2.1 等式性质与不等式性质-【一本】高中数学知识大盘点

必修第一册 第二章 一元二次函数、方程和不等式 1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质 课 2.掌握基本不等式Va≤生(，b≥0).能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题， 标 3.会结合一元二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零 要 点与方程根的关系. 点 4.能借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集 5.了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系， 思维导图 等式的基本性质一对称性、传递性、同加同减性、同乘性、同除性 对称性：a>b→b<a 传递性：a>b,b>c三a>c 可加性：a>b→a+c>b+c 不等式的基本 可乘性：a>b,c>0→ac>bc;a>b,c<0→ac<bc 性质 同向可加性：a>b,c>d→a+c>b+d 相等关系与 同向同正可乘性：a>b>0,c>d>0>ac>bd 不等关系 正数可乘方性：a>b>0→a>b(n∈N,n≥2) 重要不等式：a2+b2≥2ab(a,beR) 基本不等式 基本不等式：5≤史(@>0，b>0) 如果积y等于定值P,那么当xy时， 最值定理 和x+y有最小值2P 积定和最小， (x,y都是正数)如果和x+y等于定值S,那么当x=y时， 和定积最大 积y有最大值4S 一元二次函数、 方程和不等式 项目 △>0 △=0 △<0 y=ax'+bx+ c(a>0)的 图象 有两个不相等 有两个相等的 ax2+bx+c= 的实数根 实数根= 没有实数根 0(a>0)的根 x2(x1<x2) = 2a a.2+bx+c>0 {x|x<或 { R 二次函数与一 (a>0)的解集 x>x2} 元二次方程、 不等式的解的 a.2+bx+c<0 {x|x1<x< 0 g 对应关系 (a0)的解集 x2} 。020● 2.1等式性质与不等式性质 必备知识 ●●● ● 修第 知识点1不等式学以致用】 册 1.定义：在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的， m 学以致用 用数学符号“≠”“>”“≥”“<”“≤”连接两个数或代数式，以 第 举出几个现实生活中与 表示它们之间的不等关系.含有这些不等号的式子叫做不 章 不等式有关的例子 等式 示例：①我国人口数量 元 2.用不等式（组）表示不等关系 超过14亿.②卡车的载 将实际的不等关系表示成对应的不等式时，应注意下列文字 质量小于或等于5t 语言与符号语言之间的对应关系：[易错警示】 函数、 大于或等 小于或等 纱易错警示 大于、高于、 小于、低于、 文字语言 于、至少、 于、至多、 程 超过 少于 在用不等式表示不等关 不低于 不超过 系时，应特别注意能 不等 符号语言 > < ≥ ≤ 取等号.例如，表示“超 知识点2实数大小比较的依据 过”或“不足”时，都不能 1.实数大小比较的依据 取等号，而表示“不超 过”或“不少于”时，则包 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的 含相等的情况，应该取 位置关系来规定实数的大小关系：如图，设a,b是两个实数， 等号 它们在数轴上所对应的点分别是A,B,那么，当点A在点B 的左边时，a<b;当点A在点B的右边时，a>b. A B B A 到学以致用 a b a a<b a>b 若实数a>b,则a2-ab 2.实数大小比较的基本事实 ba-b.(填 (1)文字语言：如果a一b是正数，那么a>b;如果a一b等于 “>”或“<”) 0,那么a=b;如果a一b是负数，那么a<b.反过来也对. 答案：> (2)数学语言：a>b台→a-b>0;a=b台a-b=0;a<b台a- 珍深入解读 b<0.[学以致用】 对等式的基本性质的 知识点3等式的基本性质[深入解读] 理解 ①性质4中，条件和结 性质1（对称性）：如果a=b,那么b=a. 论不能随意互换：ac= 性质2（传递性）：如果a=b,b=c,那么a=c bca=b.因为当c=0 性质3（同加同减性）：如果a=b,那么a士c=b士c. 时，a,b为任意实数. 性质4（同乘性）：如果a=b,那么ac=bc. ②性质5中，c≠0是关 性质5（同除性）：如果a=6,c≠0，那么8-名 键条件， 。021● 知识点4不等式的基本性质【学以致用】4 学以致用 性质名称 别名 性质内容 注意 推论 必 （多选)下列说法正确的 性质1 对称性 a>b→b<a 可逆 是 ( ) 性质2 册 传递性 a>b,b>c→a>c 同向 A.若a>b,则a2>b 【易错誉示】 B.若a>b>c>0,则 第二章 a+b>c台 性质3 可加性 a>b=→a十c>b+c 可逆 a>c-b (移项法则) C.若a>b>0,c>d> 元 a>b, a>b,ab> →ac>b 次 c>0 0则> 性质4 可乘性 C 的符号 o-a<b 数 D.若a>b>0,则a2> a>b, →ac<b0 (倒数法则) abb c<0 [温譬提示】 答案：BCD a>b, 同向 a>b, 不等式 性质5 →a+c>b+d 同向 c-d 可加性 c>d ◆易错警示 a-d>b-c 应用性质2时，注意 a>b>0, 同向同正 a>b>0, a≥b,b>c→a>c, 性质6 →ac>bd 同向同正 c>d>0 可乘性 c>d>0 a>b,b≥c→a>c. →> a>b>0→ ◆温馨提示 正数可 a>b>0→a">b 性质7 同正 (n∈N,n≥2) a>万 ①ab>0,②a>b, 乘方性 (n∈N,n≥2) ③日<右知二推-， (拓展“糖水不等式” 即①②→③，①③→②， (1)设ag糖水中有bg糖(a>b>0),则糖的质量和糖水的质量 ②③→①. 比为白若再添加mg糖，则糖的质量和糖水的质量比为 四◆公式推导 m,此时糖水变甜了，提炼出不等式：m>白(a>b>0, a+m 'a+m a 作差，得+m m>0),【公式推导]称之为“糖水不等式” a-m a (2)设ag糖水中有bg糖(a>b>0),则糖的质量和糖水的质量 a(b+m)-b(a十m) a(a+m) 比为名若再添加ng水，则糖的质量和檐水的质量比为。个 "a+n' am-bmm(a-b) a(a+m)a(am) 此时糖水支谈了，提格出不等式车n<名（a>6>0>0。 (3)设淡的ag糖水中有bg糖(a>b>0),浓的cg糖水中有dg ,a>b>0,m>0, ∴.a-b>0,a+m>0, 糖(>d0),则演的糖水中糖的质量和糖水的质量比为名，浓 m(a-6) `a(a+m>0, 的糖水中糖的质量和糖水的质量比为是，混合后糖的质量和糖 6+m6 水的质量比为，混合后得到的糖水比淡的浓，比浓的淡，提 持尘不华式名a60心0. a十c a+m a ●022● 高频考点 比较两数（式）的大小 考向2作商法 考点1 考向1，作差法 例1也可以按如下方式进行证明： 修第一 例1已知a,b为正实数，试比较a十 &十b B b√a b与a十石的大小， √a+√6 第二章 (a)3+(Wb)3 解：方法1（直接作差）： √ab(a+√b) (6后) (a+√b) (Wa+√b)(a+b-√ab) =(%+( -a) √ab(Wa+√b) _a-bjb-a =a+b-√ab √⑥ √ab Ja =(a-b)(a-b) (wa-√b)2+√ab 一元二次函数、方程和不等式 ab ab =(a+b)(a-b)2 √ab =1+wa-B)2 √ab .a>0,b>0, a+√b>0,√ab>0,(a-Nb)2≥0， .a>0,b>0, :(a+b)(a-b)≥0， ∴.√a+√b>0,wab>0,(Wa-√b)2≥0， √ab &+6≥a+6. 1+ab)≥1，a+b≥a+6. ab √b'√a √b√a 方法2（平方作差）： 方法提炼比较两数（式）的大小，除了作差 管+治-号+82品 b 法之外，对于同正的两数（式），还可以采用 (√a+√b)2=a+b+2√Wab, 作商法比较大小 (8+2a+-a十bG ab (1)依据：若a>0,b>0,则号>1台a>b1 :a>0,6>0,.a+b)a-b)2≥0， ab 号=lsa=b:号<1a<b. g+6>0,Wa+b>0,.g+b≥a+6. (2)步骤：①作商；②变形；③判断商与1的 b Ja 大小关系；④下结论 方法提炼将比较两数（式）的大小，转化为 判断它们的差的正负，这种方法叫作差法. 利用不等式的性质判断 (1)依据：a-b>0台→a>b;a-b<0台→a<b; 考点2 不等关系 a-b=0→a=b. 例2（多选）下列命题为真命题的是 (2)步骤：①作差；②变形（常采用配方、因式 () 分解、有理化、通分等方法)；③判断正负号； ④下结论. A若a>b,则%>1 。023● B若吕>名，则>b .12<a<60, -24<a-645,3←号<4 C若c>a>>0,则。2。>.6 (2)设3a-2b=m(a+b)+n(a-b)=(m+ 修第 若a6>0,则号> m+n=3, n)a+(m一n)b,则{ 册 m-n=-2, 解析当a>0>b时，分<0，故A错误。 1 第 m=2 解得 章 n=2 即a>b,故B正确. .'c>a>b>0,∴.c-b>c-a>0, 3a-2h=a+6)+3a-0。 次 c-b c-a .1≤a+b≤5，-1≤a-b≤3， 数 c-6&-a>c-c-a>0, 即1>1 2s3a+68,-8a-0 和 'c-ac-6>0. -22u+0+a-0≤10， 美 c一a>c6故C正确 ".a>6>0,..ab 2≤3a-2b≤10， .'a>b>0,∴.a+ab>b+ab,b(b+1)>0, 方法提炼利用不等式的性质求取值范围， “60>6法0号>D 要先搞清楚待求范围与已知范围之间的关 正确. 系，再结合不等式的性质做有目的的变形. 第(2)题中，若设a十b=x,a-b=y,可得 答案BCD 30一2功=宁x+,效果相同，但更直观易 方法提炼运用不等式的性质判断命题真假 懂.但要注意，如果先求出a,b的范围，再求 的方法 3a一2b的范围，将得出错误的结果，原因是 运用不等式的性质判断命题的真假，其实质 a,b的范围被扩大了. 是判断是否满足性质所需要的条件，若要判 断一个命题为假命题，可以从条件入手，推 利用不等式的性质证明 出与结论不同的结论或举出一个反例予以 考点4不等关系 例4已知a>b>0,c<d<0,e<0, 否定 求证a二>6d 考点3利用不等式的性求取值范围、 证明：.a>b>0,c<d<0, 例3(1)已知12<a<60,15<b< ∴.-c>-d>0, 36,求a-b,分的取值范围； ∴.a-c>b-d>0,b-a<0,c-d<0, “a-86i-小>a-6-w b-d (2)已知1≤a十b≤5，-1≤a-b≤3，求3a 2b的取值范围， 解：(1).15<b<36, -36<-K-15,0名品 e06-da-c即ee e a-cb-d 。024●