精品解析：江苏省南京市第十三中学2025-2026学年高二上学期10月学情检测数学试题

2027届高二年级10月学情检测 数学 （时间：120 分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 直线 的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 2. 椭圆的焦点的坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 3. 已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为 A. B. C. D. 4. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知△ABC的顶点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（　 　） A. x﹣y+2＝0 B. xy+2＝0 C. xy+2＝0 D. x﹣2y+2＝0 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 7. 已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （ ） A. B. C. D. 8. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（ ） A. －2 B. －1 C. －1或3 D. 3 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 10. 已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ） A. 的面积的最大值为12 B. ，关于轴对称 C. 当时， D. 直线的斜率的取值范围为 11. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 12. 一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． （1）若，求光从出发，到达点时所走过的路程； （2）若，求反射光的斜率的取值范围； （3）若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 13. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高二年级10月学情检测 数学 （时间：120 分钟 满分：150分） 一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上. 1. 直线 的倾斜角是 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将直线方程化简为斜截式方程，即可求出斜率，从而求解倾斜角. 【详解】因为，即，所以斜率为， 设直线的倾斜角为， 则，所以. 故选：D. 2. 椭圆的焦点的坐标为（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】B 【解析】 【分析】利用椭圆的焦点求解公式求解即可. 【详解】解：因为椭圆方程为，，， 所以，且焦点在轴上， 所以焦点坐标为：，. 故选：B. 【点睛】本题考查椭圆的焦点坐标的求法，考查运算能力，属于基础题. 3. 已知圆的半径为2，圆心在轴的正半轴上，直线与圆相切，则圆的方程为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设圆心坐标为，根据圆与直线相切可求出，进而得到圆心和半径，于是可得圆的方程． 【详解】由题意设圆心坐标为， ∵圆与直线相切， ∴，解得a=2． ∴圆心为，半径为， ∴圆C的方程为（x﹣2）2+y2=4，即． 故选D． 【点睛】求圆的方程时要把握两点：一是求出圆心的坐标；二是求出圆的半径，然后再根据要求写出圆的方程即可，求圆心坐标时注意圆的几何性质的应用，这样可以简化运算，提高解题的速度． 4. 圆与的公共弦长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】两圆作差即可求得公共弦的直线，点到直线的距离和勾股定理即可求解. 【详解】已知圆，圆， 两圆方程作差，得到其公共弦的方程为：， 而圆心到直线的距离为， 圆的半径为，所以，所以. 故选：D 5. 已知△ABC的顶点坐标为A（1，4），B（﹣2，0），C（3，0），则角B的内角平分线所在直线方程为（　 　） A. x﹣y+2＝0 B. xy+2＝0 C. xy+2＝0 D. x﹣2y+2＝0 【答案】D 【解析】 【分析】由已知可得|AB|＝|BC|＝5，所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线，继而可以求得结果． 【详解】由已知可得|AB|＝|BC|＝5， 所以角B的内角平分线所在直线方程为AC的垂直平分线， 又线段AC中点坐标为（2，2）， 则角B的内角平分线所在直线方程为y﹣2， 即x﹣2y+2＝0． 故选：D． 【点评】本题考查直线的位置关系，考查垂直的应用，由|AB|＝|BC|＝5转化为求直线的AC的垂直平分线是关键，属于中档题． 6. “太极图”因其形状如对称的阴阳两鱼互抱在一起，故也被称为“阴阳鱼太极图”.如图是放在平面直角坐标系中的“太极图”.图中曲线为圆或半圆，已知点是阴影部分（包括边界）的动点.则的最小值为（ ） A. B. C. D. 1 【答案】C 【解析】 【分析】转化为点与点连线的斜率，然后结合图像由直线与圆的位置关系求解. 【详解】 记，则为直线的斜率， 故当直线与半圆相切时，斜率最小， 设，则，解得或（舍去）， 即的最小值为. 故选：C. 7. 已知圆，为圆内一点，将圆折起使得圆周过点(如图)，然后将纸片展开，得到一条折痕，这样继续下去将会得到若干折痕，观察这些折痕围成的轮廓是一条圆锥曲线，则该圆锥曲线的方程为 （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由图形可知结果为定值，进而根据椭图的定义推断出点的轨迹方程. 【详解】，，点关于折痕的对称点在圆周上，折痕为线段的垂直平分线，折痕与相交于点， 如图所示： 则有，可知， 所以点的轨迹是以为左、右焦点的椭圆，其中长轴，焦距，所以点的轨迹方程为，即折痕围成轮廓的圆锥曲线的方程为. 故选：A 8. 瑞士数学家欧拉在《三角形的几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上．这条直线被称为欧拉线．已知的顶点，，，若直线l：与的欧拉线平行，则实数a的值为（ ） A. －2 B. －1 C. －1或3 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形顶点坐标得出重心与外心，求出三角形欧拉线，根据直线平行得解. 【详解】由的顶点，，知， 重心为，即， 又三角形为直角三角形，所以外心为斜边中点，即， 所以可得的欧拉线方程，即， 因为与平行， 所以， 解得， 故选：B 二、多项选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上.全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有选错的得0分. 9. 对于直线.以下说法正确的有（ ） A. 的充要条件是 B. 当时， C. 直线一定经过点 D. 点到直线的距离的最大值为5 【答案】BD 【解析】 【分析】求出的充要条件即可判断A;验证时，两直线斜率之积是否为-1，判断B;求出直线经过的定点即可判断C;判断何种情况下点到直线的距离最大，并求出最大值，可判断D. 【详解】当时， 解得 或， 当时，两直线为 ，符合题意； 当时，两直线为 ，符合题意，故A错误； 当时，两直线为， ， 所以，故B正确； 直线即直线，故直线过定点，C错误； 因为直线过定点，当直线与点和的连线垂直时，到直线的距离最大，最大值为 ， 故D正确， 故选：BD. 10. 已知，，动点满足，记的轨迹为，若过点的直线与交于，两点，直线与的另外一个交点为，则（ ） A. 的面积的最大值为12 B. ，关于轴对称 C. 当时， D. 直线的斜率的取值范围为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用给定定义得到的轨迹并结合三角形面积公式判断A，利用角平分线定理逆定理结合对称性判断B，利用圆周角和圆心角以及垂径定理判断C，先求出直线和圆相切时的斜率情况，再求解取值范围判断D即可. 【详解】设，由可得， ，即， 所以的轨迹是以为圆心，3为半径的圆，记圆的圆心为，半径为． 对于A选项，，选项A正确； 对于B选项，如图，圆关于轴对称，，在轴上， 直线与圆交于，两点，直线与圆交于，两点， 由题可知，， 由角分线定理逆定理得，故， 又根据圆的对称性可知，，关于轴对称，选项B正确； 对于C选项，当时，， 而，则为等腰三角形， 过作于，则， 则，由垂径定理可得，选项C错误； 对于D选项，当直线与圆相切时，连接， 得到，此时，，由勾股定理得， 由锐角三角函数的定义得， 由斜率的几何意义得此时直线的斜率为，根据圆的对称性可知， 得到直线斜率的取值范围为，选项D正确． 故选：ABD． 11. 月光石不能频繁遇水，因为其主要成分是钾钠硅酸盐．一块斯里兰卡月光石的截面可近似看成由半圆和半椭圆组成，如图所示，在平面直角坐标系，半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的右焦点 ，椭圆的短轴与半圆的直径重合．若直线与半圆交于点A，与半椭圆交于点B，则下列结论正确的是（ ） A. 椭圆的离心率是 B. 的周长存在最大值 C. 线段AB长度的取值范围是 D. 面积的最大值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】A选项，先求出半圆和椭圆的方程，从而得到，，得到离心率；C选项，数形结合得到AB长度的取值范围；D选项，设，则，设，则，从而得到的面积，由基本不等式求出最大值；B选项，表达出的周长等于，当时，的周长最大，但是，故B错误. 【详解】由题意知，半圆的方程为， 设椭圆方程为，则， 所以，故椭圆方程为， A选项，椭圆离心率，故A正确； C选项，当时，， 当时，，此时重合，不合要求， 又与半圆交于点A，与半椭圆交于点B 所以线段长度的取值范围是，C正确； D选项，由题意得的面积，设，则， 所以， 设，则，所以， 故， ， 当且仅当，即时，等号成立，故D正确， B选项，的周长等于， 则当时，的周长最大，但是，所以的周长没有最大值，B错误. 故选：ACD 12. 一束光从光源射出，经轴反射后（反射点为），射到线段上处． （1）若，求光从出发，到达点时所走过的路程； （2）若，求反射光的斜率的取值范围； （3）若，求光从出发，到达点时所走过的最短路程． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）先求出关于轴的对称点，则光所走过的路程为； （2）根据 ，可得反射光斜率的取值范围； （3）当的横坐标，光所走过的最短路程为点到直线的距离．当的横坐标，光所走过的最短路程为点． 【小问1详解】 关于轴的对称点，， 由 ，则此时， 所以光所走过的路程即． 【小问2详解】 对于线段，令其端点， 则， 所以反射光斜率的取值范围是． 【小问3详解】 若反射光与直线垂直，则由． ①当，即时，光所走过的最短路程为点到直线的距离， 所以路程． ②当，即时，光所走过的最短路程为线段，其中， 所以． 综上：． 13. 已知圆与直线相切于点，圆心在轴上. （1）求圆的标准方程； （2）若过点的直线与圆交于两点，当时，求直线的一般式方程； （3）过点且不与轴重合的直线与圆相交于两点，为坐标原点，直线分别与直线相交于两点，记的面积为，求的最大值. 【答案】（1） ； （2）或； （3）. 【解析】 【分析】（1）由题意，设圆方程为，根据直线与圆的位置关系和两直线的位置关系可得，解之即可求解； （2）根据几何法求弦长可得圆心到直线的距离为，易知当直线斜率不存在时满足题意；当斜率不存在时，设直线方程，利用点线距公式计算建立关于k的方程，解之即可求解； （3）直线方程联立圆的方程，解得，同理可得，则，结合基本不等式计算即可求解. 【小问1详解】 由题可知，设圆的方程为，圆心为， 由直线与圆相切于点， 得，解得， 所以圆的方程为； 【小问2详解】 设圆心到直线的距离为d， ∵，∴，. ①当直线斜率不存在时，，满足到直线的距离； ②当直线斜率存在时：设方程：，即， ，整理得，解得， ，即， 综上：直线的一般式方程为或； 【小问3详解】 由题意知，， 设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或，则点A的坐标为， 又直线的斜率为，同理可得：点的坐标为， 由题可知：， ， 又，同理， ， 当且仅当时等号成立， 的最大值为. 【点睛】方法点睛：解答圆锥曲线的最值问题的方法与策略： （1）几何转化代数法：若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用圆锥曲线的定义、图形、几何性质来解决； （2）函数取值法：若题目的条件和结论的几何特征不明显，则可以建立目标函数，再求这个函数的最值（或值域），常用方法：配方法；基本不等式法；单调性法；三角换元法；导数法等，要特别注意自变量的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $