4.1 指数-【一本】高中数学知识大盘点

必修第一册 第四章 指数函数与对数函数 1.通过对有理数指数幂a”(a>0,且a≠1；m,n为整数，且n>0)、实数指数幂a 课 (a>0,且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质， 标 2.通过具体实例，了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念，了解对数函数的概念 要 3.能用描点法或借助计算工具画出具体指数函数和对数函数的图象，探索并理解指数函数和对 点 数函数的单调性与特殊点， 4.知道对数函数y=logx与指数函数y=a'互为反函数(a>0,且a≠1). 思维导图·。 分数指数幂 a8=a;a=1 指数 (a>0,m,n∈N,n>1) 指数幂的运算性质 aa=as;(a）=a;(ab)r=arb(a>0,b>0,r,s∈R 概念 y=(a>0,且a≠1 y=a y=1 (0.1) (0,1) 指数 图象 y=1 函数 0<a<1 a> ①定义域：R.2值域：(0，+o).3过定点(0,1).④当0<a<1时，指 性质 数函数在定义域R上单调递减；当a>1时，指数函数在定义域 R上单调递增 互为 指数函数与对数函数 反函数 概念 y=logx(a>0,且a≠1) y y=logx (1,0) 对数 图象 071,0)x 函数 y=logx 0<a<1 a>1 ①定义域：(0，+o).②值域：R.③过定点(1,0).④当0<a<1时，对 性质 数函数在(0，+o)上单调递减：当a>1时，对数函数在(0，+o)上单 调递增 如果a>0,且a≠1，M>0,N>0,那么1og(MW)=logM+ 运算性质 los N:log.-0gN:log 对数 log b 换底公式 log b=log a (a>0,且a≠1；b>0:c>0,且c≠1) 方程fx)=0有实数解一→函数y=fx)有零点=函数y=x) 的图象与x轴有公共点 函数零点 ①一条连续不断的曲线： 函数的 函数零点存在定理：2fdrb)<0 应用（二） 几类不同的函数增长模型：对数增长、直线上升、指数爆炸 函数模型 解决实际问题的基本步骤：审题、建模、解模、还原 。065● 4.1指数 必备知识 修第 知识点1根式 册 ◆深入解渎 1.n次方根的定义：一般地，如果x”=a,那么x叫做a的n次方 第 ①求a的n次方根，就 是求n次方等于a 根，其中n>l,且n∈N*.【深入解渎J 急 的数. 2.a的n次方根的表示[学以数用1 ②n次方根是平方根与 n的奇偶性 a的n次方根的表示 a的取值范围 立方根的推广. 函 ③求a的n次方根的运 n为奇数 a R 与 算称为开方运算，开方 n为偶数 土a [0,十o∞) 运算与乘方运算是互逆 数函数 运算。 3.n次方根的性质 其中，a叫做a的n次算术根 学以贸期 (1)负数没有偶次方根. ①0.000064的六次方 (2)0的任何次方根都是0，记作0=0. 根是 4.根式的定义与性质 ②(66)的六次方根 (1)定义：式子Wa叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数， 是 答案：①士0.2 (2)性质：①(a)”=a(n>l,且n∈N*); ②士6 a(n为奇数)， ■◆温馨提示 ②a a(n为偶数) ①a不可以理解成”个 (注意(a)”与a"(n>l,n∈N*) a相乘，它只是根式的 另一种写法 (1)(a)”表示a的n次方根的n次方，当(a)”有意义时，其 ②当a<0时，a°有时有 结果恒等于a. 意义，有时无意义，和 (2)a"恒有意义，其值受n的奇偶性限制，算法是先乘方再 m,n的奇偶性有关. 开方 ③幂指数不能随意约 分，如（一4） 知识点2分数指数幂【温馨提示】 (一4)=2，而将幂指 1.正数的正分数指数幂：a”=am(a>0,m,n∈N“,n>1). 数约分后，（一4）+= √一4在实数范围内无 2.正数的负分数指数幂：a==,1(a>0,m,nCN,心1). 意义 3.规定：0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义， ® 学以致用 知识点3实数指数幂及其运算性质[学以数用】←一重点 化简aa+拉（其 将指数幂a(a>0)中指数x的取值范围从整数拓展到实数，则 Jab 中a>0,b>0)= 有以下运算性质： (1)a'a=as(a>0,r,sER); 答案：a (2)(a')'=a(a>0,r,s∈R); (3)(ab)r=a'b'(a>0,b>0,r∈R) ·066● 高频考点 根式的化简求值 考点1 考点2 指数幂的化简与求值 例1化简下列各式： 例2计算： 修第 (1)90.125- (2-3)3+ 册 (1)8×100× (√3-2)； 第 (): (202+2-20<x<1D: (2)0.064寺-(-π)°+80.25X2+ 数 (3)W9-4√5+√3-√5. √(3-π)2+(2×√3). 解：(1)0.125-9(2-√3)+(W3-2) 解：1原式=4X6×号×64= 5 与 =90.5-(2-√3)+√(2-3) (2)原式=0.4x(-)一1+2xt×2+(元 数函数 =0.5-(2-√3)+(2-5) 3》+2+3×3=5-1+2+r-3+22X3= =0.5. 17 (2)0<x<1,x<2+是-2 2 √x-x-=-x 方法提炼指数幂运算的原则及技巧 (1)一般原则：将根式化为幂的形式，小数指 (3).9-4√5=22+（√5）2-2×2×√5= 数幂化为分数指数幂，负指数幂化为正指数 幂的倒数.当底数是小数时，可先化为分数： (W5-2)2,∴.W9-45=√5-2. 当底数是带分数时，可先化为假分数，以便 :3-5=6-25=(5)2+1-25 于利用指数幂的运算性质。 2 (2)常见的几个变换技巧： 51),3-5=51=0-2 2 √2 2 21 @(8)-(”, v045+85-5-2+西号 ②a=(a*)m,a”=(a)m; 2 ③1的代换，如l=a·a1=a±·a 方法提炼 1.解决根式化简问题，首先要分清根式是奇 考点3含附加条件的求值问题 次根式还是偶次根式，然后运用根式的性质 例3(1)已知a十a1=7,分别求 a+at,a十a的值. 进行化简，注意区分(a)”与Va",必要时 (2)已知a,b是方程x2-6.x十4=0 还要考虑变形、整体代换、完全平方公式等. 2.多重根式的化简方法： 的两个根，且a>b>0,求巨二6的值 √a+√ (1)由里向外化为分数指数幂，然后进行运 算；(2)当a>b>0,a十b=m,ab=n时，则有 解：(1).a十a1=7 ∴.(a十a)2=a+a1+2=9. Wm士2√n=√a士√b. a>0,∴a+a=3, 。067● a+a号=(a+a)(a十a1-1)=18. 方法提炼利用指数幂的运算性质解决连等 (2).a,b是方程x2-6x十4=0的两个根， 式问题时，若连等式中有常数，则把连等式 ∴.a+b=6,ab=4, 分开写成都与常数相等的等式，分别借助对 修第 +治4+620 a+b+2vab 6+45 应运算求解；若连等式中没有常数，则引入 参数t,把连等式分开写成都与t相等的等式 册 a>b>0,a-B=5 进行求解.也可将连等式中某一项视为常 √a+√b51 四 数，分开写成都与这一项相等的形式进行 方法提炼解决条件求值的一般方法 求解。 (1)分析条件式和所求式的特点. 考向2与指数幂有关的方程问题 函 (2)对已知条件式或所求式进行化简或变形 例5解下列方程： 与 (平方、因式分解等)，将所求式构造成可用 萨 条件式表示的形式 12》广=8； (3)将条件式“整体代入”求值. (2)9+62=22x+1. 与指数幂有关的等式、方程、 解：1)(2)广=8， 考点4 函数问题 考向1与指数幂有关的等式问题 得25x=23-3x,所以-5x=3-3x, 例4对于正整数a,b,c(a≤b≤c)和 解得x= P刻 非零实数x,y,之，w,若a=b= c=01,品-+号+求a （2由9+6=21，得+=2， b,c的值. 即（号）+()》广-2=0. 解：方法1：令a严=b=c2=70w=t, 令()=t,>0,则+t-2=0, .a=t,b=t,c=t,70=t产. 2-1+1+1 解得t=一2（舍去）或t=1, wxy' 即(》=1，所以x=0. ∴t÷=t产.t.t=abc=70. .a,b,c为正整数，且a≤b≤c, 方法提炼指数方程常见类型及解法 由a≠1，知a≠1， (1)afm=a(a>0,且a≠1)台f(x) ∴.a=2,b=5,c=7. g(x); 方法2：.a2=b=c2=70"≠1， (2)利用换元法，将指数方程化为普通方程 ∴.a=70,b=70,c=70, 求解，再求出原未知数的值， ∴.a·b·c=70·70·70, 考向3与指数幂有关的函数问题 即(abc)=70++ 例6已知函数f(x)=2r十2r+b,且 1=1+1+1 wxy之，abc=70 f-1)-号f0)-2. .a,b,c为正整数，且a≤b≤c, (1)求a,b的值； 由a≠1，知a≠1，.a=2,b=5,c=7. 。068● (2)若f(x)= 求x的值 设t=2r,t>0, 21十2a+b=5 则方程等价为t什1=65 t , 解：(1)由题意，得 即+1_65 1+25=2, t 8 解得 a=-1, 解得t=8或t= 必修第一册 b=0. B, 所以x=3或x=一3. (2)由(1)，知f(x)=2+2x. 4.2 指数函数6年8考 品 必备知识 第四章指数函数与对数函数 知识点1指数函数的定义，：的系数为1. 般地，函数y三a(a>0,且a≠1)【想一想】叫做指数函数，其中 ◆想一想 指数x是自变量，定义域是R.【学以致用】 为什么规定底数a>0, 且a≠1？ 注意与幂函数（自变量x在底数位置上）的区别， 答案：①当a≤0时，a 知识点2指数函数的图象和性质 重点 可能无意义； ②当a=1时，a2=1,无 1.指数函数的图象和性质 研究价值！ y=a(a>0,且a≠1) 金 函数 学以致用 a>1 0<a<1 (多选)下列函数是指数 y=a y=a v 函数的有 ) 图象 y=1(0,1) y=1 (0,1) A.y=x B=(》广 在x轴上方，且必过点(0,1) C.y=22 图象特征 D.y=-3 从左至右图象逐渐上升从左至右图象逐渐下降 答案：BC 定义域 R 值域 (0,+∞) 到学以致用 已知函数y=a(a>0, 单调性 在（一∞，十∞)上单调 在(-∞，十∞)上单 且a≠1)在[1,2]上的 学以致用 递增 调递减 性质 最大值与最小值之差为 奇偶性 既不是奇函数也不是偶函数 受，则实数Q的值 当x=0时，y=1 函数值的 为 当x<0时，0<y<1; 变化规律 当x<0时，y>1; 当x>0时，y>1 当x>0时，0<y<1 答案：或司 ●069●