3.3 幂函数-【一本】高中数学知识大盘点

3.3 幂函数6年考 必备知识 必修第 知识点1幂函数 册 1.定义：一般地，函数y=x叫做幂函数 学以致用 2.幂函数的特征：(1)x的系数为1；(2)x的底数x是自变量； 下列函数：y= 1 第三章 (3)x的指数α是常数.只有同时满足这三个条件，才是幂 ,y= 函数.【学以致用】【温馨提示] 2x+1,y=x3+x,y= x中，幂函数的个数 函数的 知识点2五个常见幂函数的图象与性质重点， 是。 答案：2 1.五个常见幂函数的图象 ◆温馨提示 当a=1,2,3,2-1时，我们就可以得到五个幂函数y=, ①y=x”是幂函数. 念与性质 ②y=1不是幂函数.因 y=x2,y=x3,y=x,y=x1,通过描点作图得到在同一平面 为它不满足幂函数的结 直角坐标系中五个幂函数的图象，如图所示.〔深入解读】 构特征. ◆深入解读 4 1 ==r ①这五个幂函数在第一 3 V=X 象限内的图象情况可以 2 归纳为“正抛负双、大竖 -3-2 y=x 01234 小横”，即a>0(a≠1)时 的图象是抛物线型（α> 1时的图象为竖直抛物 线型，0<a<1时的图 2.五个常见幂函数的性质[学以致用 象为横卧抛物线型)； a<0时的图象是双曲 幂函数 线型 y=x2 y=x3 y=zt y=x-1 ②在直线x=1右侧的 y=x 函数图象，从上到下，指 定义域 R R R [0,+∞) {xlx≠0) 数逐渐减小，即“指大图 高”；在区间(0,1)内， 值域 R [0,+∞) R [0,+o∞) {yly≠0} y=x,y=x1的图象 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 在直线y=x的上方， y=x2,y=x3的图象在 在[0，十∞) 直线y=x的下方. m 上单调递 在(-∞，0) 学以致用 单调性 增函数增； 在 增函数 增函数 和(0，十∞) 已知幂函数f(x)=x. (-0∞，0)上 上单调递减 若f(a+1)<f3-2a), 单调递减 则实数a的取值范围 是 定点 (0,0),(1,1) (1,1) 答案[-1，号) 。055· 知识点3一般幂函数的图象与性质【学以致用】 1.幂函数的图象与性质 到学以致用 必 ①（多选）下列关于幂函 解析式 y=x(a∈R) 数的说法正确的是 a>0 a<0 册 A.图象必过点(1,1) B.可能是非奇非偶函数 图象 第三章 C.都是单调函数 D.图象不会位于第四 象限 ②幂函数f(x)=(m2 定义域 与α的取值有关，但在(0，十∞)上均有定义 的 m-5)xm-m在(0， 十∞)上单调递减，则实 定点 (0,0),(1,1) (1,1) 数m= 与性质 在[0，十∞)上单调递增在(0，+∞)上单调递减 ③已如数a=() 性质 单调性 在第一象限内，当0< 在第一象限内，图象都 6=()c=(), a<1时，图象上凸；当 下凸 a>1时，图象下凸 它们之间的大小关系是 奇偶性 与a的取值有关 (用“<”号 连接) 2.幂函数y=x(a∈R)的奇偶性【学认致用1 答案：①ABD ②3 ③c<b<a a的分类 y=x的奇偶性 α是偶数 偶函数 a∈N m a是奇数 奇函数 学以致用 a=卫(p,g q是奇数 力是奇数 奇函数 “m2+4m=0”是“幂函 p是偶数 偶函数 数f(x)=(m3-m2 互质，9≠0， p,9∈Z) q是偶数 非奇非偶函数 20m十1)x号为偶函数” 的 () 知识点4 对勾函数的图象与性质 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 1.对勾函数f)=ax十(a>0,6>0)的图象与性质[学以骏用] C.充要条件 D.既不充分也不必要 函数 f(x)=axtb (a>0,b>0) 条件 y 答案：C y=ax ⑧ 图象 学以致用 Vx∈[1，+o∞)，不等式 x2十ax十9>0恒成立， 定义域 则实数a的取值范围 {x|x≠0} 为 值域 (-o∞，-2√ab]U[2√ab,+∞) 提示：因为x∈[1， 奇偶性 奇函数 十∞)，所以a>-（x十 在(-0，√臣)，（√臣+）上单调递增； 》.由对勾画数的性 单调性 在[-臣o,(0]上单满减 ◆056● 2.飘带函数f(x)=ax一 b(a>0,b>0)的图象与性质 质，知函数y=x十9在 函数 f(x)=ax- b(a>0,b>0) x [1,3]上单调递减，在 y=ax (3,十∞)上单调递增， 修第 a o 所以函数y=x十9在 图象 多 a x=3处取得最小值， 6,所以 第三章 定义域 {x|x≠0} [-(+2)=-6, 函数 值域 R 所以a>-6. 奇偶性 奇函数 答案：（一6，十∞） 单调性 在（一∞，0），(0，十∞)上单调递增 概念与性质 高频考点 ●●●● ● 考点1 幂函数的定义域和值域5年1考、 当a为正偶数时，值域为[0，十∞)； 例1(1)函数y=|x|的定义域为 当α为正奇数时，值域为R ,值域为 (3)当a为负整数时，定义域为{xx≠0}： (2)幂函数y=x4的定义域为 ,值域为 当a为负偶数时，值域为(0，十∞)； 解析(1)因为x≥0， 当a为负奇数时，值域为{yy≠0}. 所以函数y=|x的定义域为R,值域为[0， (4)当α为分数时，可以先化为根式（参考 +∞). 4.1指数)，再根据根式有意义的条件求解. (2因为y=-是高满足≠0，即x0, 考点2 幂函数的图象及其应用 所以幂函数y=x4的定义域为{xx≠0. 例2(1)函数y=x°(m,n均为正 又因为>0，所以幕画数y=的值战为 整数，且m,n互质)的图象如图所 (0,十∞). 示，则 ( 答案(1)R [0,+∞)(2){xx≠0》 Am,n是奇数，且m1 x (0,+∞) B.m是偶数，n是奇 方法提炼幂函数的定义域和值域是由幂指 数，且m<1 n 数a确定的： (1)当α=0时，定义域为{xx≠0}，值域为 C.m是偶数，n是奇数，且m>1 {yly=1}. (2)当α为正整数时，定义域为R; D.m,n是奇数，且m>1 n 。057● (2)对于幂函数f(x)=x,若0<x1<x2,则 考点3幂函数单调性的应用 f凸)，1)士f2的大小关系是 考向1比较大小 2 例3利用幂函数的性质，比较下列 修第 Af)>f+f 各题中几个数的大小： 册 (1)2.3与2.4； (2)0.31-6与4-3； 第三章 Bf）)<fa)士f】 2 (3)4.1,3.8,(-1.9)3. C.) 解：(1).幂函数y=x在[0，十∞)上单调递 数 增，且2.3<2.4,2.3<2.4. D.无法确定 概 (2)4-3=2-6. 解析(1)因为在第一象限内，y=x的图象与 ,幂函数y=x6在(0，十∞)上单调递减，且 与性质 y=x的图象类似，所以0<<1 0.31<2,∴.0.31-6>26，即0.31-6>4-3. 因为y=x的图象关于y轴对称， (3)4.1>1=1,0<3.8-号<1-=1， 所以y=x为偶函数. (-1.9)3<0,∴.(-1.9)3<3.8号<4.1 因为m,n互质，所以m是偶数，n是奇数， 方法提炼比较幂值大小的常用方法 (2)易得幂函数f(x)=x在[0，十∞)上是增 (①)直接法：当幂指数相同时，直接根据幂函 函数，且图象是上 数的单调性进行比较 凸的，如图所示 x1十Xy (2)转化法：当幂指数不同时，先转化为相同 )表示的 的幂指数，再运用幂函数的单调性进行 是1和x2中点处 xx1+x2 x2x 比较 (3)中间值法：当底数不同，幂指数也不同， 的函数值， 不能运用单调性比较时，可选取适当的中间 f(x)+f(x2) 表 值与两数分别比较，中间值常取0或1. 示的是函数值f(x1)和f(x2)的中间值，所以 考向2已知单调性求参数值 当 0 <x2 时，应有 例4若幂函数f(x)=(2m2-5m十 f(x1)+f(x2) 2 3)x2m-9m+9在(0，十o∞)上单调递 答案(1)B(2)A 减，则m的值为多少？ 解：，f(x)是幂函数， 方法提炼幂函数图象的特征 ∴.2m2-5m+3=1,即2m2-5m+2=0, 对于幂函数y=x(a∈R),当a<0时，在第 一象限内图象是双曲线型；当0<a<1时， m=2或m=号 在第一象限内图象是抛物线型，且开口向右 若m=2,则f(x)=x1在(0，十∞)上单调 (上凸)；当a>1时，在第一象限内图象是抛 递减； 物线型，且开口向上（下凸）. 若m=2,则f()=x在(0，+0)上单羽 。058● 递增 综上，m=3,n=2. 综上，m=2. (2)由(1)，得m=3,n=2, .(2a+3)-1<(a-1)-1. 方法提炼已知幂函数的单调性求参数值， 函数y=x1在（一∞，0）和(0，十∞)上均 往往是先根据幂函数的定义求出参数值，再 修第 单调递减， 根据该幂函数的单调性进行检验 ∴.当x>0时，y=x1>0,当x<0时，y= 册 考向3解不等式（组） x1<0, 例5已知幂函数f(x)=(m2 ∴.0<a-1<2a十3或a-1<2a+3<0或 第三章 6m十10)xi+4m(n>1,n∈Z,m∈ 2a+3<0<a-1, R)的图象关于y轴对称，且在(0， 十∞)上单调递增. 解得a>1或-4<a<2, (1)求m和n的值； ∴.满足不等式(2a十3)-号<(a一1)登的a的 (2)求满足不等式(2a十3)-号<(a-1)-的 a的取值范围， 取值范围为（一4，一 )U1,+o∞). 念与性质 解：(1)，f(x)=(m2一6m+10)x+m是暴 函数， 方法提炼利用幂函数的单调性解不等式， ∴.m2-6m+10=1,解得m1=m2=3. 实质是已知两个函数值的大小，判断自变量 .f(x)在(0，十∞)上单调递增， 的大小，步骤如下： ∴.-n2十4n>0,解得0n<4. (1)确定可以利用的幂函数； .n>1,n∈Z,.n=2或n=3. (2)借助相应幂函数的单调性，将不等式的 当n=2时，函数f(x)=x4,图象关于y轴对 大小关系转化为自变量的大小关系； 称，符合题意； (3)解不等式（组）求参数的取值范围，注意 当n=3时，函数f(x)=x3,图象关于原点对 幂函数的定义域及分类讨论思想的应用. 称，不符合题意。 3.4 函数的应用（一） 必备知识 ●●●●● ●●● 知识点1常见的函数模型 1.一次函数（线性函数）模型：f(x)=kx十b(k≠0). 珍温馨提示 2.二次函数模型：f(x)=ax2+bx+c(a≠0). 利用函数模型解应用题 3.反比例函数模型：f(x)=(k≠0). 的注意点 2 ①实际问题中自变量的 4.幂函数模型：f(x)=kx(k≠0). 取值范围，合理确定函 f1(x),x∈D1, 数的定义域； f2(x),x∈D2, ②求出解后必须验证这 5.分段函数模型：f(x) 个“数学结果”对实际问 fn(x),x∈Dn 题的合理性： 。059●