精品解析：河北省廊坊市文安县第一中学2025-2026学年高三上学期9月月考数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量与复数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 函数图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量满足，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 7. 中华人民共和国国家标准（GB11533－2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与无关的常量.已知一个右眼视力值为5.0的人在距离标准视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行“E”形视标为标准视力表的第三行（从下往上数）.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为标准视力表的第三行（从下往上数），不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（ ）（参考数据：） A. 5.1 B. 5.0 C. 4.9 D. 4.8 8. 已知，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 集合有个真子集 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数的定义域为（不恒为0），为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. D. 若，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则在复平面内，z的对应点的坐标是______． 13. 已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则_____． 14. 已知点G是的重心，若，则的最大值为______． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为． （1）求； （2）若，求的周长． 16. 已知集合关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 17. 已知，函数，且的图象关于点对称． （1）求的单调递减区间； （2）设，若在区间上有零点，求实数的取值范围． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 19. 已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合． （1）若，且时，，求； （2）若，求的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有，证明：对任意实数，函数在上至多有9个零点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚． 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 4.本卷命题范围：集合与常用逻辑用语、不等式，函数与导数，三角函数与解三角形，平面向量与复数． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定的定义求解即可. 【详解】根据存在量词命题的否定， 命题“”的否定是“”. 故选：C. 2. 已知复数，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出复数，再利用复数的模长公式求解即可. 【详解】因为， 所以. 故选：C. 3. 函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用根式的意义及一元二次不等式的解法计算即可. 【详解】由，得，即， 解得或，所以函数的定义域是． 故选:B． 4. 函数图象的一条对称轴是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正弦函数的对称轴公式进行求解判断即可. 【详解】因为函数图象的对称轴为直线， 令，得， 令，得，即函数图象的一条对称轴是． 故选：B． 5. 已知向量满足，若，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量垂直得到，进而由向量数量积运算法则求解即可. 【详解】因为，所以，又，， 所以． 故选：D 6. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用基本不等式先判定充分性，结合反例判定必要性即可. 【详解】因为， 所以，解得， 所以由可以推出； 当时，，但，所以由不能推出． 综上所述，“”是“”的充分不必要条件． 故选：A． 7. 中华人民共和国国家标准（GB11533－2011）中的《标准对数视力表》采用的是五分视力记录方式（缪氏记录法）：，其中为被测试眼睛的视力值，为该眼睛能分辨清楚的标准视力表最低一行“E”形视标的笔划宽度（单位：毫米），为被测试人到标准视力表的距离（单位：米），是与无关的常量.已知一个右眼视力值为5.0的人在距离标准视力表5米处进行检测，能分辨的最低一行“E”形视标为标准视力表的第三行（从下往上数）.由于场地大小受限，小华在距离标准视力表4米处进行检测，若此时他的右眼能分辨的最低一行视标也为标准视力表的第三行（从下往上数），不考虑其他因素的影响，则小华右眼的视力值为（ ）（参考数据：） A. 5.1 B. 5.0 C. 4.9 D. 4.8 【答案】C 【解析】 【分析】先由时求出，再将代入结合对数运算法则计算即可. 【详解】当时，，解得， 小华在距离标准视力表4米处进行检测，即，代入， 得． 故选：． 8. 已知，则的大小关系不可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先进行同构，得到，设函数，利用导数分析函数的单调性，分情况讨论的大小关系，各项逐一验证即可. 【详解】由题意知，因为， 两边同时取以为底的对数，得，，即， 令，则，令，得， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 又，所以或； ，使得，所以或； ，使得，所以或． 当，时，B成立； 当时，C成立； 当（或）时，D成立； 由于B、C、D均可能成立，故选A． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 集合有个真子集 【答案】AB 【解析】 【分析】根据交集、并集和补集定义可知ABC正误；根据集合中元素个数可确定真子集个数，知D错误. 【详解】对于A，由交集定义知：，A正确； 对于B，，，B正确； 对于C，，，C错误； 对于D，集合有个元素，集合有个真子集，D错误. 故选：AB. 10. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】借助同角三角函数基本关系、二倍角公式及两角差的余弦公式逐项计算即可得. 【详解】因为，所以， 所以，故A正确； 因为，所以，又， 所以，，故B正确； 因为，， 所以，故C错误； ，故D正确． 故选：ABD． 11. 已知函数的定义域为（不恒为0），为偶函数，则（ ） A. 为偶函数 B. 的图象关于点对称 C. D. 若，则 【答案】ACD 【解析】 【分析】对A，根据条件可得，，即可求解；对B，利用A中结果，得，即可求解；对C，利用的周期性，即可求解；对D，结合条件，利用和的周期性，得，进而可得，即可求解. 【详解】对于选项A，因为，所以， 两式相减，得，所以的一个周期为4， 因为为偶函数，所以，得到， 所以，因为，所以，所以为偶函数，故A正确； 对于选项B，因为， 所以的图象关于点对称，故B错误； 对于选项C，由选项A知的一个周期为4，所以， 又由，令，得到，所以，则，故C正确； 对于选项D，因为，所以，即， 则， 所以，又，所以， 又所以，故D正确． 故选：ACD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 若复数，则在复平面内，z的对应点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的乘法法则求得复数，可求复数z的对应点的坐标. 【详解】因为， 所以在复平面内，z的对应点的坐标是. 故答案为：. 13. 已知三个内角所对的边分别为，点是线段上一点，且平分，若，则_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据，利用三角形的面积公式列式，化简可得结果. 【详解】因为平分，所以， 又， 所以，即． 故答案为： 14. 已知点G是的重心，若，则的最大值为______． 【答案】##0.6 【解析】 【分析】根据，利用向量的数量积运算可得，再由均值不等式即可求出的最小值，则得到的最大值. 【详解】如图所示，设的中点分别为，,， ,当且仅当 时，等号成立， 的最小值为，则的最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角所对的边分别为． （1）求； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据辅助角公式，结合角的范围，即可求解； （2）利用正弦定理转化为，再结合余弦定理，即可求边长，以及周长. 【小问1详解】 由，得，即， 因为，则，所以，解得． 【小问2详解】 由正弦定理，得，所以， 由（1）知，由余弦定理，得， 解得， 所以的周长为． 16. 已知集合关于的方程有两个不相等的实数根，． （1）若，求； （2）若“”是“”的必要条件，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再利用集合的运算，即可求解； （2）根据条件，将问题转化成当时，恒成立，令，通过变形得，再利用基本不等式，即可求解. 【小问1详解】 因为关于的方程有两个不相等的实数根， 所以，解得，所以， 当时，， 所以． 【小问2详解】 由（1）知， 因为“”是“”的必要条件，所以， 即对任意的，不等式恒成立， 又，即对任意的，恒成立． 令，则， ， 当且仅当，即时，取“”． 所以，即实数的取值范围是． 17. 已知，函数，且的图象关于点对称． （1）求的单调递减区间； （2）设，若在区间上有零点，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据二倍角、辅助角公式化简，再结合求得，即可得到，进而根据正弦函数的性质求解即可； （2）转化问题为关于的方程在上有解，进而结合正弦函数的性质求解即可. 【小问1详解】 由， 因为的图象关于点对称，所以， 又，所以，所以，解得， 所以． 令，解得， 即的单调递减区间为． 【小问2详解】 由（1），得， 令，得，因为在上有零点， 所以关于的方程在上有解． 由，得， 所以在上的值域为， 所以的取值范围是． 18. 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线方程； （2）若函数在上单调递减，求实数的取值范围； （3）若恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由导数的几何意义求切线斜率，由点斜式求切线方程； （2）方法一，由分参得到在上恒成立，利用导数求的最大值，得到的范围；方法二，设，构造函数，由在上恒成立，转化为求解； （3）方法一，分和讨论恒成立时的范围；方法二，由，将问题转化为求解. 【小问1详解】 当时，，此时， ，所以． 所以曲线在处的切线方程为，即． 【小问2详解】 方法一：因为在上单调递减， 所以在上恒成立． 因为，所以在上恒成立，即在上恒成立． 令，则，所以在上单调递减， 所以． 所以，即的取值范围是． 方法二：设，易知在上单调递增，所以． ，令函数， 由复合函数的单调性法则及在上单调递减，得在上单调递减，即在上恒成立， 所以对，即， 又当时，单调递减，故，所以，即的取值范围是． 【小问3详解】 方法一：的定义域为， 当时，恒成立，在上单调递增． 又，所以不恒成立，故不符合题意． 当时，令，得． 令，则在上恒成立，所以在上单调递减， 又， 所以存在，使得，即，变形得． 当时，，即单调递增； 当时，，即单调递减． 所以． 因为恒成立，所以，解得（符合条件）， 所以的取值范围是． 方法二：由（2），得即，其中， 因为在上单调递增，所以， 因为恒成立，即恒成立，所以． 令，则，令，得， 当时，单调递增；当时，单调递减． 所以． 所以，即的取值范围是． 19. 已知函数的定义域为，对于正实数，定义集合． （1）若，且时，，求； （2）若，求的取值范围； （3）若是偶函数，当时，，且对任意，均有，证明：对任意实数，函数在上至多有9个零点． 【答案】（1） （2） （3）对任意的，由是偶函数，得， 又，所以， 所以，因为，则， 所以，所以． 对任意的时，，则， 所以.又，则，即， 所以当时，，而为偶函数，画出函数在上的图象如图1所示，其中，但均未知． 首先说明， 若，则，易知此时，则， 所以，而时，，所以，与矛盾，所以，即． 令，则， 当时，若，如图2，最多有7个零点， 当时，若，如图3，有5个零点，故最多有5个零点； 当时，若，如图4，有5个零点，故最多有5个零点； 当时，若，则，0，4是的零点， 又，如图5，在区间上各有1个零点，以及，0，4是零点，故最多有9个零点． 综上所述，对任意实数，函数在上至多有9个零点． 【解析】 【分析】（1）代入即可求解， （2）根据在和上的单调性可得，结合，即可根据二次函数的性质求解， （3）根据的奇偶性以及所给定义，可作出的图象，结合函数图象交点的情况，对分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由，得对， 所以． 【小问2详解】 因为，所以存在实数使得，且， 当时，在上单调递增；当时，在上单调递增． 由，得，所以， 若，则方程无解； 若，则方程可以化为， 因为在上单调递减，在上单调递增，且当时，，当时，，当时，，所以，即的取值范围是． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $