第二十五章 图形的相似（复习讲义）数学冀教版九年级上册

第二十五章 图形的相似（复习讲义） ①掌握相似图形的定义，学会观察相似图形，总结相似图形的特征； ②理解并掌握比例线段的概念，并学会用比例的概念进行计算； ③掌握黄金分割，会用黄金分割解决实际问题； ④重点掌握相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质解决问题； ⑤掌握相似三角形的实际应用问题，会将实际问题转化为几何问题进行解决； 知识点 重点归纳 常见易错点 两条线段的比 如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项. 分不清比例的关系或者比例式出错 比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例线段概念理解错误；比例外项、比例内项分不清 黄金分割 如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 记不住黄金分割数；对黄金分割的边比弄错 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例的边弄错；或者将平行边的比当作了平行线段的比 相似多边形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 不理解相似多边形的概念；相似多边形的边比弄错 相似多边形的性质 1）相似多边形的对应角相等,对应边成比例； 2）相似多边形对应对角线的比等于相似比； 3）相似多边形周长的比等于相似比； 4）相似多边形面积的比等于相似比的平方； 相似多边形的性质概念模糊 相似三角形的判定 1、 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 2、 三边成比例的两个三角形相似 3、 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 4、 两角分别相等的两个三角形相似 不知道选择哪个判定方法进行相似三角形的判定； 相似三角形的性质 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 对相似三角形的性质比较模糊，做题时无法准确运用相似三角形的性质做题 题型一 比例线段 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查比例性质，分式求值等．根据题意可得，再根据比例性质即可得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴， 故选：D． 2．北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 【答案】A 【分析】本题考查了用代数式表示几何图形的长度、比例性质，结合图形表示出小桌、中桌、长桌的长是解题的关键．设桌面的宽为x尺，结合图形分别表示出小桌、中桌、长桌的长，即可得出正确的结论． 【详解】解：设桌面的宽为x，则，即． 由题意，，得．又， 则． 故选：A． 3．已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于 ． 【答案】3 【分析】根据比例中项的定义，若是，的比例中项，即．即可求解．本题主要考查了线段的比例中项的定义，注意线段不能为负． 【详解】解：若是、的比例中项， 即． ∵， ∴， 解得， 故答案为：3． 4．已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 【答案】(1) (2)，， 【分析】本题考查了分式化简求值的运用，熟练掌握其方法，利用已知的比例关系，合理设出未知数，代入求值是解答本题的关键． （1）由已知条件，确定了三边，，的比例关系，因此设，则，，代入，计算结果； （2）由（1）设，则，，代入，求出的值，分别代入，，，求出三边，，的长． 【详解】（1）解：由已知条件知： ， 设，则， （2）由（1）设，则， ， 得 ，，． 题型二 黄金分割 5．如图，把线段分成两条线段和．若，则称点为线段的一个黄金分割点．主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．已知舞台长为20米，主持人所站位置为点（其中），则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【分析】本题考查了黄金分割的概念，能够利用概念去进行计算是关键． 根据黄金分割比值进行计算即可 【详解】解：∵，，， ∴（米）， 故选：C． 6．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了黄金分割，熟知黄金分割的定义是解题的关键．根据黄金分割的定义进行计算即可． 【详解】解：由题知， 因为液面高度与瓶高之比为黄金比，且， 所以， 故选：C 7．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割．根据黄金分割的定义进行计算即可解答． 【详解】解：点是的黄金分割点，线段的长为， ， ， 故答案为：． 8．线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 【答案】 【分析】本题考查的是黄金分割点，读懂材料中黄金分割点的概念及公式是解决此题的关键． 设，根据点P是线段的黄金分割点得出，解方程即可求解． 【详解】解：设，则， ∵点P是线段的黄金分割点， ∴，即， 化简，得， 解得，（舍去）， ∴的长度为． 题型三 平行线分线段成比例 9．如图，已知直线，直线与分别交于点，，则的值是（   ） A．7 B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是平行线分线段成比例定理，直接根据平行线分线段成比例定理即可得出结论，熟知三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例是解答此题的关键． 【详解】解：， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10．如图，在的菱形网格中，连接两网格线上的点，，线段与网格线的交点为，，则为 ． 【答案】 【分析】利用网格构建，利用平行线分线段成比例得到，由此可解．本题考查平行线分线段成比例定理，利用格点构造等比例线段是解题的关键． 【详解】解：如图，利用网格构建， ∴ ， 故答案为：． 11．如图，正方形中，E，F分别在边上，相交于点G，若， ，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了正方形的性质、平行线分线段成比例定理、三角形中位线等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造平行线解决问题．作，交与，设，则，利用平行线分线段成比例定理解决问题即可． 【详解】解：如图所示，作，交与， 四边形是正方形， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 12．如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 【答案】 【分析】本题主要考查了三线合一定理，平行线分线段成比例定理，先由三线合一定理得到，再由平行线分线段成比例定理得到，，同理得到，则，则，据此可得答案． 【详解】解：，， ， 又， ， ， ，， ， ， ，即． 解得，． 题型四 相似图形 13．下列各组图形中，不相似的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似图形的判定，理解相似图形的定义是解题关键．如果两个图形形状相同，但大小不一定相等，那么这两个图形相似，结合题中选项中所给的两个图形，运用上述的定义进行判定即可． 【详解】解：A. 两个图形均为正方形，是相似图形，不符合题意 B. 两个图形是相似图形，不符合题意； C. 一个矩形，一个正方形，两个图形不是相似图形，符合题意； D. 两个图形均为圆形，是相似图形，不符合题意． 故选：C． 14．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 【答案】D 【分析】本题考查相似图形，根据对应角相等，对应边对应成比例的图形是相似图形结合正方形的性质，进行判断即可． 【详解】解：由图可知，只有选项甲和丁中的对应角相等，且对应边对应成比例，它们的形状相同，大小不同，是相似形． 故选D． 15．将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是 ．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 【答案】（1）（2）（4） 【分析】本题主要考查了相似图形的性质，根据题意可得图形甲和图形乙相似，再由相似图形对应角相等，对应边的长成比例即可得到答案． 【详解】解：∵将图形甲通过缩小得到图形乙， ∴图形甲和图形乙相似， ∵相似图形对应角相等，对应边的长成比例， ∴在图形甲与图形乙的对应量中，没有被缩小的是角的度数，面积，周长和边长都被缩小， 故答案为：（1）（2）（4）． 16．某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）． 【答案】 【分析】设，则老师在黑板上写的文字大小为，根据比例线段和相似图形的性质，列出方程求解即可． 【详解】解：如图：，，令， 设，则老师在黑板上写的文字大小为， ∵， ∴， 解得：， ∴老师在黑板上写的文字大小为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了成比例线段和相似图形的性质，解题的关键是根据题意得出教科书上的字与黑板上的字相似，根据相似图形对应边成比例求解． 题型五 相似多边形及其性质 17．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 【答案】C 【分析】本题考查的是位似变换、相似多边形的性质、相似三角形的性质，熟记相似多边形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似图形的概念得到四边形，，得到，求出，再根据相似多边形的周长比等于相似比计算即可． 【详解】解：∵四边形和是以点O为位似中心的位似图形， ∴四边形，， ， ， ∴四边形的周长四边形的周长， ∵四边形的周长是3， ∴四边形的周长9， 故选：C． 18．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 【答案】D 【分析】本题考查相似三角形的判定、相似多边形的判定，根据题意得，，可得，可知新矩形与原矩形不相似，再根据题意得，，，，可得，，即可证得；即可求解． 【详解】解：甲：如图， 根据题意得，，， 则，， ∴，， ∵ ∴， ∴新矩形与原矩形不相似， ∴甲说法不正确； 乙：如图， 根据题意得，，，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴乙说法正确； 故选：D． 19．如图，四边形与四边形关于点O位似，且，若四边形的面积为5，则四边形的面积为 ． 【答案】20 【分析】本题考查位似变换、相似三角形的性质，熟练掌握位似的性质、相似三角形的性质是解答本题的关键．由题意得四边形与四边形的相似比为，可得四边形与四边形的面积比为，进而可得答案． 【详解】解：四边形与四边形关于点O位似，且， 四边形与四边形的相似比为， 四边形与四边形的面积比为， 四边形的面积为5， 四边形的面积为20． 故答案为：20． 20．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      【答案】 【分析】此题考查了相似多边形的性质，设，，则，，根据相似多边形的性质得到，然后代入求解即可．解题的关键是熟练掌握相似多边形的性质：对应边成比例，对应角相等． 【详解】设，，则，， 由相似图形的性质得：，即， 解得或（不符题意，舍去）， 则． 题型六 相似三角形的判定 21．如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，正方形的性质，由正方形的性质得出，，结合已知条件得出，进而即可得出． 【详解】证明：∵四边形是正方形，P为中点， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴． 22．如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 【答案】详见解析 【分析】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定．利用平行线的性质求得，再利用相似三角形的判定定理即可证明． 【详解】证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查相似三角形，平行四边形的知识，解题是掌握相似三角形的判定，平行四边形的性质，根据相似三角形的判定，平行四边形的性质，进行解答，即可． （1）根据题意，则，根据，等量代换，根据等边对等角，得到，再根据三角形的内角和为，即可； （2）根据，得到，再根据等边对等角，可得，根据相似三角形的判定，即可． 【详解】（1）解：证明如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． （2）解：证明如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 题型七 选择或补充条件使三角形相似 25．如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 【答案】添加（答案不唯一），理由见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键．利用相似三角形的判定可求解． 【详解】解：添加（答案不唯一）， 理由如下： 又∵，， ∴． 26．如图，在中，是角平分线，请用尺规作图法，求作，使得，且点与对应，点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】答案见解析 【分析】作∠ADE=∠B，使DE交AC于点E，问题可解． 【详解】解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查尺规作图，三角形相似的判定，作一角等于已知角是解本题的关键． 27．如图，在和中，于点，于点C．请再添加一个条件：______，使，并说明理由．（添加一个条件即可，不添加任何字母或线条） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，根据相似三角形的判定的条件，选择添加的条件再证明即可．解答的关键是对相似三角形的判定条件的掌握与应用． 【详解】解：． 理由：，， ， ， ， ， 故答案为：（答案不唯一）． 28．如图，在中，，过边上一点D作直线交边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条．    【答案】2 【分析】本题可分2种情况：①作，则，因此符合所求直线的要求；②依据预备定理，过D作，那么符合所求直线的要求． 【详解】解：如图；    ①作； ∵，， ∴； ②作． ∵， ∵， ∴ 因此共有2种作法， 故答案为：2． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定．①有两个对应角相等的三角形相似；②有两个对应边的比相等，且其夹角相等，则两个三角形相似；③三组对应边的比相等，则两个三角形相似． 题型八 利用相似三角形的性质求解 29．嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示） (1)已知，测得的面积为，则的面积为 ． (2)在上述条件下，若和的周长之和为35cm，则的周长是 cm. 【答案】(1)9 (2)15 【分析】本题主要考查了相似三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活应用． 根据相似三角形的性质，即可求解． 【详解】解：， , ∵的面积为， 的面积为． 故答案为：9． 30．如图，中，为中点，连接交对角线于．      (1)求与的面积比； (2)若的周长为，求的周长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据平行四边形的性质可得，，，根据为中点，可得，根据相似三角形的判定和性质可得； （2）根据相似三角形的性质可得，即可求得． 【详解】（1）∵四边形为平行四边形， ∴ ∴，，， 又∵为中点 ∴ ∴ ∴． （2）∵，且 ∴ ∵的周长为 ∴的周长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是根据相似三角形的相似比得到面积比和周长比． 31．如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）由平行四边形的性质可知，所以，又因为，进而可证明； （2）由（1）可知：，得出，由平行四边形的性质可知，所以，代入计算求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ， ， ， ； （2）解：， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质，掌握相似三角形的判定方法及性质是解题的关键． 32．如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且. (1)求证：； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）和中，易知（平行线的内错角），而和是等角的补角，由此可判定两个三角形相似； （2）在中，由勾股定理易求得的长，再根据相似三角形的对应边成比例即可求出的长． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ，， ，． ，， ， ； （2）解：四边形是平行四边形， ，， ， ， 在中，， ， ，即， ． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质，以及勾股定理，解题的关键是掌握相似三角形的判定方法及性质． 题型九 证明三角形的对应线段成比例 33．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了相似三角形的判定，勾股定理，利用三边对应成比例的三角形相似进而得出符合题意的答案．正确利用网格得出三角形各边长是解题关键． 【详解】解：由网格可知：，， A、，，，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； B、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； C、，，，因为，所以与相似，故该选项是正确的； D、，因为，所以与不相似，故该选项是错误的； 故选：C． 34．如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线分线段成比例定理即可判断选项A和B，根据相似三角形的性质即可判断选项C和D． 【详解】A．∵， ∴， 故A符合题意； B．∵， ∴， 故B不符合题意； ∵， ∴. ， ∴， 故C不符合题意； D．∵， ∴， ∴， 故D不符合题意； 故选：A． 【点睛】本题主要考查了平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质，熟练掌握平行线分线段成比例定理和相似三角形的性质是解题的关键． 35．如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为 ． 【答案】1∶4 【分析】根据相似三角形的相似比等于对应边的比等于对应边高线、角分线、中线的比等于周长的比即可解题. 【详解】解：根据相似三角形的性质得三角形的相似比为1:4, ∴三角形对应角平分线的比为1:4. 【点睛】本题考查了相似三角形的性质,属于简单题,熟悉相似三角形的概念是解题关键. 36．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 【答案】见解析 【分析】过点E作 交BC于点M，可得到 ，，进而有 ，，根据，可得到，即证． 【详解】如图，过点E作 交BC于点M， ∵， ∴ ，， ∴ ， ∴ , 即 ， ∵ ∴ ， ∴， ∴ 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法和性质． 题型十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 37．在的方格纸中，请按下列要求作出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中作出将以点为旋转中心，按顺时针旋转所得的图形． (2)在图2中画出一个与相似的三角形（相似比不为1）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查作图相似变换，旋转变换等知识，解题的关键是掌握相似变换、旋转变换的性质． （1）根据要求作出图形； （2）为底边为2，高为2的等腰三角形，因此可以利用格点构造一个底边为4，高为4的等腰三角形，此时相似比为2． 【详解】（1）解：如图，为所求作的三角形． （2）解：如图，为所求作的三角形． 38．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上． (1)将向左平移6个单位长度，得到，画出． (2)画出与相似的，使它与的相似比为． 【答案】(1)见解析 (2)图见解析 【分析】此题主要考查了平移变换以及相似变换，正确得出对应点位置是解题关键． （1）利用平移的性质得出对应点位置，进而得出答案； （2）利用相似图形的性质，将各边扩大2倍，进而得出答案． 【详解】（1）解：如图：即为所求； ； （2）解：如图：即为所求． 39．如图，在方格中，是格点三角形（三角形的顶点在格点上），按要求画图：    (1)要求在图1的方格中，画一个与相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形． (2)要求在图2的方格中，画一个与相似且相似比为无理数的格点三角形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）直接利用相似三角形的性质结合相似比得出对应点位置； （2）利用相似三角形的性质将对应边的比为，得出符合题意的答案． 【详解】（1）解：如图所示：即为所求；    相似比：； （2）解：设相似三角形的性质将对应边的比为，则， ，，， ，，， 如图所示，即为所求，    【点睛】此题主要考查了相似三角形的性质，根据题意得出对应边的长是解题关键． 40．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知点，，C，均为网格线的交点． (1)在网格中将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的（点A，，的对应点分别为点，，； (2)在网格中画出，使，且相似比为（点，为格点）； 【答案】(1)见详解； (2)见详解 【分析】（1）利用旋转变换的性质分别作出A，B，C的对应点，，即可． （2）把的边长扩大2倍，作出即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求． 【点睛】本题考查作图−相似变换，旋转变换，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，掌握相似三角形的性质和旋转的性质． 题型十一 相似三角形的动点问题 41．如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 【答案】秒和2秒 【分析】本题考查相似三角形的性质以及根据运动情况列方程求解时间，熟练掌握相似三角形的判定定理是解决本题的关键． 先由点P与点Q的运动速度，表示出与，再根据边成比例分情况讨论和相似，列式求解即可． 【详解】解：设经过秒钟与相似． 已知点从点开始沿边向点以的速度移动， 点从点开始沿边向点以的速度移动． 可得，． 因为，所以． 分两种情况讨论： 情况一：当时，， 将，，，代入， 可得：，可得． 解得； 情况二：当时，． 将，，，代入， 可得：，可得， 解得． 因为点从点移动到点所需时间为， 点从点移动到点所需时间为， 而和都在这个范围内，所以这两个值都符合题意． 综上所述：秒和2秒后和相似． 42．如图，在中，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)3秒或秒 (3)2.4秒或秒或 【分析】（1）先利用勾股定理求出，再利用面积法求出； （2）先表示出，再判断出，进而分两种情况，利用相似三角形得出比例式建立方程求解，即可得出结论； （3）根据题意画出图形，分，，三种情况，利用相似三角形进行求解． 【详解】（1）解：在中，根据勾股定理得： ， ∵， ∴． （2）由(1)知， 由运动知，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴①， ∴， 即， 解得：． ② ∴， 即， 解得：， 综上，t为3秒或秒时，与相似； （3） ①若，如图1， 则． 解得∶． ②若，过点P作，垂足为H，如图2所示， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 解得：． ③若，过点Q作垂足为E，如图3所示， 同理可得∶ ， ∴， ∵，， ∴， 则， ． 综上所述∶当t为2.4秒或秒或时，为等腰三角形． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理和动点三角形，利用等腰三角形“三线合一”将两腰相等转化为底边上的两条线段相等是解决第三小题的关键． 43．如图1，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接．    (1)________；__________． (2)若与相似，求的值； (3)连接，如图2，若，求的值． 【答案】(1)， (2)的值为或 (3)的值 【分析】（1）根据直角三角形的性质，求出的值，根据点的运动，即可求解； （2）根据点的运动，分类讨论，①当；②当；根据相似三角形的性质，图形结合分析即可求解； （3）如图所示，过点作于点，根据三角形函数值的计算分别求出的值，再证，根相似三角形的性质即可求解． 【详解】（1）解：在，，， ∴， ∵动点从点到点的速度为每秒，动点从点到点的速度为每秒，运动时间为t秒（）， ∴，， ∴， 故答案为：，． （2）解：①当， ∴，即，垂足为点， 由（1）可知，，，，， ∵， ∴，即，解得，，符合题意； ②当， ∴，即，垂足为点， ∴，即，解得，，符合题意； 综上所述，与相似，的值为或． （3）解：如图所示，过点作于点，    在中，，， ∵，，， ∴在中，，即，，即， ∴， ∵，， ∴，， ∴，且， ∴， ∴，即，解得，或， ∵运动时间为t秒（）， ∴． 【点睛】本题主要考查动点与直角三角形，相似三角形的判定和性质，三角函数的计算方法等知识的综合，掌握以上知识的灵活运用是解题的关键． 44．如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以秒的速度沿方向移动，移动开始前点与点重合．已知正方形的边长为，，，设正方形移动的时间为秒，且． (1)当______秒时，； (2)若以、、为顶点的三角形同相似，求的值； (3)过点作交于点，连接． ①若的面积为，的面积为，则的值会发生变化吗？请说明理由； ②当线段所在直线与正方形的对角线垂直时，求线段的长． 【答案】(1) (2)或 (3)①不会，见解析，② 【分析】（1）根据，；根据三角形的面积为：，即可； （2）根据题意得，，，分类讨论，和相似，即可； （3）根据，得；根据相似三角形的判定，得，推出；再根据，，即可；根据线段所在直线与正方形的对角线垂直，得点在对角线所在的直线上，得是等腰直角三角形，根据，求出；再根据，即可得到的值． 【详解】（1）由题意得，，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． （2）由题意的，，， ∵， ∴当， ∴， 解得：； 当， ∴， 解得：， 经检验：经经验，和满足条件． ∴当或时，以、、为顶点的三角形同相似． （3）①结论：的值不会发生变化， 理由如下： ∵， ∴， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ， ∴， ∴的值不会发生变化． 如图：所示 ∵线段所在直线与正方形的对角线垂直， ∴点在对角线所在的直线上， ∴点、、三点共线， ∴是等腰直角三角形， ∴， 化简得：， 解得，， ∵， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题考查相似三角形的知识，解题的关键是掌握相似三角形的判定和性质，动点运动的轨迹，勾股定理的运用． 题型十二 重心的有关性质 45．如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，、分别是、的中点，四边形是什么四边形？与的长度有什么关系？ 【答案】四边形是平行四边形，，见解析 【分析】本题主要考查了三角形的重心及三角形中位线定理，熟知三角形重心的性质及三角形的中位线定理是解题的关键．根据题意，得出点为三角形的重心，据此得出与的长度关系，再结合三角形中位线定理得出四边形的形状即可． 【详解】解：四边形是平行四边形，； 、分别是边、上的中线， 点是的重心， ， 点，分别是和的中点， 是的中位线， ，， ∵、分别是、的中点， ∴，， ，， 四边形是平行四边形． 46．如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 【答案】(1)①；②成立，理由见解析 (2)见解析 【分析】（1）①由三角形重心的性质可得，，，由此计算即可得解；②由等边三角形的性质可得，，，证明得出，即可推出，从而即可得解； （2）过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点，由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形，由矩形的性质可得，，，证明，得出，从而可得，进一步得出，即可得解． 【详解】（1）解：①∵点在的重心， ∴点为三角形三条中线的交点， ∴，，， ∴； ②成立，理由如下： ∵为等边三角形，是的高， ∴，，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴； （2）解：如图，过点作 于，交于点，过点作于，过点分别作于点，于点， 由（1）可得， 由图可得四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵为等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、三角形的重心的定义，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 47．【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图，在中，分别是边的中点，交于点，求证：； 【应用】如图，在中，分别是边的中点，交于点，若的面积为，则四边形的面积为_________； 【拓展】如图，在中，是边的中点，是的重心，过点的直线分别交边于点，若，，，则_________． 【答案】[解决问题]见解析；[应用] ；[拓展] 【分析】本题考查了主要考查了三角形的重心，中位线定理，相似三角形的性质与判定，掌握知识点的应用是解题的关键． [解决问题] 连接，由中位线定理得，，证明，最后由相似三角形的性质即可求证； [应用] 连接，由中位线定理得，，证明，则，所以，由上得，则的面积为，的面积为，的面积为，故有，设，则，求出，最后由面积和差即可求解； [拓展] 过点作交于，交于，证明∴，，，，求出，，，则，再证明，由相似三角形的性质和线段和差即可求解； 【详解】[解决问题]证明：如图，连接，    ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴； [应用]解：连接，    ∵分别是边的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， 由上得， ∵的面积为， ∴的面积为，的面积为，的面积为， ∴， 设，则， ∴， 解得：， 经检验：是原方程的解， ∴， ∴四边形， 故答案为：； [拓展]解：如图，过点作交于，交于，    ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， 故答案为：． 48．下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务． 三角形的重心 我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下： 如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接延长至，使，交于点． 点是的中点，，是的中位线． ．（依据1） 即． 同理，． 四边形是平行四边形． 和交于点， （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：___________； 依据2是指：___________； (2)尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等． 【答案】(1)三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半；平行四边形对角线互相平分 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据三角形中位线定理和平行四边形的性质解答即可； （2）根据三角形重心的定义结合等边三角形的性质作图即可； （3）方法一：延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点．根据三角形面积公式得出，，再结合即可得解；方法二：延长交于点．由重心的性质可得，过点作于点，过点作于点，则．证明得出，再由三角形面积公式得出，同理可得，，即可得解． 【详解】（1）解：由题意可得：依据1：三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半．（或三角形中位线定理） 依据2：平行四边形对角线互相平分． （2）解：如图，点即为的重心． （3）解：方法一：如答图2，延长交于点，则点为的中点，过点作于点，过点作于点． ，，， ，，， ．即． ； 方法二：如答图2，延长交于点． 点是的重心， ． 过点作于点，过点作于点，则． ， ． ． ，， ． 同理可证，． ． 【点睛】本题考查了三角形中位线定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、三角形重心的性质、等边三角形的性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 题型十三 相似三角形的综合问题 【例13】（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 【答案】（1） （2）见解析 【分析】本题主要考查了矩形的性质，菱形的性质，等边三角形的性质与判定，相似三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）过点E作于H，由矩形的性质得到，由勾股定理可得，证明是等腰直角三角形，利用勾股定理推出；设，则，证明，由相似三角形的性质得到；由勾股定理得，解方程即可得到答案； （2）连接，由菱形的性质得到，则是等边三角形，，证明，得到，则可证明是等边三角形． 【详解】解：（1）如图所示，过点E作于H， ∵四边形是矩形， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴； 在中，由勾股定理得， ∴， 解得或（此时，舍去）， ∴； （2）如图所示，连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∴是等边三角形，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴是等边三角形． 【变式13-1】如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查了矩形的性质与判定、相似三角形的性质与判定、勾股定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）利用角平分线的定义得到，利用平行线的性质得到，进而推出，再利用矩形的判定即可证明； （2）设，表示出、的长，通过证明得到，代入数据求出的值，再根据矩形的性质得到，再分别在和中利用勾股定理即可求解． 【详解】（1）证明：∵的平分线交于点D， ∴． ∵， ∴， ∴． ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴四边形为平行四边形． ∵， ∴平行四边形为矩形． （2）解：如图， 由（1）得，， 设， 则，， ∵， ∴， ∴，即， 解得（负值已舍去）， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【变式13-2】小红和小亮在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行了探究． (1)【问题解决】 如图1，在正方形中，E为上一点，F为延长线上一点，且，试说明与之间的关系； (2)【迁移应用】 如图2，在正方形中，G是的中点，连接，作，与相交于点H，与相交于点E，垂足为F，求的值． 【答案】(1)，．理由见解析 (2)2 【分析】（1）延长与相交于点G，利用证明，推出，，据此可得到； （2）证明，得到，由G是的中点，得到，证明，根据相似三角形的性质即可求出答案， 【详解】（1）解：，．理由如下： 延长与相交于点G， ∵四边形为正方形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴∠， 即； （2）解：∵四边形为正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵G是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，三角形内角和定理．解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 【变式13-3】如图，已知，，，点E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平行四边形的面积是32，求线段的长 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）先证明，则，可证四边形是平行四边形，根据，结论得证； （2）如图，由，，可得，则，证明是等腰直角三角形，则是等腰直角三角形，即，，在中，由勾股定理求的值，证明，则，即，计算求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵E是的中点， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：如图， ∵，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵矩形中，， ∴是等腰直角三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴，， ∴， ∴，即，解得， ∴的长为． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 题型十四 相似三角形的模型 【例14】如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了矩形的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质、勾股定理等知识点，掌握相似三角形的判定与性质成为解题的关键． （1）利用矩形和直垂直的定义可得、，从而证明结论； （2）首先利用勾股定理求得线段的长，然后利用相似三角形的性质列比例式求解即梦． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴，即：， ∴． 【变式14-1】如图，在中，分别是边上的点，满足； (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟记两个三角形相似的判定定理及相似三角形性质求线段长是解决问题的关键． （1）由两个三角形相似的判定定理“两个角对应相等的两个三角形相似”判定即可得证； （2）由（1）中三角形相似得到，代值求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：， ； （2）解：由（1）知， ， ，解得． 【变式14-2】在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形及相似三角形的性质，熟练掌握平行四边形及相似三角形的性质，能够灵活运用各图形的判定定理和性质． （1）由已知可得，可证； （2）由三角形相似，可得对应边成比例，由对应边的比例关系进而可求解的长． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形，点在边上， ∴，且， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴设，则， ∴， 则， ∵， ． 【变式14-3】已知：如图，、是的两条高． (1)求证：． (2)若，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由，可得，进而可证得，于是可得，利用比例的性质可得，然后即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”得出结论； （2）由（1）可得，由于，利用直角三角形的两个锐角互余可得，根据含度角的直角三角形的性质可得，即，由（1）可得，则根据“相似三角形面积的比等于相似比的平方”即可求得的值． 【详解】（1）证明：，， ， ， ， ， ， ； （2）解：由（1）可得：， ， ， ， 即：， 由（1）可得：， ， 的值为． 【点睛】本题主要考查了垂线的性质，相似三角形的判定与性质综合，比例的性质，相似三角形的判定，直角三角形的两个锐角互余，含度角的直角三角形，等式的性质，相似三角形的性质等知识点，正确找出图中的相似三角形是解题的关键． 题型十五 相似三角形与折叠、旋转等相关问题 【例14】综合与实践课上，同学们以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】（1）如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．则_____． 【拓展探究】（2）如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． 【解决问题】（3）如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心（即正方形两条对角线的交点），连接，若，，求的长． 【答案】（1）；（2）仍然成立，理由见解析；（3）的长为或 【分析】本题考查了正方形的性质、矩形的性质、相似三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，由相似三角形的性质计算即可得解； （2）图1中，，，则，推出，图2中，由旋转可得：，推出，进而可得，由相似三角形的性质计算即可得解； （3）分两种情况：①如图3，当点在线段上时，连接、；②如图4，当点在线段延长线上时，连接、；分别利用正方形的性质、相似三角形的性质计算即可得解． 【详解】解：（1）在矩形中，， ， ，， ， 又， ， ， ， ，即， ； （2）仍然成立．理由如下： 图1中，，， ， ， 图2中，由旋转可得：， ， ， ， ， ， ； （3）分两种情况：①如图3，当点在线段上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ； ②如图4，当点在线段延长线上时，连接、， 四边形，四边形为正方形， ，， ， ， ， ，， ， ， 综上所述，的长为或． 【变式15-1】【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程． 【动手操作】 第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①； 第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②； 第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③． 【解决问题】 (1)求证：； (2)求的长度； (3)在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）由折叠可得，，，进而证明，可得； （2）设，则，，利用勾股定理解即可； （3）证明，根据对应边成比例求出的长度，进而即可求解． 【详解】（1）证明：四边形是正方形，边长为， ，， 由折叠得：，， ， ，， 在和中， ， ； （2）解：设，则， 由折叠得， ， 在中，， ， 解得， 的长度为； （3）解：由（2）知， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查正方形的性质，折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，掌握折叠前后对应边相等、对应角相等，是解题的关键． 【变式15-2】如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)． 【分析】（1）根据矩形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，得到，根据相似三角形的判定定理得到结论； （2）根据矩形的性质得到，设，得到，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论； （3）延长交于点M，连接根据折叠的性质得到直线，根据等腰三角形的性质得到，设，求得，根据线段中点的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据勾股定理得到，求得，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ； （2）解：四边形是矩形， ，，， 为中点， ， 设， ， 在中，，即，解得， ， ， ， ， ，解得， ， ； （3）解：如图：延长，交于点，连接． ，， ， ， ， ， 是等腰三角形， ， 为中点， 设， ， 为中点， ， ，， （）， ，， ， 在中，， ， ， 在中，， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，矩形的性质，正确地作出辅助线是解题的关键． 【变式15-3】如图，四边形是菱形，点E是边上一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上，记为点F．若菱形的边长为5，． (1)求的长； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）延长交于点，根据折叠以及菱形得到，，然后设，则，再由相似三角形对应边成比例得到方程求解即可； （2）先得到，然后由三线合一得到，在中，由勾股定理求出，即可求解的面积． 【详解】（1）解：延长交于点 ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵折叠 ∴ ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）解：过点作于点， ∵四边形是菱形， ∴， 由（1）得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，勾股定理，正确添加辅助线是解题的关键． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 图形的相似（复习讲义） ①掌握相似图形的定义，学会观察相似图形，总结相似图形的特征； ②理解并掌握比例线段的概念，并学会用比例的概念进行计算； ③掌握黄金分割，会用黄金分割解决实际问题； ④重点掌握相似三角形的判定与性质，熟练运用相似三角形的判定与性质解决问题； ⑤掌握相似三角形的实际应用问题，会将实际问题转化为几何问题进行解决； 知识点 重点归纳 常见易错点 两条线段的比 如果选用同一长度单位的两条线段a，b的长分别是m和n，就说两条线段的比是a：b=m：n，或写成，和数的比一样，两条线段的比a:b中a叫做比的前项，b叫做比的后项. 分不清比例的关系或者比例式出错 比例线段 在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 四条线段a，b，c，d，如果,那么a，b，c，d叫做组成比例的项，线段a，d叫做比例外项，线段b，c叫做比例内项. 比例线段概念理解错误；比例外项、比例内项分不清 黄金分割 如图，点B把线段AC分割成AB和BC两部分（AB＞BC），满足（此时线段AB是线段AC,BC的比例中项），那么称点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 记不住黄金分割数；对黄金分割的边比弄错 平行线分线段成比例 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 平行线分线段成比例的边弄错；或者将平行边的比当作了平行线段的比 相似多边形 相似图形：把形状相同的图形叫做相似形. 相似多边形的定义：两个边数相同的多边形，如果它们的角分别相等，边成比例，那么这两个多边形叫做相似多边形. 相似比：相似多边形对应边的比叫做相似比. 相似多边形的表示：两个相似多边形可以用符号“∽”，读作“相似于”. 不理解相似多边形的概念；相似多边形的边比弄错 相似多边形的性质 1）相似多边形的对应角相等,对应边成比例； 2）相似多边形对应对角线的比等于相似比； 3）相似多边形周长的比等于相似比； 4）相似多边形面积的比等于相似比的平方； 相似多边形的性质概念模糊 相似三角形的判定 1、 平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似 2、 三边成比例的两个三角形相似 3、 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似 4、 两角分别相等的两个三角形相似 不知道选择哪个判定方法进行相似三角形的判定； 相似三角形的性质 1）相似三角形的对应角相等，对应边的比相等. 2）相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 3）相似三角形周长的比等于相似比. 4）相似三角形面积比等于相似比的平方. 5）传递性：若△ABC∽△BDC，△ABC∽△ADB，则△BDC∽△ADB. 对相似三角形的性质比较模糊，做题时无法准确运用相似三角形的性质做题 题型一 比例线段 1．已知，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．北宋的《燕几图》是七巧板的前身．一共有七张桌子，其中两张长桌、两张中桌和三张小桌，每张桌面的宽都相等，七张桌面不同的摆放方式可组合成不同的矩形．如图给出了《燕几图》中“屏山”的桌面拼图方式，其中横边长与纵边长的比是．设长桌、中桌和小桌桌面的长分别为a，b，c．嘉嘉经过研究，得出结论：①；②．下列判断正确的是（   ） A．①②都对 B．①②都错 C．①对，②错 D．①错，②对 3．已知线段，如果是、的比例中项，那么线段等于 ． 4．已知，，是的三边长，且． (1)求的值； (2)若的周长为，求三边，，的长． 题型二 黄金分割 5．如图，把线段分成两条线段和．若，则称点为线段的一个黄金分割点．主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．已知舞台长为20米，主持人所站位置为点（其中），则的长为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 6．玻璃瓶中装入不同量的水，敲击时能发出不同的音符．实验发现，当液面高度与瓶高之比为黄金比（约等于）时（如图），可以敲击出音符“”的声音．若，且敲击时发出音符“”的声音，则液面高度约为（   ） A． B． C． D． 7．数学中，把这个比例称为黄金分割比例．鹦鹉螺曲线的每个半径和后一个半径的比都是黄金比例，是自然界最美的鬼斧神工．如图，P是的黄金分割点（），若线段的长为，则的长为 cm． 8．线段上的一点P将分割成两段，如果的长度是与长度的比例中项，即，那么称点P为线段的黄金分割点．如图，已知线段，点P是线段的黄金分割点，求的长度． 题型三 平行线分线段成比例 9．如图，已知直线，直线与分别交于点，，则的值是（   ） A．7 B． C． D． 10．如图，在的菱形网格中，连接两网格线上的点，，线段与网格线的交点为，，则为 ． 11．如图，正方形中，E，F分别在边上，相交于点G，若， ，则 ． 12．如图，中，，于点，在上，，交于点，．若，求的长． 题型四 相似图形 13．下列各组图形中，不相似的是（    ） A． B． C． D． 14．下列网格中各个小正方形的边长均为1，阴影部分图形分别记作甲、乙、丙、丁，其中是相似形的为（    ）    A．甲和乙 B．乙和丁 C．甲和丙 D．甲和丁 15．将图形甲通过缩小得到图形乙，那么在图形甲与图形乙的对应量中，被缩小的是 ．（填序号） （1）图形的面积；（2）图形的周长；（3）角的度数；（4）边的长度 16．某同学的眼睛到黑板的距离是，课本上的文字大小为．要使这名同学看黑板上的字时，与他看相距的课本上的字的感觉相同，老师在黑板上写的文字大小应约为 （答案请按同一形式书写）． 题型五 相似多边形及其性质 17．如图，四边形和是以点为位似中心的位似图形．若，四边形的周长是3，则四边形的周长是（　　） A．1 B．3 C．9 D．27 18．在研究相似问题时，甲、乙同学的观点如下： 甲：将邻边边长为5和8的矩形按图①的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似． 乙：将边长5、12、13的三角形按图②的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（　　） A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对、乙不对 D．甲不对，乙对 19．如图，四边形与四边形关于点O位似，且，若四边形的面积为5，则四边形的面积为 ． 20．如图所示，一般书本的纸张是原纸张多次对开（对折）得到，矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依次类推，若各种开本的矩形都相似，求的值．      题型六 相似三角形的判定 21．如图，在正方形中，P为中点，Q为上一点，且．求证：． 22．如图，在矩形中，点E，F分别在，上，连接，过点B作于点G，交于点H，求证：． 23．如图，平行四边形的对角线相交于点，点在边的延长线上，且，连接． (1)求证：； (2)若，求证：． 24．如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 题型七 选择或补充条件使三角形相似 25．如图，在中，点D是边上的一点，连接，请添加一个条件，使，并说明理由． 26．如图，在中，是角平分线，请用尺规作图法，求作，使得，且点与对应，点在上．（保留作图痕迹，不写作法） 27．如图，在和中，于点，于点C．请再添加一个条件：______，使，并说明理由．（添加一个条件即可，不添加任何字母或线条） 28．如图，在中，，过边上一点D作直线交边于点E，使所得的三角形与原三角形相似，这样的直线可以作 条．    题型八 利用相似三角形的性质求解 29．嘉嘉的作业纸不小心被撕毁了（如图所示） (1)已知，测得的面积为，则的面积为 ． (2)在上述条件下，若和的周长之和为35cm，则的周长是 cm. 30．如图，中，为中点，连接交对角线于．      (1)求与的面积比； (2)若的周长为，求的周长． 31．如图，在平行四边形中，点在边上，点在的延长线上，且．    (1)求证：； (2)若，求的长． 32．如图，在平行四边形中，过点A作，垂足为E，连接，F为线段上一点，且. (1)求证：； (2)若，，，求的长． 题型九 证明三角形的对应线段成比例 33．如图，在的矩形网格中，每个小正方形的边长都是1，若的三个顶点在图中相应的格点上，图中点D、点E、点F也都在格点上，则下列与相似的三角形是（    ）    A． B． C． D． 34．如图，，则下列比例式正确的是（　　）    A． B． C． D． 35．如果两个相似三角形的周长的比为1∶4，那么周长较小的三角形与周长较大的三角形对应角平分线的比为 ． 36．如图，中，，在上分别截取的延长线相交于点F，证明：． 题型十 在网格中画与已知三角形相似的三角形 37．在的方格纸中，请按下列要求作出格点三角形（顶点均在格点上）． (1)在图1中作出将以点为旋转中心，按顺时针旋转所得的图形． (2)在图2中画出一个与相似的三角形（相似比不为1）． 38．如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，建立平面直角坐标系，的三个顶点A，B，C都在格点（网格线的交点）上． (1)将向左平移6个单位长度，得到，画出． (2)画出与相似的，使它与的相似比为． 39．如图，在方格中，是格点三角形（三角形的顶点在格点上），按要求画图：    (1)要求在图1的方格中，画一个与相似且相似比为整数（不为1）的格点三角形． (2)要求在图2的方格中，画一个与相似且相似比为无理数的格点三角形． 40．如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知点，，C，均为网格线的交点． (1)在网格中将绕点顺时针旋转，画出旋转后得到的（点A，，的对应点分别为点，，； (2)在网格中画出，使，且相似比为（点，为格点）； 题型十一 相似三角形的动点问题 41．如图，在中，， ，点P从点A出发沿边向点B以的速度移动，点Q从点B出发沿边向点C以的速度移动，如果P、Q同时出发，经过几秒后和相似？ 42．如图，在中，于点D．点P从点D出发，沿线段向点C运动，点Q从点C出发，沿线段向点A运动，两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度，当点P运动到C时，两点都停止，设运动时间为t秒． (1)求线段的长； (2)当t为何值时，与相似？ (3)是否存在某一时刻t，使得为等腰三角形？若存在，请直接写出满足条件的t的值；若不存在，请说明理由． 43．如图1，，，，动点从点出发，在边上以每秒的速度向定点运动，同时动点从点出发，在边上以每秒的速度向点运动，运动时间为t秒（），连接．    (1)________；__________． (2)若与相似，求的值； (3)连接，如图2，若，求的值． 44．如图，正方形的边与矩形的边重合，将正方形以秒的速度沿方向移动，移动开始前点与点重合．已知正方形的边长为，，，设正方形移动的时间为秒，且． (1)当______秒时，； (2)若以、、为顶点的三角形同相似，求的值； (3)过点作交于点，连接． ①若的面积为，的面积为，则的值会发生变化吗？请说明理由； ②当线段所在直线与正方形的对角线垂直时，求线段的长． 题型十二 重心的有关性质 45．如图，在中，、分别是边、上的中线，与相交于点，、分别是、的中点，四边形是什么四边形？与的长度有什么关系？ 46．如图（1），点是等边三角形内的任意一点，过点向三边作垂线，垂足分别为，，．试探究与周长的关系．记，的周长． (1)从特殊情形入手： ①若点在的重心，如图（2），此时与的关系为_________； ②若点在的一条高上，如图（3），此时（1）中的结论还成立吗？请说明理由． (2)若点不在的高上，如图（4），研究发现可以转化为上述特殊情形进行解决．请写出解决过程． 47．【知识点】三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心． 【解决问题】如图，在中，分别是边的中点，交于点，求证：； 【应用】如图，在中，分别是边的中点，交于点，若的面积为，则四边形的面积为_________； 【拓展】如图，在中，是边的中点，是的重心，过点的直线分别交边于点，若，，，则_________． 48．下面是小悦同学的数学学习日记，请仔细阅读并完成相应任务． 三角形的重心 我们曾经通过折纸或者画图的方式发现三角形的三条中线交于一点，这点叫做三角形的重心．我查阅了很多资料，得知古希腊数学家海伦（，公元62年左右）第一次提出了三角形的三条中线交于一点．这个结论可以借助图1证明如下： 如图2，在中，，分别是，边上的中线，点是，的交点，连接延长至，使，交于点． 点是的中点，，是的中位线． ．（依据1） 即． 同理，． 四边形是平行四边形． 和交于点， （依据2） 是边上的中线．即三条中线交于点． 三角形的重心有很多性质： 1．重心到顶点的距离与重心到对边中点的距离之比为．在图2中容易推出； 2．重心和3个顶点组成的三角形面积相等；…… 任务： (1)填空：材料中的依据1是指：___________； 依据2是指：___________； (2)尺规作图：如图3，是等边三角形，作出的重心（保留作图痕迹，不写作法）； (3)如图4，点是的重心，连接，，，请你利用图4证明和的面积相等． 题型十三 相似三角形的综合问题 【例13】（1）如图，点E是矩形边上的点，且．若，，则________． （2）如图2，菱形，，点E，F是边，上的点，且．连接，，，证明：是等边三角形． 【变式13-1】如图所示，在中，，的平分线交于点D，过点D作交于点E，F为上一点，且，连接． (1)求证：四边形为矩形； (2)连接，若，，求的长． 【变式13-2】小红和小亮在学习了正方形的相关知识后，对正方形内一些特殊线段的关系进行了探究． (1)【问题解决】 如图1，在正方形中，E为上一点，F为延长线上一点，且，试说明与之间的关系； (2)【迁移应用】 如图2，在正方形中，G是的中点，连接，作，与相交于点H，与相交于点E，垂足为F，求的值． 【变式13-3】如图，已知，，，点E是边的中点，连接并延长，与的延长线交于点F，与交于点G，连接． (1)求证：四边形是矩形． (2)若平行四边形的面积是32，求线段的长 题型十四 相似三角形的模型 【例14】如图，矩形中，为上一点，于点．    (1)证明； (2)若，，，求的长． 【变式14-1】如图，在中，分别是边上的点，满足； (1)求证：； (2)若，求的长． 【变式14-2】在平行四边形中，为边上的一点，且交于F，． (1)求：． (2)求的长 【变式14-3】已知：如图，、是的两条高． (1)求证：． (2)若，求的值． 题型十五 相似三角形与折叠、旋转等相关问题 【例14】综合与实践课上，同学们以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】（1）如图1，在矩形中，，点在对角线上，过点分别作和的垂线，垂足为，，则四边形为矩形．则_____． 【拓展探究】（2）如图2，将图1中的矩形绕点逆时针旋转，记旋转角为，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2说明理由． 【解决问题】（3）如图3，当矩形的边时，点为直线上异于，的一点，以为边作正方形，点为正方形的中心（即正方形两条对角线的交点），连接，若，，求的长． 【变式15-1】【问题情境】在综合与实践课上，同学们以“正方形纸片的折叠”为主题开展数学活动，下面是同学们的折纸过程． 【动手操作】 第一步：将一张边长为的正方形纸片上下对折，使之完全重合，打开后，折痕为，得到图①； 第二步：将图①中的纸片的右下角沿着翻折，使点落在点处，得到图②； 第三步：在图②的基础上，延长交于点，连接，得到图③． 【解决问题】 (1)求证：； (2)求的长度； (3)在图③的基础上延长交边于点，得到图④，求的值． 【变式15-2】如图，矩形中，，分别在，上，将四边形沿翻折，使的对称点落在上，的对称点为，交于． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若为中点，且，，求的长； (3)如图3，若为中点，为中点，连接，请直接写出的值． 【变式15-3】如图，四边形是菱形，点E是边上一点，将沿翻折，使点D恰好落在边上，记为点F．若菱形的边长为5，． (1)求的长； (2)求的面积． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $