1.5 全称量词与存在量词-【一本】高中数学知识大盘点

2-a<2+a, 方法提炼利用充分条件和必要条件求参数 当B≠⑦时，则2-a≥一1，（等号不能同时 的取值范围，主要是根据集合间的包含关系 2+a≤3 与充分条件和必要条件的关系，将问题转化 取到)，解得0<a≤1. 修第 为集合之间的关系，建立关于参数的不等式 综上，实数a的取值范围是a≤1，即{aa≤1. 册 (组)求解. 第一章 1.5 全称量词与存在量词 必备知识 知识点1全称量词与全称量词命题 集合与常用逻辑用语 今温馨提示 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全 巧记“全真为真，一假为 定义 称量词，并用符号“H”表示.含有全称量词的命 假”，判断为真，需证明； 题，叫做全称量词命题 判断为假，举反例。 ® 全称量词命题就是形如“对M中任意一个x 形式 学以致用 p(x)成立”的命题，用符号简记为Hx∈M,(x) “所有偶数都不是素数” 是 命题.（填“真” ①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元 全称量词命题的 或“假”) 素x,证明p(x)成立；②要证明它是假命题，只 真假判断 答案：假 要在集合M中找到一个元素x,使(x)不成立 [温馨提示」 ◆温馨提示 即可（通常举反例）[学以致用1 巧记“一真为真，全假为 假”，判断为真，找特例； 知识点2存在量词与存在量词命题 判断为假，需证明。 m 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫 学以致用 定义 做存在量词，并用符号“了”表示.含有存在量词 已知命题p:3x∈R, 的命题，叫做存在量词命题 使得x6+xo十1<0，那 么此命题是 命 存在量词命题就是形如“存在M中的元素x, 题.（填“真”或“假”） 形式 p(x)成立”的命题，用符号简记为门x∈M,(x) 答案：假 ◆温馨提示 ①要证明它是真命题，只需在集合M中找到一 ①一个命题和它的否定 存在量词命题的 个元素x,使p(x)成立即可（通常举正例）；②要 不能同时为真命题，也 真假判断 证明它是假命题，需对集合M中每一个元素x, 不能同时为假命题，只 【温馨提示」 证明p(x)不成立[学以致用】 能一真一假， 。017● 知识点3全称量词命题和存在量词命题的否定一重点 ②判断命题的否定真假 时，可以写出其命题的 1.命题的否定：一般地，对一个命题进行否定，就可以得到一个 否定直接进行判断，也 新的命题，这一新命题称为原命题的否定.命题p的否定可用 修第 可以先判断原命题真 “p”来表示。 假，进而得出其否定的 册 命题的否定与原命题的真假性相反，若p为真，则一p为假； 真假。 国 若力为假，则一为真.【温馨提示】[学以致用」 第 学以致用 2.常见词语的否定词语 草 命题“Vx∈R,x2>0” 原词语 等于 大于(>) 小于(<) 是 都是 至多有一个 集 的否定是 命题 否定 不等于 不大于（≤） 不小于（≥） 不是 不都是至少有两个 (填“真”或“假”) 常 答案：真 原词语至少有一个 至多有n个 任意的任意两个 所有的 能 ◆温馨提示 否定一个也没有至少有(n十1)个 某个 存在两个 某些 不能 辑 全称量词命题的否定是 雷 3.全称量词命题与存在量词命题的否定【温馨提示】 存在量词命题，存在量 词命题的否定是全称量 命题的否定的 命题的否 命题类型 命题的符号表示 词命题. 符号表示 定的类型 思 学以致用 一p: 存在量词 全称量词命题 p:Vx∈M,p(x) 命题“Hx>0,x>√” ]x∈M,p(x) 命题 的否定是 ( 一卫： 全称量词 A.Hx>0,x≤√z 存在量词命题 p:3x∈M,p(x) Vx∈M,(x) 命题 B.]x>0,x≤√ (点拨改换量词，否定结论.【学以致用】当命题中的某些全称量 C.Hx≤0，x>√E D.]x>0,x>√元 词隐藏时，可以先补充出来然后再改写.如命题“能被3整除的 答案：B 数，也能被4整除”，即“所有能被3整除的数，也能被4整除”.故 该命题的否定为“存在一个能被3整除的数，不能被4整除” 盘 高频考点 全称量词命题与存在量词命 解：(1)命题中有存在量词“至少有一个”，所 考点1 题及其真假的判断 以它是存在量词命题.因为整数99既能被 例1判断下列命题是全称量词命题 11整除，又能被9整除，所以它是真命题， 还是存在量词命题，并判断其真假. (2)命题中有“Vx∈R”,所以它是全称量词 (1)至少有一个整数，既能被11整 命题.由于x2-4x十6=(x-2)2+2≥2>0， 除，又能被9整除； 所以它是真命题 (2)Vx∈R,x2-4x+6>0; (3)命题中有“门x∈N”,所以它是存在量词 (3)3x∈N,x2≤x; 命题.当x=0∈N时，命题成立，所以它是真 (4)]x∈N,使x为29的约数； 命题 (5)Vx∈N,x2>0. (4)命题中有“]x∈N*”,所以它是存在量词 。018● 命题.因为1∈N*,且1是29的约数，所以它 所以x0∈{x|-1≤x≤1}时，a>(x6一 是真命题 3xo)min. (5)命题中有“Hx∈N”,所以它是全称量词 因为y=2-3x=(x-)》-是， 必 命题.因为0∈N,但x=0时，x2>0不成立， 所以当一1≤x≤1时，ym=-2,即当x=1 修第 所以它是假命题. 时，y取得最小值， 册 方法提炼判断全称量词命题是真命题，必 所以当x0∈{x|-1≤x≤1}时，a>(x一 须通过推理论证，证明对集合M中每一个 3.xo)min--2, 第 即实数a的取值范围是{aa>-2. 章 元素都成立；若是假命题，举反例即可. 判断存在量词命题是真命题，只需在集合M 答案C 集 中，找到一个元素使得命题成立即可；若是 例4已知：3x∈{x|-1<x< 合与 3},x2一a一2≤0.若p为假命题， 假命题，必须通过推理论证. 则a的取值范围为 () 考点2含有一个量词的命题的否定、 A.{aa<-2} B.{aa<-1} 用逻辑用语 例2命题“Hx>2,x2-3>0”的否 C.{aa<7} D.{aa<0} 定是 ( ) 解析方法1：因为p为假命题，所以一： A.]x≤2，x2-3≤0 Hx∈{x|-1<x<3},x2-a-2>0为真 B.Hx>2,x2-3≤0 命题， 故当一1<x<3时，a<x2-2恒成立， C.3x>2,x2-3≤0 D.Vx≤2，x2-3≤0 因为当一1<x<3时，y=x2一2的最小值为 -2, 解析由题意可得，“Hx>2,x2一3>0”的否 所以a<一2，即a的取值范围为{aa<-2. 定是]x>2,x2-3≤0. 方法2：当-1<x<3时，0≤x2<9, 答案C 所以-2≤x2-2<7,-2-a≤x2-a-2< 方法提炼在书写全称量词命题与存在量词 7-a. 命题的否定时，首先抓住决定命题性质的量 根据题意，得一2一a>0,解得a<-2,即a 词，从量词的否定入手，然后否定结论即可， 的取值范围为{aa<-2). 不能对量词后的条件进行否定 答案A 已知量词命题的真假求 方法提炼命题转化中的常见结论 考点3参数 (1)3x∈R,y=0等价于方程y=0有实 例3已知命题“]xo∈{x|一1≤ 数根； x≤1}，-x6+3x0十a>0”为真命 (2)Hx∈R,y>0,就是不等式y>0恒成 题，则实数a的取值范围是() 立，等价于ymm>0; A.{aa<-2} B.{aa<4} (3)3x∈R,y>0,就是不等式y>0有解， C.{aa>-2} D.{aa>4} 等价于ymax>0; 解析因为命题“]x∈{x|一1≤x≤1}， (4)Hx∈R,y<0,就是不等式y<0恒成 一x6十3x0十a>0”为真命题， 立，等价于ymx<0; (5)3x∈R,y<0,就是不等式y<0有解， 所以命题“]x∈{x|-1≤x≤1}，a>x 等价于ymm<O. 3x”为真命题， 。019●