2.2 基本不等式-【一本】高中数学知识大盘点

2.2 基本不等式5年2考 盘 必备知识 修第 知识点1重要不等式←重点 ◆想一想 册 1.重要不等式：Va,b∈R,有a2+b≥2ab,当且仅当a=b时， 如何证明重要不等式？ 等号成立.[想一想】 第 提示：a2+b-2ab= 章 2重要不等式的常用变形：ah长a (a-b)2≥0，即a2+ b>2ab,当且仅当a=b 时，等号成立。 元 知识点2基本不等式←一重点 ® 1.基本不等式：如果a≥0,6>0，那么a<,当且仅当 学以致用 函数、 ①若a>0,b>0,且a+ a=b时，等号成立.【学认数用]其中a也叫做正数a,b的算术 b=16,则ab≤64.(/) 2 ②若ab=2,则a+b的 程 平均数，√ab叫做正数a,b的几何平均数.基本不等式表明： 最小值为2√2. (X) 不等 两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数 ③若x∈R,则y=x2+ 1 ☑公式推导基本不等式的证明 2+2+2≥2，所以y的 (1)利用不等式的性质证明基本不等式. 最小值为2. (X) 要证v<,①只要证2wab<a十6.② 提示：①a>0,b>0, √ab≤ab=8, 2 要证②，只要证2√ab-a一b≤0.③ ∴.ab≤64.当且仅当a= 要证③，只要证一（√a一√b)2≤0.④ b=8时，等号成立， .①正确 要证④，只要证(a-√6)≥0.⑤ ②ab=2,但无法确定a,b 显然，⑤成立，当且仅当a=b时，⑤中的等号成立. 是否为正数.令a=一l, 只要把上述过程倒过来，就能直接推出基本不等式了 则b=一2，此时a十b= (2)利用几何法证明基本不等式： -3<2√2，∴.②错误 ③.x2+2>0, 如图，AB是⊙O的直径，点C在AB上， 1 AC=a,BC=b.过点C作垂直于AB的弦 ·x+2+x2+22 B DE,连接AD,BD.在△ACD和△DCB中， b 1 2r+2)·2+2 因为∠DAC+∠ADC=90°，∠ADC十 2.当且仅当x2十2= ∠BDC=90°，所以∠DAC=∠BDC.又∠ACD=∠DCB,所 十2时取等号，可得 1 以△ACD△DCB,所以品P,所以CD=ad. x2=-1或一3，x不存 在，y取不到2，③ 因为CD≤0D-生中，所以va励<“生， 错误。 当且仅当点C与点O重合，即a=b时，等号成立. 。025· 2.基本不等式的变形及推广 (1)常见变形：①a十b≥2√ab,a>0,b>0; 必 ②a≤('，a,6cR (2)常用结论：①号+合≥2(a,6同号)，当且仅当a=b时，等 册 第二章 ◆深入解读 号成立：号+总≤一2,6异号)，当且仅当a=-6时，等号 应用基本不等式求最值 成立 必须要满足三个条件： ②a+日≥2(a>0),当且仅当a=1时，等号成立；a十≤-2 ①一正：各项必须为正； 二次 (a<0),当且仅当a=一1时，等号成立. ②二定：各项之和或各 数 项之积为定值； ③基本不等式链：若a>0,b>0,则Vab≤8令 2 ③三相等：必须验证取 方程和不等式 等号时条件是否成立 @正，当且仅当a=b时，等号成立.此不等式也可表述为 2 调和平均数≤几何平均数≤算术平均数≤平方平均数， 其几何意义如图所示 OD=OF=a+b CF= a2+b2 2 2 2 CD=ab,DE=1⊥I ab 知识点3最值定理！深入解读】◆ 重点 ◆拓展延伸 已知x,y都是正数 基本不等式的最值模型 (I)如果积xy等于定值P,那么当x=y时，和x十y有最小值 模型1：y=az十b(a> 2P. 0,b>0). (2)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时，积xy有最大值 ①当x>0时，y=ax十 1≥2a6,当且仅当 简记：积定和最小，和定积最大.【拓展延伸] 乙公式推导最值定理的证明 x√后时，等号成立 ,y都是正教，≥， ②当x<0时，y= -[a(-+] (1)当积xy=P(定值)时，≥P,x十≥2VP,当且仅 -2√ab,当且仅当x= 当x=y时，等号成立，.当x=y时，和x十y有最小值2√P √臣时，等号成立 (②)当和x十y=S(定值)时，y<xy≤S,当且仅当 x=y时，等号成立，当x=y时，积xy有最大值4S。 。026● 知识点4基本不等式的拓展 1.三个正数的基本不等式 模型2：形如y= Va>0,6>0,c>0,有4+6+≥abc,当且仅当a=6=c时， az十bx十c型的，可转 必 3 dxte 化为模型1；形如y= 修第 等号成立，即3个正数的算术平均数不小于它们的几何平 均数 年型的，可取 册 2.n个正数的基本不等式 倒数1=ax+bx十c y dxte 第 Va1,a2,…,a>0,有4+a+…+a≥7a1·a2…·a,当 再转化为模型1. 章 n 且仅当a1=a2=…=an时，等号成立，即n个正数的算术平均 数不小于它们的几何平均数， 二次函数 高频考点 ●● 利用基本不等式求 (2)x<,5-4>0. 程和不等 考点1 最值 5年21考 方法指导利用基本不等式求最值的关键： y=4z-2+ 4x-5=-(5-4x)+ 依定值去探求最值，探求的过程中常需依据 具体的问题进行合理的拆、凑、配等变换。 5-4x +3=1. 1 考向1配凑法求最值 当且仅当5-4虹=-4z即x=1时，样号成 例1(1)已知0<x<2,当x(3 立 配成使和式中两式之积为定值 2x)取得最大值时，x的值为( 故y=红一2汁5的最大值为1. A司 B c号 答案(1)D(2)1 考向2拆裂项求最值 (2)已知x<号，则y=4红-2+ 4x-5 的最大 例2函数y=士十+3(x>2)的 x-2 值为 最小值为 解析(1).0<x< 2.3-2x>0. . 解析y=x+x十3 x-2 由基本不等式，得，配成使积式中两项之和为定值 =(x-2)2+5(x-2)+9 2x+3-2x2 x—2 x(3-2x)= 2x(3-2x) 2 9 2 三x一2士，9)十5.拆成和式中两式之积为定值 当且仅当2z=3-2x,即x=3 时，等号 x>2, 成立 .x-2>0, 故当z(3-2)取得最大值时，x的值为星 22-2·2+5=1 。027● 当且仅当x一2=Z”2即x=5时，等号成 9 当且仅当-号，即x=号y=}时，等号成 x y 立.故原函数的最小值为11. 必 主，兰+号的最小值为9 答案11 考向3分组并项求最值 (2).正数x,y满足x十y=xy, 12 1+=1, 册 例3若x,y为正数，则(x十 y 第 的最小值为 x+2y=(+2w0+)=+2+32 解析x,y为正数， 2/5+3=2w2+3. 元 分组后各式可以单独应用基本不等式 (++(+=(+)+(+ 当且仅当=2义，即x会2+1，y= 2+√2 2 函 时，等号成立，∴x十2y的最小值为3十2W2. )+（+￥)≥2· 答案(1)C(2)C y +2=4 方法提炼 2y2·2 不等式 1.该类问题可归纳为以下模型： 当且仅当x-证y= 1x=义，即x y2’yx (1)已知x>0,y>0,ax十by=c,求+”的 y 时，等号成立，此时原式取得最小 最小值； y=2 (2)已知x>0,y>0,+6=c,求mx+y x y 值4. 的最小值. 答案4 其中a,b,c,m,n均为正的常数. 解后反思本题应将乘积为常数的两项作为 2.解题步骤如下： 一组，使用三次基本不等式，且三个取等条 (1)把条件中的等式变形为“1”的表达式； (2)把“1”的表达式与所求最值的式子相乘， 件同时成立，从而确定最终的常数为最值 变形为积是定值的形式； 考向4常数代换法求最值 (3)利用基本不等式求解最值. 例4(1)若x>0,y>0且x+y= 考向5消元法求最值 1,则4+1的最小值为 ( 2 ) 例5若正实数2，心满足x+营 A.7 B.8 1,则x√1十y的最大值是 C.9 D.16 用一个变量表示另外一个变量 (2)若正数x,y满足x十y=xy,则x十2y的 解析方法1：由x2+号=1可得=22 最小值为 ( ) 2 A.6 B.2+3√2 则 x √1+y =x wJ1+2-2x C.3+2√2 D.2+23 x228-2≤/×2牛87 2 解折①由题喜，知+}（生+）+) 32 x y 4 4y.工=9 5+4y+≥5+22· 当且仅当22=3-2x,即x-9时，等号成 ●028。 立，所以x√1+Y的最大值是3y2 4 41 (2)2a+1+26++2x+1>7. 方法2：x1+y=2·x /1+y2 ≤ 证明：1ab十-a+bQ(ab+) atb c 必 x2+1+ 2+c+a十b≥22Na+b a+b .a+b=4. 修第 √2. 2 3w2 2 若条件中有一个多项式的值为1，要注意“1”的代换 册 2,即x=3 1+y2 当且仅当x= y=号时， 2 当且仅当千6，即a+6=时， a+b c 第 等号成立，所以x1十y的最大值是3y2 4 等号成立，所以。十6十≥ 元 首案39 (2方法1：由基本不等式可得2十(2a十 次 利用基本不等式证明 4 数 考点2不等式 5年3考 1D≥2，√2a12a+1)=4 考向1无附加条件的不等式证明 当且仅当2a1-2a+1,即a=2时，等号成 4 程 例6已知a>0,b>0,c>0,求证： 任+g+ga+b叶e 立，所以2≥3-2a 不等 证明：.a>0,b>0,c>0, 同理可得27≥3-26,24≥3-2c 由题可知上述三式中的等号不能同时成立， 当且仅当警-号，即a=b时，等号成立 所以4(2+十>9-2a+ 同理可得，g+26,号+2a b+e)=7,所以2a++x4>7 4 a 方法2：因为a十b十c=1, 当且仅当a=c,b=c时，等号成立. 所以2a+1+2b+1+2c+1=5, 以上三式相加，得2(+号+空)≥2a十 a 所以2十2十24气=(2十 4 4 bg+号+a++ a 4 + 4 2b+1 2c+1 当且仅当a=b=c时，等号成立. (2a+1)+(2b+1)+(2c+D≥ 方法提炼对于有多个相同结构的不等式，可 以先证明其中一个结构满足的不等关系，再同 32a+1‘2%‘2x+× 4 4 理得到其他结构满足的不等关系，最后利用不 等式的同向可加性得到整体不等式成立. 32a+I2+I2c+- 5 考向2有附加条件的不等式证明 4 4 4 当且仅当2a+1=26+1=2c+1,2a+1= 例7已知a,b,c都是正数，且a+ b十c=1.求证： 2b+1=2c+1,即a=b=c=3时，等号成立. 1)1+1≥4： a+b c 又四为7， 。029● 所以2a十2+1>7 4 由题意，得 x+2y=12, 方法3：设x=2a十1，y=2b十1，之=2c十1，则 x+y+之=5， +红++ 9=12, 修第 所以十+=4++》 4 4 即 x+2y=12, x=4, (2x+y)y=48, 解得 y=4, 册 x+叶)-（3+2+号+++ 所以x的值为4，y的值为4. y 第 》≥(3+22号+2层 之.x (2)S梯形ABCD= 2y- 5,即2z+y=27x 27y 公 2/·2)-×3+6-0 2y2 当且仅当义=，名=，名=义，即x=y= 所以x+2y= xy'xz”yz 2 数 3a=b=c 3时，等号成立 当且仅当号-，年y=3时，等号成立 此时篱笆的长度的最小值为9m. 因为9>1，所以2十十24>7 4 4 与基本不等式有关的 不等式 利用基本不等式解决 考点4 恒成立问题 5年2考 考点3 实际问题 5年1考 例9当0<x<时，不等式 例8如图，某人计划用篱笆围成一 1 个一边靠墙（墙的长度没有限制）的 1-4x m≥0恒成立，求实数m的 等腰梯形菜园ABCD,BC∥AD, 最大值. BC=xm,AB=CD=ym,∠BAD 解：不等式十己一m≥0恒成立，即十 1 ∠CDA=60°. 1产m恒成立，可转化为)≥m B 0<1->0+ (1)若篱笆的长度为12m,菜园的面积为 (侵+已)(4红+1-4)=5++ 12√3m,求x,y的值； (2)若菜园的面积为27,5m2,求篱笆的长度 4x.=4z=9.当且仅当 1一4虹5十2N1-4x 4 4.x 的最小值， =1一4虹，即x= 1-4x 时，等号成立， 解：(1)如图，过点B作BE⊥AD于点E,过 ∴.m≤9，即实数m的最大值为9. 点C作CF⊥AD于点F. 方法提炼分离参数法求解与基本不等式有 关的恒成立问题 不等式成立时求参数的范围问题，在满足条 在Rt△AEB中，∠AEB=90°，∠BAE=60°， 件的情况下可以把参数分离出来，使不等式 AB=)ym,所以AE-m,BE= 2y m. 一端是含有参数的式子，另一端是一个可求 最值的式子，从而将恒成立问题转化为求最 同理，DF=ym,CF=号，m,划EF 值问题，即y≥m恒成立台ymm≥m;y≤m恒 成立台ymax≤m. x m. 。030●