精品解析：吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年八年级上学期10月数学月考

吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年八年级上学期10月 数学月考 一、选择题（共24分） 1. 81的算术平方根为（ ） A. B. 3 C. D. 9 2. 在下列各数：、、0、、、中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（ ） A. 10 B. 3 C. 5 D. 7 5. 若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（ ） A. ， B. ，3 C. 2， D. 2，3 6. 若 ，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（ ）分钟后，与全等． A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 二、填空题（共18分） 9. 的算术平方根是______． 10. 因式分解：________． 11. 已知，为实数，且满足 ，则_____，______． 12. 如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则______．      13. 如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，图中阴影部分的面积为________． 14. 如图，有一块长为，宽为的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为和，则绿化的空地面积为________．（用含a，b的式子表示） 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 16. 把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 17. 已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，已知，，．求证：． 20. 如图，小方格的边长为1，为格点三角形． （1）在图①中画出一个与全等且只有1个公共顶点的格点三角形； （2）在图②中画出所有与全等且只有1条公共边的格点三角形． 21. 如下是明明的课后作业，阅读并完成下列任务： 化简：． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 （1）任务一：上述化简过程在第________步开始出现错误，错误的原因是________； （2）任务二：写出正确的化简过程． 22. 阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 （1）比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； （2）已知，，比较a、b的大小； （3）比较与的大小． 23. 等积法是学习数学的一种重要的思想方法．用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题；这就是等积法的思想． （1）如图1是由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：________； （2）①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为________； ②已知，，求代数式的值． 24. 如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动．     （1）如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． （3）在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林省长春市第二实验中学2025-2026学年八年级上学期10月 数学月考 一、选择题（共24分） 1. 81的算术平方根为（ ） A. B. 3 C. D. 9 【答案】D 【解析】 【分析】根据算术平方根的定义即，解答即可． 本题考查了算术平方根，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得， 故选：D． 2. 在下列各数：、、0、、、中，无理数的个数是（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的识别，无限不循环小数叫无理数，初中范围内常见的无理数有三类：①类，如，等；②开方开不尽的数，如，等；③虽有规律但却是无限不循环的小数，如（两个1之间依次增加1个0），（两个2之间依次增加1个1）等，据此可得答案． 【详解】解：， 在、、0、、、中，无理数有、、，共3个， 故选：C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式，积的乘方，单项式除以单项式，熟练掌握以上运算法则是解题的关键． 根据同底数幂的乘法，完全平方公式，平方差公式，积的乘方，单项式除以单项式运算法则，进行计算，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项不正确，不符合题意； B. ，故该选项不正确，不符合题意； C. ，故该选项不正确，不符合题意； D. ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 4. 若单项式和单项式的积与是同类项，则的值为（ ） A. 10 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，同类项的定义，代数式求值．根据单项式乘以单项式结合同类项的定义求出和的值，再代入到中计算即可求解． 【详解】解：单项式和单项式的积为 ， ∵单项式和单项式的积与是同类项， ∴与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：D． 5. 若多项式因式分解的结果为，则，的值分别为（ ） A. ， B. ，3 C. 2， D. 2，3 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义和多项式的乘法，解题的关键是将因式分解的结果展开． 根据题意得到，可得m、n的值． 【详解】解：∵ ∴ ∴，， 故选：C． 6. 若 ，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的运用，利用平方差公式可得，进而可得，再根据完全平方公式的变形运算即可求解，熟练掌握完全平方公式和平方差公式的运用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， 故选：． 7. 下面四个整式中，不能表示图中阴影部分面积的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查列代数式、多项式乘多项式与图形的面积，根据阴影部分面积写出不同的代数式是解题的关键． 首先根据阴影部分的面积写出代数式，再结合图形进行不同的化简，最终逐一判断选项的正误即可． 【详解】解：， 故选：D． 8. 如图，，于点A，于点B，且，点P从B向A运动，每分钟走1m，点Q从B向D运动，每分钟走2m，P、Q两点同时出发，运动（ ）分钟后，与全等． A. 2 B. 3 C. 4 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了直角三角形全等的判定方法，运用分类讨论的思想.设运动x分钟后与全等，则，，则，分两种情况：①若，则，此时，；②若，则，得出，，即可得出结果. 【详解】解：∵于点A，于点B， ∴， 设运动x分钟后与全等 则，，则， 分两种情况： ①若，则， ∴，，， ∴， ②若，则， 解得，， 此时与不全等. 综上所述：运动4分钟后与全等. 故选：C. 二、填空题（共18分） 9. 的算术平方根是______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查算术平方根，掌握知识点是解题的关键． 先求出，再根据算术平方根的定义，即可解答． 【详解】解：∵， ∴的算术平方根是2． 故答案为：2． 10. 因式分解：________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了用公式法因式分解，熟练掌握完全平方公式，是解题的关键．用完全平方公式进行因式分解即可． 【详解】解：． 故答案为：． 11. 已知，为实数，且满足 ，则_____，______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了通过完全平方公式分解因式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性，根据完全平方公式，偶次幂非负性，算术平方根的非负性即可求解，掌握知识点的应用是解题关键． 【详解】解：∵ ， ∴ ， ∴， ∴，， ∴，， 故答案为：，． 12. 如图，点D在上，于点E，交于点F，．若，则______．      【答案】##55度 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，三角形外角的性质，证明得到，是解题的关键．利用证明得到，利用三角形外角的性质求出的度数，再利用三角形的外角的性质即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：． 13. 如图，两个正方形边长分别为a、b，且满足，图中阴影部分的面积为________． 【答案】23 【解析】 【分析】本题考查整式的运算以及化简求值．熟练掌握完全平方公式及适当的变形是解题的关键． 用含有、的代数式表示阴影部分的面积，再根据完全平方公式进行代数式的变形，进而求出答案． 【详解】解： ， ∵， 原式． 故答案为：23． 14. 如图，有一块长为，宽为的长方形空地，计划修筑东西、南北走向的两条道路，其余空地进行绿化．已知两条道路的宽分别为和，则绿化的空地面积为________．（用含a，b的式子表示） 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了平方差公式的应用， 根据长方形的面积计算方法先列出算式，再根据平方差公式的法则进行计算即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 三、解答题（共78分） 15. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，立方根和算术平方根等知识点，正确化简计算是解题的关键． （1）分别计算乘方，算术平方根，绝对值，再进行加减计算； （2）分别计算乘方，算术平方根，立方根，再进行加减计算． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 16. 把下列多项式分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，叫做因式分解．因式分解常用的方法有：①提公因式法；②公式法；③十字相乘法；④分组分解法．因式分解必须分解到每个因式都不能再分解为止． （1）用完全平方公式分解即可； （2）先提取公因式，再用平方差公式分解． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 原式 ． 17. 已知的算术平方根是，的立方根是，求的平方根． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，算术平方根，平方根，先根据的算术平方根是，得出；再结合的立方根是，得出，最后求出的值为，即可作答． 【详解】解：∵的算术平方根是， ∴， ∴， ∵的立方根是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的平方根为， 即：的平方根为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】，3 【解析】 【分析】本题考查了多项式除以单项式、平方差公式、整式的加减，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算多项式除以单项式、平方差公式，再计算整式的加减，然后将代入计算即可得． 【详解】解：原式 ， 将代入得：原式． 19. 如图，已知，，．求证：． 【答案】 证明：， ，即， 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．先通过角度的和差关系得出，再结合已知的，，利用“”判定两个三角形全等． 【详解】略 20. 如图，小方格的边长为1，为格点三角形． （1）在图①中画出一个与全等且只有1个公共顶点的格点三角形； （2）在图②中画出所有与全等且只有1条公共边的格点三角形． 【答案】（1） 如图①所示：（答案不唯一） （2） 如图②所示： 【解析】 【分析】本题主要考查的是作图-应用设计、全等三角形的判定，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）延长到D使，延长到E使，即为所求； （2）分别作出关于、对称的三角形，然后再利用轴对称的性质判断其它可能的情况即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如下是明明的课后作业，阅读并完成下列任务： 化简：． 解：原式 第一步 第二步 ． 第三步 （1）任务一：上述化简过程在第________步开始出现错误，错误的原因是________； （2）任务二：写出正确的化简过程． 【答案】（1）二；括号前是负号，去括号时未变号 （2） 解：原式 ． 【解析】 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、单项式乘以多项式、多项式除以单项式，熟练掌握运算法则是解题关键． （1）根据去括号法则即可得在第二步开始出现错误，去括号时未变号； （2）先计算多项式乘以多项式、单项式乘以多项式，再计算多项式除以单项式，然后计算整式的加减即可得． 【小问1详解】 解：上述化简过程在第二步开始出现错误，错误的原因是括号前是负号，去括号时未变号， 故答案为：二；括号前是负号，去括号时未变号． 【小问2详解】 略 22. 阅读下列两则材料，解决问题： 材料一：比较和的大小． 解：∵，且 ∴，即． 小结：指数相同的情况下，通过比较底数的大小，来确定两个幂的大小． 材料二：比较和的大小 解：∵，且， ∴，即． 小结：底数相同的情况下，通过比较指数的大小，来确定两个幂的大小， 【方法运用】 （1）比较______的大小（填“＞”或者“＜”）； （2）已知，，比较a、b的大小； （3）比较与的大小． 【答案】（1）＞ （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查幂的乘方与积的乘方、实数的大小比较，解答本题的关键是明确实数的大小比较方法． （1）由，，再比较大小即可； （2）由，，再仿照材料中的例题，比较大小即可； （3）由，，再比较大小即可． 【小问1详解】 解：，， ∵， ∴，即， 故答案为：＞． 【小问2详解】 解：∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 由题意得，， ∴， 又∵， ∴． 【小问3详解】 解：， ， ∵， ∴， 即． 23. 等积法是学习数学的一种重要的思想方法．用两种不同的方法表示同一个图形的面积，可以得到一个等式，进而可以利用得到的等式解决问题；这就是等积法的思想． （1）如图1是由边长分别为，的正方形和长为，宽为的长方形拼成的大长方形，由图1，可得等式：________； （2）①如图2是由几个小正方形和小长方形拼成的一个边长为的大正方形，用不同的方法表示这个大正方形的面积，得到的等式为________； ②已知，，求代数式的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】本题考查了完全平方公式与几何图形，多项式的乘法，熟练掌握数形结合的思想是解题的关键． (1)图是由一个边长为的正方形、一个边长为的正方形和三个长为，宽为的长方形组成，所以面积为； (2)①图2是由三个边长分别为、、的正方形、两个长和宽分别为、的长方形，两个长和宽分别为、的长方形，两个长和宽分别为、的长方形组成，所以等式为；②将①的等式变形为，代入数值即可 【小问1详解】 解：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：①当把图形看作是边长为的正方形时，面积为， 把图形看作个正方形和个长方形拼成时，面积为， ∴ 故答案为：； ②因为， 所以 所以 24. 如图，，，，，点在线段上以的速度，由向运动，同时点在线段上由向运动．     （1）如图1，若点的运动速度与点的运动速度相等，当运动时间，与是否全等？说明理由，并直接判断此时线段和线段的位置关系； （2）如图2，将“，”改为“”，其他条件不变，若的运动速度与的运动速度不相等，当的运动速度为多少时，能使与全等． （3）在图2的基础上延长，交于点，使，分别是，中点，如图3，若点以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，求出经过多长时间点与点第一次相遇． 【答案】（1） 解：全等，理由如下： 当时，，， ∵，， ∴， 在与中， ， ， ， ， ∴， 线段与线段垂直． （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用证得，得出，进一步得出，得出结论即可； （2）根据的运动速度与的运动速度不相等，可得，那么要使与全等，则只存在这种情况，据此根据全等三角形的性质建立方程组求解即可； （3）因为以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程，据此列出方程，解这个方程即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设点的运动速度， ∵的运动速度与的运动速度不相等， ∴， ∵， ∴要使与全等，则只存在这种情况， ∴，， ∴， 解得， ∴当点的运动速度为时，能使与全等． 【小问3详解】 解：，分别是，中点，， ， 以（2）中的运动速度从点出发，点以原来速度从点同时出发，都逆时针沿三边运动， 第一次二者相遇时，只能是点绕圈追上点，即点比点多走的路程， 设运动时间为秒， 则， 解得：， 故经过，点与点第一次相遇． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $