4.2 指数函数-【一本】高中数学知识大盘点

(2)若f(x)= 求x的值 设t=2r,t>0, 21十2a+b=5 则方程等价为t什1=65 t , 解：(1)由题意，得 即+1_65 1+25=2, t 8 解得 a=-1, 解得t=8或t= 必修第一册 b=0. B, 所以x=3或x=一3. (2)由(1)，知f(x)=2+2x. 4.2 指数函数6年8考 品 必备知识 第四章指数函数与对数函数 知识点1指数函数的定义，：的系数为1. 般地，函数y三a(a>0,且a≠1)【想一想】叫做指数函数，其中 ◆想一想 指数x是自变量，定义域是R.【学以致用】 为什么规定底数a>0, 且a≠1？ 注意与幂函数（自变量x在底数位置上）的区别， 答案：①当a≤0时，a 知识点2指数函数的图象和性质 重点 可能无意义； ②当a=1时，a2=1,无 1.指数函数的图象和性质 研究价值！ y=a(a>0,且a≠1) 金 函数 学以致用 a>1 0<a<1 (多选)下列函数是指数 y=a y=a v 函数的有 ) 图象 y=1(0,1) y=1 (0,1) A.y=x B=(》广 在x轴上方，且必过点(0,1) C.y=22 图象特征 D.y=-3 从左至右图象逐渐上升从左至右图象逐渐下降 答案：BC 定义域 R 值域 (0,+∞) 到学以致用 已知函数y=a(a>0, 单调性 在（一∞，十∞)上单调 在(-∞，十∞)上单 且a≠1)在[1,2]上的 学以致用 递增 调递减 性质 最大值与最小值之差为 奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数 受，则实数Q的值 当x=0时，y=1 函数值的 为 当x<0时，0<y<1; 变化规律 当x<0时，y>1; 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1 答案：或司 ●069● (注意(1)研究指数函数时，若底数的大小不确定，则需要分 类讨论 学以致用 (2)画指数函数y=a严(a>0,且a≠1)的图象时要抓住三个关 修第 有下列指数函数：①y= a,②y=b,③y=c2, 键点：1,0,10，(-1,2) 册 ④y=d,它们的图象如 (3)当a>0,且a≠1时，函数y=a与函数y=()》广=a的 图所示，则a,b,c,d与1 四 图象关于y轴对称. 的大小关系是 （用“<” 2.底数a对指数函数图象的影响【学从数用] 香 号连接) (1)如图，当a>1时，指数函数图象是“上升的”，且当x>0 y 时，底数α的值越大，函数图象越陡峭，说明函数值增长得越 数与对数函数 ① 快；当0<a<1时，指数函数图象是“下降的”，且当x<0时， 底数α的值越小，函数图象越陡峭，说明函数值减小得越快. 0 (2)如图，在y轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小（底 答案：b<a<1<d<c 大图高)；在y轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小（底 大图低) 逐渐 盘 高频考点 根据指数函数的定义确定解 与指数函数有关的定义域、 考点1 析式 5年1考 考点2 值域问题 例1若函数f(x)=(a2-2a十2)(a+ 例2已知函数f(x)=22++5十 1)是指数函数，则a= 4.求： 解析，函数f(x)=(a2一2a十2)· (1)函数f(x)的定义域； a2-2a+2=1, (2)函数f(x)的值域. (a十1)r是指数函数，. a+1>0, 解 a+1≠1， 解：(1)由题意，得-x2十4x十5≥0， 得a=1. 解得一1≤x≤5，所以函数f(x)的定义域为 答案1 {x|-1≤x≤5}. 方法提炼根据指数函数的两个结构特征： (2)令u=-x2+4x+5=-(x-2)2+9, (1)系数为1，(2)底数a>0,且a≠1，列出关 所以0≤u≤9，所以0≤√u≤3， 于待定参数的方程或不等式（组）进行求解. 所以y=2+4∈[5,12]， 。070。 即函数f(x)的值域为[5,12]、 分，右侧的不变，再作出y轴右侧图象关于y 例3求函数y=√4一8x的定义域 轴的对称图形，即可得到y=f(|x|)的图象， 和值域， 如图2所示. 解：由4-8≥0，得x≤号，所以函 (3)把f(x)=2的图象向下平移1个单位长 修第 度，即可得到y=f(x)一1的图象，如图3 数的定义战为{口≤号引。 所示 册 (4)作出f(x)=2的图象关于x轴的对称 第 因为82>0，所以0≤4-8x<4, 图形，即可得到y=一f(x)的图象，如图4 妙 所以0≤y<2,所以函数的值域为[0,2)， 所示。 方法提炼求指数型复合函数的定义域和值 (5)先把f(x)=2的图象向下平移1个单位 函 域的一般方法 长度得到y=f(x)一1的图象，再作出x轴 (1)形如y=a的函数：其定义域就是u= 下方部分关于x轴的对称图形，最后抹掉x 对 f(x)的定义域；求其值域时，先求出u= 轴下方部分，即可得到y=|f(x)-1|的图 f(x)的值域，再结合y=a“的单调性求出 象，如图5所示. y=ao的值域.若a的取值范围不确定，则 (6)作出f(x)=2的图象关于原点的对称 需对a进行分类讨论. 图形，即可得到y=一f(一x)的图象，如图6 (2)形如y=f(a)的函数：求定义域时，设 所示。 t=a,先求出使y=f(t)有意义的t的取值 范围，再求出x的取值范围，就是所求函数 的定义域；求其值域时，先求出t=a的值 x)=21 yx-1)x2x-x|) 域，再根据t的取值范围求出y=f(t)的取 4-3-2-1 012x-4-3-2-1012x 值范围，就是y=f(a)的值域. -2 -2 考点3指数函数的图象及应用5年考、 图1 图2 考向1与指数函数有关的图象变换问题 V 34 3 例4利用指数函数y=f(x)=2z的 x)-1 图象，作出下列各函数的图象： Ax)=2 fx)=2上 (1)y=f(x-1); -3-2-1 012x-4-3-21 012x -1 y=-fx) (2)y=f(x); -2 2 (3)y=f(x)-1; 图3 图4 (4)y=-f(x); y (5)y=|f(x)-1; 3 (6)y=-f(-x). 2 =x)-11 2 x)=2 fx)=2 1 解：(1)把f(x)=2r的图象向右平移1个单 -4-3-2-1 01 2 x -3-2-1 0123 位长度，即可得到y=f(x一1)的图象，如图 y=--x) -2 1所示. (2)去掉f(x)=2的图象在y轴左侧的部 图5 图6 。071● 方法提炼 解析因为函数∫(x)=·2 x 一x三 1.作图的一般步骤：(1)用“三点法”画出指 2-x,x>0, 数函数f(x)=a的图象.(2)利用“变换法” -2x-x,x<0, -+ 修第 作图得相关函数的图象。 所以函数f(x)是非奇非偶函数，排除B 2.变换作图法及其注意点： 册 选项； (1)平移变换（如图1）和对称变换（如图2）. 第 y=a9+0.(p>0.b>0）y=a*+b-y=a+b 因为f-1)=分f(-2》=子， 章 所以函数在（一∞，0）上不是单调递增的，排 y=a y=a一y=a*-9 指数 除C选项； y=a+9-b y-a-by=a-9-b 当x>0时，函数f(x)>0,排除D选项. 图1 数与对数函数 答案A y=ax y=a 方法提炼 函数图象的识别可以从以下方面入手： y=-' (1)由函数的定义域和值域确定图象的 图2 位置 (2)翻折变换 (2)由函数的单调性，确定图象的变化趋势. 函数y=f(|x)的图象：将y=f(x)的图象 (3)由函数的奇偶性，确定图象的对称性. 在y轴右侧的部分沿y轴翻折到左侧，替换 (4)由函数的特殊点，排除不符合要求的 原y轴左侧的部分，并保留y=f(x)的图象 图象。 在y轴上及其右侧的部分. 考向3图象过定点问题 函数y=|f(x)|的图象：将y=f(x)的图象 例6当a>0,且a≠1时，函数 在x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴上方， f(x)=a2-3x一2的图象过定 去掉原x轴下方的部分，并保留y=f(x)的 点 图象在x轴上及其上方的部分 解析令2-3x=0,得x-3, 考向2与指数函数有关的图象识别问题 例5函数f(x)=工· 所以号》 =a°-2=1-2=-1， x 一x的图象 所以函数f(x)=a2-3x一2的图象过定点 大致为 (层-1. 答案（号，- 方法提炼指数型函数求定点 函数y=kam+b十c(k≠0，a>0,且a≠1，m≠ 0)的图象过定点，令mx十b=0,即可得定点 坐标为（一血+小： 072 考向4应用指数函数的图象解决方程和不 (2).幂函数y=x在(0，十∞)上单调递增， 等式问题 且1.7>0.7， 例7已知f(x)=|32一1+1，若关于 ∴.1.7>0.7 必 x的方程[f(x)]-(2+a)f(x)+ :指数函教y-07在R上单调递减，且2， 修第 2a=0有三个实数根，则实数a的 取值范围是 ∴.0.7>0.72， 册 A.1<a<2 B.a>2 ∴1.7>0.7>0.7. 第 (3),幂函数y=x在(0，十o∞)上单调递增， C.2<a<3 D.a>1 章 解析方程[f(x)]-(2十a)f(x)+2a=0的 且<()<( 指 解为f(x)=2或f(x)=a. :指数函数y=(④)广在R上单调递增，且 作出函数f(x)=|3x一1|十1的草图如图 数 所示. <()<( 对 ()<() 数函数 ④2>2≥()>()-() 由图可知，f(x)=2有一个解，则f(x)=a 有两个解，故1<a<2. 0心5， 答案A 2>()>()>(-) 方法提炼利用函数的图象可解决与方程和 不等式有关的问题，如观察两个函数y= 方法提炼比较多个幂值大小的方法 f(x)和y=g(x)的图象的交点个数可以确 (1)底数相同时，利用指数函数的单调性 定方程f(x)=g(x)的解的个数，观察函数 比较. y=f(x)的图象与x轴的交点情况可以确定 (2)指数相同时，利用幂函数的单调性比较. 不等式f(x)>0或f(x)<0的解集等. (3)指数和底数均不相同时，通过中间量来 指数函数的单调性的 比较.常用的中间量为0和1，也可以取一个 考点4应用 5年4考 数的底数和另一个数的指数构造新数， 考向1比较幂值大小 考向2最值问题 例8比较下列各组数的大小： 例9(1)若函数f(x)=a(a>0,且 (1)4.1,3.8和-1.9音； a≠1)在区间[一1,2]上的最大值为 (2)1.7,0.7和0.72； 4,最小值为m,且函数g(x)=(1 3()和()， 4m)x2在[0，+o∞)上单调递增，则 a 4(),2,(-,()。 (2)若函数f(x)=a2x+3a2一2(a>0,且a≠ 解：(1).4.1>4.1°=1,0<3.8<3.8°= 1)在区间[一1,1]上的最大值为8，则它在这 1,-1.9<0, 个区间上的最小值为 ∴.4.1>3.8>-1.9」 解析(1).函数g(x)=(1一4m)x2在[0， 。073● 十∞)上单调递增，∴1-4m>0,即m<4, 方法提炼指数函数y=a(a>0,且a≠1)， .函数f(x)=a(a>0,且a丰1)在区间 当a>1时，在R上单调递增，故它在闭区间 必修第 [一1,2]上的最大值为4，最小值为m, [s,t]上的最小值为a,最大值为a;当0< 当a>1时，函数f(x)=a为增函数， a<1时，在R上单调递减，故它在闭区间[s, 册 ∴.a1=m,a2=4, t]上的最小值为a,最大值为a.解题时，要 注意对底数a进行分类讨论. 解得a=2m=2>(合去)： 章 考向3解指数不等式 当0<a<1时，函数f(x)=a为减函数， 例10已知函数y=(a一1)严是指数 数 ∴.a1=4,a2=m, 函数，解关于x的不等式： 数 解得am=品< ()>a月 数函数 综上所述，0=是 解：函数y=(a-l)严是指数函数， (2)f)=a+3a-2=(a+》2-7 ∴.a-1>0,且a-1≠1，即a>1,且a≠2， .0 设t=a. 当a>1时，由x[-1,1],得[2a 指数函数y=()厂在R上是减函数， “g)=(+多》-7在[日]小上单调递 原不等式可转化为|3x-4<3,解得3< 增，∴g(a)为最大值，a2+3a-2=8, X< 故原不等式的解为口<<引 7 解得a=2或a=-5(舍去)， g0)的最小值为g)=一是 方法提炼指数不等式的类型及解法 (1)形如af>am的不等式，借助函数y 当0<a<1时，由xe[-1,1],得e[a,2] a的单调性求解.若a的取值不确定，则需 分a>1和0<a<1两种情况讨论. :g(0)=(+}P一在[a,]上单润递 (2)形如a>b的不等式，需先将b化成以 增，心g(日)为最大值， a为底的指数幂的形式，再借助函数y=a 的单调性求解 ∴.a2+3a1-2=8, (3)形如a>bw的不等式，可设法统一底 解得a=号减a=号（合去）。 数，若不能统一，则利用函数图象求解或采 用对数法求解（下节将会学到）， “g0的最小值为g)=-是 指数型复合函数的单调性与 综上所述，f(x)在区间[一1,1]上的最小值 考点5奇偶性 5年1考 为- 考向1指数型复合函数的单调性 答案(1)} 2)- 例11已知函数f)=(号)广 (1)求f(x)的单调递增区间； 。074● (2)当x∈[-1,2]时，求f(x)的值域. 由y=e-+1=(-2》+, 解：1)令=2-2a,则f)=h(0=(得)” 得画数的值城为[，57] :h()=()在定义城内单调通减， 方法提炼 修第 t=x2一2x在(-∞，1]上单调递减，在[1， 1.形如y=aa的函数的单调性的判断方 册 十∞)上单调递增， 法：当a>1时，函数y=afm的单调递增 ∴f(x)的单调递增区间为（一∞，1]。 第 (减)区间即f(x)的单调递增（减）区间； (2)令t=x2-2,则fx)=h()=(号月。 当0<a<1时，函数y=af)的单调递增 .-1≤x≤2， (减)区间即f(x)的单调递减（增）区间. 数函 2.形如y=f(a)的复合函数的单调性的判 ∴.t=(x一1)2一1在[一1,1)上单调递减，在 断方法：可令t=a,通过内层函数t=a的 (1,2]上单调递增， 值域确定外层函数y=f(t)的定义域，然后 ∴.tmin=-l,tmax=3, 讨论外层函数的单调性，最后根据“同增异 数函数 ∴.t∈[-1,3]， 减”确定复合函数的单调性。 “f)的值城为[73 考向2指数型复合函数的奇偶性和单调性 例12已知函数y=()-(2)》广+ 的综合问题 1的定义域为[一3,2].求： 例13已知函数f(x)=2x十2r+6, (1)函数的单调区间； 且f=8,f2) (2)函数的值域 (1)求a,b的值； 解：(1)令t=(2)》广，则y=-t+1=(t (2)判断f(x)的奇偶性； 2)》+ (3)试判断函数f(x)在（一∞，0]上的单调 性，并证明。 当x∈[1,2]时，1=（号）广是减函数，此时∈ {5=2+2+b, [日，]，在此区间上y=-+1是减画数 解：(1)由题意，得 解 17=4+2+, 当x∈[-3,1门时，t=(2)广是减函数，此时 fa=-1, [号8]，在此区间上y=r-1+1是增 得 b=0. 函数， (2)由(1)，知f(x)=2z十2x,x∈R. 故函数的单调递增区间为[1,2]，单调递减区 因为f(-x)=2x+2-)=f(x), 间为[-3,1]. 所以f(x)为偶函数. (2)令=（号） (3)函数f(x)在（一∞，0]上单调递减. 证明：设任意的x1,x2∈（-∞，0]，且x1< :x∈[-3,21…te[}8 x2,则f(x1)-f(x2)=(2+2x)-(2+ 。075 2)=(25-24)+（2-2） ∴.22-1<0， ∴.f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), (2-2)(22-1) 必 2424 ∴.函数f(x)在（一∞，0]上单调递减. ,x1<x2≤0， 方法提炼指数函数本身不具有奇偶性，但 .0<2<24≤1， 册 是与指数函数有关的函数可能具有奇偶性， .224>0, 一般利用函数奇偶性的定义进行判断.同时 四章 ∴.2-2<0， 注意，要先看定义域是否关于原点对称。 指数 4.3对数5年8考 数与对数函数 必备知识 知识点1对数的定义 ◆温馨提示 1.对数的定义：一般地，如果a=N(a>0,且a≠1)，那么数x 只有符合a>0,且a≠ 叫做以a为底N的对数，记作x=log N. 1,N>0这三个条件时， (点拔(1)指数和对数互化： →对数底数真数 才可以相互转化.如 a'=N台x=log N. (一2)3=一8不可转化 (2)对符号“10g”的理解：同“十”“X”“一”等符号一样，表示 为对数式 一种运算。 到学以致用 (3)对数运算可以看作是指数运算的一种逆运算. 若log2=m,log.3=n, (4)范围：a>0,且a≠1，N>0. 则a2m-”= 2.两类常见的对数 答案号 (1)常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把1ogoN 记为lgN. ◆性质推导 (2)自然对数：以e为底的对数叫做自然对数，e是无理数，e ①因为当a>0时，总有 2.71828…,并把logeN记为lnN. N=a>0. 3.对数与指数的关系[温馨提示1【学以致用] ②因为a°=1，所以 指数 x∈R 对数 log1=0(a>0,且a≠1). a=N x=log N ③因为d=a,所以 幂 N>0 数 loga=1(a>0,且a≠1). 底数a>0,且a1 知识点2对数的性质←重点 1.对数的性质[性质推导】 (1)负数和0没有对数，即N>0. (2)1的对数等于0，即1oga1=0(a>0,且a≠1). (3)底数的对数等于1，即log.a=1(a>0,且a≠1). ·076●