精品解析：江苏省常州市实验初级中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试题

九年级数学学科第一次随堂作业 一、选择题 1. 下列式子中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的概念，一元二次方程是只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是的整式方程．根据一元二次方程的定义逐个判断即可． 【详解】解：A、有两个未知数和，故不符合题意； B、分母含有未知数，不是整式方程，故不符合题意； C、，当时，不是关于的一元二次方程，故不符合题意； D、是整式方程，含有一个未知数，且未知数的最高次数是，所以是一元二次方程，故符合题意． 故选：D ． 2. 在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】D 【解析】 【分析】根据在同一时刻，物高和影长成正比，由已知列出比例式即可求得结果． 【详解】解：∵在同一时刻， ∴小强影长：小强身高=大树影长：大树高， 即0.8：1.6=4.8：大树高，解得大树高=9.6米， 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形在测量高度是的应用，把实际问题抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性质解决问题是解题的关键是． 3. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据网格的特点求出三角形的三边，再根据相似三角形的判定定理即可求解． 【详解】已知给出的三角形的各边AB、CB、AC分别为、2、、 只有选项B的各边为1、、与它的各边对应成比例． 故选B． 【点睛】此题主要考查相似三角形的判定，解题的关键是熟知相似三角形的判定定理． 4. 如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．由平行四边形可得，，进而找出等角，判断相似三角形即可． 【详解】解：四边形是平行四边形， ，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， ，，， 图中的相似三角形共有6对， 故选：D． 5. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查估算一元二次方程近似解，根据表中数据可直接得出答案． 【详解】解：由表可知，时，随x的增大而增大， 当时，，当时，， 因此估计一元二次方程的一个解的大致范围是， 故选C． 6. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查反比例函数的几何意义，含30度角的直角三角形的性质，勾股定理，三角形相似的判定和性质，正确作出辅助线构造相似三角形是解题关键．过点A作轴于点C，过点B作轴于点D，易证，，从而得出．根据反比例函数的几何意义，得出，从而可求出，进而即得出经过点B的反比例函数解析式． 【详解】解：如图，过点A作轴于点C，过点B作轴于点D， ∴． ∵为直角三角形，且，， ∴，， ∴，． ∵， ∴， ∴． ∵点A在反比例函数的图象上， ∴， ∴． ∴经过点B的反比例函数解析式为． 故选C． 二、填空题 7. 在比例尺的地图上，若某条道路长约，则它的实际长度约为______ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了比例尺的应用，比例尺等于图上距离比上实际距离，据此列式求解即可． 【详解】解：， ∴它的实际长度约为， 故答案为：． 8. 已知，则______；方程的根是_____． 【答案】 ①. ②. 或 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，比例的性质，正确计算是解题的关键． （1）可求出，再把代入所求式子中计算求解即可； （2）先移项，再利用因式分解法解方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， 解得或 故答案为：；或． 9. 已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据线段的比例中项的概念列方程求解即可． 【详解】解：因为：线段是线段，的比例中项， 所以：， 因为：线段，线段， 所以：， （负根不合题意舍去）． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是成比例线段中的比例中项，掌握比例中项的概念是解题关键． 10. 学校要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．若舞台的长为，C为的一个黄金分割点（），则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查利用黄金分割解决实际问题，读懂题意，熟练掌握黄金分割比与黄金分割点是解决问题的关键．根据黄金分割比即可求解． 【详解】解：由黄金分割的知识可得：． ∵， ∴． 故答案为：． 11. 某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月增长率是，列方程___________． 【答案】 【解析】 【分析】设平均每月增长率是，根据增长后的量增长前的量（增长率），即可列出方程． 【详解】解：设平均每月增长率是， 一月份的总产量为500吨， 二月份的总产量为， 三月份的总产量为， 三月份的总产量为720吨， 可列方程为：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有两个实数根， ∴，解得， 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程根的情况，掌握一元二次方程根的判别式是解题的关键． 13. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系等知识，根据一元二次方程的解及根与系数的关系得到，，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵a，b是方程的两个不相等的实数根， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 _____m． 【答案】 【解析】 【分析】先求出△ABC∽△AEF，再根据三角形对应高的比等于对应边的比，这样就可以求出电线杆EF的高． 【详解】解：如图，作AN⊥EF于N，交BC于M， ∵BC∥EF， ∴AM⊥BC于M， ∴△ABC∽△AEF， ∴， ∵AM＝0.6，AN＝30，BC＝0.12， ∴EF＝＝＝6（m）． 答：电线杆的高度是6m． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，解答时利用了相似三角形对应高的比等于对应边的比解题． 15. 如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则______，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，解题的关键是熟练运用平行线分线段成比例定理得出线段比例关系，利用相似三角形面积比等于相似比的平方计算面积比． ①利用和，结合平行线分线段成比例定理，逐步推导得出的比值； ②通过得到，再设，则，求出的比值． 【详解】解：① 即， ， 设，则， ②， ， 设，则． 梯形的面积． 因此，． 16. 如图，在矩形中，，，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿向点B移动．若P、Q两点移动（）后，与相似，则______． 【答案】秒或秒 【解析】 【分析】分与两种情况进行讨论即可． 【详解】解：如答图1，当时，， ，，，，， ， ，即， 解得秒； 如答图2，当时，， ，， ， ，即， 解得秒， 综上所述，为秒与秒时，与相似． 故答案为：秒或秒． 【点睛】本题考查的是相似三角形的判定与性质，解题关键是对这些知识的熟练掌握及灵活运用，在解答时要注意分类讨论． 17. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m 【答案】4 【解析】 【分析】根据题意，画出示意图，易得：Rt△EDC∽Rt△CDF，进而可得=；即DC2=ED•FD，代入数据可得答案． 【详解】 如图：过点C作CD⊥EF， 由题意得：△EFC是直角三角形,∠ECF=90°， ∴∠EDC=∠CDF=90°， ∴∠E+∠ECD=∠ECD+∠DCF=90°， ∴∠E=∠DCF， ∴Rt△EDC∽Rt△CDF， 有=; 即DC2=EDFD， 代入数据可得DC2=16， DC=4； 故答案为4. 【点睛】本题考查了相似三角形的应用，能够将实际问题转化为相似三角形的问题是解题的关键. 18. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________． 【答案】 【解析】 【分析】认真审题，根据垂线段最短得出PM⊥AB时线段PM最短，分别求出PB、OB、OA、AB的长度，利用△PBM∽△ABO，即可求出本题的答案 【详解】解：如图，过点P作PM⊥AB，则：∠PMB=90°， 当PM⊥AB时，PM最短， 因为直线y=x﹣3与x轴、y轴分别交于点A，B， 可得点A的坐标为（4，0），点B的坐标为（0，﹣3）， 在Rt△AOB中，AO=4，BO=3，AB=， ∵∠BMP=∠AOB=90°，∠B=∠B，PB=OP+OB=7， ∴△PBM∽△ABO， ∴， 即：， 所以可得：PM=． 三、解答题 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，根据方程特点，选择合适的解法是解题的关键． （1）直接用因式分解法解一元二次方程； （2）先移项，将方程化为一般式，再利用因式分解法解一元二次方程； （3）化为一般形式后利用公式法解一元二次方程； （4）先移项，再用因式分解法解一元二次方程； 【小问1详解】 解：方程因式分解得， 或， 解得，． 【小问2详解】 ∴ 则 则或 解得，． 【小问3详解】 ∴ ， ， 方程有两个不相等的实数根， ， ，． 【小问4详解】 ， 或， 解得，． 20. 的三个顶点的坐标分别为，，，以O为位似中心，画出的位似图形，使与的相似比为，并写出的面积______． 【答案】或即为所求； 8 【解析】 【分析】本题考查了位似图形．根据位似图形的作法，作出图形即可，再利用三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：的面积． 故答案为：8． 21. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，求每千克茶叶应降价多少元? 【答案】每千克茶叶应降价30元或80元 【解析】 【分析】设每千克茶叶应降价x元，由题意，得： (400-240-x) (200+) =41600,解方程可得. 【详解】解：设每千克茶叶应降价x元，则平均每周可售出(200+) 千克， 由题意，得： (400-240-x) (200+) =41600, 整理，得： x2-110x+2400=0， 解得： x1=30, x2=80. 答：每千克茶叶应降价30元或80元. 【点睛】考核知识点：一元二次方程的应用.理解题意，列出方程是关键. 22. 如图，E是上一点，， （1）证明： （2）若，，，求的长 【答案】（1） 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）由，得到，由，得到，即可得出结论； （2）先证明，得到，代入求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，，， ∴ ∴． 23. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 （1）求线段的长（用含t的代数式表示）； （2）连接，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在说明理由； （3）连接、，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3） 【解析】 【分析】（1）证明，列出比例式进行求解即可； （2）先证明四边形为平行四边形，再根据平行四边形的面积公式，列出一元二次方程进行求解即可； （3）作于点，证明，求出的长，根据中垂线的性质得到，由（2）可知，进而得到，三线合一，得到，列出方程进行求解即可． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， 由题意，， ∵， ∴， ∴，即：， ∴； 【小问2详解】 存在； 由（1）知：，， ∴，， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， 在中，由勾股定理，得， ∴， 解得或； 故当或时，； 【小问3详解】 存在； 作于点，则：， ∵， ∴， ∴，即：， ∴， 当点P在线段的垂直平分线上时，则：， 由（2）可知四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 解得； 【点睛】本题考查相似三角形中的动点问题，平行四边形的判定和性质，一元二次方程的应用，中垂线的性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 24. 【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： （1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； （2）任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 【答案】（1），，； （2）①；②减小 【解析】 【分析】本题考查了，相似三角形的性质与判定，画反比例函数，反比例函数的性质 （1）任务一：①由矩形，得到的长，由，得到，即：，设，用含的代数式，表示出、，由，得到，解出，即可求解， （2）任务二：①由，整理得到，根据描点法，画出函数图象， ②根据反比例函数的增减性，即可求解， 【小问1详解】 解：任务一：①根据题意得：矩形， ∴， 根据题意得：与平行， 则， ∴，即：， 设，则，， 由题意得， ∴， ∴，即：，解得：， ∴， 故答案为：，，；． 【小问2详解】 任务二：①依题意得：四边形为矩形，， ， 由任务一可知：， ， 即， 解得：； ②用描点法可得该函数的图象，如下图所示： 当当 时，随的增大而减小， 故答案为：减小． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学科第一次随堂作业 一、选择题 1. 下列式子中，一定是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 在同一时刻，身高米的小强在阳光下的影长为米，一棵大树的影长为米，则树的高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 3. 如图，小正方形边长均为1，则下列图形中三角形(阴影部分)与△ABC相似的是 A. B. C. D. 4. 如图，在平行四边形中，F是边上的点，连接交于点E，延长交的延长线于点G，则图中的相似三角形共有（ ） A. 3对 B. 4对 C. 5对 D. 6对 5. 观察下列表格，估计一元二次方程的一个解的大致范围是（ ） x 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 1.9 0.11 0.24 0.39 0.56 0.74 0.96 1.19 1.44 1.71 A. B. C. D. 6. 如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，，若点A在反比例函数的图象上，则经过点B的反比例函数解析式为（ ） A. B. C. D. 二、填空题 7. 在比例尺的地图上，若某条道路长约，则它的实际长度约为______ 8. 已知，则______；方程的根是_____． 9. 已知线段，线段，线段是线段，的比例中项，则线段__________． 10. 学校要举办元旦文艺会演，当主持人站在舞台的黄金分割点处时最自然得体．若舞台的长为，C为的一个黄金分割点（），则的长为______． 11. 某厂今年一月份的总产量为500吨，三月份的总产量为720吨，平均每月增长率是，列方程___________． 12. 已知关于x的一元二次方程有两个实数根，则实数m的取值范围是_________． 13. 设a，b是方程的两个不相等的实数根，则的值为_____． 14. 如图，某同学拿着一把12cm长的尺子，站在距电线杆30m的位置，把手臂向前伸直，将尺子竖直，看到尺子恰好遮住电线杆，已知臂长60cm，则电线杆的高度是 _____m． 15. 如图，已知在中，点D、E、F分别是边、、上的点，，，且，则______，______． 16. 如图，在矩形中，，，动点P以2cm/s的速度从点A出发，沿向点C移动，同时动点Q以1cm/s的速度从点C出发，沿向点B移动．若P、Q两点移动（）后，与相似，则______． 17. 如图，小明在A时测得某树的影长为2m，B时又测得该树的影长为8m，若两次日照的光线互相垂直，则树的高度为_____m 18. 如图，在平面直角坐标系中，点P的坐标为(0，4)，直线y＝x－3与x轴、y轴分别交于点A、B，点M是直线AB上的一个动点，则PM的最小值为________． 三、解答题 19. 解方程： （1） （2） （3） （4） 20. 的三个顶点的坐标分别为，，，以O为位似中心，画出的位似图形，使与的相似比为，并写出的面积______． 21. 我市茶叶专卖店销售某品牌茶叶，其进价为每千克240元，按每千克400元出售，平均每周可售出200千克，后来经过市场调查发现，单价每降低10元，则平均每周的销售量可增加40千克，若该专卖店销售这种品牌茶叶要想平均每周获利41600元，求每千克茶叶应降价多少元? 22. 如图，E是上一点，， （1）证明： （2）若，，，求的长 23. 如图，在中，，，，点P从点A出发，沿的方向匀速运动，速度为；同时点M由点C出发，沿的方向匀速运动，速度为，过点M作交于点N．设运动时间为 （1）求线段的长（用含t的代数式表示）； （2）连接，是否存在某一时刻t，使？若存在，求出t的值；若不存在说明理由； （3）连接、，是否存在某一时刻t，使点P在线段的垂直平分线上？若存在，直接写出t的值；若不存在，请说明理由． 24. 【项目式学习】 项目主题：学科融合—用数学的眼光观察世界 项目背景：学习完相似三角形性质后，某学校科学小组的同学们尝试用数学的知识和方法来研究凸透镜成像规律． 项目素材： 素材一：凸透镜成像规律：（ ）表示凸透镜的焦距，（）表示物体到凸透镜的距离，（ ）表示像到凸透镜的距离，规律如下表 物体到凸透镜距离u 像到凸透镜距离v 像的大小 像的正倒 缩小 倒立 等大 倒立 放大 倒立 与物同侧 放大 正立 素材二：透镜成像中，光路图的规律：通过透镜中心的光线不发生改变；平行于主光轴的光线经过折射后光线经过焦点． 项目任务： （1）任务一：凸透镜的焦距为，蜡烛的高为，离透镜中心的距离是时，请你利用所学的知识填空：①_________， ②_________，③ _________； （2）任务二：某实验小组取焦距 为的凸透镜，高度是的蜡烛，设置物距时，测量蜡烛的成像的高 ， ①以为自变量，为因变量，写出与的关系式： ； ②当 时，随的增大而 （选填“增大”或“减小”） （提示：可在平面直角坐标系中作出函数的图象，不计分）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $