1.3 集合的基本运算-【一本】高中数学知识大盘点

例4已知集合A={x|-1≤x≤ 6},B={x|a-1<x<2a+3}.若 B二A,求实数a的取值范围. 方法提炼 解：当B=Q时，a-1≥2a+3,解得a≤-4， 1.若集合是有限集，则根据集合间的关系， 修第 符合题意；当B≠⑦时，因为B二A,如图， 列方程（组）求解，求得结果后还需利用集合 B可能是空集： 册 A 中元素的互异性进行检验. 要分类讨论 2a+36x 2.若集合是用不等式描述的，则可将各个集 第 a-1≥-1， 合在数轴上表示出来，“数形结合”进行分 所以a-1<2a+3,解得0Ca≤多 析.另外要注意验证端点值是否符合题意. 2a+3≤6， 3.若题目中涉及B二A,且集合B中含有参数， 综上，实数a的取值范围是{aa≤一4或 应注意讨论B=O和B≠☑这两种情况. 1.3 集合的基本运算5年5考 集合与常用逻辑用语 品 必备知识 知识点甚1并集◆重点 1,定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成 学以致用 的集合，称为集合A与B的并集，记作AUB(读作“A并 (北京卷)已知集合A= B”).【学以致用1 {x|-1<x<1},B= 2.符号表示：AUB={x|x∈A,或x∈B {x|0≤x≤2}，则AUB 3.图形表示：用Venn图表示AUB的几种不同情形如下（图中 ( 阴影部分表示集合A与B的并集).（温馨提示1 A.{x|-1<x<2} (B B B.{x-1<x≤2}》 C.{x|0≤x<1} AB BSA A=B 集合A与B有公共 集合A与B D.{xl0≤x≤2} AUB=BAUB=AAUB=A(B)元素，但互不包含无公共元素 答案：B 4.并集的性质 性质 含义 任何集合与其本身的并集等于这个 AUA=A 集合本身 珍温馨提示 ①根据集合中元素的互 任何集合与空集的并集等于这个集 AUO=A 异性，求并集时，我们应 合本身 把重复的元素看作一个 AUB-BUA 满足交换律 元素 (AUB)UC=AU(BUC) 满足结合律 。009● 续表 ②“x∈A,或x∈B”这 性质 含义 必 条件包括下列三种情 任何集合与它子集的并集都是它 ACB台AUB=B 况：x∈A,但x庄B; 本身 x∈B,但x庄A;x∈A, 任何集合都是该集合与另一集合并 册 A≤(AUB),BC(AUB) 且x∈B.用Venn图表 集的子集 第 示如图所示 草 AOB AOB 知识点2交集一重点 x∈A, x∈B, 1.定义：一般地，由所有属于集合A且属于集合B的元素组成 但x庄B 但x庄A 合与常 的集合，称为集合A与B的交集，记作A∩B(读作“A交 OB B”).【学以致用】 x∈A,且x∈B 2.符号表示：A∩B={xx∈A,且x∈B} 国 辑 学以致用 3.图形表示：用Venn图表示A∩B的几种不同情形如下（图中 雷 阴影部分表示集合A与B的交集).[温馨提示] 集合M={2,4,6,8, 10},N={x|-1<x< B 4(B) 6},则M∩N= 若AB.则AnB=A若BA,则AnB=B若A=B,则AnB=A(B) 答案：{2,4} ◆温馨提示 ①当集合A和集合B没 有公共元素时，不能说 集合A与B有公共元素， 集合A与B无公共元素， 但互不包含 A∩B=O 集合A和集合B没有交 4.交集的性质 集，而是说集合A和集 性质 含义 合B的交集是空集。 任何集合与其本身的交集等于这个 ②在计算集合的交集 A∩A=A 集合本身 时，一定要将相同的元 A∩☑=☑ 任何集合与空集的交集等于空集 素全部表示出来」 A∩B=B∩A 满足交换律 (A∩B)∩C=A∩(B∩C) 满足结合律 ◆温馨提示 补集是相对于全集而言 任何集合与它子集的交集都等于这 ACB台A∩B=A 的，它与全集不可分割. 个集合的子集 一方面，若没有定义全 两个集合的交集是其中任一集合的 (A∩B)≤A,(A∩B)三B 子集 集，则不存在补集的说 法；另一方面，补集的元 知识点3全集与补集重 素不会超出全集的范围. 1.全集的定义：一般地，如果一个集合含有所研究问题中涉及的 所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作U. 2.补集的定义：对于一个集合A,由全集U中不属于集合A的 所有元素组成的集合称为集合A相对于全集U的补集，简称 为集合A的补集.【温馨提示] 。010● 3.符号表示：CA={x|x∈U,且x￠A},其中CuA表示集合A 相对于全集U的补集，【深入解读】 珍深入解读 4.图形表示：图中阴影部分表示集合A相对于全集U的补集， ①补集既是集合之间的 一种关系，同时也是集 修第 合之间的一种运算.求 集合A的补集的前提 册 5.补集的性质 是集合A为全集U的 第 子集，随着所选全集的 性质 含义 章 不同，得到的补集也是 AU(CUA)-U 一个集合与其补集的并集是全集 不同的. 集合与 A∩(CuA)=☑ 一个集合与其补集的交集是空集 ②符号CuA有三层 含义： Cu(CvA)=A 一个集合的补集的补集是其本身 a.A是U的子集，即 用逻辑用语 CU-O 全集的补集是空集 ACU; Cu☑=U b.CuA表示一个集合， 空集的补集是全集 且CUACU; 在同一全集中，任何集合的补集是其 ACB台CuA2CuB c.CuA是U中不属于 子集的补集的子集 A的所有元素组成的 在同一全集中，相等集合的补集也 A=B台CuA=CuB 集合 相等 ③若x∈U,则x∈A或 x∈CA,二者必居其一. 知识点4德·摩根定律 1.Cu(A∩B)=(CuA)U(CB).【学以致用J m 利用Venn图表示如下： 到学以致用 (多选)已知集合A中含 A○B ACB OB 有6个元素，全集U= A∩B CuB AUB中共有12个元 素，(CuA)U(CuB)中 A○B AC○B 有m个元素，已知m≥ C (AnB) (CA)U(CB) 8,则集合B中元素个数 2.Cv(AUB)=(CUA)(CUB). 可为 () 利用Venn图表示如下： A.2 B.6 U C.8 D.12 A○B A○B OB AUB CB CA○B A○B 答案：BC C(AUB) (CA)n(CB） 。011● 高频考点 修第 考点1集合运算的方法 5年43考、 例3已知非空集合M,N是全集U 例1（全国乙卷）设全集U={0,1, 的子集，M三CN,则(CuM)∩ N= () 册 2,4,6,8},集合M={0,4,6},N= A.CuM B.CuN C.M D.N 第 {0,1,6},则U CoN= () 解析由题意作Venn图如下， 章 A.{0,2,4,6,8} B.{0,1,4,6,8} C.{1,2,4,6,8} D.U M 集 解析由于CuN={2,4,8}, 常 所以U CoN={0,2,4,6,8. 故(CuM)∩N=N. 答案A 辑 答案D 雷 例2（全国Ⅲ卷）已知集合A= {(x,y)|x,y∈N*,y≥x},B= 方法提炼 1.元素有限时，可以一一列举出来，进行 {(x,y)|x十y=8},则A∩B中元 运算. 素的个数为 ( 2.抽象集合或离散型数集的运算，可借助 A.2 B.3 C.4 D.6 Venn图求解. 3.若集合由不等式或连续的实数组成，可利 解析：集合A={(x,y)x,y∈N*,y≥x}, 用数轴进行判断。 B={(x,y)|x十y=8}, y≥x, 考点2集合运算中的求参问题5军考、 ∴A∩B=(x,y) x十y=8, ,y∈N* 例4已知集合A={x,x2},集合 B={xx≤3}.若A∩B={2},则 {(1,7),(2,6),(3,5),(4,4)} A∩B中元素的个数为4. 解析集合A={x,x2},集合B={xx≤ 答案C 3},A∩B={2},∴.x=2或x2=2. 。高考真题看教材 当x=2时，则x2=4,满足A∩B={2}: (人教A版)必修第一册P35复习参考题 当x2=2时，则x=士√2，不满足A∩B= 1T8已知集合A={(x,y)|2x-y=0}, {2},∴.x=2 B={(x,y)|3x+y=0},C={(x,y)|2x 答案2 y=3},求A∩B,A∩C,并解释它们的几 例5已知集合A={1,2,√a},B= 何意义. (解读高考题和教材复习参考题给出的集 1,若AUB=A,则a的值 为 合均是点集，并求两集合的交集.高考题将 解析由AUB=A,得B二A, 求集合交集中元素的个数转化为求方程的 正整数解.教材复习参考题将求集合的交 所以日-2或。=a,解得a=2或a=l. a 集转化为求方程组的解，均考查了转化与 1 因为a≠1，所以a=2: 化归的思想，难度都不大 答案 。012● 赛的有7人，参加两项比赛的有3十3十4= 方法提炼 1.若集合中的元素能被一一列举，则可根据 10(人). 集合间的关系列出方程（组）求解；若集合与 答案ACD 不等式有关，则可利用数轴求解，注意对特 殊情况空集的讨论，并检验集合中元素的互 方法提炼集合运算在实际问题中的应用主 修第 异性。 要是涉及集合中元素个数的问题，常用解题 册 2.由集合运算求参数时，可将已知条件转化 方法为用Venn图进行分析，其一般步骤 为两个集合间的关系，如AUB=B台A二B, 第 A∩B=A台ACB. 如下： 章 (1)将属性相同的对象用集合表示； 集合运算在实际问题中的 应用 5年2考、 (2)用Venn图表示集合间的关系； 考点3 (3)借助Venn图列式求解. 例6（多选)某校高一年级组织趣 味运动会（有跳远、球类、跑步三项 考点4补集思想的应用 集合与常用逻辑用语 比赛)，某班一共有28人参加比赛， 例7已知集合A={x|0≤x≤2}， 其中有16人参加跳远比赛，有8人参加球类 B={x|a≤x≤3-2a}.若A∩B≠ 比赛，有14人参加跑步比赛，同时参加跳远 B,求实数a的取值范围. 比赛和球类比赛的有3人，同时参加球类比 解：若A∩B=B,则B二A 当B=⑦时，3-2a<a,解得a>1; 赛和跑步比赛的有3人，没有人同时参加三 当B≠⑦时，有a≤1， 项比赛，则下列说法正确的是 ( [a≥0， A.同时参加跳远比赛和跑步比赛的有4人 要使B二A,则 3-2a≤2， B.仅参加跳远比赛的有8人 C.仅参加跑步比赛的有7人 解得2 <a≤1. D.参加两项比赛的有10人 综上，实数a的取值范围是a>≥ 解析设参加跳远比赛的学生组成集合A,参 当A∩B≠B时，实数a的取值范围是 加球类比赛的学生组成集合B,参加跑步比 a≥号}的补，即aa<号}， 赛的学生组成集合C,同时参加跳远比赛和 跑步比赛的有x人.如图所示 所以实数a的取值范周是{aa<} A B 6-3-x 8-3-3 方法提炼对于一些难以从正面入手的问 题，解题时可以从问题的反面入手，将问题 14-x-3 C 解决，这种“正难则反”的解题策略运用的就 则(16-3-x)+3+(8-3-3)+x+3+ 是补集思想，具体步骤如下： (14一x-3)=28,解得x=4. (1)思反：否定相关条件，考虑问题的反面； 所以同时参加跳远比赛和跑步比赛的有4 (2)求解：求解问题的反面对应的参数范围； (3)补集：上述参数范围的补集即为答案， 人，仅参加跳远比赛的有9人，仅参加跑步比 。013●