1.1 集合的概念-【一本】高中数学知识大盘点

必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 1.了解集合的含义，理解元素与集合的属于关系；能用符号语言刻画集合；了解全集与空集的 课 含义 标 2.理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集， 3.理解交集、并集、补集的含义，并进行基本运算；能使用Venn图表达集合的基本关系与基 要 本运算 点 4.理解必要条件、充分条件、充要条件的意义及关系。 5.理解全称量词与存在量词的意义，并使用全称量词、存在量词对命题进行否定， 思维导图 元素与集合的关系一属于（∈）或不属于() 集合的概念 元素的特性一确定性、互异性、无序性 与表示方法 表示方法一列举法、描述法、图示法 集合 常用数集及其记法一 自然数集：N,正整数集：N*(N), 整数集：Z,有理数集：Q,实数集：R 集合间的基本关系一子集(ACB)、相等(A=B)、真子集(A手B) 集合的基本运算一并集(AUB)、交集(A∩B)、补集(C4) 集合法： 条件 定义法 A={xp(x)}, 集合与 B={xlg(x)} p是q的充分条件一p→9 ACB 常用逻 A2B 辑用语 p是g的必要条件-9→P _p是q的充分不必 p→q, ASB 要条件 且q书p 充分条件与必 要条件 p是g的必要不充 分条件 一A吴B 且q→P p是q的充要条件一p今9一A=B 常用逻辑用语 p是q的既不充分 也不必要条件 p书9： 且q书P —A4B,且A2B 全称量词命题：HxEM,p(x) 全称量词命题 存在量词命题：3xEM,p(x) 与存在量词命 题及其否定 全称量词命题的否定：3x∈M,p(x) 否定量词， 存在量词命题的否定：Hx∈M,p(x) 否定结论 ◆001。 1.1集合的概念5年6考 必 必备知识 。。 知识点1元素与集合 册 1.元素与集合的含义：一般地，我们把研究对象统称为元素，把 第 些元素组成的总体叫做集合（简称为集）.通常用大写拉丁 章 ◆深入解读 字母A,B,C,…表示集合，用小写拉丁字母a,b,c,…表示集 符号“∈”和“庄”刻画的 集合与常 合中的元素. 是元素与集合之间的从 2.集合相等：只要构成两个集合的元素是一样的，我们就称这两 属关系，对于任何一个 个集合是相等的，记作A=B. 元素a与集合A而言， 辑 只有“a∈A”与“a度A” 知识点2元素与集合的关系 这两种结果，且只有一 元素与集合的关系 记法[深入解读] 读法 种成立. a是集合A的元素 a∈A a属于集合A a不是集合A中的元素 a FA a不属于集合A 知识点3 集合中元素的特性◆ 重点 m 学以致用 特性 说明 示例 (多选)下列所给对象能 给定一个集合，那么一个元素在 集合A={1,2,3},则 构成集合的是() 确定性 或不在这个集合中就是确 1∈A,4tA A.中国古代四大发明 定的【学以致用】 B.地球上的小河流 方程x2一2x十1=0的 一个给定集合中的元素是互不相 C.方程x2-1=0的实 所有实数根组成的集 互异性 同的，即集合中的元素是不重复 数根 合为{1}，不能写成 出现的 D.周长为10cm的三角 {1,1} 形 集合中的元素没有先后顺序，即 集合{1,2,3}和集合 答案：ACD 无序性 任意改变集合中元素的排列次 {3,2,1}表示同一个 序，它们仍然表示同一个集合 集合 (点拨(I)确定性：判断一组对象能否组成集合的依据。 判断所给对象能否构成集合，关键在于是否有一个明确的标准， 使得对于任何一个对象，都能确定其是否符合这个标准 (2)互异性：判断组成集合的元素个数的关键，并提醒我们解题 后要注意检验 (3)无序性：方便定义集合相等.集合相等与元素之间的排列顺 序无关 。002● 知识点4集合的表示方法◆一重点 1.列举法 ◆温馨提示 (1)定义：把集合的所有元素一一列举出来，并用花括号 ①元素之间用“，”隔开； 必 “{}”括起来表示集合的方法叫做列举法.【温馨提赤】如10 ②元素不重复， 修第 以内的素数组成的集合表示为{2,3,5,7}.方程x一1=3的实 ◆深入解读 册 数根组成的集合表示为{4. 用竖线（有时也用 冒号或分号)隔开 第 (2)可用列举法表示的集合种类 (xeA P(x)} 种类 表示方法 示例 元素元素的 元素的 “小于6的所有正整 范围 共同特征 元素个数少且 全部列出 数”可以表示为{1,2， 国 合与常 有限 3,4,5} 学以致用 逻 用描述法表示下列 “从1到100的所有自 元素个数多且 可以列举部分，其他 集合 辑用语 然数”可以表示为{1， 有限 元素用省略号表示 ①所有的偶数： 2,3,…,100} ②分子比分母小1的所 可以列举出足以体现 元素个数无限但 “自然数集”可以表示 有正分数： 规律的一部分，其他 有规律 为{0,1,2,3,4，…} ③一次函数y=3x-1 元素用省略号表示 图象上的所有点： (3)优点：方便、快捷，集合中的元素一目了然。 答案：①{xx=2n,n为 2.描述法 整数} (1)定义：一般地，设A是一个集合，我们把集合A中所有具 有共同特征P(x)的元素x所组成的集合表示为{x∈A @n升n为正整数 P(x)》,【深入解读】这种表示集合的方法称为描述 ③{(x,y)ly=3x-1} 法.【学以致用】【温馨提示】如满足不等式x2<1的所有实数组 身温馨提示 成的集合为{x∈Rx2<1 ①不能出现未被说明的 (2)优点：语言简洁，元素的规律与性质能清晰地表示出来.适 字母，如{x|x=2k十1)》 用于表示无限集或元素个数较多的集合： 中未说明k,故集合中 元素不确定。 初高衔接 ②元素的取值范围，从 初中所学的不等式（组）的解集和函数图象上点的坐标等， 可用集合来表示，如： 上下文关系看若是明确 x-1<2, 的，则可省略不写.如在 (1)不等式组 的解集可表示为{x|1≤x<3. x+3≥4 实数集R中取值，“∈ (2)二次函数y=x2一x一6的图象与x轴的交点的坐标可 R”常省略不写，{x∈R 表示为{(-2,0)，(3,0)} x<1}常写为{xlx<1. ◆003● 知识点5集合的分类 ③同一个集合可以有不 1.有限集与无限集 同的表述形式，如{x (1)有限集：含有有限个元素的集合是有限集.如方程x2=1 修第 x≥0}，{yly≥0}，{y 的实数根组成的集合，其中元素为1和一1，元素的个数是有 y=k2,k∈R}表示的均 限的，故为有限集。 册 是同一个集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合是无限集.如不等式x一 第 国 1<0的解组成的集合，其中元素的个数是无限的，故为无 章 学以致用 限集， 集合{0,1}与集合{(0， 2.数集与点集【学以致用】 集合与常 1)}相等吗？ 提示：不相等.集合{0,1} 类别 集合 表示含义 是数集，有0,1两个元 表示函数y=x2的自变量的取值 {x|y=x2} 素.而集合{(0,1)}是点 范围 雷 数集 集，只有一个元素(0,1). 表示函数y=x2的函数值的取值 珍温馨提示 {yly=x2)》 范围 ①常见数集之间的关系 表示函数y=x2的图象上所有点 如图所示： {(x,y)|y=x2) 构成的集合 N*(NN)ZQR 点集 表示二元 一 次方程组 x,y x十y=1, ②N和N(或N+)的不 的解所构成的集合 x-y=3 同之处就是N包含0， 而N(或N+)不包含 知识点6常用数集及其记法【温簪提示】 0. 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N(N+) Z Q R 高频考点 考点1 集合的含义 ②当a=0时，a∈N,一a∈N,所以错误， 例1下面四个说法：①{0}中没有元 ③因为方程x2+2x十1=0的解是两个相等 素；②若a∈N,则-一a在N;③集合 的根，且为一1，由集合元素的互异性可得集 A={x∈Rx2+2x+1=0}有两个 合A中只有一个元素，所以错误， 元素，④集合B={∈Q∈N是有限集， ④因为x∈Q,所以集合B是无限集，所以错误 其中正确的个数为 综上，正确的个数为0. 解析①集合中有一个元素0，所以错误， 答案0 。004● 集合中元素的特性 确；集合A是数集，集合B是点集，故A≠B, 考点2 的应用 5年6考 故B错误；y=x2+1≥1，故0氏A,故C正 考向1集合中元素的个数 确；当x=0时，y=1,故(0,0)庄B,故 必 例2已知集合A={1,2},B={2, D正确. 修第 4},C={z之=x,x∈A,y∈B},则 答案ACD C中元素的个数为 ( 例5已知集合A={x|x=m十 册 A.1 B.2 C.3 D.4 √6n,其中m,n∈Q}. 第 解析由题意，当x=1,y=2时，之=x=1; (1)试分别判断x1=一√6，x2= 章 当x=1,y=4时，之=x=1;当x=2,y=2 √2-√3+√2+3与集合A的关系. 集 时，之=x=4;当x=2,y=4时，x=x=16. (2)若x1,x2∈A,则x1x2是否一定为集合A 合与 由集合中元素的互异性得集合C={1,4, 中的元素？请说明你的理由 16},即C中有3个元素. 解：(1)x1=-√6=0+√6X(-1), 答案C 此时m=0,n=一1. 用逻辑用语 考向2根据元素与集合的关系求参数的值 .x1∈A. 例3若3∈{m-1,3m,m2一1}，则 实数m= 2=√2-√3+√2+√5 解析.3∈{m-1,3m,m2一1}， 428+ 4+23 .当m-1=3,即m=4时， 2 2 3m=12,m2-1=15,符合题意； (√3-1)2 (√3+1)2 当3m=3,即m=1时，m-1=0,m2-1=0, 2 不满足集合中元素的互异性，故舍去； =√6 当m2一1=3，即m=士2时，经检验，符合 =0+√6×1， 题意 此时m=0,n=1. 综上所述，m=4或士2. .x2∈A. 答案4或士2 (2)x1x2∈A.理由如下： 由x1,x2∈A知，存在m1,m2,n1,n2∈Q,使 方法提炼对于含有字母参数的集合，一般 得x1=m1+√6n1,x2=m2十√6n2, 先根据集合中元素的确定性建立方程（注意 分类讨论，考虑全面)，求得参数的值，再根 ∴.xx2=（m+√6m1)(m2+√62)= 据集合中元素的互异性进行检验， (mm2+6n1n2)+√6(mn2+m2n),其中 mimz+6ninz;min2+minEQ, 考向3判断元素与集合之间的关系 ∴.x1x2∈A. 例4（多选)已知集合A={y|y= x2+1,x∈R},集合B={(x,y) 方法提炼判断一个元素是否属于一个集合 y=x2十1}，则下列关系正确的是 的方法 对于用列举法表示的集合，只要看是否能在 集合中找到这个元素即可；对于用描述法表 A.(1,2)∈B B.A=B 示的集合{x∈A|P(x)},要紧紧抓住集合的 C.0A D.(0,0)B 代表元素以及它具有的特征P(x), 解析当x=1时，y=2,∴.(1,2)∈B,故A正 ◆005● 考点3已知集合相等求参数 方法提炼已知集合相等求参数时，分类讨 例6.（福建卷）已知集合{a,b,c}= 论确定两个集合中相等的元素，列出等式求 {0,1,2},且下列三个说法：①a≠2； 出参数值，最后注意检验是否满足集合中元 修第 ②b=2;③c≠0有且只有一个正 素的互异性。 确，则100a+10b+c等于 册 解析由{a,b,c}={0,1,2},得 ⑧高考真题看教材 第 a,b,c的取值有以下情况： (人教A版)必修第一册P9习题1.2T5 章 若只有①正确，则a≠2，b≠2，c=0,所以a=b (1)设a,b∈R,P={1,a},Q={-1, 集 1,与集合中元素的互异性矛盾，故不符合题意. 一b},若P=Q,求a一b的值 与 若只有②正确，则a=2,b=2,c=0,与集合 (解读高考题与教材习题都是考查集合相 中元素的互异性矛盾，故不符合题意。 等和集合的含义，其中，抓住集合中元素的 若只有③正确，则a=2,b≠2，c≠0，所以a= 确定性、无序性、互异性，以及分类讨论的 用语 2,b=0,c=1,符合题意， 思想方法是求解这类问题的关键，高考题 综上，a=2,b=0,c=1,所以100a+106十c=201 难度略高于教材习题， 答案201 1.2 集合间的基本关系⑤年考 必备知识 知识点1Venn图 ® 在数学中，我们经常用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图 学以致用 用Venn图表示代数 称为Venn图.[学以致用] 式、整式、分式、单项式、 (I)表示集合的Venn图的边界是封闭曲线，它可以是圆、矩形， 多项式之间的关系 也可以是其他封闭曲线 提示：A={xx是代数 (2)用Venn图表示集合的优点是能直观地表示集合间的关系， 式}，B={xx是整式}， C={x|x是分式， 缺点是集合元素的公共特征不明显 D={xx是单项式}， 知识点2子集[深入解漆】←一重点 E={x|x是多项式)， 则有： 一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都 定义 是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作AC B(或B已A),读作“A包含于B”(或“B包含A”) E A 图示 4(B) 珍深入解读 ①“集合A是集合B的 子集”可以表述为若 ①反身性：任何一个集合是它本身的子集，即A二A; 性质 x∈A,则x∈B. ②传递性：对于集合A,B,C,若ACB,BCC,则ACC 。006●