1.2 集合间的基本关系-【一本】高中数学知识大盘点

考点3已知集合相等求参数 方法提炼已知集合相等求参数时，分类讨 例6.（福建卷）已知集合{a,b,c}= 论确定两个集合中相等的元素，列出等式求 {0,1,2},且下列三个说法：①a≠2； 出参数值，最后注意检验是否满足集合中元 修第 ②b=2;③c≠0有且只有一个正 素的互异性。 确，则100a+10b+c等于 册 解析由{a,b,c}={0,1,2},得 ⑧高考真题看教材 第 a,b,c的取值有以下情况： (人教A版)必修第一册P9习题1.2T5 章 若只有①正确，则a≠2，b≠2，c=0,所以a=b (1)设a,b∈R,P={1,a},Q={-1, 集 1,与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意. 一b},若P=Q,求a一b的值 与 若只有②正确，则a=2,b=2,c=0,与集合 (解读高考题与教材习题都是考查集合相 中元素的互异性矛盾，故不符合题意。 等和集合的含义，其中，抓住集合中元素的 若只有③正确，则a=2,b≠2，c≠0，所以a= 确定性、无序性、互异性，以及分类讨论的 用语 2,b=0,c=1,符合题意， 思想方法是求解这类问题的关键，高考题 综上，a=2,b=0,c=1,所以100a+106十c=201 难度略高于教材习题， 答案201 1.2 集合间的基本关系⑤年考 必备知识 知识点1Venn图 ® 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图 学以致用 用Venn图表示代数 称为Venn图.[学以致用] 式、整式、分式、单项式、 (I)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形， 多项式之间的关系 也可以是其他封闭曲线 提示：A={xx是代数 (2)用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系， 式}，B={xx是整式}， C={x|x是分式， 缺点是集合元素的公共特征不明显 D={xx是单项式}， 知识点2子集[深入解漆】←一重点 E={x|x是多项式)， 则有： 一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都 定义 是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作AC B(或B已A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) E A 图示 4(B) 珍深入解读 ①“集合A是集合B的 子集”可以表述为若 ①反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A二A; 性质 x∈A,则x∈B. ②传递性：对于集合A,B,C,若ACB,BCC,则ACC 。006● 知识点3集合相等 般地，如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同 ②“集合A不是集合B 的子集”可以表述为 时集合B的任何一个元素都是集合A的元素，那么集合A 必 定义 A生B.若要说明A车B, 与集合B相等，记作A=B.也就是说，若A二B,且B二A,则 只需在A中找到一个 修第 A=B【温馨提示1 元素a,满足a任B 册 即可. 图示 A(B) ③若A二B,则集合A 章 中的元素个数一定小于 性质 ①满足A二B,且B二A;②两个集合中的元素完全一样 或等于集合B中的元素 个数. 知识点4 真子集 重点 集合与 身温馨提示 证明集合A=B的方法 用逻辑 如果集合A二B,但存在元素x∈B,且x庄A,就称集合A是 ①证明两集合中的元素 定义 集合B的真子集，记作A军B(或B早A),读作“A真包含于 完全一样； B”(或“B真包含A”)【温馨提示J ②证明A二B与B二A 同时成立 ◆温馨提示 图示 ①A三B包含两种情 况：A=B和A军B. ①对于集合A,B,若A二B,且A≠B,则A军B; ②包含、真包含关系（二 性质 ②传递性：对于集合A,B,C,如果AB,且B军C,那么 与军)是集合与集合间 A手C 的关系，属于关系（∈） 是元素与集合间的 关系 初高衔接 ③真子集的定义同时也 初中必备 高中深化 给出了证明集合A是 集合B的真子集的方 数的大小关系，如 集合的相等、包含关系，如 知识点 法：先证明A二B,再证 a-b,a>b,a<b A=B,A≤B,A车B 明集合B中至少存在一 从研究明确、具体的实数间的大小关系到研究抽 个元素不在集合A中. 国 思维升级 象的集合间的相等、包含关系，培养学生的抽象 学以致用 思维 请问0，{0}，⑦，{⑦}的 区别是什么？ 提示：0是一个数字，不 知识点35空集◆重点 A是任意集合，包括空集， 是集合；{0}是含一个元 1.定义：一般地，我们把不含任何元素的集合叫做空集记为⑦[学以数用1 素0的集合；⑦是不含任 2.规定：空集是任何集合的子集，即二A. 何元素的集合；{⑦}是 空集是任何非空集合的真子集，即⑦A(A≠⑦) 指以⑦为元素的集合. 。007● 高频考点 判断集合的子集（真子集）的 修第 y∈A. 考点1 个数 解：(1)将两个集合在数轴上表示出来，如图 册 例1（北京卷）集合M={1,2,3,4, 所示，显然有B军A 5}的子集个数是 ( 第 B A.32 B.31 -3-2-1012345x 章 C.16 D.15 (2)当n∈N*时，由x=2n-1,知x=1,3,5, 集 7,9,… 解析，含有n个元素的集合的子集共有2” 个，.集合M={1,2,3,4,5}的子集个数是 由x=2n十1，知x=3,5,7,9,… 常 25=32. 故A={1,3,5,7,9,…},B={3,5,7,9,…}, 辑 答案A 所以B军A. 雷 (3)依题意，得A={-1,0,1,2},B={0,1, 方法提炼当有限集A中有n个元素时， 2},所以B军A. (1)A的子集有2”个； (2)A的真子集有(2m-1)个； 方法提炼集合间关系的判断方法 (3)A的非空子集有(2一1)个； (1)列举观察法：当集合中元素较少时，可列 出集合中的全部元素，通过定义得出集合之 (4)A的非空真子集有(2”-2)个. 间的关系。 。高考真题看教材 (2)集合元素特征法：先确定集合的代表元 (人教A版)必修第一册P8例1写出集合 素是什么，弄清集合元素的特征，再利用集 {a,b}的所有子集，并指出哪些是它的真子集 合元素的特征判断关系. (解读高考题和教材例题都是考查集合的 (3)数形结合法：利用Venn图、数轴等图示形 子集，高考题是考查子集个数，例题是一 象直观地判断集合间的关系.一般地，判断不 写出子集.在高考中，考查内容主要涉及集 等式解集之间的关系，适合画数轴解决 合间基本关系的判定及确定给定集合的子 由集合间的关系求参数的 集或真子集个数，主要以选择题、填空题形 考点3 值或范围 5年1考 式为主，难度较小 例3（新高考Ⅱ卷）设集合A={0, -a},B={1,a-2,2a-2},若A三 考点2 判断集合间的关系 B,则a= ( 例2：写出下列每组中集合之间的 A.2 B.1 c号 D.-1 关系： 解析依题意，得a-2=0或2a一2=0. (1)A={x|-3≤x<5},B={x 当a一2=0时，解得a=2,此时A={0, -1<x<2}; 一2}，B={1,0,2},不符合题意； (2)A={x|x=2n-1,n∈N*},B={xx= 当2a一2=0时，解得a=1,此时A={0, 2n+1,n∈N*}； 一1}，B={1,一1,0}，符合题意。 (3)A={x∈Z-1≤x<3},B={x|x=|y|, 答案B 。008● 例4已知集合A={x|-1≤x≤ 6},B={x|a-1<x<2a+3}.若 B二A,求实数a的取值范围. 方法提炼 解：当B=Q时，a-1≥2a+3,解得a≤-4， 1.若集合是有限集，则根据集合间的关系， 修第 符合题意；当B≠⑦时，因为B二A,如图， 列方程（组）求解，求得结果后还需利用集合 B可能是空集： 册 A 中元素的互异性进行检验. 要分类讨论 2a+36x 2.若集合是用不等式描述的，则可将各个集 第 a-1≥-1， 合在数轴上表示出来，“数形结合”进行分 所以a-1<2a+3,解得0Ca≤多 析.另外要注意验证端点值是否符合题意. 2a+3≤6， 3.若题目中涉及B二A,且集合B中含有参数， 综上，实数a的取值范围是{aa≤一4或 应注意讨论B=O和B≠☑这两种情况. 1.3 集合的基本运算5年5考 集合与常用逻辑用语 品 必备知识 知识点甚1并集◆重点 1,定义：一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素组成 学以致用 的集合，称为集合A与B的并集，记作AUB(读作“A并 (北京卷)已知集合A= B”).【学以致用1 {x|-1<x<1},B= 2.符号表示：AUB={x|x∈A,或x∈B {x|0≤x≤2}，则AUB 3.图形表示：用Venn图表示AUB的几种不同情形如下（图中 ( 阴影部分表示集合A与B的并集).（温馨提示1 A.{x|-1<x<2} (B B B.{x-1<x≤2}》 C.{x|0≤x<1} AB BSA A=B 集合A与B有公共 集合A与B D.{xl0≤x≤2} AUB=BAUB=AAUB=A(B)元素，但互不包含无公共元素 答案：B 4.并集的性质 性质 含义 任何集合与其本身的并集等于这个 AUA=A 集合本身 珍温馨提示 ①根据集合中元素的互 任何集合与空集的并集等于这个集 AUO=A 异性，求并集时，我们应 合本身 把重复的元素看作一个 AUB-BUA 满足交换律 元素 (AUB)UC=AU(BUC) 满足结合律 。009●