第二十五章 图形的相似（知识清单）数学冀教版九年级上册

第二十五章 图形的相似 知识点一、比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； （3）线段的比，最终要化成最简整数比. 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 知识点二、比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 知识点三、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 知识点四、相似形 形状相同的图形是相似形. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关. 知识点五、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做相似比. 1.相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点六、平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 知识点七、相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似，如图所示： 知识点八、相似三角形周长比的性质 1.相似三角形周长的比等于相似比； 2.相似多边形周长的比等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 知识点九、相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 知识点十、相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于相似比； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 知识点、相似三角形的实际应用 掌握相似三角形的判定和性质，能灵活运用其解决与三角形相似有关的几何证明、计算问题，如证明线段成比例、角相等，计算线段长度、图形面积等。 学会建立相似三角形模型解决实际问题，如测量物体的高度、宽度、距离等，体会数学与生活的密切联系，培养数学应用意识和实践能力。 通过用相似三角形解决问题的过程，进一步培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力和创新思维能力，提升学生的数学素养。 1、 比例线段 错误：比例线段的运算、比的顺序和结果有问题 注意：“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； 求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 线段的比，最终要化成最简整数比； 例（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 二、黄金分割 错误：黄金分割的边比比错、忘记黄金分割数 注意：黄金分割是以线段的比例中项来定义的； ，0.618又被称为黄金分割数； 例．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图所示，C是线段的黄金分割点，，D，E分别是，的中点．    （1）C也是线段 的黄金分割点； （2）若线段的长为，线段 （结果不求近似值）． 三、平行线分线段成比例 错误：平行线的对应边弄混淆，需要作平行线找到平行关系 注意：对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 例．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 四、相似多边形 1.相似图形 错误：相似图形识别错误 注意：（1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； （2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 例．（2025·河北保定·模拟预测）（1）观察下列式子： ，，，… 发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”） （2）类比猜想： 由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由； （3）解决问题： 某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________； A．变差了    B．变好了    C．没有改变 （4）联想拓展： 如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”） 2.相似多边形 错误：相似多边形的对应边、对应角出错 注意：（1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； （2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； （3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 例．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 四、相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的概念 错误：相似三角形的基本概念混淆 注意：【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 例．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有 对． 2.相似三角形的判定 错误：相似三角形的判定混淆概念 注意：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 例．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 3.相似三角形的性质 错误：找错相似三角形的对应边 注意：己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短” 例．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的边上一点，点在外部，且，，交于点． (1)求证：； (2)如果，求证： ①； ②． 五、相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用 错误：相似三角形的实际应用，找不到相似关系 注意：要会添加辅助线，尤其是平行线、作垂线等常见辅助线添加方法； 例．初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为（　　） A． B． C． D． 2．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，嘉淇在横格纸上画出了，恰好三个顶点都在横格线上，其中，，，都是三角形的边与横格线的交点．已知横格纸的横线互相平行且相邻横线间的距离都相等，若四边形的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 3．（2025·河南驻马店·一模）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的长为（   ） A． B． C． D．4 4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于G，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，等腰梯形纸片中，，，，且点在上，．以为折线将点向左折后，点恰落在上，如图所示．，，则图的与的长度比为何？（   ） A． B． C． D． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1） ； （2）的长为 ． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如果两个相似三角形的最短边长分别为和，它们的周长之差为，那么大三角形的周长为 ． 8．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点F在上，且，则 ． 9．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 10．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为 ： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 11．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是边，上的点，且，、分别交于点G和点H，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 12．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 14．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 15．（2025·河北唐山·三模）如图1，一矩形纸片，，，点是边上的动点（不与端点重合），把沿折叠，点落在点处，连接，设，． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)当，，三点在一条直线上时，如图2所示，求证：，并求此时的值； (3)当点在矩形内时，且的面积为4时，直接写出的值． 16．（2025·河北唐山·二模）如图，在平行四边形纸片中，点为边上一点（不与点重合），连接，作点关于的对称点，连接，． (1)当点恰好落在边上时， ①尺规作图：请在图中画出点和点的位置； ②直接写出四边形的形状； (2)当点恰好是边的中点时，连接，如图，若，，求线段的长． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二十五章 图形的相似 知识点一、比例线段 1.线段的比：两条线段长度的比叫做这两条线段的比. （1）“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； （2）在表示两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； （3）线段的比，最终要化成最简整数比. 2.成比例线段：在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段. 知识点二、比例的基本性质 1.基本性质：如果a：b＝c：d，那么ad＝bc，反过来，如果ad＝bc（b≠0，d≠0），那么a：b＝c：d. 2.合比性质：如果，那么， 如果，那么. 知识点三、比例中项 在比例式中，如果c＝b，那么，我们把b叫做a和d的比例中项. 如图所示，点B把线段AC分成两部分，如果，那么称线段AC被点B黄金分割，点B为线段AC的黄金分割点，AB与AC（或BC与AB）的比成为黄金比，它们的比值为，近似值为0.618. 1.黄金分割是以线段的比例中项来定义的； 2.一条线段有两个黄金分割点，它们是对称存在的； 3.数约等于0.618，这个数又被称为黄金数； 4.边长之比等于黄金数的图形叫做“黄金图形”. 知识点四、相似形 形状相同的图形是相似形. 1.至少有两个图形，图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； 2.全等形是一种特殊的相似形； 3.相似形与图形的大小、位置无关，与角度和方向也无关. 知识点五、相似多边形 各角分别相等、各边成比例的两个多边形，它们的形状相同，称为相似多边形. 两个相似多边形可以用符号“∽”表示，读作“相似于”，相似多边形的对应边的比叫做相似比. 1.相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； 2.全等多边形得相似比是1，相似比是1的相似多边形是全等多边形； 3.当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 知识点六、平行线分线段成比例定理 两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例. 如图： l1∥l2∥l3，直线a、b分别与l1、l2、l3交于点A、B、C和点D、E、F、，则有： 1.； 2.； 3.. 当两线段的比是1时，即为平行线等分线段定理，可见平行线等分线段定理是平行线分线段成比例定理特殊情况，平行线分线段成比例定理是平行线等分线段定理的推广. 知识点七、相似三角形的判定 由平行判定三角形相似 平行于三角形一边的直线与其他两边相交，所截得的三角形与原三角形相似，如图所示： 由两角关系判定三角形相似 两角分别相等的两个三角形相似，如图所示： 由两边及夹角的关系判定两三角形相似 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，如图所示： 由三边关系判定两个三角形相似 三边成比例的两个三角形相似，如图所示： 知识点八、相似三角形周长比的性质 1.相似三角形周长的比等于相似比； 2.相似多边形周长的比等于相似比. 如图所示，若，则， 则. 知识点九、相似三角形面积比的性质 相似三角形面积的比等于相似比的平方. 如图所示，若，则，分别作出与的高AD和， 则. 知识点十、相似三角形对应线段比的性质 1.相似三角形的对应角相等，对应边的比相等； 2.相似三角形中的对应线段的比等于相似比； 3.相似三角形对应高，对应中线，对应角平分线的比都等于相似比. 注：相似三角形中除了上述三种线段外，只要是对应的线段，它们的比都等于相似比. 知识点、相似三角形的实际应用 掌握相似三角形的判定和性质，能灵活运用其解决与三角形相似有关的几何证明、计算问题，如证明线段成比例、角相等，计算线段长度、图形面积等。 学会建立相似三角形模型解决实际问题，如测量物体的高度、宽度、距离等，体会数学与生活的密切联系，培养数学应用意识和实践能力。 通过用相似三角形解决问题的过程，进一步培养学生的逻辑推理能力、空间想象能力和创新思维能力，提升学生的数学素养。 1、 比例线段 错误：比例线段的运算、比的顺序和结果有问题 注意：“线段的比”与“线段的比值”区别：线段的比是运算，线段的比值是一个结果，是一个数； 求两条线段的比时，须统一成相同的单位，最终的比值与单位无关，比值没有单位； 线段的比，最终要化成最简整数比； 例（24-25九年级上·河北石家庄·期中）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2)12 【分析】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题的关键． （1）设，则，代入计算即可得； （2）设，则，代入计算可求出k的值，从而可得a，b，c的值，代入计算即可得． 【详解】（1）解：设，则， ． （2）设，则， ， ， 解得， ，， ． 二、黄金分割 错误：黄金分割的边比比错、忘记黄金分割数 注意：黄金分割是以线段的比例中项来定义的； ，0.618又被称为黄金分割数； 例．（23-24九年级上·河北邢台·阶段练习）如图所示，C是线段的黄金分割点，，D，E分别是，的中点．    （1）C也是线段 的黄金分割点； （2）若线段的长为，线段 （结果不求近似值）． 【答案】 / / 【分析】（1）根据线段中点定义得，再根据点C是线段的黄金分割点，则，通过计算得，即可得到结论； （2）根据点C是线段的黄金分割点，利用黄金比计算即可． 【详解】解：（1）分别是的中点， ，， ， ∵点C是线段的黄金分割点，， ， ， ， ， ， ， 即：， ∴点C是线段的黄金分割点； （2）， ， 点C是线段的黄金分割点， ， ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查了黄金分割，明确黄金分割的定义和熟练应用黄金比是解题关键． 三、平行线分线段成比例 错误：平行线的对应边弄混淆，需要作平行线找到平行关系 注意：对应线段成比例可用语言形象表示：等等. 例．（24-25九年级上·河北邢台·阶段练习）如图，是的中线，E是线段上的一点，且，连接并延长交于点F． (1)求的值； (2)若，求的长． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查中线定义，线段和差关系，平行线分线段成比例等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键．． （1）根据题意可知，继而得到本题答案； （2）过D作交于M点，继而得到，再利用中线定义得到，再利用平行线分线段定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，过D作交于M点， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 四、相似多边形 1.相似图形 错误：相似图形识别错误 注意：（1）相似图形的形状完全一样，图形的大小不一定相同； （2）全等图形是一种特殊的相似图形，它们不仅形状相同，大小也相同； （3）判断两个图形是否相似，就是看两个图形的是不是形状相同，与其它的因素无关. 例．（2025·河北保定·模拟预测）（1）观察下列式子： ，，，… 发现：对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值_____________；（选填“变大”“变小”或“不变”） （2）类比猜想： 由（1）猜想分式和（其中，，）的大小关系，并说明理由； （3）解决问题： 某公司建居民住宅时，要求窗户与卧室地面面积的比值达到左右，显示这个比值越大采光条件越好，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件___________； A．变差了    B．变好了    C．没有改变 （4）联想拓展： 如图所示，一个长为宽为的矩形（），四周都增加，所得大矩形与原来的矩形相似吗？____________（直接填“是”或“否”） 【答案】（1）变大；（2）；（3）A；（4）否 【分析】（1）根据已知的不等式观察规律即可； （2）利用作差法比较与的大小，即可解答； （3）设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m，作差法比较、的大小解答； （4）根据（1）、（2）、（3）得到的结论分析解答即可； 【详解】解：（1）∵，，，… ∴对于真分数，当分子、分母同时加上同一个大于0的数时，所得分数的值变大， 故填：变大； （2）由（1）得：＜，理由如下： ， ∵ ， ∴ ， ∴ ＜0， ∴ ； （3）根据（2）的结论可知，如果同时减少相等的窗户面积和地面面积，那么采光条件变差了，理由如下：设，同时减少相等的窗户面积和地面面积为m， 则-＜0， ∴ ＜， ∴ 采光条件变差， 故选A ； （4）由（2）知：，所得大矩形与原来的矩形不相似， 故填：否． 【点睛】本题考查分式的基本性质、相似图形的判定，读懂材料，掌握基本运算法则是关键． 2.相似多边形 错误：相似多边形的对应边、对应角出错 注意：（1）相似多边形的三个条件：①边数相同；②对应角相等；③对应边成比例； （2）全等多边形的相似比是1，即全等图形是一种特殊的相似图形；； （3）当用符号“∽”表示两个相似图形时，对应点必须写在对应位置. 例．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）阅读理解：给定一个矩形，如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，则这个矩形是给定矩形的“减半”矩形．如图，矩形是矩形的“减半”矩形． 请你解决下列问题：    (1)当矩形的长和宽分别为1，7时，它是否存在“减半”矩形？若存在，请求出“减半”矩形的长和宽，若不存在，请说明理由． (2)边长为的正方形存在“减半”正方形吗？如果存在，求出“减半”正方形的边长；如果不存在，请说明理由． 【答案】(1)存在，“减半”矩形长和宽分别为与． (2)不存在，理由见解析。 【分析】本题考查反证法和相似图形的性质，关键知道相似图形的面积比，周长比的关系． （1）假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为x、y，根据如果存在另一个矩形，它的周长和面积分别是已知矩形的周长和面积的一半，可列出方程组求解． （2）正方形和其他的正方形是相似图形，周长比是2，面积比就应该是，所以不存在“减半”正方形． 【详解】（1）解：存在，“减半”矩形长和宽分别为与． 假设存在，不妨设“减半”矩形的长和宽分别为，，则， 由①，得：，③ 把③代入②，得， 解得，． 所以“减半”矩形长和宽分别为与． （2）解：不存在，理由如下： 因为两个正方形是相似图形，当它们的周长比为时，面积比必定是， 所以正方形不存在“减半”正方形． 四、相似三角形的判定与性质 1.相似三角形的概念 错误：相似三角形的基本概念混淆 注意：【补充】三角形全等是三角形相似的特殊情况，全等三角形的相似比等于1. 【注意事项】符号“∽”表示两个三角形相似时，要把表示对应顶点的大宇母写在对应的位置上，如△ABC∽△DEF，表示顶点A与D，B与E，C与F分别对应； 【易错点】如果仅说△ABC与△DEF相似，没有用“∽”连接，则需要分情况讨论它们之间的对应关系. 相似比：相似三角形对应边的比叫做相似比. 【补充】相似比具有顺序性，如△ABC∽△DEF，相似比为k，则△DEF与△ABC的相似比为. 例．如图，在▱ABCD中，F是BC上的点，直线DF与AB的延长线相交于点E，与AC相交于点M，BP∥DF，且与AD相交于点P，与AC相交于点N，则图中的相似三角形有 对． 【答案】16 【分析】根据相似三角形的判定，判断出△BFE∽△ADE，△BFE∽△APB，△BFE∽△CFD，从而得到△ADE∽△APB，△ADE∽△CFD，△APB∽△CFD，类似可得与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对；与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对；与△ABC相似的有△CDA，共1对． 【详解】解：∵AD∥BF， ∴△BFE∽△ADE， ∵AD∥BC， ∴∠DAB=∠CBE， ∵DE∥BP， ∴∠E=∠PBA， ∴△BFE∽△APB， ∵AE∥DC， ∴△BFE∽△CFD， ∴△ADE∽△APB， ∴△ADE∽△CFD， ∴△APB∽△CFD， 故与△BFE相似的有△ADE，△APB，△CFD，共6对； 类似的，与△CFM相似的有△CNB，△ANP，△AMD，共6对； 与△CMD相似的有△ANB，△AME共3对； 与△ABC相似的有△CDA，共1对． 故答案为16． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定和平行四边形的性质，找到平行线进而判断出三角形相似是解题的关键． 2.相似三角形的判定 错误：相似三角形的判定混淆概念 注意：①平行于三角形一边的直线和其他两边（或其延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似． ②三边成比例的两个三角形相似； ③两边成比例且夹角相等的两个三角形相似； ④两角分别相等的两个三角形相似． 例．如图，点，分别在正方形的边，上，，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定，掌握相似三角形的判定定理是解题关键．根据正方形的性质，得出，，进而得出，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似即可证明． 【详解】解：，， ， 四边形是正方形， ，， ，， 又， ． 3.相似三角形的性质 错误：找错相似三角形的对应边 注意：己知两三角形相似，写对应角相等，对应边成比例时，原则是“大对大，小对小；长对长，短对短” 例．（24-25九年级上·河北邯郸·期中）如图，是的边上一点，点在外部，且，，交于点． (1)求证：； (2)如果，求证： ①； ②． 【答案】(1)详见解析 (2)①详见解析；②详见解析 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定方法是解题的关键． （1）由得到，根据“角边角”推得，即可证得答案； （2）①由，可证，进而可证，然后根据可证； ②由，得到，再证明，得到，所以，由此即得答案． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ， ； （2）证明：①， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； ②∵， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ． 五、相似三角形的应用 1.相似三角形的实际应用 错误：相似三角形的实际应用，找不到相似关系 注意：要会添加辅助线，尤其是平行线、作垂线等常见辅助线添加方法； 例．初三数学小组准备用所学知识测量路灯的高度，路灯底端有花坛无法直接到达，在路灯一侧有一棵高为3米的小树（米），小峰站在距离小树2.8米的D处（米）观察发现，他的眼睛C与小树的顶端E、路灯的顶端A在同一条直线上，小峰的眼睛距离地面1.6米（米），小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A，平面镜距离小树1.4米（米），请你帮助小峰计算路灯的高度．（结果精确到0.1米） 【答案】6.6米 【分析】本题考查相似三角形的应用，矩形的判定与性质，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 过点C作于G，交于Q，先证明四边形是矩形，四边形是矩形，得米，，米，设米，则米，再证明，，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：如图，过点C作于G，交于Q， 由题意得，，，， ∴， ∵ ∴， ∴四边形是矩形，四边形是矩形， ∴米，，米， ∵米， ∴米， 设米，则米， ∵小峰在小树的前方P处放置一个平面镜，小峰紧靠小树站立（小峰与树之间的距离忽略不计）刚好在镜面中看到路灯的顶端A， ∴ ∵ ∴ ∴，即 ∴， ∴米， ∵ ∴ ∴，即 解得： ∴（米）． 答：路灯的高度约为6.6米． 1．（24-25九年级上·河北秦皇岛·期末）据《墨经》记载，在两千多年前，我国学者墨子和他的学生做了“小孔成像”实验，阐释了光的直线传播原理，小孔成像的示意图如图所示，光线经过小孔，物体在幕布上形成倒立的实像（点的对应点分别是）．若物体的高为，小孔到地面距离为，则实像的高度为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查相似三角形的判定和性质，证明，列出比例式进行求解即可． 【详解】解：由题意可知：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； 故选B． 2．（2025·河北衡水·模拟预测）如图，嘉淇在横格纸上画出了，恰好三个顶点都在横格线上，其中，，，都是三角形的边与横格线的交点．已知横格纸的横线互相平行且相邻横线间的距离都相等，若四边形的面积为，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，根据题意添加适当的辅助线是解题关键． 与的交点为，与横格纸的横线交点为，连接．已知横格纸的横线互相平行且相邻横线间的距离都相等，即可得证、，利用相似三角形对应线段的比等于相似比，得四边形是平行四边形，推出各个三角形面积相等，结合四边形的面积为，进而得，即可求解． 【详解】解：如图，与的交点为，与横格纸的横线交点为，连接． 横格纸的横线互相平行， ，，， 相邻横线间的距离都相等， 的高的高，的高的高， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 同理可得：, 四边形的面积为， ， ； 故选C． 3．（2025·河南驻马店·一模）如图，在中，平分交于点D，过点D作交于点E，若，则的长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定等知识，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题关键．先根据等腰三角形的判定可得，从而可得，再证出，根据相似三角形的性质即可得． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， 解得， 故选：A． 4．（2024·黑龙江哈尔滨·三模）如图，在平行四边形中，F是上一点，交于点E，的延长线交的延长线于G，，则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形相似的判定和性质计算选择即可．熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．根据得到，继而得到，得到；根据得到，继而得到，可以推出，由此得到继而得到可以判断A；根据，可以判断B；根据题意，得可以判断C；根据，得到继而得到，可判断D． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故A正确，不符合题意； ∵， ∴，故B正确，不符合题意； 根据题意，得，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∴，故D错误，符合题意． 故选：D． 5．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，等腰梯形纸片中，，，，且点在上，．以为折线将点向左折后，点恰落在上，如图所示．，，则图的与的长度比为何？（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠得，，，，证明四边形是平行四边形，通过性质和等腰三角形的性质证明，则，即，求出，最后由线段和差即可求解． 【详解】解：如图， 由折叠得：，，，，， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴， 故选：． 【点睛】本题考查了梯形性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质等，熟练运用相似三角形的判定和性质是解题关键． 6．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，在中，延长至点，使，在上取一点，连接交于点，过点作交于点，已知，． （1） ； （2）的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线分线段成比例． （1）根据平行线分线段成比例定理求出，然后根据比的性质求解即可； （2）根据（1）中结论并结合已知求出，然后平行线分线段成比例定理求解即可． 【详解】解：（1）因为 所以， 又因为， 所以 所以； 故答案为：； （2）因为 所以 因为， 所以， 又因为， 所以 ， 故答案为：． 7．（25-26九年级上·河北石家庄·阶段练习）如果两个相似三角形的最短边长分别为和，它们的周长之差为，那么大三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了相似三角形的性质． 相似三角形的周长比等于相似比，所以设两个三角形周长为未知数列方程即可． 【详解】解：由题可设两个三角形周长分别为，， 则， 解得， ， 故答案为：． 8．（24-25八年级下·河北沧州·阶段练习）如图，在平行四边形中，点F在上，且，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等知识，设，，，则，利用相似三角形的性质求出平行四边形的面积，即可解决问题，解题的关键是学会利用参数解决问题． 【详解】解：设，，，则， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为:． 9．黄金分割是汉字结构最基本的规律．借助如图的正方形习字格书写的汉字“晋”端庄稳重、舒展美观．已知一条分割线的端点A，B分别在习字格的边上，且，“晋”字的笔画“、”的位置在的黄金分割点C处，且，若，则的长为 （结果保留根号）． 【答案】或 【分析】本题考查了黄金分割的定义，正方形的性质及矩形的判定与性质，熟记黄金比是解题的关键． 先证明四边形是矩形，根据黄金分割的定义可得，据此求解即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴． 又∵， ∴， 故答案为：或． 10．（24-25九年级上·河北石家庄·期中）如图，是的中线． ①若为的中点，射线交于点，则的值为 ： ②若为上的一点，且，射线交于点，则的值为 【答案】 / 【分析】本题主要考查了平行线分线段成比例，三角形中线的性质； ①过点作于点，根据平行线分线段成比例可得，，再由是的中线，为的中点，可得，，即可求解； ②根据，可得，再由，可得，即可求解． 【详解】解：①过点作交于点，   ∴，， ∵是的中线， ∴， ∴，即， ∵为的中点， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； 故答案为： ②∵，， ∴，即， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 11．（25-26九年级上·河北邢台·阶段练习）已知：如图，在平行四边形中，E、F分别是边，上的点，且，、分别交于点G和点H，，． (1)求证：； (2)求线段的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】本题主要考查平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定，熟练掌握平行四边形的性质及相似三角形的性质与判定是解题的关键； （1）由题意易得，则有，然后可得，进而问题可求解； （2）由题意易得，则有，然后可得，进而可得，最后问题可求解． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． （2）解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 12．如图所示，是的中线． (1)若E为的中点，射线交于F，求； (2)若E为上的一点，且，射线交于F，求． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握此知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． （1）过点作，交于点．由得出，结合是的中线得出，由得出，结合为的中点得出，即可得解； （2）过点作，交于点．由得出结合得出，由（1）知，从而得出，进而得出，即可得解． 【详解】（1）解：如图，过点作，交于点． ，， ， 又是的中线， ， ． ， ， 又为的中点， ， ， ； （2）解：如图，过点作，交于点． ，， ， ， ， 即， 由（1）知， ， ， ． 13．（24-25九年级上·河北唐山·期末）如图，在中，，点分别在边上，． (1)求证：； (2)如果，，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)的长为2或4． 【分析】本题考查了相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，掌握相似三角形的性质是解题的关键． （1）由等腰三角形的性质可得，由外角的性质可得，可得结论； （2）根据，得到，进而求出解即可． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：， ， ， ， ，即， 解得或， 的长为2或4． 14．（2025·河北邯郸·二模）已知宽与长的比是（约为0.618）的矩形叫黄金矩形．黄金矩形作为一种美学比例，无论是建筑、绘画、设计还是自然现象，都能找到它的身影，这种比例不仅在视觉上给人以和谐、平衡和美感，还反映了人类对美的追求和自然界的奇妙规律．某数学兴趣小组对如何用折纸或尺规作图的方法得到黄金矩形进行了探索． 实验操作： 第一步：在一张矩形纸片的一端，利用图1的方法折出一个正方形，然后把纸片展平； 第二步：如图2，把这个正方形折成两个全等的矩形，再把纸片展平； 第三步：折出内侧矩形的对角线，并把折到图3中处； 第四步：如图4，展开纸片，按照所得的点N折出，得到矩形． 问题解决： （1）求证：矩形是黄金矩形； （2）在图2的基础上，参考上述操作思路，嘉嘉说：“也可以用无刻度的直尺和圆规在图2中作出黄金矩形”．请你根据嘉嘉的想法作出图形（保留作图痕迹，不写作法）； 拓展延伸： 淇淇同学发现，在图4中还有一个黄金矩形，但她说不出理由，请你帮她找出来并证明． 【答案】问题解决：（1）见解析；（2）见解析；拓展延伸：矩形也是黄金矩形，见解析 【分析】本题考查几何变换综合题，黄金矩形的定义，正方形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，翻折变换，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）由操作过程可知，．设，则，表示，结合，计算，可得矩形是黄金矩形． （2）在线段的延长线上截取，过作的垂线交于，结合（1）的结论可得矩形是黄金矩形． （3）根据问题解决（1）可得，，求解，再进一步求解即可. 【详解】（1）证明：由操作过程可知，． 设，则， ， 由折叠的性质，得， ， ， 矩形是黄金矩形． （2）解：作图如图． 拓展延伸  解：矩形也是黄金矩形． 证明：由问题解决（1）可得，， ， ， 矩形也是黄金矩形． 15．（2025·河北唐山·三模）如图1，一矩形纸片，，，点是边上的动点（不与端点重合），把沿折叠，点落在点处，连接，设，． (1)求的度数（用含的式子表示）； (2)当，，三点在一条直线上时，如图2所示，求证：，并求此时的值； (3)当点在矩形内时，且的面积为4时，直接写出的值． 【答案】(1) (2)详见解析， (3) 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，相似三角形的判定和性质，勾股定理解三角形等，理解题意，熟练掌握运用相似三角形和矩形得到性质是解题关键． （1）根据矩形及折叠的性质得出，即可求解； （2）根据题意得出P，E，C三点在一条直线上，然后利用勾股定理得出，再由全等三角形的判定和性质确定，结合图形即可求解； （3）过点E作的平行线，分别交于点G、F，根据矩形的判定和性质得出，，利用三角形等面积法确定，再由相似三角形的判定和性质求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴； （2）证明：∵沿折叠得， ∴，， ∵P，E，C三点在一条直线上， ∴， 即， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， 即； （3）解：过点E作的平行线，分别交于点G、F，如图所示： ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形为矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由折叠得：，， ∵， ， ∴， ∴， ∴即， ∴， ∵， ∴， 解得：或（负值舍去）． 16．（2025·河北唐山·二模）如图，在平行四边形纸片中，点为边上一点（不与点重合），连接，作点关于的对称点，连接，． (1)当点恰好落在边上时， ①尺规作图：请在图中画出点和点的位置； ②直接写出四边形的形状； (2)当点恰好是边的中点时，连接，如图，若，，求线段的长． 【答案】(1)①画图见解析；②菱形 (2) 【分析】（）①以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，再作的角平分线，交于点，则点和点即为所求；②根据菱形的判定即可求解； （）证明即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示，点和点即为所求； ②四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵点和点关于对称， ∴，， ∴， ∴四边形是菱形； （2）解：由轴对称得，，， ∵点恰好是边的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， 即， ∴． 【点睛】本题考查了作一条线段等于已知线段，角平分线的画法，等腰三角形的判定，平行四边形的性质，轴对称图形的性质，菱形的判定，相似三角形的判定和性质，正确画出图形是解题的关键． 1 / 6 学科网（北京）股份有限公司 $