2.3 二次函数与一元二次方程、不等式-【一本】高中数学知识大盘点

2.3二次函数与一元二次方程、不等式63考 目 必备知识 修第 知识点1一元二次不等式的相关概念 1.一元二次不等式的定义：一般地，我们把只含有一个未知数， 珍想一想 册 a.x2+2x+1>0是一元 并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式。 二次不等式吗？ 第二章 元二次不等式的一般形式是ax2十bx+c>0或ax2+bx+ 提示：若a为常数，且 c<0,其中a,b,c均为常数，a≠0.【想-想】 a≠0，则该不等式是关 于x的一元二次不等 2.一元二次不等式的解集：满足一元二次不等式ax2十bx十c> 式；若a=0,则该不等 0(a≠0)或ax2+bx十c<0(a≠0)的实数x组成的集合叫做 式是关于x的一元一次 元二次函数、 不等式；若x是常数，且 -元二次不等式ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0 x≠0，则该不等式不是 (a≠0)的解集，即{xax2+bx十c>0(a≠0)}或{x|ax2十 一元二次不等式，而是 关于a的一元一次不 bx+c<0(a≠0)}. 等式 方程和不等式 知识点2二次函数与一元二次方程、不等式的关系 ◆深入解读 ①三个“二次”关系的 1.二次函数的零点：一般地，对于二次函数y=a.x2十bx十c(a≠ 实质： 0),我们把使a.x2十bx十c=0的实数x叫做二次函数y= a.ax2+bx+c=0的解 台y=a.x2+bx+c的图 a.x2+bx+c的零点.例如，二次函数y=x2一1的两个零点是 象与x轴交点的横 x1=1,x2=-1. 坐标； b.ax2+bx十c>0的解 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系[深入解读】 集台y=ax2+bx+c的 项目 △>0 △=0 △<0 图象上的点(x,y)在x 轴上方时，对应x的取 y=ax2+bx+ 值集合； c.ax2+bx+c<0的解 c(a>0)的 Ox1=3文 集台y=ax2+bx+c的 图象 图象上的点(x,y)在x 轴下方时，对应x的取 值集合. 有两个不相等 有两个相等的 ax2+bx+c= ②三个“二次”关系的 的实数根x1, 实数根= 没有实数根 图示 0(a>0)的根 x2(x1<x2) x2= b 二次函数 2a ax2+bx+c>0 {x|x<或 数的零 (a>0)的解集 x>x2》 根的 讨论 一元二次 一元二次 ax2+bx+c<0 {x|x1<x< 0 0 方程 不等式 (a>0)的解集 x2} 求解集 。031 知识点3一元二次不等式的解法 珍温馨提示 求解一元二次不等式的过程（以求解可化成ax2十bx十c>0(a> 当a<0时，可将不等式 必 两边同乘一1，化为正数 0)[温馨提示】形式的不等式为例)用框图表示如下：【学以数用】 后再求解。 将原不等式化成ax2+bx+c>0(a>0)的形式 册 盈认装用 计算△=b2-4ac的值 (全国I卷)已知集合 ,4>0 △=0 △<0 第 A={x|x2-3x-4< 方程ax2+bx+c=0有 方程ax2+bx+c=0有 方程ar2+br+c=0 章 0},B={-4,1,3,5},则 两个不相等的实数根， 两个相等的实数根， 没有实数根 A∩B= () 解得x1,2（x<)】 解得x1=X2=- 2a 元 A.{-4,1} B.{1,5} C.{3,5} D.{1,3} 原不等式的解集为 原不等式的解集为 原不等式的解集 次 答案：D {xx<x1或x>2 xx≠-2a】 b 为R 数 寝 高频考点 不 考点1 一元二次不等式的解法5年3考 4r2-4红十1=0，得==2结合二次函 考向1解不含参数的一元二次不等式 数y=4x2一4x十1的图象可知，原不等式的 例1解下列不等式： 解集为⑦ (1)2x2-3x-2>0: (2)x2-3x+5>0; 方法提炼解不含参数的一元二次不等式的 (3)-6.x2-x+2>≥0； 一般步骤 (4)-4x2>1-4x. (1)化为一般形式：对不等式变形，使二次项 系数为正且不等式右边为0. 解：(1)解方程2x2-3x一2=0，得x1= (2)对不等式左边因式分解，若不易分解，则 x2=2. 计算对应一元二次方程的判别式. (3)求出相应的方程的根或根据判别式说明 结合二次函数y=2x2一3x一2的图象可知， 方程有无实根， 原不等式的解集为口<-或>2， (4)根据对应的二次函数图象与x轴的位置 关系，写出不等式的解集。 (2)对于方程x2-3x十5=0，因为△=-11<0， 所以方程x2一3x十5=0无解.因为函数 考向2解含参数的一元二次不等式 y=x2-3x十5的图象是开口向上的抛物线，所 例2设a∈R,解关于x的不等式 以原不等式的解集为R,二次项系数化为正数 ax2-(a+3)x+3≤0. (3)原不等式可化为6x2十x一2≤0.解方程 解：由a.x2-(a+3)x十3≤0，可得 =结合二 2 (ax-3)(x-1)≤0. 6x2+x-2=0,得x=- (1)当a=0时，原不等式可化为x一1≥0，解 次函数y=6x2十x一2的图象可知，原不等 得x≥1. 式的解来为女一号<引 (2)当a≠0时，解方程(ax-3)(x一1)=0， (4)原不等式可化为4x2一4x十1<0.解方程 得是= ●032● ①当a<0时，<1，解原不等式可得x≤是 C{x<-1或x>2 或x≥1； ②当0<4<3时，3>1，解原不等式可得1≤ D{-1<x< 必 a 解析由题意可得x1=一1，x2=2是方程 修第 ax2+bx十c=0的两个根，且a<0,所以 册 ③当a=3时，原不等式为3(x一1)2≤0，解 得x=1; -b=1,=-2, a 第 ④当a>3时，2<1，解原不等式可得≤ 所以d+ha十a>0可化为后2+合x+1<0, 章 x≤1. 即-2x2-x+1<0, 综上所述，当a<0时，原不等式的解集 元 为口≤8或x≥： 解得x<-1或x>:故一元二次不等式 当a=0时，原不等式的解集为{xx≥1}； 数 当0<a<3时，原不等式的解集 cd+ha十a>0的解集是{xxK-1或x>号} 为1e≤8}： 答案C 当a=3时，原不等式的解集为{1}； 方法提炼已知一元二次不等式ax2十bx十 程和不等式 当a>3时，原不等式的解集 c>0或ax2十bx十c<0(a≠0)的解集，则可 知a的符号和ax2十bx十c=0的两实根，由 根与系数的关系可知a,b,c之间的关系.例 方法提炼在解含有参数的一元二次不等式 如，若不等式ax2十bx十c>0的解集为 时，往往要对参数进行分类讨论，为了做到 分类“不重不漏”，一般从以下三个方面进行 {xld<x<e}(d<e),则说明a<0,且x= 讨论： d,x2=e分别为方程ax2十bx十c=0的两 (1)关于不等式类型的讨论：二次项的系数 a>0,a=0,a<0. 根，d十e=-b,d·e=C a a (2)关于不等式对应的一元二次方程的实数 根的讨论：两个不相等的实数根（△>0），两 考点2不等式恒成立问题 个相等的实数根（△=0），无实数根（△<0）. (3)关于不等式对应的一元二次方程实数根 考向1一元二次不等式在实数集上恒成立 的大小的讨论：x1>x2,x=2,x<x2 例4若不等式(a-2)x2+2(a 2)x-4<0对一切x∈R恒成立， 考向3已知一元二次不等式的解集求参数 则a的取值范围是 问题 例3若一元二次不等式ax2+bx十 解析当a一2=0，即a三2时，得-4<0，恒成 c>0的解集是{x|一1<x<2},则 立.不要遗漏二次项系数为0的情况。 一元二次不等式cx2十bx十a>0的 当a-2≠0时，因为不等式(a-2)x2+2(a一 解集是 2)x一4<0对一切x∈R恒成立， A{z<-2或x>1 a-2<0, 所以 △=4(a-2)2+16(a-2)<0, B.t-<<1 解得-2<a<2. 。033● 综上所述，a的取值范围是{a一2<a≤2. 由题意可知，y≥0在x>1时恒成立，该函数 答案{a-2<a≤2} 图象的对称轴为工=3a。十2 8 方法提炼一元二次不等式在R上恒成立问 修第 ①若3a十2≤1，即u≤2，则当x>1时，y随 8 题的题型及求解策略如下： x的增大而增大， 册 一元二次不等式 对任意实数x 所以y>4×12-(3a+2)X1+3a+7=9, 第二章 (a≠0) 恒成立的条件 此时，y≥0恒成立， ax2+bx+c0 a>0,且△<0 ②若3a+2>1,即a>2,则当x=3a+2时，y 8 8 ax2+bx+c≥0 a>0,且△≤0 取得最小值。 二次 ax2+bx+c<0 a<0,且△<0 a.x2+bx十c≤0 a<0,且△≤0 ymin= 4×4(3a+7)-(3a+2)2 4×4 数 特别提示：当不等式ax2+bx十c>0未 -9a2+36a+108 16 说明是否为一元二次不等式时，对任意 由yw≥0，得-9a2+36a+108≥0， 不等式 a>0, 16 实数x恒成立应满足的条件为 △0 解得-2≤a≤6，所以2<a≤6 综上所述，a的取值范围为{aa≤6} a=b=0, (2)令y=ax2+(a-2)x-2=(x2+x)a- c>0. 2x一2，将它看作是以a为自变量的函数， 考向2一元二次不等式在某范围内恒成立 (x2+x)-2x-2>0,① 例5(1)若x>1,4x2-(3a+2)x+ 由题意，得8(d+x)-2x-2>0.@ 3a十7≥0恒成立，则a的取值范围 解不等式①，得x<-1或x>2. 为 解不等式@，得<-1或>号 (2)已知关于x的不等式ax2+(a一2)x 2>0.若该不等式对于1≤a≤3恒成立，则实 所以实数x的取值范围为{xx<一1或x> 数x的取值范围为 2. 解析(1)方法1：当x>1时，4x2-(3a+2)x十 答案(1){aa≤6}(2){xx<-1或x>2} 3a+7≥>0恒成立，即3a(x-1)≤4x2-2x+ 方法提炼对于在某个范围内不等式ax2十 7恒成宝，公告成立 bx十c>0(或<0)恒成立，只需令相应函数 在该范围的最小值大于0（或最大值小于0） 令x-1=t(t>0),则x=t+1, 丝-2z+1-4+12-2++7-号(+ 即可，若不等式中的参数易分离，也可采用 3(x-1) 3t 分离参数法求范围.一般地，知道谁的范围， 谁就是自变量，求谁的范围，谁就是参数， 2+)≥(24…里+6)=6. 考点3分式不等式的解法 当且仅当-9，即1一多时，等号成立. 方法指导解分式不等式的思路—转化为 故a≤6，即a的取值范围为{aa≤6}. 整式不等式（组）求解. 方法2：令y=4x2-(3a十2)x+3a+7. 。034● 通过移项、通分，将不等式的右边化为0，左 (2)平方法：x1|>|x2台→x12>x22. 边化为出(2≠0)的形式.将分式不等式转 (3)零点分区间法：含有两个或两个以上绝 对值符号的不等式，可用零点分区间法去掉 化为整式同解不等式的变形如下表： 绝对值符号，将其转化为与之等价的不含绝 修第 分式不等式 整式同解不等式 对值符号的不等式（组）求解 >0 册 y21 yiy2>0 (4)几何法：利用绝对值的几何意义，画出数 轴，将绝对值转化为数轴上两点间的距离 第 1∠0 y2 y1y2<0 求解 0 y1y2≥0， (5)数形结合法：在平面直角坐标系中作出 y2 3y2≠0 不等式两边所对应的两个函数的图象，利用 元 ∠0 yhy2≤0， 函数图象求解， y2 y2≠0 数 注意：①形如出>a(a≠0)的分式不等 例7解下列含绝对值的不等式： V2 (1)11-2x|>|x-3|; 式，可先同解变形为当二必>0，再转化 (2)4x-3|>2x+1. 方程和不等 为2(y-ay2)>0; 解：(1)|1-2x|>|x-3台(1-2x)2>(x ②形如出≥0（或≤0）的分式不等式，转 3)2台(1-2x)2-(x-3)2>0台(-3x十 4)(一x-2)>0.整理，得(3x-4)(x十2)> 化为整式不等式后，应注意分子能取零， 而分母不能取零. 0,解得《-2或x>号故原不等式的解集 例6解下列不等式： 为女<-2或>》 22<0:2+>-1 (2)方法1：原不等式可化为 解：(1)原不等式可化为(2x一1)· 2x+1≥0， (x十2)<0，所以原不等式的解集 ①2x+1<0或② 4红-3>2x+1或 为x -2 2x+1≥0， ③ （2移项，得+1≥0 (4x-3<-2x-1. 化简，得0，中专<0 解不等式①，得<一2 x-3 解不等式组②，得x>2. (2x+4)(x-3)≤0， 可化为 解得-2≤x<3. x一3≠0， 解不等式组③，得- 所以原不等式的解集为{x一2≤x<3. 考点4绝对值不等式的解法 综上，原不等式的解集为口红<日或>2 方法指导解含绝对值的不等式的关键是去 方法2：①当4-3≥0，即x≥时，原不等 掉绝对值符号，常见的方法如下： (I)基本性质法：|x|<a台-a<x<a(a> 式可化为4x一3>2x+1,解得x>2. 0);|x>a台x<-a或x>a(a>0). ②当4红-3<0，即x<时，原不等式可化为 。035● -(4r-3)>2x+1,解得x<号 注意：穿线时要遵循“奇过偶不过”的原则， 综上，原不等式的解终为红x<号或x>2 即某个因式是奇数次时，就从数轴的一侧穿 到数轴的另一侧；某个因式是偶数次时，就 修第 简单高次不等式的解法 不穿过数轴。 考点5 (拓展进阶) ④写解集：若不等式(x的最高次数的项的 册 方法指导最高次项的次数大于2的不等式 系数化“+”后)是“>0”，则找“线”在数轴上 第 称为高次不等式.解高次不等式的基本思想 方对应的取值范围；若不等式是“<0”，则找 章 是“化归”，即将高次不等式转化为低次不等 “线”在数轴下方对应的取值范围 式来求解，常见的方法有： 元 例8解不等式(x十2)(x2一x (1)不等式组法：将高次不等式中的多项式分 次 12)>0. 解成若干个不可约因式的乘积，然后利用不 数 等式的性质将高次不等式等价转化为一个或 解：方法1：原不等式可化为 多个一元一次或一元二次不等式（组），原不 @/r+2>0, x十2<0， 程 等式的解集就是各不等式（组）解集的并集。 x2-x-12>0 ②-x-12<0. (2)列表法 解不等式组①，得x>4. 等 ①分解因式：将不等式化为一端为0，另一端 解不等式组②，得一3<x<一2. 为若干个因式（一次因式或二次不可约因 故原不等式的解集为{x|一3<x<一2或 式)乘积的形式，并将各因式中x的最高次 x>4}. 数的项的系数符号化为“十” 方法2：原不等式可化为(x十2)(x十3)(x ②求根、列表：求出相应方程的根，根据不等 4)>0. 式对应方程的根把x的取值范围分成几部 列表如下： 分，并将端点值按由小到大的顺序横向排 3<x -2<x X< 3 x>4 列，相应各因式由对应较小根的因式开始依 <-2 <4 次自上而下纵向排列 x+2 + ③判符号：判断各取值范围内因式的符号， x+3 + 最下面一行是各因式乘积的符号。 x-4 ④写解集：根据最下面一行积的符号写出不 (x+2)· 等式的解集。 (x+3)· (3)穿根引线法（零点分段法）：用穿根引线 (x-4) 法解一元高次不等式非常方便，因此应熟练 掌握.其解题步骤如下： 由上表可知，原不等式的解集为{x|一3< ①分解因式：将不等式化为一端为0，另一端 x<-2或x>4). 为若干个因式（一次因式或二次不可约因 方法3：令(x+2)(x2一x一12)=0，解得x1= 式)的积的形式，并使各因式中x的最高次 一3，x2=一2，x3=4.将一3，一2,4标在数轴 数的项的系数符号化为“+”. 上，并使用穿根引线法画线，如图， ②求根、标根：求出相应方程的根，并标在数 轴上. 0 ③画线：由右上方穿线，经过数轴上表示各 由图可知，原不等式的解集为{x|一3<x< 根的点 -2或x>4. 。036●