3.1 函数的概念及其表示-【一本】高中数学知识大盘点

必修第一册 第三章 函数的概念与性质 1. 会用集合语言和对应关系刻画函数，体会集合语言和对应关系在刻画函数概念中的作用.了 课 解构成函数的要素，能求简单函数的定义域， 标 2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数， 要 3.了解简单的分段函数，并能简单应用。 4.借助函数图象，会用符号语言表达函数的单调性、最大值、最小值 点 5.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义. 6.结合y=x,y= ,y=x2,y=√元，y=x3的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数 x 思维导图·· 概念一：A一B为从集合A到集合B的一个函数，记作y=x),xEA 概念及其表示 构成要素一定义域、对应关系、值域 表示法 解析法、列表法、图象法 y=f(x) yy=f(x) 复合函数的 增函数 单调性遵循 “同增异减 与减函数 1x2) Ax) Ax)inxa) 单调性与最 大（小）值 增函数 减函数 基本性质 最大（小)值：①VxED,都有fx)≤（≥)M: 2归x和ED,使x)=M 函数的概念与性质 奇函数：∫(-x)=-x),图象关于原点对称 奇偶性 定义域关于 原点对称 偶函数：f(-x)=x),图象关于y轴对称 概念 y=x”(x是自变量，a是常数) 4y=x y=x y=x 幂函数 图象 -3-2 y=xI 34x 幂函数的图象恒过，点A(1,1) -3 当a>0时，y=x在[0，+o)上单调递增； 性质 当a<0时，y=x在(0，+0）上单调递减 分析、联想 实际问题 建立函数模型 抽象、转化 解决实际问题 函数的应用（一 的思路和步骡 回答 数学推演 还原 实际结果 数学结果 。037● 3.1 函数的概念及其表示6年1考 必 必备知识 知识点1 函数的概念【初高衔接】← 重点 册 ◆初高衔接 1.定义：一般地，设A,B是非空的实数集，如果对于集合A中的 函数：在一个变化过程 第三章 中，如果有两个变量x 任意一个数x,按照某种确定的对应关系f,在集合B中都有 与y,并且对于x的每 唯一确定的数y和它对应，那么就称f:A→B为从集合A到 函 一个确定的值，y都有 集合B的一个函数，记作y=f(x),x∈A.[学以数用] 的 唯一确定的值与之对 其中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与 应，那么就称y是x的 x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)x∈ 与性 函数，x是自变量. A)叫做函数的值域.显然，值域是集合B的子集.【温馨提示】 m 2.函数的三要素：定义域、对应关系、值域值域不一定是集合B 到学以致用 (1)定义域：自变量的取值范围，是一个集合，必须用集合表示. (多选)已知集合A= (2)对应关系：对应关系“f”是函数的核心，它是对自变量x {-1,1,2,4},B={1,2, 实施“对应操作”的“程序”或者“方法”.按照这一“程序”或“方 4,16},下列四个对应关 法”，从定义域A中任取一个x,可得到值域{yy=f(x),x∈ 系能构成从A到B的 函数的是 () A}中唯一的y与之对应. A.y=xl (3)值域：函数值的集合.例如，{y|y=f(x),x∈A) B.y=x2 3.同一个函数：如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全 C.y=x+2 致，即相同的自变量对应的函数值也相同，那么这两个函数 D.y=2x 是同一个函数.【学以致用」 答案：AB ◆温馨提示 知识点？2区间 若集合A到集合B能 1.区间的定义及表示 隐含条件a<b. 构成函数，则其对应关 定义 名称 符号 数轴表示 系为一对一或多对一， {xa≤x≤b} 闭区间 La,b → 不能一对多；并且集合 a h A中不能有剩余元素， (xa<x<b) 开区间 (a,b) → a 而集合B中可以有剩余 x a<x<b 半开半闭区间 a,b) 元素 6 {xla<x≤b} 半开半闭区间 (a;b m 学以致用 2.含“o○”区间的定义及表示【温馨提示】【学以致用】 (多选)下列各组函数不 是同一个函数的是 定义 符号 数轴表示 {xlx≥a} [a,+∞) A.f(x)=-z ,g(x) (xxa) (a,+o) x-1 {xlx≤b} (-∞，b] (xx<b) (-∞，b) ·038● 知识点3函数的表示法[学以数用] B.f(x)=x+1,g(x)= 表示法 含义 定义域 值域 示例 x十x” 用解析式 使解析式 C.f(x)=x,g(x)= 表示两个 有意义的 因变量y 函数y=x2的定 x 修第 解析法 变量之间 自变量x 的取值 义域是R,值域是 D.f(x)=Vx-2· √x十2，g(x)= 册 的对应 的取值 集合 {yly≥0} √Wx2-4 关系 集合 答案：ABD 第三章 列出表格 ◆温馨提示 2 ①区间中的元素都是数 来表示两 表格中自 表格中相 10 且有无限个，并不是所 列表法 个变量之 变量x的 应y的取 有的数集都可以用区间 数的 间的对应 取值集合 值集合 定义域：{1,2}， 表示.如{0,1,2}就不能 用区间表示 关系 值域：{5,10} ②区间中的每一个元素 念与性质 均对应数轴上的一个点. 图象在x 图象在y ③以“一∞”或“十∞”为 用图象表 轴上的投 轴上的投 区间的一端时，这一端 必须是圆括号 示两个变 影所覆盖 影所覆盖 图象法 ④当用区间表示的集合 量之间的 的自变量 的因变量 有多个范围时，中间用 对应关系 x的取值 y的取值 定义域：{1,2}， “U”连接，不用“或” 连接 集合 集合 值域：{5,10》 国 学以致用 知识点4分段函数◆重点 集合A={x|x≥0且 x≠1}用区间表示 1.定义：在函数的定义域中，对于自变量x的不同取值范围，有 为 答案：[0,1)U(1,+∞) 着不同的对应关系，这样的函数通常称为分段函数 (点拔()分段函数是一个函数，而不是多个函数，书写时注 到学以致用 已知x与f(x)之间的 意写出各段函数自变量的取值范围；画图时要将各段函数图 对应关系如表所示，若 象画在同一个平面直角坐标系中，同时注意定义域的限制。 f(f(xo)=f(1)+ f(3)·f(4),则x= (2)画图时要注意区间端点是否包含在内，若包含端，点，则用 实心点表示；若不包含端点，则用空心圈表示 2 2 2.几个常见的分段函数 f(z) 1 (1)取整函数：f(x)=[x]([x]表示不大于x的最大整数). 答案：4 x,x≥0， (2)含绝对值符号的函数：如f(x)=|x= 到学以致用 x,x<<0 已知函数f(x)的图象 0,x是无理数， 如图所示，其中y轴的 (3)狄利克雷函数：D(x)= 左侧为一条线段，右侧 1,x是有理数， 为某抛物线的一段，则 一1，x为奇数， 函数f(x)= (4)符号函数：f(x)=(一1)r= 1,x为偶数 。039· 2x-3,x≥1， (5)自定义函数：如f(x)= -x2,x<1. 3.分段函数的图象 修第 分段函数有几段，它的图象就由几条曲线组成.在同一平面直 册 角坐标系中，根据每段的定义区间和解析式依次画出图象，要 答案： 注意每段图象的端点是空心圈还是实心点，组合到一起就得 第三章 |x+2,-2≤x≤0， x2-4x+2,0<x≤3 到整个分段函数的图象.【学从数用】 高频考点 ●●● ●●●●● 概念与性质 考点1求函数的定义域 5年2考、 考向2求抽象函数、复合函数的定义域 考向1已知函数解析式求函数的定义域 例2(1)已知函数y=f(x)的定义 例1求下列函数的定义域： 域为[-2,2]，则函数y=f(2x+1) 1fr)=1+x-1; 的定义域为 x-5 (2)f(x)=√二z2-x+2 (2)已知函数f(x+1)的定义域为[一2,2)， x 则函数f(x)的定义域为 1 (3)f(x)= +(x+1)°. √4-x (3)已知函数f(x一1)的定义域为[一2,3]， 解：(1)由题意，得2-5≠0， 则函数f(2x一1)的定义域为 x-1≥0， 解得x≥1且x≠5， 解析1冷-22x十1<2，解得-8<<司， 故该函数的定义域为[1,5)U(5,十∞). (2)由题意，得{ -x2-x+2≥0， “函教y=2x+1)的定义域为[-，2引 x≠0， 解得-2≤x≤1且x≠0， (2)函数f(x十1)的定义域为[一2,2)，即 故该函数的定义域为[一2,0)U(0,1]. -2≤x<2,.-1≤x+1<3, 4-x2>0, (3)由题意，得 x+1≠0， 解得一2<x<2且 .函数f(x)的定义域为[-1,3) x≠一1， (3),函数f(x一1)的定义域为[一2,3]，即 故该函数的定义域为(-2，一1)U(一1,2). -2≤x≤3，.-3≤x-1≤2， 方法提炼求函数定义域的一般原则 分式考虑分母不为0，偶次根式考虑根号内 -3<2z-1≤2，解得-1<x≤号， 的式子不小于0,0次幂考虑底数不为0.当 f(x)由几部分式子组成时，其定义域是使各 “画数f2x-1)的定义越为[-1，] 部分式子都有意义的实数集合. 注意：①求定义域时，不能对解析式进行化简； 答案(1)[-，2] (2)[-1,3) ②定义域必须用集合表示，若用区间表示，则 不能用“或”连接，应用并集符号“U”连接 3)[-1,] 。040● 方法提炼复合函数和抽象函数定义域的 考点2 函数的求值问题 求法 例4已知f()=(xER,且 (1)若f(x)的定义域为[a,b],则f(g(x))中 g(x)∈[a,b],解得x的取值范围即为 x≠-1)，g(x)=x2-1(x∈R). 修第 f(g(x)的定义域. (1)求f(1),g(2)的值； (2)若f(g(x)的定义域为[m,n],则x∈ (2)求f(g(2))的值及函数f(g(x))的解 册 [m,n],从而可得g(x)的取值范围，则g(x) 析式 的取值范围就是f(x)的定义域. 解：(1)f(1)=0,g(2)=22-1=3. 第三章 (3)已知f(p(x)的定义域，求f(h(x)的定 义域，可先由f(p(x)的定义域，求出p(x) (2)由(1)，知g(2)=3, 的取值范围，即得f(x)的定义域，也是h(x) 的 的取值范围，再根据h(x)的取值范围求出x fg2》=f3)3 的取值范围，即得f(h(x)的定义域， fg(x)=f(x2-1)=1-(x2-1D_2-x 1十x2-1 ? 念与性 考向3求实际问题中函数的定义域 (x≠0). 例3如图，从边长为2a的正方形铁 例5设f(x)是定义在R上的函 片的四个角处各截去一个边长为x 数，且对任意实数x,y都满足 的小正方形，然后折成一个无盖的 长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正 f(x-y)=f(x)+f(y)+zy-1. 方形边长的比不超过正数t.把长方体盒子 (1)求f(0),f(1)的值； 的容积V表示为关于x的函数，并指出其定 (2)求函数f(x)的解析式. 义域。 解：(1)令x=y=0,得f(0)=f(0)十f(0) 1,即f(0)=1. 令x=y=1,得f(0)=f(1)+f(1)+1-1, 即1=2f.f1)=2 (2)令y=x,得f(0)=f(x)+f(x)+x2-1, 2a 解：由题意，得V=x(2a-2x)2=4x(a一 即1=2f(x)+x2-1, (x>0, 2a-2x>0.0<x≤142t 2f)=-x2+2∴fx)=-2x+1. x)2,. 2at x 2a-2z≤t, 方法提炼 ∴.长方体盒子的容积V=4x(a一x)2,其定义 1.已知函数的解析式求函数值时，直接将自 越为0] 变量的值代入解析式中求解即可；如果自变 量是以代数式的形式出现，那么将代数式看 方法提炼求与实际问题相关的函数解析式 成一个整体代入求解， 时，要注明函数的定义域，且定义域除了确 2.抽象函数的求值问题一般用赋值法.解决 保解析式有意义外，还需要使实际问题有 求值相关的含参问题时，常利用方程思想 意义. 求解 。041● 考点3 求函数的解析式 x2-6x, 例6(1)已知f(x)是一次函数，且 所以fx)=2-2r f(f(x)=4x一1，求f(x)的解析式： (3)方法1：令y=x,则f(x-y)=f(0)= 修第 (2)已知二次函数f(x)满足f(0)= f(x)-x(2x-x+1)=1, 1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解析式. 所以f(x)=x2+x十1. 册 解：(1)设函数f(x)=ax十b. 方法2：令x=0,则f(0一y)=f(0)一 第三章 因为f(f(x)=4x-1, y(-y+1),即f(-y)=y2-y+1.令x= 所以a(ax+b)+b=a2x+ab+b=4x-1, 一y,则f(x)=x2十x十1. 所以 a2=4, ab+b=-1, 方法提炼求函数解析式的常用方法 的 (1)待定系数法：需要已知函数类型，如一次 a=2, a=-2, 解得 函数、二次函数等，根据条件设出解析式，进 念与性质 而列出方程或方程组求解， 所以f）=2x-号或f)=-2x+1 (2)换元法与配凑法： 适用题型：已知f(g(x)=h(x),求f(x). (2)设二次函数f(x)=ax2+bx十c(a≠0). ①换元法，即令t=g(x),解出x,代入h(x) 因为f(0)=1,所以c=1. 中，得到一个含t的解析式，再用x替换t, 因为f(x十1)一f(x)=2x, 便得到f(x)的解析式.利用换元法解题时， 所以a(x+1)2+b(x+1)+1-a.x2-bx 换元后要确定新元t的取值范围，即函数 1=2x. f(x)的定义域. 整理，得2a=2,a十b=0, ②配凑法，即在f(g(x)的解析式中配凑出 所以a=1,b=-1, “g(x)”,用含g(x)的式子来表示h(x),然 所以f(x)=x2-x+1. 后将解析式中的g(x)用x代替即可. 例7根据下列条件，求函数f(x)的 (3)方程组法：已知f(x)与f(g(x)满足的 解析式 关系式时，可用g(x)代替两边的所有x,得 到关于f(x)与f(g(x)的方程组，即可求 (1)f(√元+1)=x+3√； (2)f(x)+2f(-x)=x2+2x; 得f代.常见的g()为一x或是等。 (3)已知f(x)是定义在R上的函数，f(0)= (4)赋值法：当所给的函数中含有两个变量 1,且对任意的实数x,y都有f(x一y) 时，可对这两个变量交替赋值，或使这两个 f(x)-y(2x-y+1). 变量相等代入，再根据已知条件求出函数解 解：(1)方法1（配凑法）：因为f(√元十1) 析式. x+3√=（√元+1）2+√x+1-2,且√元+ 考点4分段函数及其应用 5年9考 1≥1，所以f(x)=x2+x-2(x≥1) 考向1分段函数求值 方法2（换元法）：令√元十1=t,则x=(t 例8已知函数f(x)= 1)2,且t≥1， x2,x>0, 所以f(t)=(t-1)2+3(t-1)=+t-2(t≥1)， -2x-1,x≤0. 所以f(x)=x2十x-2(x≥1) (1)求f(f(-3)的值； (2)将x换成-x,得f(-x)十2f(x)=x2 (2)求f(x)在区间[一3,2)上的值域： 2x.联立两式消去f(一x),得3f(x)= (3)当f(m)≥4时，求m的取值范围. 。042● 解：(1)f(f(-3)=f(5)=25. 当0≤x≤500时，y=500x- 2x-(20000+ (2)当x∈[-3,0]时， f(x)=-2x-1∈[-1,5]； 100x),即y=-2x+400x-2000: 当x∈(0,2)时，f(x)=x2∈(0,4)， 必 当x>500时，y=125000-(20000+ 综上，f(x)在区间[一3,2)上的值域是[一1,5]. 修第 100x),即y=105000-100x. (3)当m>0时，f(m)=m2≥4，解得m≥2或 册 m≤-2（舍去）； 故y +40z-2000.0K≤0， 当m≤0时，f(m)=-2m-1≥4，解得m≤ 105000-100x,x>500. 第三章 2 (2)当0≤x≤500时，y=- 2(x-400)2+ 综上，m的取值范围是m≥2或m≤二， 60000,所以当x=400时，y取得最大值， ymax=60000;当x>500时，y=105000- 方法提炼 100x<105000-100×500=55000. 1.求分段函数的函数值的方法：先确定要求 综上，当年产量为400台时，该科技公司所获 念与性 值的自变量的取值属于哪一段，再代入该段 得的年利润最大，最大年利润为60000元. 的解析式求值，当出现f(f(a)的形式时， 应从内到外依次求值. 方法提炼 2.已知分段函数的函数值，求自变量的值的 1.解决分段函数的实际应用问题时，注意各 方法：先假设自变量的值在分段函数定义域 段自变量的取值集合的交集为，当前后两 的各段上，再求出相应自变量的值，切记要 段的图象连续时，相连的端点可在这两段的 检验. 任意一段上，不要漏掉端点值. 3.求分段函数在某条件下自变量的取值范围 2.求分段函数的最值时，应分别计算各段函 的方法：先假设自变量的值在分段函数定义 数的最值（如果某段最值不存在，可求出这 域的各段上，再求出在相应各段定义域上自 段的取值范围)，然后比较它们的大小，从而 变量的取值范围，然后求它们的并集即可. 确定分段函数的最值， 考向2分段函数的实际应用 考点5 函数图象的识别及应用 例9某科技公司生产一种产品的固 考向1图象的识别 定成本是20000元，每生产一台产 例10已知函数f(x)= 品需要增加投入100元.已知年总 x+1,-1≤x≤0， 则下列函数图 收益R(元)与年产量x(台)的关系式是 x2+1,0<x≤1， 象正确的是 500x- r0S≤50. y 1 R(x)= 125000(x>500). (1)把该科技公司的年利润y(元)表示为年 产量x(台)的函数， (2)当年产量为多少台时，该科技公司所获得 的年利润最大？最大年利润为多少元？（注： 利润=总收益一总成本) 解：(1)由题意，得总成本为(20000+ 100x)元. 。043● 解析当x=0时，f(x)=1,即图象过点(0， y=2一x2,y=x的图象如图所示. 1),故选项C,D不符合题意； 台 当x=1时，f(x)=2,即图象过，点(1,2)，故 选项B不符合题意， 答案A 册 方法提炼识别函数图象，最基本的方法是 第三章 排除法，即根据定义域确定图象所在范围， 由图可知，f(x)的图象是图中实线部分，最 根据特殊点确定图象的位置，一般为图象端 函 大值为1. 点、最高（低）点、与坐标轴的交点等. 的 答案1 考向2函数图象的应用 念 例11若x∈R,f(x)是y=2-x2, 方法提炼在解决与函数值相关的问题时， 有时可将问题转化为分段函数问题.若函数 质 y=x这两个函数中的函数值较小 解析式较简单且容易作图，可作出函数图 者，则f(x)的最大值为 象，借助图象的直观性来解题. 解析在同一平面直角坐标系中，作出函数 3.2 函数的基本性质5年37考 盘 必备知识 知识点1函数的单调性 ◆深入解读 1.增函数与减函数 注意取值的任意性 ①区间I可以是整个定 义域D,也可以是定义 般地，设函数f(x)的定义域为D,区间I三 域D的真子集，即I=D 条件 D,【深入解读】如果0,2∈I,当x<x2时 或I军D.如：y=x十1 都有f(x)<f(x2) 都有f(x1)>f(x2) 在定义域（一∞，十∞） 那么就称函数f(x)在区 那么就称函数f(x)在区 上单调递增；y=x2在 间I上单调递增.当函数 间I上单调递减.当函数 (-∞，十∞)上不具有 结论 f(x)在它的定义域上单 f(x)在它的定义域上单 单调性，但是在（一∞， 调递增时，我们就称它为 调递减时，我们就称它 0)上单调递减，在[0， 增函数 为减函数 十∞)上单调递增. y=f(x) y=fx) ②区间I一定是连续 的. 图象 iAx2) AxD) fx八fx2 0 X1 X2 图象趋势 从左到右是上升的 从左到右是下降的 。044。