专题04 相似形章末易错压轴题型（13易错+8压轴）（专项训练）数学冀教版九年级上册

专题04 相似形章末易错压轴题型（13易错+8压轴） 目录 易错题型一、比例线段 易错题型二、黄金分割 易错题型三、平行线分三角形两边成比例 易错题型四、相似多边形 易错题型五、相似多边形的性质 易错题型六、相似三角形的判定 易错题型七、选择或补充条件使两个三角形相似 易错题型八、相似三角形的判定综合 易错题型九、利用相似三角形的性质求解 易错题型十、利用相似求坐标 易错题型十一、在网格中画与已知三角形相似的三角形 易错题型十二、重心的有关性质 易错题型十三、相似三角形的实际应用 压轴题型一、黄金分割综合应用 压轴题型二、相似三角形的判定综合 压轴题型三、相似三角形的性质综合 压轴题型四、相似三角形的动点问题 压轴题型五、重心的综合应用 压轴题型六、相似三角形的实际应用综合 压轴题型七、相似三角形的模型问题 压轴题型八、相似三角形的综合大题 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、比例线段 1．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 【答案】C 【分析】此题考查比例线段，掌握比例线段的定义及比例尺，并能够灵活运用．根据图上距离与比例尺，求实际距离，即图上距离除以比例尺． 【详解】解：设两地间的实际距离为毫米， 根据题意，， 解得， 即实际距离是千米． 故选：C． 2．已知线段，，．若线段a，b，c，d成比例，即，则线段d的长为 ． 【答案】24 【分析】本题考查了成比例线段．根据比例线段的概念，列出比例式，再进行计算即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴， 故线段d的长是． 故答案为：24． 3．已知按顺序排列的线段是成比例线段，其中，则 ． 【答案】10 【分析】本题主要考查了成比例线段的定义，掌握成比例线段是解题的关键． 由成比例线段的定义可得，再把线段的长度代入可求得． 【详解】解：线段是成比例线段， ． 故答案为：． 4．已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 【答案】(1)线段的长为12，线段的长为3 (2)线段的长为6 【分析】本题考查了成比例线段，熟练掌握成比例线段是解题关键． （1）设，，代入计算可得的值，由此即可得； （2）根据比例中项可得，由此即可得． 【详解】（1）解：∵， 设，， ∵， ∴， ， ，， 线段的长为12，线段的长为3． （2）解：线段是线段、的比例中项，，， ， 由题意知，， ， 线段的长为6． 易错题型二、黄金分割 5．生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了黄金分割，根据黄金分割比例为得到，据此求出的长，即可求出的长． 【详解】解：∵点P是的黄金分割点（）， ∴， ∵长为， ∴， ∴， 故选：B． 6．人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段，肚脐是该线段的黄金分割点）．小明同学从足底到肚脐的距离是，小明同学的最佳身高是（   ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查线段的比、比例的性质，能根据题意列出比例式是解答的关键． 根据题意列出比例式，根据比例性质求解即可． 【详解】解：设头顶至肚脐的长度为，根据题意， 得：=， ∴， 则此人身高大约为， 故选：B． 7．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果精确到） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，熟练掌握黄金分割的定义是解题的关键．将一条线段分割成长短两条线段、（），若短线段与长线段的长度之比等于长线段的长度与全长之比，即，这一比值等于，则称这种分割叫黄金分割，点P叫做线段的黄金分割点．根据黄金分割的定义求解即可． 【详解】解：点D都是线段的黄金分割点， ． 故答案为：． 8．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 【答案】 【分析】本题考查了黄金矩形的定义，根据黄金矩形的定义得，即可求出宽． 【详解】解：根据题意得，， ∵， ∴， 即该黄金矩形的宽是． 易错题型三、平行线分三角形两边成比例 9．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、，、、，若，，，则的长为（    ）． A．7 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，灵活运用平行线等分线线段定理、找准对应关系是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得到比例式求出的长，再根据线段的和差计算即可． 【详解】解：∵， ∴，即， 解得∶ ， ∴． 故选B． 10．如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理的应用，能根据定理得出比例式是解题的关键． 根据平行线分线段成比例定理得出比例式，再代入求解即可． 【详解】解：， ， 又，，， ， ， 故选：A． 11．如图，已知，它们依次交直线和于点和点，如果，，那么 ． 【答案】4 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理．由平行线分线段成比例定理求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 12．小明同学在学习平行线分线段成比例定理时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连接，交于点G，求的值． 小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例定理，过点D作交于H，则可推出，证明，得到，则． 【详解】解：如图，过点D作交于H， 是的中点， ， ， ∵E是的中点， ∴， ． ， ∴． 易错题型四、相似多边形 13．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了相似多边形的性质，利用相似多边形对应边的比相等，即可找出结论． 【详解】解：∵， ∴A选项中的矩形与矩形相似． 故选：A． 14．如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了相似多边形，勾股定理，相似多边形对应边的比叫做相似比．设正方形的边长为，根据勾股定理求出正方形的边长，即可求解． 【详解】解：设正方形的边长为， ∵、、、分别为正方形各边的中点， ∴， ∵， ∴新新正方形与原正方形的相似比， 故选：． 15．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    【答案】 【分析】相似图形的相似比等于对应边之比；再由五边形 五边形 可得相似比为，进而求解即可． 【详解】解：设横向相邻的两点距离为1，则，， ∴五边形 五边形 可得相似比为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似图形的相似比，掌握相似比的定义是解题的关键． 16．观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 【答案】(1)不相似，见解析； (2)是相似图形，见解析． 【分析】本题主要考查相似多边形的概念，根据相似图形的概念可知，必须满足两个条件：①两个多边形的对应角相等；②两个多边形的对应边成比例； （1）根据相似多边形的概念判断即可； （2）根据相似多边形的概念判断即可． 【详解】（1）解：∵矩形和矩形， ∴矩形的四个角都是直角，即相等， ∵，， ∴矩形和矩形不相似； （2）∵多边形和多边形都是各边相等，各角相等的正六边形， ∴它们各角相等，且各边成比例，是相似图形． 易错题型五、相似多边形的性质 17．如图，四边形四边形，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查相似的性质，四边形内角和定理，熟悉相似则对应角相等，四边形内角和为是解题的关键． 根据题意得，再由，四边形内角和为求解即可． 【详解】解：四边形四边形， ． ， ， ． 18．如图，已知四边形与四边形相似，点A，B，C，D的对应点分别为，，，． (1)_______； (2)求边x，y的长度． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查了相似多边形的性质，四边形的内角和； （1）相似多边形的对应角相等，可得，再由四边形内角和为，可求得； （2）相似多边形的对应边成比例，可求得边x，y的长度. 【详解】（1）解：∵四边形与四边形相似 ∴ ∵四边形内角和为，，， ∴ 故答案为：. （2）解：∵四边形与四边形相似 ∴ ∵，，，，，， ∴，， 解得，. 故答案为：，. 19．（1）如图①，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知． ①求的长； ②矩形与矩形的相似比为___________． （2）如图②，把矩形分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似．已知原矩形的长为25，宽为，求的值． 【答案】【小题1】 ； ； 【小题2】 【分析】(1)矩形与矩形相似则对应边成比例，则可求出边的长，第二空相似比即为对应边的比； （2）利用相似图形的性质对应边的比相等即可进行求解. 【详解】【小问1详解】 解：①矩形, , 是对折, , 已知, , 两矩形对应边比例关系式可以写做, 去分母得, 解得, ②. 【小问2详解】 解：由题可知五个小矩形的宽为，长为, 大矩形的长为，宽为, 则可列关系式为, 去分母得, 解得. 【点睛】本题考查了相似图形的相关知识和解一元二次方程，熟练掌握相似图形的性质以及解一元二次方程的方法是解答本题的关键. 20．在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 【答案】(1)不相似，见解析 (2)，见解析 【分析】此题考查了相似多边形的判定．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． （1）首先设四周的小路的宽为x，易得，则可判定：小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）由相似多边形的性质可得：当时，小路四周所围成的矩形和矩形相似，继而求得答案． 【详解】（1）解：不相似，理由如下： 如果四周的小路的宽均相等，那么小路四周所围成的矩形和矩形不相似； 设四周的小路的宽为x， ∵，， ∴， ∴小路四周所围成的矩形和矩形不相似； （2）解：当小路的宽x与y的比值为时， 矩形和矩形相似． 理由如下： 当矩形和矩形相似时，解得 所以当小路的宽x与y的比值为时，矩形和矩形相似． 易错题型六、相似三角形的判定 21．如图，在和中，，．求证：； 【答案】见解析 【分析】本题主要考查相似三角形的判定，由已知条件得出，再结合其夹角的对应边成比例即可得出. 【详解】证明：， ， ， 又， 则， ． 22．如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，由题意可得，再结合即可得证，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】证明：∵E 是的中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 23．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出，中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的高线与边交于点D，求证：． 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了基本尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线及相似三角形的判定，熟知基本作图方法及相似三角形的判定定理是正确解答此题的关键． （1）根据基本尺规作图——过直线外一点作已知直线的垂线，以为圆心，长为半径画弧，交于，分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，作射线，交于，即可； （2）用两角对应相等即可证明． 【详解】（1）解：如图所示：以为圆心，长为半径画弧，交于，分别以为圆心，大于为半径画弧，两弧交于，作射线，交于，即为中边上的高； （2）证明： ， ， ， ， 又， ． 24．如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，直角三角形的性质，熟练掌握相似三角形的判定方法和性质是解题的关键． （1）直接利用两边成比例，夹角相等的两个三角形相似判定即可； （2）先利用相似性质得出，再分别在两个直角三角形和中，利用角所对的直角边等于斜边的一半求解即可． 【详解】（1）证明：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 易错题型七、选择或补充条件使两个三角形相似 25．如图，若，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题的关键． 根据题意可得，然后根据相似三角形的判定定理逐项判断，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， A．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； B．若添加，可用两角对应相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； C．若添加，不能证明，故本选项符合题意； D．若添加，可用两边对应成比例，且夹角相等的两个三角形相似，证明，故本选项不符合题意； 故选：C． 26．如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】本题考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题的关键． 先证出，再由相似三角形的判定方法即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 添加，利用两角对应相等可判定，故①符合题意； 添加，利用两角对应相等可判定，故②符合题意； 添加，无法判定，故③不符合题意； 添加，利用两边对应成比例及其夹角相等可判定，故④符合题意； 故选：B． 27．在和中，．要使，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 （写出一种情况即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】已知两边对应成比例，结合相似三角形的判定规则添加条件即可. 【详解】解：已知， 若添加条件，则满足 “两边成比例且夹角相等”， 可判定. 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定，掌握两边成比例且夹角相等的两个三角形相似是解题的关键. 28．如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．    （1）题中已具备哪一个条件？ （2）在不添加任何辅助线的情况下，还需要哪一个条件？写出这个条件（要求：写出不同的四个条件，勿须证明）． 【答案】（1） 或；（2） 或 或 或 或 ． 【分析】（1）根据题意由题中已具备的条件出了已知还有可证明的出的； （2）由题意直接根据相似三角形的判定方法添加条件即可． 【详解】解：（1）∵   ， ∴   ， ∴   ， ∴   题中已具备的条件有： 或； （2） 或 或 或 或 ． 【点睛】本题主要考查相似三角形的判定及性质问题，应熟练掌握，属于基础性题目． 易错题型八、相似三角形的判定综合 29．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，熟悉基本图形，熟练的运用以上知识是解题的关键． （1）直接证明，然后根据全等三角形的性质证明即可； （2）先证明，，从而可得结论． 【详解】（1）证明：在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：如图， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 30．如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证，结合，则结论得证； （2）证明即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 即． 31．如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 【答案】(1)见解析 (2)添加，证明见解析 【分析】本题考查了相似三角形的判定，正方形的性质，垂直的概念，三角形全等的判定； （1）证明有两对角相等即可判断； （2）假设，可以推出即可． 【详解】（1）证明：， ， 又， ， ， ， ， ； （2）解：添加， 如果， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， 故添加：，能证明． 32．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了相似三角形的判定与性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定、三角形的外角性质． （1）由是等腰直角三角形，易得，，又由，是的中点，利用，可证得：； （2）由和是两个全等的等腰直角三角形，易得，然后利用三角形的外角的性质，即可得，则可证得：． 【详解】（1）证明：是等腰直角三角形， ，， ， ， 是的中点， ， 在和中， ， ； （2）证明：和是两个全等的等腰直角三角形， ， ， 即， ， ， ． 易错题型九、利用相似三角形的性质求解 33．如图，点B，C分别在的边，上．已知，且，，，求的长． 【答案】7 【分析】本题考查了相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形对应边成比例是解题的关键．根据，得到，代入数据求出的长，再利用即可解答． 【详解】解：，， ， ， ，即， 解得：， ， 的长为7． 34．如图，在正三角形中，，分别在，上，且，． 求证： (1)； (2)若，试求的长度． 【答案】(1)见解析 (2)的长度为 【分析】（1）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，即可求解， （2）根据相似三角形的性质，得到，即可求解， 本题考查了，相似三角形的判定与性质，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】（1）证明：， ， 是正三角形， ， ， ， ， ， ∴， （2）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：的长度为． 35．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 【答案】(1)见详解 (2)14，10 (3) 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质、折叠的性质、相似三角形的判定、相似三角形的性质等知识点，掌握相似三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）由等边三角形的性质、折叠的性质以及三角形外角的性质可得、即可证明结论； （2）有已知条件可得，由等边三角形的性质可得，再由折叠的性质可得，，最后根据三角形周长的定义即可解答； （3）根据相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】（1）证明：∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴ ∵， ∴ ∵ ∴． （2）∵， ∴ ∵等边三角形 ∴ ∵三角形折叠，使点A落在边上的点D处 ∴， ∴的周长为： 的周长为：． （3）∵． 又∵的周长为：14，的周长为：10 ∴， ∵， ∴， ∴． 36．如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的判定方法，证明三角形相似，是解题的关键． （1）等边对等角结合平角的定义，得到，结合，即可得证； （2）根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 易错题型十、利用相似求坐标 37．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 【答案】D 【分析】本题考查了相似三角形的判定，解题的关键是根据相似三角形的判定：两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似即可判断． 【详解】解：在中，，，则是等腰直角三角形， ， ①、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ②、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ③、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； ④、当点的坐标为时，，，则，故符合题意； 故选：D．    38．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 【答案】B 【详解】根据相似三角形对应边成比例，由△COB∽△CAO求出CB、AC的关系AC=4CB，从而得到，过点C作CD⊥y轴于点D，然后求出△AOB和△CDB相似，根据相似三角形对应边成比例求出CD=、BD=，再求出OD=，最后写出点C的坐标为（，）． 故选：B． 点睛：本题考查了相似三角形的性质，坐标与图形性质，主要利用了相似三角形对应边成比例，求出是解题的关键，也是本题的难点． 39．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键；由题意易得，点B到x轴的距离为2，即为边上的高，然后可得相似比为，进而根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：∵点A，的坐标分别为，，的坐标为， ∴，点B到x轴的距离为2，即为边上的高， ∵， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故答案为． 40．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 【答案】(1)4，3 (2)点E的坐标为：或或或． 【分析】本题考查的是一元二次方程的解法、相似三角形的性质，掌握因式分解法解一元二次方程和相似三角形的对应边成比例是解决问题的关键． （1）用因式分解法解出一元二次方程，即可求出的长； （2）设点E的坐标为，分两种情况，根据相似三角形的性质列式计算，即可得到点E的坐标． 【详解】（1）解：方程， 分解因式得：， 可得：，， 解得：， ∵， ∴，； 故答案为：4，3； （2）解：∵，，∴，∵四边形是菱形，∴， 设点E的坐标为， 则， 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 当， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点E的坐标为：或； 综上，点E的坐标为：或或或． 易错题型十一、在网格中画与已知三角形相似的三角形 41．如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 【答案】(1)相似，理由见解析 (2)图见解析，其相似比是 【分析】本题考查了勾股定理与网格问题、相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定是解题关键． （1）先利用勾股定理可得的长，再根据相似三角形的判定即可得； （2）结合勾股定理和网格特点画出与相似，且相似比为的三角形即可得． 【详解】（1）解：这两个三角形相似，理由如下： 由图可知，，，，，，， ∴， ∴． （2）解：如图，即为所求． ∵，，， ，，， ∴， ∴，其相似比是． 42．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 【分析】本题考查的是格点作图及相似三角形的判定与性质， （1）取线段中点即格点D，连接即可； （2）取格点G、F，连接交于点E，根据则，得出，则，再结合，证明，所以相似比为． 【详解】（1）解：如下图，线段即为所求作； （2）解：即为所求作． 43．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了在网格中画图问题，解题关键是根据相似三角形的性质确定边长和利用相似或全等画等角. （1）根据相似三角形对应边成比例，利用格点画出对应直角边成比例即可； （2）根据网格画出，且与不相似． 【详解】（1）如图1，格点如图所示(答案不唯一)， （2）如图2，格点如图所示(答案不唯一)． 44．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 【答案】(1)图见解析 (2)图见解析 (3)图见解析 【分析】本题考查了格点图中画相似三角形、中心对称图形和轴对称图形． （1）作平行四边形，画图即可； （2）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可； （3）根据相似三角形的判定和相似比，画图即可． 【详解】（1）解：如图，四边形即为所求； （2）如图，即为所求； （3）如图，即为所求 易错题型十二、重心的有关性质 45．如图，G是的重心，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B．25 C．20 D．10 【答案】A 【分析】本题考查三角形重心定理，三角形的中线平分面积，三角形的重心到中点的距离等于到顶点距离的一半，据此求解即可． 【详解】∵G是的重心， ∴，， ∵， ∴，． 故选：A． 46．在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 【答案】B 【分析】此题考查了重心的性质．根据重心的性质三角形的重心到一顶点的距离等于到对边中点距离的2倍，直接求得结果． 【详解】解：三角形的重心到顶点的距离是其到对边中点的距离的2倍， ． 故选：B． 47．如图，在中，，，是的重心，那么点到直角顶点的距离 ．    【答案】 【分析】本题考查三角形的重心的概念和性质、直角三角形的性质、根据点G是的重心，可得点M是的中点，且，问题随之得解 【详解】如图所示，延长与交于点M，    ∵在中，， ∴是直角三角形， ∵点G是的重心， ∴， ∵点G是的重心， ∴． 故答案为：5 ． 48．（1）尺规作图：如图1，在平面内求作一点P，使得点P到的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等．（不需书写作图过程，但需保留作图痕迹） （2）如图1，若点D为的重心，的面积为，连接并延长交于点F，求面积． 【答案】（1）见解析；（2） 【分析】本题主要考查了作图，熟练掌握角平分线以及线段垂直平分线的作法是解题的关键． （1）根据角平分线以及线段垂直平分线的作法画图即可； （2）根据重心的性质进行计算即可． 【详解】（1）作的角平分线与线段的垂直平分线的交点即为点， （2）根据题意可得：点D为的重心， ． 易错题型十三、相似三角形的实际应用 49．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定是解决本题的关键． 根据与可判断与相似，再根据边成比例计算即可． 【详解】解：，， ， 根据镜面的反射性质， ， 在与中， ， ， ， ，，， ， ， 旗杆高度为． 50．如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了相似三角形的应用，光的反射定律，熟知相似三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）由光的反射定律即可得到答案； （2）证明，利用相似三角形的性质列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：由光的反射定律可知； （2）解：由题意得，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 答：这栋楼的高度为． 51．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 【答案】（1）答案不唯一，见解析；（2）开封铁塔的高度为56米 【分析】本题考查的是相似三角形的应用， （1）没有阳光，影子不好测量等原因即可； （2）设塔的高度为x米，利用相似三角形判定与性质求解即可． 【详解】解：（1）未被采纳的原因可能是节假日阳光不一定充足，影子不好测量； （2）设塔的高度为x米， 由题意知， ， ， 即， ∴， ， ， ， 即， ∴， ∵， 即， ∴， ∴开封铁塔的高度为56米． 52．综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 【答案】（1）米，（2） 【分析】根据可知，根据米，米，米，可知，从而可求的长度； 首先根据据可知，根据米，米，，从而可得，根据可知，根据米，米，，可得，等量代换可得，整理可得． 本题主要考查了相似三角形的性质和应用，解决本题的关键是根据相似三角形对应边成比例求出相应的线段的长度． 【详解】解：， ， ， 米，米，米， 米， ， 解得：米； ， ， ， 又米，米， ， 整理得：， ， ， ， 又米，米，， ， ， 解得：． 压轴题型一、黄金分割综合应用 53．宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了矩形与折叠问题、黄金分割、勾股定理，利用黄金比例表示线段的长是解题的关键．设黄金矩形的长，则宽，利用矩形和轴对称的性质证出，设，在中利用勾股定理列出方程，求出的值，得出的长即可求解． 【详解】解：设黄金矩形的长，则宽， ∵矩形， ∴，， ∴， ∵与关于直线成轴对称， ∴， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴． 故选：B． 54．如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 【答案】 【分析】本题考查了黄金分割，解题关键是掌握黄金分割并能运用求解． 根据黄金分割的定义分别求得，，再利用进行计算即可． 【详解】解：∵点C是靠近点B的黄金分割点，， ∴， ∵点是靠近点的黄金分割点， ∴， ， ∴支撑点之间的距离为， 故答案为：． 55．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的解法，矩形的性质，正方形的性质，勾股定理，黄金分割数，解题的关键是根据题意理解黄金分割数和黄金矩形的定义． （1）将代入，解方程即可得解； （2）根据黄金矩形的定义列式求得矩形的宽的长，再根据矩形面积公式计算即可； （3）设正方形的边长为，根据中点的性质可得，利用勾股定理可表示出的长，进而得到的长，从而表示出，根据黄金矩形的定义即可得证． 【详解】（1）解：将代入，得， 解得． 该方程的正根称为黄金分割数， 黄金分割数为 ； （2）解：宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形，长， ，即， ， 矩形的面积为； 故答案为：； （3）证明：设正方形的边长为， 四边形是正方形， ，， 是边的中点， ， ， ， ， 四边形是矩形， 矩形是黄金矩形． 56．阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 类比运用： （1）______； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 【答案】（1）（2）（3）矩形是黄金矩形，理由见解析 【分析】本题考查了二次根式的性质，平方差公式，矩形的性质，此类问题要认真阅读材料，理解材料中的知识． （1）将分子、分母同乘以，再根据平方差公式计算即可； （2）根据黄金矩形的定义结合，进行计算即可解答； （3）根据题意算出的长，从而得出，证明和的比值为即可． 【详解】解：（1）． 故答案为：． （2）∵宽与长的比是的矩形叫黄金矩形， ∴黄金矩形的宽， 则黄金矩形的长； （3）矩形为黄金矩形，理由是： 由裁剪可知：， 根据黄金矩形的性质可得： ， ∴， ∴， 故矩形为黄金矩形． 压轴题型二、相似三角形的判定综合 57．如图，在中，，为其外心，是边上的中点，点使四边形是矩形，与交于，与关于边对称． (1)求证：与相似； (2)设与相交于点，求证：，． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（）由三角形外心的性质可得，即得，再证明，得到，，即得到，又由，根据相似三角形的判定即可求证； （）将绕点顺时针旋转，使点落在上点处，连接，先证明四边形是平行四边形， 得到，再证明，得到，再根据三角形中位线的性质即可求证． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵，是边上的中点， ∴， ∵点与关于边对称， ∴，， ∴， ∵为外心， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：将绕点顺时针旋转，使点落在上点处，连接， ∵， ∴， ∵， ， ∴， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，． 【点睛】本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，等腰三角形的性质，三角形的外心，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定，平行四边形的判定和性质，旋转的性质，三角形中位线的性质等，正确作出辅助线是解题的关键． 58．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接． (1)如果，，求的面积； (2)连接，求的度数． 【答案】(1)6 (2) 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定、相似三角形的性质和判定、矩形、正方形的性质和判定、角平分线的定义、等腰直角三角形的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）过作于，交于，证明≌，根据角平分线和矩形的对边平行得：，并求出，由∽，列比例式求的长，代入面积公式可得结论； （2）证明≌，推出是等腰直角三角形，即可求解． 【详解】（1）解：如图，过作于，交于， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， 在和中， ， ∴≌， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴∽， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过作于，连接， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 在中，， ∴是等腰直角三角形， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， 在和中， ， ∴≌， ∴， ， ∴， 即， ∴是等腰直角三角形， ∴． 59．在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和角的和差运算可求得，即可求证； （2）过点作的垂线，交延长线于点，可求得，进而求得，根据解直角三角形得出的长； （3）过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点，根据等边三角形的性质和判定与平行线的性质可求出，设，根据等腰三角形的性质和线段的关系可求得，根据解直角三角形可求得，再根据勾股定理求得，进而求得，即可求解． 【详解】（1）证明：， ，即， ， ， ． （2）解：如图过点作的垂线，交延长线于点， ， ， 由（1）可知， ， ， ， ， ， ． （3）解：如图过点作的平行线，交延长线于点，过点作的垂线，交于点， ， 为等边三角形， ， ， 为等边三角形，即， 又， ∴， ， ∴设，则， 又，即, ∴， ， ， ∴， ， ， ∴，即， ， 在中，， ， ． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，相似三角形的判定，勾股定理等，熟练掌握以上知识，合理做出辅助线是解题的关键． 60．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）3 【分析】（1）证明，结合，利用“两角对应相等，两个三角形相似”证明结论即可； （2）首先证明，由全等三角形的性质可得，进而证明，易得，结合，即可证明结论； （3）延长到点，使，连接，结合菱形的性质可证明，易得，，进而证明是等边三角形，然后计算的长即可． 【详解】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴； （2）证明：∵四边形是正方形， ∴，，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵点在的延长线上， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，延长到点，使，连接， ∵四边形是菱形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质、菱形的性质、相似三角形的判定、全等三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 压轴题型三、相似三角形的性质综合 61．已知：如图，在平行四边形中，、分别是边，上的点，且，、分别交于点和点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质，相似三角形的判定和性质，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． （1）先利用平行四边形的性质得出，再证明，列出比例式求解即可； （2）分别证明，，，，再分别列出比例式，从而可求得． 【详解】（1）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （2）连结接分别交、于、， ∵四边形是平行四边形，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ，，， ，，， ， 又， ，解得：． 62．如图：在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）证明，根据相似三角形的性质列式计算即可得解； （2）根据平行线分线段成比例定理计算即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． 63．如图1，，点F是上一点，过点F作的垂线交于E，交的延长线于点D． (1)求证：∽； (2)连接，， ①当时，则______； ②当时，探究与之间的数量关系并说明理由； (3)如图2，，，． 操作：①延长； ②在的延长线上取一点E，点E与点D关于直线对称；若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3)①见解析；② 【分析】（1）根据两垂直成的直角相等，对顶角相等，即可证明两三角形相似；（2）①由勾股定理求出，证明，得，可得；②证明，，得，可得；（3）①延长即可；②连接，，延长交于点L，过点C作于点M，由勾股定理求出，根据轴对称性质得垂直平分，，由勾股定理求出，得，根据，得，求出， 根据，得，求出，由勾股定理求出． 【详解】（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：①∵，， ∴． ∵，， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． 故答案为：． ②．理由： 当时，， ∵， ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． （3）①如图，延长． ②连接，，延长交于点L，过点C作于点M， 则． ∵， ∴． ∴． ∵，， ∴． ∵点E与点D关于直线对称， ∴垂直平分，． ∵点E在的延长线上， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点睛】本题主要考查了相似三角形．熟练掌握相似三角形的判定与性质，等腰三角形性质，直角三角形性质，轴对称性质，是解答本题的关键． 64．【问题提出】 （1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长． 【学以致用】 （2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为______． 温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展延伸】 如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点，连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为______． 【答案】（1）10；（2）；拓展延伸： 【分析】本题考查相似三角形的综合应用． （1）证明，通过对应边成比例求解； （2）作交于点M，通过，导出各边长比． 拓展延伸：连接，作交于点R，通过相似三角形导出线段比，再通过等底等高利用线段比导出面积比，分别求出与而求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， ∴， ∴； （2）作交于点M， ∵E为中点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，，， ∴，， ∴， 设，则，， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； 拓展延伸：连接，作交于点R， ∴，， 设，则，， ∴， ∵的面积为1， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形的面积为． 故答案为：． 压轴题型四、相似三角形的动点问题 65．如图， 点P在上移动．当以P，C，D为顶点的三角形与 相似时，求的长． 【答案】2、12或 【分析】本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握其判定方法是关键． 根据题意，由相似三角形的判定方法，分类讨论：当时，；当时，；由相似三角形的性质列式求解即可． 【详解】解：， ∴， 设，则， 情况1：当时，， ∴， ∴， 解得，或， 经检验，当或时，原方程有意义； 情况2：当时，， ∴， ∴， 解得，， 经检验，当时，原方程有意义； 综上所述，长为2、12或． 66．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间． (1)当为何值时，与相似； (2)当为何值时，四边形的面积为． 【答案】(1)为或 (2)t为2或10 【分析】（1）分两种情况：①若时，则；②若时，则，根据对应边成比例即可求出t的值． （2）根据P、Q的速度，用时间t表示出和的长，即可通过三角形的面积公式得出的面积和t的关系式，然后根据计算即可． 【详解】（1）解：①若时，，即， 解得； ②若时，，即， 解得； 所以当或时，与相似． （2）解：，，，， ， ， 则有， 解得，， ∴当t为2或10时，四边形的面积为． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质，坐标与图形性质、三角形面积问题和一元二次方程的解法，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题． 67．在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 【答案】(1)， (2)或3 (3)或1 (4)或3 【分析】本题考查了列代数式，相似三角形——动点问题，动态几何问题(一元二次方程的应用)，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． （1）根据题意用分别表示出，； （2）根据得到关于的方程求解； （3）根据，，列出比例式，分，两种情况，分别得到关于的方程求得即可； （4）根据当线段分三角形的面积比为时，得到，或，分别转化为关于的方程求解． 【详解】（1）解：，， 故答案为：，； （2）， ∴， 解得：或3， ∴当或3时，四边形的面积为； （3），， ∴或， ①当时， 则， ∴， ②当时， 则， ∴， 综上所述，当或1时，与相似； （4）当线段分三角形的面积比为时， 则，或， ∴，或， 方程，解得或3， 方程，无解， ∴当或3时，线段分三角形的面积比为． 68．如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)当为或时相似 (2)四边形与的面积不能相等，理由见解析 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，解题的关键是掌握相似三角形判定定理和性质． （1）利用勾股定理求出直角三角形斜边的长，分两种情况讨论，根据相似三角形的判定定理列出方程求解即可； （2）作于点，证明，利用相似三角形的性质表示出，根据面积的数量关系列出一元二次方程，根据根的判别式，判断根的情况即可得出结论． 【详解】（1）解：在中， ∵ ， ∴当时，△CQP∽△CBA， 则，即， 解得； 当时，△CQP∽△CAB， 则 ，即， 解得 ； ∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似； （2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：    作于点，如图， ∵， ∴， ∴ ，即 ∴ ， 当四边形与的面积相等时， ， 即 ， ∴ ， 整理得, ∵， ∴此时方程无实数解， ∴四边形与的面积不能相等． 压轴题型五、重心的综合应用 78．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的“妙点”． (1)①若点是边长为4的等边内部一个“妙点”，则 ； ②在平面上，等边共有 个"妙点"； (2)在中，是的一个“妙点”，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形． 【答案】(1)；10 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，要注意分点在三角形内部和三角形外部两种情况讨论，思考全面是正确解答本题的关键． （1）①结合“妙点”的定义以及等边三角形的性质，得出点在等边的中线的交点位置，即重心位置，故，运用勾股定理算出，再代入进行计算，即可作答． ②充分理解“妙点”的定义，且结合等边三角形的性质，进行作图，分类讨论，即可作答． （2）按照题干要求，逐个情况作图，结合“妙点”的定义，运用数形结合思想进行全面分析，即可作答． 【详解】（1）解：①依题意， ∵点是边长为4的等边内部一个“妙点”， ∴点在等边的中线的交点位置，即重心位置，故， 结合三线合一，得， ∴， 则， 故答案为：． ②当点P在三角形内部时，点P是边的垂直平分线的交点，是三角形的外心， 当点P在三角形外部时，一个对称轴上有三个点，如图： 共有9个点符合要求， 则 ∴具有这种性质的点P共有10个． （2）解：依题意，第一种如图1（点在的右边）或图2（点在的左边）， ∵在中，是的一个“妙点”， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴是等边三角形， ∴， 第二种如图3， ∵是的一个“妙点”， ∴ ∵ ∴， ∵ ∴ 则 同理得 ∴ ∵ ∴ ∴ 即 ∵ ∴ 则 ∴； 第三种如图4， 与第二种同理，得 ∴； 第四种如图5，． ∴， ∵， ∴都是等边三角形， ∴， ∴， 综上：满足题意的的度数分别为． 【点睛】本题考查了新定义，三角形内角和性质，重心的应用，勾股定理，等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，难度较大，综合性较强，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 79．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题呈现： 如图，是等边的中心，经过点的直线分别交边于点．设，探究的值． 问题探究： （1）如图（2），先将问题特殊化，若，求的值； （2）如图（1），在一般情形下，试判断（1）中的结果是否仍然成立？请证明你的判断； 问题拓展： （3）若，直接写出的值． 【答案】（1）；（2）见解析；（3） 【分析】（1）连接，并延长交于点，由是的中心，可得，再由可得，再求解即可； （2）过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接．先证明，可得．再由是的中位线，可得，再证得，再求解即可； （3）过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接．设，先证得，可得，再证得是等腰直角三角形，可得，从而得出，再求解即可． 【详解】（1）解：连接，并延长交于点． 是的中心， ， ， ； （2）一般情形下，（1）中结论仍然成立． 证明：过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接． ， ． 是的中点， ． 是的中位线， ． 是的中心，， ， ， ． 即； （3）解：过点作交的延长线于点，连接，并延长交于点，连接并延长交于点，取的中点，连接． 设， 是的中心， ，，，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 由（2）得， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，三角形的重心，相似三角形的判定与性质，三角形中位线的性质，熟练掌握等边三角形的性质，三角形的重心，相似三角形的判定与性质，行线分线段成比例性质及三角形中位线的性质是解决本题的关键． 80．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： (1)若是的一条中线（如图1），是上一点，且满足，试判断______的重心（填“是”或者“不是”）； (2)若是的重心（如图2），连接并延长交于．证明：； (3)若是的重心，过的一条直线分别与、相交于、（均不与的顶点重合）（如图3）令，，设，请求出与的关系式． 【答案】(1)是 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，三角形中位线定理，添加恰当辅助线构造相似三角形是本题的关键． （1）如图2，作的中线，与交于点Q，则点Q为的重心．可证，而已知，故点O与点Q重合，即点O为的重心； （2）如图1，作出中位线，证明，可以证明结论； （3）过点O作交于点F，过点G作交于点E，则，由平行线分线段成比例可求；；可得，即可求解． 【详解】（1）解：点O是的重心， 理由如下：如图1，作的中线，与交于点Q，则点Q为的重心． ∵是中线，是中线， ∴点E是的中点．点D是的中点， ∴是中位线， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴点Q与点O重合（是同一个点）， ∴点O是的重心， 故答案为：是； （2）证明：如图2，连接并延长，交于点E． ∵点O是的重心， ∴是中线，点E是的中点． ∴是中位线， ∴，且． ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图3，过点O作交于点F，过点G作交于点E，则， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴y与x的关系式为：． 压轴题型六、相似三角形的实际应用综合 81．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 【答案】(1)①；②见解析 (2) 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质； （1）①如图，由题意得，，，中，，，中，，即可求解； ②作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，，则，得到，再由垂直得到，推出，即，是定值，是定值，即影子顶端到步道的距离不变； （2）设小明头顶为E，连接，过作交延长线于，由题意得，，则，，再由，得到，得到，则由是定值，得到是定值，即位置固定不变，由半径为，即，得到，确定点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆，据此求解即可． 【详解】（1）解：①如图，由题意得， 当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为时，即， ∴中，，， ∴中，， ∴影子顶端（点B）到步道的距离（）为， 故答案为：； ②方法一：如图，作，垂足为D，设小明头顶为E， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵是定值， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； 方法二： 如图，设小明头顶为，当他走到上任意位置（记为点D）时，他的头顶G，影子为，连接，作，垂足为H， 由题意得，，， ∴， ∴， 同理，， 又∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴是定值， 即影子顶端到步道的距离不变； （2）解：如图，设小明头顶为E，连接，过作交延长线于， 由题意得，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∵是定值， ∴是定值，即位置固定不变， ∵半径为，即， ∴， ∴点运动轨迹为以为圆心，为半径的圆， ∴小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长为c． 82．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 【答案】（1）5.1，4.2；（2）丙树的高为5.56米 【分析】(1)如下图1，根据测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，利用相似三角形的比例式直接得出甲树高，接着如下图2先利用，求出的长，接着利用，可得出乙树的高； (2)如下图3，先通过求出FG的长，然后通过求出FH的长，最后通过可求出丙树的高． 【详解】解：（1）如图1，假设线段AB是甲树，线段CD是竹竿， 线段BE和线段CE分别为甲树和竹竿的影子， 米， 故甲树的高为5.1米； 如图2，假设线段是乙树，线段为乙树在墙壁上的影长， 线段为乙树落在地面上的影长， 与图1中的相似， 又， 故乙树的高为4.2米； 故答案为：5.1，4.2； （2）如图3，假设线段是丙树，线段为丙树落在地面上的影长， 线段为丙树落在坡面上影长，为小明，为小明落在坡面上影长， 则=2.4米，=3.2米，=1.6米，=2米， 又与图1中的相似， 又 故丙树的高为5.56米． 【点睛】此题主要考查了相似三角形的应用，有一定难度和综合性，根据同一时刻影长与高成比例以及假设没有墙或台阶时求出影长是解决问题的关键． 83．（2025·广东广州·二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 【答案】(1)12 (2)10米 【分析】此题考查了相似三角形的性质和判定的应用，解题的关键是掌握相似三角形的性质． （1）首先证明出，得到，然后代数求解即可； （2）证明出，得到，推出，然后表示出，同理证明出，得到，然后代数求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴电线杆的高度为10米． 压轴题型七、相似三角形的模型问题 84．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 【答案】（1）见解析；（2）；（3） 【分析】（1）由矩形的性质得到，然后结合求解即可； （2）证明出，得到，求出，然后证明出，得到，进而求解即可； （3）如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F，得到四边形是正方形，设，由得到，得到，得到，进而求解即可． 【详解】（1）证明：四边形是矩形， ， ． 又， ， ． （2）解：四边形是矩形， ， ，， ． 又， ， ． ， ． ，， ， ． ， ． （3）解：如图，分别过点A，B作，的垂线交于点F． ，， 四边形是正方形． 设， ． ， ． 由（2）知，， ， ． 在中，． ， 由（2）知，． 又， ， ， ． 【点睛】此题考查了矩形的性质，全等三角形和相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 85．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 【答案】(1)见解析 (2)①；② 【分析】本题属于四边形综合题，考查了菱形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）证明四边形是菱形，由菱形的性质得出； （2）①设，则，得出，解得，则可得出答案； ②设与交于点M，与交于点N，由题意得，，得出．证明，得，设，则，得出，由三角形面积可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是平行四边形， ， ． ， ， ， 四边形是菱形， ． （2）解：①由折叠可得：，， 四边形是菱形， ， ， ， ． ， ． ，，． 设，则， ， 解得， ． ②设与交于点M，与交于点N， 由题意得，， ， ， ， ， ， 点N是的黄金分割点， ． ， ， ． 设，则， ． ， ， ． 86．（2025·河北邢台·三模）如图1，图2，在菱形中，点是边的中点，连接，点N是边上一点． (1)如图1，若， ①在图1中，尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (2)如图2，连接．若，求的长． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2) 【分析】本题考查菱形的性质，尺规作图—作垂线，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）①以为圆心，取与能有交点的长为半径，画弧，交于两点，以这两点为圆心，大于这两点间的距离为半径画弧，两弧交于一点，连接与该点的直线，交于点，即可； ②等积法结合菱形的性质，即可得证； （2）延长交的延长线于．证明，推出，证明，列出比例式求解即可． 【详解】（1）解：①如图，即为所求； ②∵菱形， ∴， ， ∴， ∵， ； （2）如图2，延长交的延长线于． 四边形是菱形， ， ． 是边的中点， ， ． ． ， ，， ． ． ， ． ， ． ． ， ． 压轴题型八、相似三角形的综合大题 87．（2025·广东深圳·二模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形? 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．     【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）的长为或． 【分析】（1）先证明，再证明四边形是矩形，即可得结论； （2）如图2，由折叠得：，先证明四边形是矩形，如图3，设，，则，根据折叠的性质和等腰直角三角形的性质表示的长，即可解答； （3）设设与交于点O，分两种情况：或，①如图4，当时，，根据，，列比例式即可得结论；②如图5，当时，，同理可得结论． 【详解】（1）证明：如图1，由折叠得：，， ∵，四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴四边形是类矩形； （2）证明：如图2，由折叠得：， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， 如图3，设，，则， 由折叠得：，， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴四边形是类矩形； （3）解：设与交于点O， ∵垂直平分， ∴， ∵四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上， ∴， 同理得：，， ∵四边形是类矩形， ∴或， ①如图4，当时，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； ②如图5，当时，， 由①同理得：， ∴，即， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 综上，的长为或． 【点睛】本题是四边形的综合题，解题的关键是掌握折叠的性质，矩形的性质和判定，新定义类矩形的理解和运用，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，掌握折叠的性质和新定义的运用是解本题的关键． 88．（24-25八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一点，连接，为内一点，且，点关于直线的对称点为点，与交于点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查了对称的性质，菱形的性质，全等三角形的判定和性质． （1）根据题意，按要求作图即可； （2）先根据点关于直线的对称点为点，得，，，进而则可推出，再根据菱形的性质得，证明即可得出结论； （3）由得到，进而得到，， ，，即可得到，进而证明，得到，求出． 【详解】（1）解：补全图形如下： （2）证明：如图，连接， ∵， ∴， ∵点关于直线的对称点为点， ∴，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3）解：，证明如下： 如图， ∵四边形是菱形， ∴，与互相垂直平分，平分， ∵， ∴，， ∴，， ∵点关于直线的对称点为点， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴． 89．（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 【答案】（1）（2）（3） 【分析】（1）根据正方形的性质可得，，，即可得出结论； （2）在上截取，连接，不妨设，则，，，从而可得，，可证，即可求解； （3）可设，，则，延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T，证明，可得，，，证明，可得，，由（2）知：，从而求得，，，根据得，，即可求解． 【详解】解：（1）如图1，    取的中点H，连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵E是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：如图2，    在上截取，连接， ∵E时的中点， ∴， 不妨设，则， ∵， ∴， ∴， 由（1）得：，， ∴， ∴； （3）如图3，    ∵， ∴可设，，则， 延长，，交于点R，作，交延长线于H，交的延长线于G，作于T， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， 由（1）知：， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 由（2）知：， ∴， ∴， ∴， ∴， 由得，， ∴，（舍去）， ∴． 【点睛】本题考查正方形和矩形的性质、相似三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理，作出辅助线，构造全等三角形是解题的关键． $ 专题04 相似形章末易错压轴题型（13易错+8压轴） 目录 易错题型一、比例线段 易错题型二、黄金分割 易错题型三、平行线分三角形两边成比例 易错题型四、相似多边形 易错题型五、相似多边形的性质 易错题型六、相似三角形的判定 易错题型七、选择或补充条件使两个三角形相似 易错题型八、相似三角形的判定综合 易错题型九、利用相似三角形的性质求解 易错题型十、利用相似求坐标 易错题型十一、在网格中画与已知三角形相似的三角形 易错题型十二、重心的有关性质 易错题型十三、相似三角形的实际应用 压轴题型一、黄金分割综合应用 压轴题型二、相似三角形的判定综合 压轴题型三、相似三角形的性质综合 压轴题型四、相似三角形的动点问题 压轴题型五、重心的综合应用 压轴题型六、相似三角形的实际应用综合 压轴题型七、相似三角形的模型问题 压轴题型八、相似三角形的综合大题 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 易错题型一、比例线段 1．如图表示我国台湾省几个城市的位置关系．经测量得到基隆市到高雄市的图上距离为，地图上显示的比例尺为．则两城市的实际距离是（   ）千米． A．3.15 B．31.5 C．315 D．3150 2．已知线段，，．若线段a，b，c，d成比例，即，则线段d的长为 ． 3．已知按顺序排列的线段是成比例线段，其中，则 ． 4．已知线段满足，且． (1)求线段的长． (2)若线段是线段的比例中项，求线段的长． 易错题型二、黄金分割 5．生活中到处可见黄金分割的美，很多叶片本身都蕴含着黄金分割的比例，在大自然中呈现出优美的样子．如图，点P是的黄金分割点（），如果长为，那么的长约为（   ）． A． B． C． D． 6．人体美学中的黄金分割有很多种，其中肚脐是头顶到足底的黄金分割点（从头顶到足底画一条线段，肚脐是该线段的黄金分割点）．小明同学从足底到肚脐的距离是，小明同学的最佳身高是（   ）． A． B． C． D． 7．五角星是我们常见的图形，如图所示，其中，点C、D都是线段的黄金分割点，，则 ．（结果精确到） 8．宽与长的比是的矩形叫做黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、匀称的美感．世界各国许多著名的建筑，为取得最佳的视觉效果，都采用了黄金矩形的设计，如图甲所示的是希腊的巴特农神庙．如图乙所示，若黄金矩形的长，求该黄金矩形的宽是多少？ 易错题型三、平行线分三角形两边成比例 9．如图，直线，直线、与、、分别交于点、、，、、，若，，，则的长为（    ）． A．7 B． C．8 D． 10．如图，，分别交、、于点、、，分别交、、于点、、，若，，，则线段的长为（   ） A． B． C． D． 11．如图，已知，它们依次交直线和于点和点，如果，，那么 ． 12．小明同学在学习平行线分线段成比例定理时遇到这样一个问题：如图，在中，点D是的中点，点E是中点．连接，交于点G，求的值． 小明发现，过点D作交于H，根据平行线分线段成比例即可得到问题的答案．下面是小明的部分解题过程： 解：如图1，过点D作交于H， 是的中点， ， ， 请你补全余下的解题过程． 易错题型四、相似多边形 13．在矩形中，已知，，下列四个矩形中与矩形相似的是（   ） A． B． C． D． 14．如图，以正方形各边中点为顶点，得到一个新正方形，则新正方形与原正方形的相似比为（　　） A． B． C． D． 15．如图，五边形五边形，则五边形与五边形的相似比是 ．    16．观察下面两组多边形： (1)在图（1）中，矩形和矩形相似吗？为什么？ (2)在图（2）中，多边形和多边形都是各边相等，各角相等的六边形，它们是相似图形吗？为什么？ 易错题型五、相似多边形的性质 17．如图，四边形四边形，求的度数． 18．如图，已知四边形与四边形相似，点A，B，C，D的对应点分别为，，，． (1)_______； (2)求边x，y的长度． 19．（1）如图①，把矩形对折，折痕为，矩形与矩形相似，已知． ①求的长； ②矩形与矩形的相似比为___________． （2）如图②，把矩形分割成五个全等的小矩形，每一个小矩形均与原矩形相似．已知原矩形的长为25，宽为，求的值． 20．在的矩形花坛四周修筑小路． (1)如图①，如果四周小路的宽均相等，且宽度为x，那么矩形和矩形相似吗？请说明理由； (2)如图②，如果互相平行的两条小路的宽相等，且宽度分别为，试问：当两条小路的宽x与y的比值为多少时，矩形和矩形相似？请说明理由． 易错题型六、相似三角形的判定 21．如图，在和中，，．求证：； 22．如图，在四边形中，，，E 是的中点，．求证：． 23．如图，在中，． (1)请用无刻度的直尺和圆规作出，中边上的高；（保留作图痕迹，不写作法） (2)若（1）中所作的高线与边交于点D，求证：． 24．如图，在中，，是边上一点，且． (1)求证：． (2)若，，求的长． 易错题型七、选择或补充条件使两个三角形相似 25．如图，若，那么添加下列一个条件后，仍不能确定的是（　　） A． B． C． D． 26．如图，，添加一个条件能判定的是（　　） ①； ②； ③； ④． A．①②③ B．①②④ C．②③④ D．①②③④ 27．在和中，．要使，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 （写出一种情况即可）． 28．如图，中，是上一点，且，交于点，要证明：．    （1）题中已具备哪一个条件？ （2）在不添加任何辅助线的情况下，还需要哪一个条件？写出这个条件（要求：写出不同的四个条件，勿须证明）． 易错题型八、相似三角形的判定综合 29．如图，已知等腰和等腰有公共的顶点， 且，，，点恰好落在边上（与、不重合），连接． (1)求证：； (2)若与相交于点，求证：． 30．如图，在中，，，是边上的高，点为线段上一点（不与点，点重合），连接，作与的延长线交于点，与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：； 31．如图，四边形为正方形，． (1)证明： (2)不添加辅助线，添加一个角的条件，证明 32．如图，和是两个全等的等腰直角三角形，，的顶点与的斜边的中点重合，将绕点旋转，旋转过程中，线段与线段相交于点，线段与射线相交于点．    (1)如图①，当点在线段上，且时，求证：； (2)如图②，当点在线段的延长线上时，求证：． 易错题型九、利用相似三角形的性质求解 33．如图，点B，C分别在的边，上．已知，且，，，求的长． 34．如图，在正三角形中，，分别在，上，且，． 求证： (1)； (2)若，试求的长度． 35．如图，将等边三角形折叠，使点A落在边上的点D处（不与B、C重合），折痕为． (1)求证：； (2)若，，直接写出，的周长； (3)在（2）的条件下，求的长． 36．如图，在中，，点D、B、C、E在同一条直线上，且． (1)求证：； (2)若，，求的长度． 易错题型十、利用相似求坐标 37．如图，点的坐标分别是，如果以点为顶点的直角三角形与相似，则点的坐标可能是下列的（    ） ①  ②  ③  ④    A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④ 38．如图，在直角坐标系xOy中，A（﹣4，0），B（0，2），连结AB并延长到C，连结CO，若△COB∽△CAO，则点C的坐标为（　　） A．（1，） B．（，） C．（，2） D．（，2） 39．如图，在平面直角坐标系中，点A，的坐标分别为，，（点，点的对应点分别是点，点），的坐标为，则点的坐标为 ．    40．如图：在平面直角坐标系中，四边形是菱形，若、的长是关于的一元二次方程的两个根，且． (1)直接写出： ， ； (2)若点为轴上的点，且与相似．求此时点的坐标． 易错题型十一、在网格中画与已知三角形相似的三角形 41．如图，在正方形网格上有和． (1)这两个三角形相似吗？为什么？ (2)在网格中再画一个三角形，使它与相似，并求出其相似比． 42．如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，每个小正方形的边长均为1，顶点A、B、C均在格点上．请只用无刻度的直尺，在给定的正方形网格中，按要求画图，保留作图痕迹，不要求写出画法． (1)图1中，请画出中边上的中线； (2)图2中，请画出，点E、F分别在边、上，满足，且相似比为． 43．如图，在方格纸中，点A,B，C,D都在格点上． (1)在图1中画一个格点，使与相似 (2)在图2中画一个格点，使，且与不相似． 44．图①、图②、图③均是4×4的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点叫格点，的顶点均在格点上，只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留作图痕迹． (1)在图①中，以为边画一个四边形，使四边形是中心对称图形，但不是轴对称图形； (2)在图②中，分别在边上画点F、G，连接，使，且； (3)在图③中，分别在边上画点M、N，连接，使，且． 易错题型十二、重心的有关性质 45．如图，G是的重心，若，则图中阴影部分的面积是（   ） A．15 B．25 C．20 D．10 46．在中，是边上的中线，是重心．如果，那么线段的长为（　　） A．2 B．3 C．6 D．12 47．如图，在中，，，是的重心，那么点到直角顶点的距离 ．    48．（1）尺规作图：如图1，在平面内求作一点P，使得点P到的两边距离相等，并且到点D和点E的距离也相等．（不需书写作图过程，但需保留作图痕迹） （2）如图1，若点D为的重心，的面积为，连接并延长交于点F，求面积． 易错题型十三、相似三角形的实际应用 49．如图，为测量旗杆高度，淇淇在脚下水平放置一平面镜，然后向后退（保持脚、镜子和旗杆底端在同一直线上），直到她刚好在镜子中看到旗杆的顶端，此时淇淇的眼睛离地面的高度，淇淇与镜子的水平距离，镜子与旗杆的水平距离．求旗杆高度． 50．如图，为了测量一栋楼的高度，嘉嘉同学在她脚下放了一面镜子，然后向后退，直到她刚好通过光的反射在镜子中看到楼的顶部，已知嘉嘉身高是，她的眼睛（点K）距地面，同时量得，． (1)若，则 ； (2)求这栋楼的高度． 51．开封铁塔位于河南省开封市北门大街铁塔公园的东半部，是1951年中国首批公布的国家重点保护文物之一，素有“天下第一塔”之称，某中学数学实验小组利用节假日时间到现场测量开封铁塔的高度，如图，在地面上取E、G两点，分别竖立高为的标杆和，两标杆间隔，并且开封铁塔、标杆和在同一竖直平面内，从标杆后退到D处，从D处观察A点，A、F、D三点成一线，从标杆走到C处，从C处观察A点，A、H、C三点也成一线． 独立思考： （1）该小组在制定方案时，讨论过“利用物体在阳光下的影子测量标杆的高度”的方案，但未被采纳，你认为其原因可能是什么？（写出一条即可） 问题解决： （2）请根据以上测量数据，帮助该实践小组求出开封铁塔的高度． 52．综合与实践 【实践主题】借助标杆测量校园内路灯的高度． 【素材】标杆、皮尺、激光仪等工具． 【实践操作】如图，表示路灯的高度实验小组在路灯旁的水平空地上直立一根高米的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，（图中各点均在同一竖立平面内），测得米，米．      【问题解决】 （1）根据实验小组的测量数据，计算路灯的高度； 【反思交流】 （2）在交流中，一位同学对实验小组的方案提出质疑：如果路灯底部不可以直接到达，将无法测得线段的长，最后不能求得路灯的高度所以实验小组在此基础上对原有方案进行补充改进：如图，在点处再直立一根同样高度的标杆，调整地面上激光仪的位置点，使从点处发出的激光束恰好同时经过点，若，请你根据实验小组改进后的方案用含的代数式表示路灯的高度． 压轴题型一、黄金分割综合应用 53．宽与长的比是黄金比的矩形叫做黄金矩形．如图，是黄金矩形的对角线，与关于直线成轴对称，交于点E，则的值是（    ）． A． B． C． D． 54．如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫做线段的黄金分割点，与的比叫做黄金比，即．易知线段有两个黄金分割点．现有如图所示的乐器，乐器上的一根弦，两个端点，固定在乐器面板上，支撑点是靠近点的黄金分割点，支撑点是靠近点的黄金分割点，则支撑点之间的距离为 ．（结果保留根号） 55．关于的一元二次方程，当时，该方程的正根称为黄金分割数，宽与长的比是黄金分割数的矩形叫做黄金矩形． (1)求黄金分割数； (2)如图，在黄金矩形中，长，则矩形的面积 ； (3)如图，在正方形中，是边的中点，以为圆心，线段长为半径作弧，交的延长线于点，作矩形，试说明矩形是黄金矩形． 56．阅读理解： 二次根式的除法，要化去分母中的根号，需将分子、分母同乘以一个恰当的二次根式． 例如：化简． 解：将分子、分母同乘以得： ． 类比运用： （1）______； 拓展延伸： 宽与长的比是的矩形叫黄金矩形．如图1，已知黄金矩形的宽． （2）求黄金矩形中边的长； （3）如图2，将图1中的黄金矩形裁剪掉一个以为边的正方形，得到新的矩形，猜想矩形是否为黄金矩形，并证明你的结论． 压轴题型二、相似三角形的判定综合 57．如图，在中，，为其外心，是边上的中点，点使四边形是矩形，与交于，与关于边对称． (1)求证：与相似； (2)设与相交于点，求证：，． 58．如图，已知：在矩形中，的平分线分别与边及边的延长线相交于点、，为的中点，连接． (1)如果，，求的面积； (2)连接，求的度数． 59．在中，，为直线上一点，为直线上异于点的一点，连接，，使． (1)如图1，若点在线段上，，求证； (2)如图2，若点在线段上，，求的长； (3)如图3，若点在线段的延长线上，点在线段上，交于点F，，，求的值． 60．（1）如图1，在矩形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． 【问题解决】 （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【类比迁移】 （3）如图3，在菱形中，，分别在边，上，，，，求的长． 压轴题型三、相似三角形的性质综合 61．已知：如图，在平行四边形中，、分别是边，上的点，且，、分别交于点和点，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 62．如图：在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，，． (1)求的值； (2)求的长． 63．如图1，，点F是上一点，过点F作的垂线交于E，交的延长线于点D． (1)求证：∽； (2)连接，， ①当时，则______； ②当时，探究与之间的数量关系并说明理由； (3)如图2，，，． 操作：①延长； ②在的延长线上取一点E，点E与点D关于直线对称；若，求的长． 64．【问题提出】 （1）如图①，在中，D为边延长线上的点，过点D作交延长线于点E．若，，求的长． 【学以致用】 （2）如图②，在中，D是边上的点，E为边的中点，连接、交于点F．若，则的值为______． 温馨提示：可以过点E作的平行线或过点D作的平行线．如有更好的解法，请尝试． 【拓展延伸】 如图③，在中，D是边上的点，E为边延长线的点，连接、交延长线点F．若，，且的面积为1，则四边形的面积为______． 压轴题型四、相似三角形的动点问题 65．如图， 点P在上移动．当以P，C，D为顶点的三角形与 相似时，求的长． 66．如图，在平面直角坐标系中，已知，，点从点开始沿边向点以的速度移动；点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、同时出发，用表示移动的时间． (1)当为何值时，与相似； (2)当为何值时，四边形的面积为． 67．在平面直角坐标系中，已知，，点P从点O开始沿边向点A以的速度移动；点Q从点B开始沿边向点O以的速度移动．如果P、Q同时出发，用表示移动的时间． (1)用含t的代数式表示：线段 ； ． (2)求当t为何值时，四边形的面积为． (3)当与相似时，求出t的值． (4)求当t为何值时，线段分三角形的面积比为． 68．如图，在矩形中，，动点P以的速度从A点出发，沿向C点移动，同时动点以的速度从C点出发，沿向B点移动，设P、Q两点移动的时间为t秒．() (1)t为多少时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似? (2)探究：在P、Q两点移动过程中，四边形与的面积能否相等?若能，求出此时t的值；若不能，请说明理由． 压轴题型五、重心的综合应用 78．（24-25九年级下·浙江宁波·自主招生）在平面上，若点与三个顶点中的任意两点均构成等腰三角形，则称点是的“妙点”． (1)①若点是边长为4的等边内部一个“妙点”，则 ； ②在平面上，等边共有 个"妙点"； (2)在中，是的一个“妙点”，且，请直接写出所有满足题意的的度数并画出对应的图形． 79．（24-25九年级下·湖北武汉·阶段练习）问题呈现： 如图，是等边的中心，经过点的直线分别交边于点．设，探究的值． 问题探究： （1）如图（2），先将问题特殊化，若，求的值； （2）如图（1），在一般情形下，试判断（1）中的结果是否仍然成立？请证明你的判断； 问题拓展： （3）若，直接写出的值． 80．（24-25九年级上·四川成都·阶段练习）我们知道，三角形的三条中线一定会交于一点，这一点就叫做三角形的重心．重心有很多美妙的性质，如关于线段比、面积比就有一些“漂亮”结论，利用这些性质可以解决三角形中的若干问题．请你利用重心的概念完成如下问题： (1)若是的一条中线（如图1），是上一点，且满足，试判断______的重心（填“是”或者“不是”）； (2)若是的重心（如图2），连接并延长交于．证明：； (3)若是的重心，过的一条直线分别与、相交于、（均不与的顶点重合）（如图3）令，，设，请求出与的关系式． 压轴题型六、相似三角形的实际应用综合 81．（2025·江苏南京·一模）身高的小明在步道上散步，步道旁竖立着一盏路灯，其光源N到地面的距离为． (1)如图（1），步道为直线型（记为直线）． ①当小明步行到点A处时，路灯光线与地面的夹角（）以及影子和步道的夹角（）均为，则影子顶端（点B）到步道的距离（）为 ； ②在小明散步过程中，试说明影子顶端到步道的距离不变． (2)如图（2），步道为圆型（记为），其半径为．小明在步道上散步一周，直接写出影子顶端D运动的路径长． 82．（2024·内蒙古鄂尔多斯·二模）阅读以下文字并解答问题：在“测量物体的高度”活动中，某数学兴趣小组的3名同学选择了测量学校里的三棵树的高度，在同一时刻的阳光下，他们分别做了以下工作： 小芳：测得一根长为1米的竹竿的影长为0.8米，甲树的影长为4.08米（如1图）． 小华：发现乙树的影子不全落在地面上，有一部分影子落在教学楼的墙壁上（如2图），墙壁上的影长为1.2米，落在地面上的影长为2.4米． 小明：测得丙树落在地面上的影长为2.4米，落在坡面上影长为3.2米（如3图）．身高是1.6米的小明站在坡面上，影子也都落坡面上，小芳测得他的影长为2米． （1）在横线上直接填写甲树的高度为______米，乙树的高度为________米﹔ （2）请求出丙树的高度． 83．（2025·广东广州·二模）九年级数学项目式学习小组通过学习知道太阳光是平行光，可以借助太阳光线构成两个相似三角形，来计算出一些没办法直接测量的物体的高度．学习小组利用可伸缩的标杆和卷尺展开了测量物体高度的学习． (1)如图1，若垂直于地面的标杆米，它的影长米，同一时刻，旗杆的影长米，则旗杆的高度为______米； (2)如图2，学习小组计划测量运动场围墙外的电线杆的高度，但受围墙的阻碍，没办法直接测量电线杆的影长．同学们进行了如下操作：①在某一时刻，垂直于地面的2米标杆的端点C的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点E，测得米；②把标杆缩短为1.2米，记作，过了一段时间，标杆的端点D的影子恰好与电线杆的端点A的影子重合于点F，测得米．请求出电线杆的高度． 压轴题型七、相似三角形的模型问题 84．（24-25九年级下·贵州毕节·阶段练习）【知识探索】 （1）如图①，在矩形中，E为边上不与端点重合的一个动点，连接，过点A作的垂线，垂足为M，延长，分别交于点N，F，求证：； 【知识应用】 （2）在（1）的条件下，若，求的长； 【知识拓展】 （3）如图②，在中，，D，E分别是上的一点，且，若，求的值． 85．（24-25九年级下·安徽淮北·期中）在平行四边形中，． (1)如图1，求证：； (2)如图2，点F为上一点，连接，将沿折叠，使得点D刚好落在上的点G处，且． ①求的大小； ②求． 86．（2025·河北邢台·三模）如图1，图2，在菱形中，点是边的中点，连接，点N是边上一点． (1)如图1，若， ①在图1中，尺规作图：过点作，交于点；（不写作法，保留作图痕迹） ②求证：． (2)如图2，连接．若，求的长． 压轴题型八、相似三角形的综合大题 87．（2025·广东深圳·二模）综合与实践 【发现问题】在进行综合与实践活动时，学习小组发现生活中常用的纸是一个长与宽的比为的矩形． 【定义】若一个四边形为矩形，且长与宽的比为，则这个四边形为类矩形． 【提出问题】如何用不同形状的纸折一个类矩形? 【分析并解决问题】 （1）学习小组利用一张纸对折一次，使与重合，折叠过程如图1所示，其中，，求证：四边形是类矩形； （2）学习小组利用一张正方形纸片折叠2次，展开后得折痕，，再将其沿折叠，使得点B与点E重合，折叠过程如图2所示．求证：四边形是类矩形； 【拓展】 （3）如图3，四边形纸片中，垂直平分，，，点E，F，G，H分别是边上的点，将四边形纸片沿折叠，使得点B的对应点落在上，再沿折叠，使得点C，D的对应点分别落在上，若四边形是类矩形，请直接写出的值．     88．（24-25八年级下·北京·期中）如图，菱形的对角线，相交于点，点为边上一点，连接，为内一点，且，点关于直线的对称点为点，与交于点，连接，． (1)依题意补全图形； (2)求证：； (3)连接，若，用等式表示线段与的数量关系，并证明． 89．（2025·山东泰安·一模）综合与实践 【经典再现】 人教版八年级数学下册教科书69页14题：如图1，四边形是正方形，点是边的中点，且交正方形外角的平分线于点．求证．（提示：取的中点，连接．） （1）请你思考题中的“提示”，这样添加辅助线的目的是构造出______，进而得到． 【类比探究】 （2）如图2，四边形是矩形，且，点是边的中点，，且交矩形外角的平分线于点，求的值（用含的式子表示）； 【综合应用】 （3）如图3，为边上一点，连接，，在（2）的基础上，当，，时，请直接写出的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $