3.4 函数的应用(一)-【一本】高中数学知识大盘点

递增 综上，m=3,n=2. 综上，m=2. (2)由(1)，得m=3,n=2, .(2a+3)-1<(a-1)-1. 方法提炼已知幂函数的单调性求参数值， 函数y=x1在（一∞，0）和(0，十∞)上均 往往是先根据幂函数的定义求出参数值，再 修第 单调递减， 根据该幂函数的单调性进行检验 ∴.当x>0时，y=x1>0,当x<0时，y= 册 考向3解不等式（组） x1<0, 例5已知幂函数f(x)=(m2 ∴.0<a-1<2a十3或a-1<2a+3<0或 第三章 6m十10)xi+4m(n>1,n∈Z,m∈ 2a+3<0<a-1, R)的图象关于y轴对称，且在(0， 十∞)上单调递增. 解得a>1或-4<a<2, (1)求m和n的值； ∴.满足不等式(2a十3)-号<(a一1)登的a的 (2)求满足不等式(2a十3)-号<(a-1)-的 a的取值范围， 取值范围为（一4，一 )U1,+o∞). 念与性质 解：(1)，f(x)=(m2一6m+10)x+m是暴 函数， 方法提炼利用幂函数的单调性解不等式， ∴.m2-6m+10=1,解得m1=m2=3. 实质是已知两个函数值的大小，判断自变量 .f(x)在(0，十∞)上单调递增， 的大小，步骤如下： ∴.-n2十4n>0,解得0n<4. (1)确定可以利用的幂函数； .n>1,n∈Z,.n=2或n=3. (2)借助相应幂函数的单调性，将不等式的 当n=2时，函数f(x)=x4,图象关于y轴对 大小关系转化为自变量的大小关系； 称，符合题意； (3)解不等式（组）求参数的取值范围，注意 当n=3时，函数f(x)=x3,图象关于原点对 幂函数的定义域及分类讨论思想的应用. 称，不符合题意。 3.4 函数的应用（一） 必备知识 ●●●●● ●●● 知识点1常见的函数模型 1.一次函数（线性函数）模型：f(x)=kx十b(k≠0). 珍温馨提示 2.二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 利用函数模型解应用题 3.反比例函数模型：f(x)=(k≠0). 的注意点 2 ①实际问题中自变量的 4.幂函数模型：f(x)=kx(k≠0). 取值范围，合理确定函 f1(x),x∈D1, 数的定义域； f2(x),x∈D2, ②求出解后必须验证这 5.分段函数模型：f(x) 个“数学结果”对实际问 fn(x),x∈Dn 题的合理性： 。059● 知识点2利用函数模型解决实际问题【温馨提示】 1.一般步骤：审题→建模→解模→还原， 学以致用 必 设某公司原有员工100 框图表示如下： 人从事产品A的生产， 分析、联想 实际问题 建立函数模型 平均每人每年创造产值 抽象、转化 册 t万元(t为常数).公司 回答 数学 推演 第 决定从原有员工中分流 x(0<x<100)人去进行 实际结果 还原 数学结果 新开发的产品B的生 产.分流后，继续从事产 2.确定函数解析式的基本方法【学以致用」 品A生产的员工平均 的 (1)待定系数法：已知条件中给出了含参数的函数解析式或根 每人每年创造产值在原 有的基础上增长了 据已知条件可以确定函数模型，可利用待定系数法求出函数 与性质 1.2x%.若要保证产品 解析式 A的年产值不减少，则 最多能分流的人数 (2)归纳法：先让自变量x取一些特殊值，计算出对应的函数 是 值，从中发现规律，再推广到一般情形，从而得到函数的解 答案：16 析式. ●●●● 高频考点 ●●●●●0 考点1一次函数模型的应用 即y=-200x+10600(4≤x≤10，x∈N), 例1某工厂在甲、乙两地的两个分 (2)由题意，得-200x十10600≤9000， 厂各生产某种机器12台和6台，现 解得x≥8. 销售给A地10台，B地8台.已知 因为4≤x≤10，x∈N*,所以x=8,9,10 从甲地调运1台至A地、B地的运费分别为 故总运费不超过9000元时，共有三种调运 400元和800元，从乙地调运1台至A地、B 方案。 地的费用分别为300元和500元. (3)因为y=一200x十10600是减函数， (1)设从甲地调运x台至A地，求总费用y 所以当x=10时，总运费最低，ymm=8600. 关于台数x的函数解析式. 故总运费最低的调运方案是从甲地调往A (2)若总运费不超过9000元，则共有几种调 地10台，调往B地2台，乙地的6台机器全 运方案？ 部调往B地，最低费用是8600元. (3)求出总运费最低的调运方案及最低费用. 考点2二次函数模型的应用 解：(1)因为从甲地调运x台至A地，所以从 例2（多选）如图，某炮位于坐标原 甲地调运(12一x)台至B地，从乙地调运 点，已知炮弹发射后的轨迹在方程 (10一x)台至A地，从乙地调运6一(10 y=kx- 01+)2(>0)表示 x)=(x一4)台至B地. 依题意，得y=400x+800(12-x)+300(10 的曲线上，其中k与发射方向有关，炮的射程 x)+500(x-4), 是指炮弹落地点的横坐标.设在第一象限内 。060● 有一飞行物（忽略其大小），其飞行高度为 每月的处理量最少为30吨，最多为400吨， 3.2千米，横坐标 +/千米 月处理成本f(x)(元)与月处理量x(吨)之 为a,则下列结论正 必 确的是 ( x/斤米 间的函数关系近似地表示为f()=22 修第 A.炮的最大射程为10千米 300x+64800. B.炮的最大射程为20千米 册 (1)该企业每月的处理量为多少吨时，才能使 C.当飞行物的横坐标a超过6时，炮弹可以 月处理成本最低？月处理成本最低是多 击中飞行物 第三章 少元？ D.当飞行物的横坐标a不超过6时，炮弹可 以击中飞行物 (2)该企业每月的处理量为多少吨时，才能使 数 解析在y=kx一 动1+)(>0)中，令 每吨的平均处理成本最低？每吨的平均处理 概 成本最低是多少元？ 与性 y=0,得x-01+)2=0. 解：(1)f(x)= 2x2-300x+64800= 2(x 由实际意义和已知条件可知，x>0,k>0, 300)2+19800. 所以x= 20-=20≤9=10，当且仅当 1+2= 1十k 因为30≤x≤400， 所以f(x)在[30,300]上单调递减，在(300， 合-，即负=1时，等号成立， 400]上单调递增， 所以炮的最大射程为10千米，故A正确，B 所以该企业每月的处理量为300吨时，才能 错误 使月处理成本最低，月处理成本最低是 因为a>0,所以炮弹可以击中飞行物等价于 19800元. 存在>0，使a-201+)a2=3.2成立， 即关于k的方程a2k2一20ak+a2+64=0有 (2)因为f()-22-30x+6480(30≤ 正根， x≤400)， a>0, 所以每吨的平均处理成本g(x)=fC= k1十k2=20>0, a 所以 ,k2=a+64>0, 2x-300+64800 x a2 △=(-20a)2-4a2(a2+64)≥0， 因为2+64800≥2， x,64800=360,当且 N 2 解得0<a≤6，故当a不超过6时，炮弹可以 仅当x=360时，等号成立， 击中飞行物， 所以g(x)≥60， 答案AD 例3为了减少碳排放，某企业采用 所以该企业每月的处理量为360吨时，才能 新工艺，将生产中产生的二氧化碳 使每吨的平均处理成本最低，每吨的平均处 转化为一种化工产品.已知该企业 理成本最低是60元. 。061● 方法提炼 整理，得-11十30≥05.5≤≤7.5)， x-4 1.二次函数解析式的确定方法： 所以x2-11x+30≥0，所以x≤5或x≥6. 必 (1)设出未知量，根据题意直接列出关系式， 又因为5.5≤x≤7.5，所以6≤x≤7.5， 构造函数； 所以当实际单价最低为6元时，仍可保证该 (2)用待定系数法确定函数解析式， 公司的收益比上年度至少增加20%. 册 2.建立二次函数模型后，可利用配方法、判 考点4幂函数模型的应用 第三章 别式法、换元法、单调性等求最值，常借助其 例5美国对中国芯片的技术封锁 图象求解 激发了中国“芯”的研究热潮.某公 司研发的A,B两种芯片都已经获 考点3反比例函数模型的应用 的 得成功，该公司研发芯片已经耗费资金2千 例4某公司更新品牌电子零件，上 念 万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调 年度的单价为8元，年销售量为α 性 查与研究，生产A芯片的毛收入y1(千万元) 质 个，本年度计划将单价下调到5.5 与投人的资金x1(千万元)成正比，已知投入 元至7.5元之间，但通过市场调研得知用户 1千万元时，公司获得毛收人0.25千万元； 期望单价为4元.经测算，下调单价后的新增 生产B芯片的毛收人y2(千万元)与投人的 销售量t(个)和实际单价x(元)与用户的期 资金x2(千万元)的函数关系为y2=kx,其 望单价的差成反比（比例系数是k),已知该 图象如图所示.现在公司准备投人40千万元 电子零件的成本单价为3元 资金同时生产A,B两种芯片，则可以获得的 (1)写出新增销售量和实际单价的函数解 最大利润是/千万元 析式 千万元 3 (2)写出本年度单价下调后该公司的收益 (毛收入=营业收 y(元)关于实际单价的函数解析式（收益 入一营业成本) 0 4 x/千万元 实际销售量×（实际单价一成本单价）)， 解析因为生产A芯片的毛收入与投入的资 (3)设k=2a,当实际单价最低为多少时，仍 金成正比，所以设y1=mx1(m>0) 可保证该公司的收益比上年度至少增 因为当x1=1时，y1=0.25,所以m=0.25, 加20%？ 所以y1=0.25x1,即生产A芯片的毛收入 y1(千万元)与投入的资金（千万元）的函 解：)由题意，得=46.5<≤7.5). 数解析式为y1=0.25x1. (2)由题意，得y=(a+t)(x-3)=（a+ 对于B芯片，因为函数y2=kx号的图象过点 (1,1),(4,2), x-36.5<x≤.5. k=1, k=1, 所以 解得 1所以y2=x2, (3)当6=2a时，y=(a+204)(x-3) k·4=2, a= 2 (5.5≤x≤7.5) 即生产B芯片的毛收入y2(千万元)与投入 的资金2（千万元）的函数解析式为2=x. 由题意，知y≥a(8-3)(1十20%)，即(a十 设投入t千万元生产B芯片，t∈[0,40]，则 24u-3)≥a(8-3)1+20%6.5≤ 投入(40一t)千万元生产A芯片，公司所获利 x≤7.5). 润f(0)=0.25(40-)+-2=-}× 。062● (t一2)2+9，t∈[0,40]，所以当t=2,即 为340千瓦·时. t=4时，公司所获利润最大，最大利润是 方法提炼 9千万元. 1.根据自变量取值范围的不同，确定不同段 答案9 的函数解析式 修第 方法提炼幂函数模型有两个：①y=kx”十b 2.分段函数的最值是整个定义域上解析式 (其中k,n,b为常数)；②y=a(1十x)"(其中 的最值. 册 a,n为常数)，应用时注意区分. 3.要注意结合实际问题的意义，有时还可结 合图象求解. 第三章 考点5分段函数模型的应用 例6某地居民用电采用“阶梯电 考点6“对勾”函数模型的应用 函 价”，其标准如下：每户每月用电不 例7（多选）某公司一年购买某种货 的 超过120千瓦·时，每千瓦·时 物800吨，现分次购买，设每次购买 0.6元；超过120千瓦·时，但不超过300千 x吨，运费为8万元/次.已知一年 瓦·时的部分，每千瓦·时0.8元；超过 的总存储费用为4x万元，要使一年的总运 念与性质 300千瓦·时，但不超过500千瓦·时的部 费与总存储费用之和y(万元)最小，则下列 分，每千瓦·时1元；超过500千瓦·时的部 说法正确的是 () 分，每千瓦·时1.2元.设该地居民A某月 A.当x=40时，y取得最小值 用电量为x千瓦·时，所缴电费为y元， B.当x=45时，y取得最小值 (1)求y关于x的函数解析式； C.ym=320 (2)若居民A某月所缴电费为256元，求居 D.ymin-360 民A该月的用电量， 解析一年购买某种货物800吨，每次购买x 解：(1)由题意，得y= 吃，则需要购买8水运资是8万元/次，一 0.6z,0x≤120， 年的总存储费用为4x万元，所以一年的总 0.6X120+0.8(x-120),120<≤300， 0.6X120+0.8X(300-120)+1X(x-300),300<x≤500， 运费与总存储费用之和y 800X8+4x. x 0.6X120+0.8X(300-120)+1X(500-300)+1.2(x-500),z>500, f0.6x,0≤x≤120， 因为y=80×8+4r≥2， x 6400.4x=320, 0.8x-24,120<x≤300， 即y= 当且仅当6400=4x,即x=40时，等号成立， x-84,300<x≤500， 1.2x-184,x>500. 所以当x=40时，y取得最小值，ymim=320. (2)当0≤x≤120时，y=0.6x≤72，不符合 答案AC 题意； 例8为了改善农村卫生环境，振兴 当120<x≤300时，y=0.8x-24≤216，不 乡村，加快新农村建设，某地政府出 符合题意； 台了一系列惠民政策.某村民为了 当300<x≤500时，y=x-84∈(216,416]， 响应政府号召，变废为宝，准备建造一个长方 令x一84=256，解得x=340,符合题意； 体形状的沼气池，以秸秆、人畜肥等为沼气原 当x>500时，y=1.2x-184>416,不符合 料，用沼气解决日常生活中的燃料问题.已知 题意 沼气池的体积为18立方米，深度为3米，池 综上所述，x=340,即居民A该月的用电量 底的造价为每平方米180元，池壁的造价为 。063● 每平方米150元，池盖的总造价为2000元. 下的燃油效率情况如图所示，下列叙述正确 设沼气池底面长方形的一边长为x米，但由 的是 ( 于受场地的限制，x不能超过2. 燃油效率km/L) 15 修 (1)求沼气池总造价y关于x的函数解析 ·甲车 式，并指出函数的定义域： 乙车 册 (2)怎样设计沼气池底面长方形的尺寸，才可 丙车 以使沼气池的总造价最低？并求出最低 第三章 造价 4080速度/km/h) 解：(1)由题意，得沼气池底面长方形的另一 A.消耗1L汽油，乙车最多可行驶5km B.以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲 边长为8=（米），所以y=x.X180十 3x x 的 车消耗汽油最多 概 C.甲车以80m/h的速度行驶1h,消耗10L (x+9)×3×2×150+2000=6×180十 与性质 汽油 (x+)×900+2000=3080+90(x+8 D.某城市机动车限速80km/h,相同条件 (0<x≤2) 下，在该市用丙车比用乙车更省油 解析由图象可知当速度大于40km/h时，乙 (2)由(1)，得y=3080+900(x+)(0< 车的燃油效率大于5km/L,∴.当速度大于 x≤2) 40km/h时，消耗1L汽油，乙车的行驶路程 对于函数f()=x十6(0<x≤2)， 大于5km,故A错误； 由图象可知当速度相同时，甲车的燃油效率 任取0<x<x2≤2，则f()-f(x2)=十 最高，即当速度相同时，消耗1L汽油，甲车 6-26四26 的行驶路程最远， C1C2 ∴以相同速度行驶相同路程，三辆车中，甲车 其中x1-x2<0,x1x2>0,x1x26<0, 消耗汽油最少，故B错误； 所以f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2), 由图象可知当速度为80km/h时，甲车的燃 所以f(x)在(0,2]上单调递减， 油效率大约为10km/L,∴.甲车行驶1h,路 所以当x=2时，f(x)最小，即总造价最小， 程为80km,消耗汽油8L,故C错误； 最小值为3080+90X(2+)=7580, 由图象可知当速度小于80km/h时，丙车的 答：当沼气池底面长方形的一边长为2米，另 燃油效率大于乙车的燃油效率，∴在该市用 一边长为3米时，才可以使沼气池的总造价最 丙车比用乙车更省油，故D正确. 低，最低造价为7580元. 答案D 方法提炼“对勾”函数型应用题中求最值 方法提炼 时，一般有以下两种方法： 1.明确横轴、纵轴的意义，分析其在题中的 (1)利用对勾函数的单调性求最值； 具体含义. (2)利用基本不等式求最值 2.由图象判断函数模型， 3.抓住特殊点（最高点、最低点、交点、拐点 考点7图表型函数模型的应用 等)的实际意义 例9（北京卷）汽车的“燃油效率” 4.通过方程、不等式、函数等数学模型，化实 是指汽车每消耗1L汽油行驶的里 际问题为数学问题， 程，甲、乙、丙三辆汽车在不同速度 。064●