1.4 充分条件与必要条件-【一本】高中数学知识大盘点

1.4 充分条件与必要条件⑤年2考 必备知识 修第 知识点31 充分条件与必要条件◆一重点 册 第 学以致用 般地，“若p,则g”为真命题，是指由p通过推理可以得出q. 这时，我们就说，由p可以推出q,记作p→q,并且说，p是q的 章 (天津卷)“x为整数”是 “2x十1为整数”的 充分条件，q是p的必要条件 集合与常 ( ) 如果“若p,则q”为假命题，那么由条件p不能推出结论q,记作 A.充分不必要条件 p羚g.此时，我们就说力不是q的充分条件，q不是p的必要 B.必要不充分条件 条件.【学以致用】【温馨提示」 辑 C.充分必要条件 (点拨五种等价表述形式：①p→q;②p是q的充分条件；③q的 D.既不充分也不必要 充分条件是力；④q是p的必要条件；⑤力的必要条件是q. 条件 巧记：箭头指向谁，谁是必要条件 答案：A 知识点2充要条件一重点 ◆温馨提示 ①数学中的每一条判定 如果“若p,则g”和它的逆命题“若q,则p”均是真命题，即既有 定理都给出了相应数学 p→q,又有q→p,就记作q.此时，p既是q的充分条件，也是g 结论成立的一个充分 的必要条件，我们说p是q的充分必要条件，简称为充要条件 条件； 显然，如果p是q的充要条件，那么q也是p的充要条件.概括 ②数学中的每一条性质 地说，如果q,那么力与q互为充要条件.【学以鬟用】 定理都给出了相应数学 典例判断下列各题中，饣是q的什么条件 结论成立的一个必要 (1)p:两个三角形相似，9：两个三角形三边成比例； 条件 (2)p:a>b,q:ac>bc; 色学类用 (3)p:x2=3x十4,9：x=√3x+4; (4)在△ABC中，∠A,∠B,∠C所对的边分别为a,b,c,p:a= (北京卷)若xy≠0，则 b+c2,q:△ABC是直角三角形 “x十y=0”是“z+义= 解：(1)因为“若p,则q”是相似三角形的一条性质定理，“若9， 一2”的 则p”是相似三角形的一条判定定理，它们均为真命题，即台q, A.充分不必要条件 所以力是q的充要条件. B.必要不充分条件 (2)因为pq,且q中，所以力是q的既不充分也不必要条件. C.充分必要条件 (3)p:x2=3x十4，即x=-1或x=4;q:x=√3x十4，即x=4. D.既不充分也不必要 因为q,q沙，所以力是9的必要不充分条件. 条件 (4)在△ABC中，因为a2=b2+c2→∠A=90°→△ABC是直角 答案：C 三角形，但△ABC是直角三角形a2=b2十c2,所以p是q的充 分不必要条件。 。014● 高频考点 充分条件、必要条件、充要 方法提炼 考点1 条件的判断 5年12考 修第 1.定义法 例1（天津卷）“a2=b2”是“a2十b2 条件p与结论q的关系 结论 册 2ab”的 p是q的充分不必 第 A.充分不必要条件 →q,且qPp 要条件；q是p的 章 必要不充分条件 B.必要不充分条件 p是q的必要不充 C.充分必要条件 q→p,且p净q 分条件；q是p的 D.既不充分也不必要条件 充分不必要条件 解析取a=1,b=一1，则a2=b2成立，而 p→q,且g今p, p与9互为充要 集合与常用逻辑用语 即台q 条件 a2十b=2ab不成立，所以充分性不成立。 若a2+b2=2ab,即(a-b)2=0,所以a=b,能 p是q的既不充分 也不必要条件； 推出“a2=b2”,必要性成立. pq,且q中p q是p的既不充分 综上，“a2=b”是“a2+b=2ab”的必要不充 也不必要条件 分条件 2.集合法 将命题p研究的范围看成集合A,命题q研 答案B 究的范围看成集合B. 例2设集合M={xx一1<0}，N= 集合关系 集合图示 结论 {xx>0},P={xx+10},则“x∈ p是q的充分 M,且x∈N”是“x∈P”的() A车B 不必要条件 A.充要条件 B.充分不必要条件 p是q的必要 B车A C.必要不充分条件 4 不充分条件 D.既不充分也不必要条件 A(B) p是q的充要 解析设A=M∩N={x0<x<1}, A=B 条件 所以“x∈M,且x∈N”等价于“x∈A” 又P={x|x+1>0}={xx>-1}, p是q的既不 A车B,且 充分也不必 所以A手P,所以“x∈A”是“x∈P”的充分不 B车A A B 要条件 必要条件，即“x∈M,且x∈N”是“x∈P”的 3.传递法 充分不必要条件 (1)若→q,9→5，则有→s; (2)若s→q,q→p,则有→p; 答案B 。015● (3)若p台q,q台s,则有台s. 应用充分、必要、充要条件 4.特殊值法 考点3 求参数的取值范围 必 可以取一些特殊值或特殊情况来说明由条 例4如果不等式|x一a<1成立 件（结论）不能推出结论（条件）. 的充分不必要条件是<x<号，则 册 考点2充要条件的证明 实数a的取值范围是 第 例3求证：一元二次方程a.x2十 A.d a 章 bx十c=0有一个正根和一个负根 的充要条件是ac<0. 晕 证明：充分性：若“ac<0”成立， 则一元二次方程ax2十bx十c=0的判别式 cao>号或a号 辑用语 △=b2一4ac>0,方程有两个不等的根 由根与系数的关系，得西一日<0， D.{aa≥或a≤2 即方程两个根的符号相反， 解析根据题意，不等式|x一a<1的解集是 即一元二次方程a.x2+bx十c=0有一个正根 a-1<x<a十1.设p:a-1<x<a+1,q: 和一个负根 2<x<2,则力的充分不必要条件是g,即g 3 必要性：若“一元二次方程ax2十bx十c=0有 一个正根和一个负根”成立， 表示的集合是力表示的集合的真子集， 由根与系数的关系，得x1x2= <0, a a-1< 所以ac<0成立， 则有 (等号不同时成立)， 综上，“一元二次方程a.x2+bx十c=0有一个 a+1≥ 正根和一个负根”的充要条件是“ac<0” 方法提炼 1.p是q的充要条件 则实数a的取值范围是 (1)充分性：把p当作已知条件，结合命题的 答案B 前提条件，推出q; (2)必要性：把q当作已知条件，结合命题的 例5设集合A={x|一1<x<3}, 前提条件，推出p 集合B={x|2-a<x<2十a},p: 2.p的充要条件是q (1)充分性：把q当作已知条件，结合命题的 x∈A,q:x∈B.若p是q的必要不充分条 前提条件，推出； 件，求实数a的取值范围. (2)必要性：把p当作已知条件，结合命题的 解：因为p是q的必要不充分条件，所以B手A 前提条件，推出q 当B=时，2-a≥2十a,得a≤0； 。016● 2-a<2+a, 方法提炼利用充分条件和必要条件求参数 当B≠⑦时，则2-a≥一1，（等号不能同时 的取值范围，主要是根据集合间的包含关系 2+a≤3 与充分条件和必要条件的关系，将问题转化 取到)，解得0<a≤1. 修第 为集合之间的关系，建立关于参数的不等式 综上，实数a的取值范围是a≤1，即{aa≤1. 册 (组)求解. 第一章 1.5 全称量词与存在量词 必备知识 知识点1全称量词与全称量词命题 集合与常用逻辑用语 今温馨提示 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全 巧记“全真为真，一假为 定义 称量词，并用符号“H”表示.含有全称量词的命 假”，判断为真，需证明； 题，叫做全称量词命题 判断为假，举反例。 ® 全称量词命题就是形如“对M中任意一个x 形式 学以致用 p(x)成立”的命题，用符号简记为Hx∈M,(x) “所有偶数都不是素数” 是 命题.（填“真” ①要证明它是真命题，需对集合M中每一个元 全称量词命题的 或“假”) 素x,证明p(x)成立；②要证明它是假命题，只 真假判断 答案：假 要在集合M中找到一个元素x,使(x)不成立 [温馨提示」 ◆温馨提示 即可（通常举反例）[学以致用1 巧记“一真为真，全假为 假”，判断为真，找特例； 知识点2存在量词与存在量词命题 判断为假，需证明。 m 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫 学以致用 定义 做存在量词，并用符号“了”表示.含有存在量词 已知命题p:3x∈R, 的命题，叫做存在量词命题 使得x6+xo十1<0，那 么此命题是 命 存在量词命题就是形如“存在M中的元素x, 题.（填“真”或“假”） 形式 p(x)成立”的命题，用符号简记为门x∈M,(x) 答案：假 ◆温馨提示 ①要证明它是真命题，只需在集合M中找到一 ①一个命题和它的否定 存在量词命题的 个元素x,使p(x)成立即可（通常举正例）；②要 不能同时为真命题，也 真假判断 证明它是假命题，需对集合M中每一个元素x, 不能同时为假命题，只 【温馨提示」 证明p(x)不成立[学以致用】 能一真一假， 。017●