中各项 答案B 同时取常用对数，得alg2=blg5=lg40, 所以1=g2,1=g5 方法提炼对数运算的应用问题主要分为以 a1g40'b1g40 下两类 所以2+片-费器+品=业经钻5- (1)建立对数式进行求值，计算时注意指数 a 1g40 式与对数式的互化. 1g40=1. (2)建立指数相关模型进行求值，此时往往 1g40 需要将等式两边取对数进行运算。 答案1 。079●