2.2平方根与立方根讲义2025-2026学年北师大版数学八年级上册

本讲义聚焦平方根与立方根核心知识点，以数轴为基础建立数与形的联系，通过非负数的性质（绝对值、算术平方根）构建工具支架，系统梳理平方根、算术平方根、立方根的定义、性质及运算，形成从概念到应用的完整学习脉络。 资料特色在于知识整合与素养导向，考点卡片对比平方根与立方根性质培养抽象能力，课堂练习融入魔方棱长计算等生活化问题引导用数学思维分析，解答题解析详细，课中辅助教师高效授课，课后助力学生查漏补缺，提升运算能力与应用意识。

平方根与立方根讲义学案 考点卡片 1 ．数轴 （1）数轴的概念：规定了原点、正方向、单位长度的直线叫做数轴．数轴的三要素：原点，单位长度，正方向． （2）数轴上的点：所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点不都表示有理数．（一般取右方向为正方向，数轴上的点对应任意实数，包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． 2 ．非负数的性质：绝对值 在实数范围内，任意一个数的绝对值都是非负数，当几个数或式的绝对值相加和为 0 时，则其中的每一项都必须等于 0． 3 ．平方根 （1）定义：如果一个数的平方等于 a ，这个数就叫做 a 的平方根，也叫做 a 的二次方根．一个正数有两个平方根，这两个平方根互为相反数，零的平方根是零，负数没有平方根． （2）求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方． 一个正数 a 的正的平方根表示为“” ，负的平方根表示为 正数 a 的正的平方根，叫做 a 的算术平方根，记作 a ．零的算术平方根仍旧是零．平方根和立方根的性质 1 ．平方根的性质：正数 a 有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根． 2 ．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数， 0 的立方根是0． 4 ．算术平方根 （1）算术平方根的概念：一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a ，即 x2 ＝a ，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根．记为 （2）非负数 a 的算术平方根 a 有双重非负性：①被开方数 a 是非负数；②算术平方根 a 本身是非负数． （3）求一个非负数的算术平方根与求一个数的平方互为逆运算，在求一个非负数的算术平方根时，可以借助乘方运算来寻找． 5 ．非负数的性质：算术平方根 （1）非负数的性质：算术平方根具有非负性． （2）利用算术平方根的非负性求值的问题，主要是根据被开方数是非负数，开方的结果也是非负数列出 学科网（北京）股份有限公司 不等式求解．非负数之和等于 0 时，各项都等于 0 利用此性质列方程解决求值问题． 6 ．立方根 （1）定义：如果一个数的立方等于 a ，那么这个数叫做 a 的立方根或三次方根．这就是说，如果 x3 ＝a，那么 x 叫做 a 的立方根．记作：3 a． （2）正数的立方根是正数，0 的立方根是 0 ，负数的立方根是负数．即任意数都有立方根． （3）求一个数 a 的立方根的运算叫开立方，其中 a 叫做被开方数． 注意：符号3 a 中的根指数“3”不能省略；对于立方根，被开方数没有限制，正数、零、负数都有唯一一个立方根． 【规律方法】平方根和立方根的性质 1 ．平方根的性质：正数 a 有两个平方根，它们互为相反数；0 的平方根是0；负数没有平方根． 2 ．立方根的性质：一个数的立方根只有一个，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0 的立方根 是0． 课堂巩固练习 一．选择题（共 5 小题） 1 ．（2025 春•成都校级月考） 2表示 ( ) A ．2 的算术平方根 B ．2 的平方根 C ．2 的平方 D ．2 的立方 2 ．（2025 春•陆丰市校级月考）下列计算正确的是 ( ) ( 3 3 )A ． 9 = ± 3 B ． —8 = — 2 C ． — 27 = — 3 D ． 16 =4 3 ．（2025 春•牧野区校级期末）下列式子正确的是 ( ) 4 ．（2025 春•黔西南州期末）下列各式中，正确的是 ( ) C ． D ． 4 =±2 5 ．（2025 春•黄石月考）若 2a2 ＝32 ，则 3 4 — a的值为 ( ) A ．0 B ． - 2 C ．0 或 2 D ．0 或 - 2 二．填空题（共 5 小题） 6 ．（2025 春•新会区校级月考） 实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示 ，那么化简|b — a｜的结果是 ． 7 ．（2025 春•东莞市校级月考）若 3 ≈ 1.732 ，则 300 ≈ , 0.0003 ≈ ,若 a ≈ 1732 ，则 a≈ . 8 ．（2025 春•临县月考）如图，二阶魔方为 2×2×2 的正方体结构，本身只有 8 个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为 512cm3（方块之间的缝隙忽略不计），则每个方块的棱长为 cm． 9 ．（2025 春•永吉县期末）一个正数的两个平方根为 2m - 5 和 m+2 ，则 m 的值为 ． 10 ．（2025 春•原州区校级月考）若实数 a ，b 满足 |a + b — 1|= 0 ，则 ba = . 三．解答题（共 5 小题） 11 ．（2025 春•新会区校级月考）计算： （1）（x - 3）2 ＝16； （2）2（x+1）2 ＝16． 12 ．（2025 春•黄石月考） 已知|2x — 5| + |y + 3| x = 0 ，求 x2+y2 的平方根． 13 ．（2025 春•信州区期末） 已知 3a+3 的平方根为±3 ，a+2b 的算术平方根为 4． （1）求 a ，b 的值； （2）求 b - 3a 的平方根． 14 ．（2025 春•吕梁月考）如图，有一块面积为 300 平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为 3 ：2． （1）求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为 32 平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 15 ．（2025 春•陆丰市校级月考）（1）已知 2a - 1 的立方根是 3 ，a - 2b 的平方根是±4 ，求 4a+3b+11 的平方根； （2）若 3a - 5 与 23 - a 是同一个正数 m 的两个不相等的平方根，求 a 和 m 的值． 学科网（北京）股份有限公司 课堂巩固练习 参考答案与试题解析 一．选择题（共 5 小题） 题号 1 2 3 4 5 答案 A C B B C 一．选择题（共 5 小题） 1 ．（2025 春•成都校级月考） 2表示 ( ) A ．2 的算术平方根 B ．2 的平方根 C ．2 的平方 D ．2 的立方 【答案】A 【分析】根据算术平方根的概念求解即可． 【解答】解：根据算术平方根的概念可知： 2表示 2 的算术平方根．故选：A． 2 ．（2025 春•陆丰市校级月考）下列计算正确的是 ( ) A ． B ． D ． 【答案】C 【分析】根据求算术平方根，立方根的方法进行解题即可． 【解答】解：根据算术平方根，立方根逐项分析判断如下： A 、 9 = 3 ，故该选项错误，不符合题意； B 、负数在实数范围内没有平方根，故该选项错误，不符合题意； C 计算正确，故该选项符合题意； D 、因为 43 ＝64， 所以3 16 ≠ 4 ，故该选项错误，不符合题意； 故选：C． 3 ．（2025 春•牧野区校级期末）下列式子正确的是 ( ) 【答案】B 【分析】根据算术平方根定义和立方根的定义和性质解答即可． 【解答】解：A 、 9表示 9 的算术平方根，结果是 3 ，故本选项不合题意； B 、− 3 −8表示 - 8 的立方根的相反数， − 3 −8 = −（ - 2）＝2 ，故本选项符合题意； C 表示 16 的算术平方根的相反数， 故本选项不合题意； D 、 故本选项不合题意．故选：B． 4 ．（2025 春•黔西南州期末）下列各式中，正确的是 ( ) C ． D ． 4 =±2 【答案】B 【分析】分别写出每个题的正确的答案即可确定正确的选项． 【解答】解：A 、 故错误； B 、 正确； C、负数没有平方根，故错误； D 、 4 =2 ，故错误，故选：B． 5 ．（2025 春•黄石月考）若 2a2 ＝32 ，则3 4 − a的值为 ( ) A ．0 B ． - 2 C ．0 或 2 D ．0 或 - 2 【答案】C 【分析】先利用平方根解方程，求出 a = ±4 ，再代入计算立方根即可． 【解答】解：利用平方根解 2a2 ＝32 得 a = ±4， 当 a ＝4 时，3 4 — a = 3 4 — 4 = 0， 当 a ＝ - 4 时， 故选：C． 二．填空题（共 5 小题） 6 ．（2025 春•新会区校级月考）实数 a 、b 在数轴上的位置如图所示，那么化简Ib — aI 的结果是 a ． 【答案】a． 【分析】根据图示，可得：b＜0＜a ，且|a|＜|b| ，再进行化简即可． 【解答】解：根据图示，可得：b＜0＜a ，且|a|＜|b|， ∴b - a＜0， = - （b - a） - |b| = - b+a - （ - b） = - b+a+b =a． 故答案为：a． 7．（2025 春•东莞市校级月考）若，则 ，若，则 a≈ 3000000 ． 【答案】17.32 ，0.01732 ，3000000． 【分析】根据算术平方根的性质结合题意即可求解． 【解答】解： 由条件可知 ∴a ＝3000000， 故答案为：17.32 ，0.01732 ，3000000． 8 ．（2025 春•临县月考）如图，二阶魔方为 2×2×2 的正方体结构，本身只有 8 个方块，没有其他结构的方块，已知二阶魔方的体积约为 512cm3（方块之间的缝隙忽略不计），则每个方块的棱长为 4 cm． 【答案】4． 【分析】根据题意求得每个方块的体积，再利用立方根的定义求得每个方块的边长即可． 【解答】解：根据题意求得每个方块的体积可得每个方块的体积为 512÷8 ＝64（cm3）， 利用立方根的定义可得：边长为Cm，故答案为：4． 9 ．（2025 春•永吉县期末）一个正数的两个平方根为 2m - 5 和 m+2 ，则 m 的值为 1 ． 【答案】1． 【分析】根据平方根的性质解决此题即可． 学科网（北京）股份有限公司 【解答】解：根据题意可知，2m - 5+m+2 ＝0， 解得：m ＝1． 故答案为：1． 10 ．（2025 春•原州区校级月考）若实数 a ，b 满足 Ia + b — 1I = 0 ，则 ba ＝ 1 ． 【答案】1． 【分析】根据非负数的性质列出方程求出未知数的值，再代入所求代数式计算即可． 【解答】解： ∵ a — 2 + Ia + b — 1I = 0， ∴a - 2 ＝0 ，a+b - 1 ＝0， ∴a ＝2 ，b ＝ - 1， ∴ba ＝（ - 1）2 ＝1．故答案为：1． 三．解答题（共 5 小题） 11 ．（2025 春•新会区校级月考）计算： （1）（x - 3）2 ＝16； （2）2（x+1）2 ＝16． 【答案】（1）x ＝7 或 x ＝ - 1； （2）x 或x 【分析】（1）先把方程转化为 x - 3 = ±4 ，再求解即可； （2）把 x+1看成整体，再根据平方根的定义求解即可． 【解答】解：（1）（x - 3）2 ＝16， x - 3 = ±4， 即 x - 3 ＝4 或 x - 3 ＝ - 4， ∴x ＝7 或 x ＝ - 1； （2）原方程整理得（x+1）2 ＝8， 学科网（北京）股份有限公司 x 或 或x 12 ．（2025 春•黄石月考） 已知I2x — 5I + Iy + 3I x = 0 ，求 x2+y2 的平方根． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质，二次根式的非负性可得|2x - 5|≥0 ，|y+3|≥0 ， 进而可得 2x - 5≥0 ，利用非负数的性质列出关于 x，y 的方程组，解之求出 x 和y 得值，代入 x2+y2求出其平方根即 可． 【解答】解： ∵|2x - 5|≥0 且|y+3|≥0 且 即 2x - 5≥0， ∴|y+3| ＝0 且 由y+3 ＝0 得y ＝ - 3， ∴（x - 4） ×（ - 3）2 ＝0， ∴x - 4 ＝0， ∴x ＝4， 13 ．（2025 春•信州区期末） 已知 3a+3 的平方根为±3 ，a+2b 的算术平方根为 4． （1）求 a ，b 的值； （2）求 b - 3a 的平方根． 【答案】（1）a ＝2 ，b ＝7． （2）±1． 【分析】（1）根据算术平方根以及平方根的定义解决此题． （2）先将 a 与b 的值代入b - 3a 求值，再根据平方根的定义解决此题． 【解答】解：（1） 由题意得，3a+3 ＝9 ，a+2b ＝16． ∴a ＝2 ，b ＝7． （2） 由（1）得，a ＝2 ，b ＝7． ∴b - 3a ＝7 - 6 ＝1． ∴b - 3a 的平方根是． 14 ．（2025 春•吕梁月考）如图，有一块面积为 300 平方分米的长方形铁皮，已知该长方形铁皮的长、宽之比为 3 ：2． （1）求长方形铁皮的长与宽（结果保留根号）． （2）若沿着虚线将铁皮的四个角剪掉，制作成一个有底无盖的长方体铁皮盒子，剪掉的四个角都是面积为 32 平方分米的正方形，求长方体铁皮盒子的体积． 【答案】（1）长方形铁皮的长为 15 2分米，宽为 分米；（2）长方体铁皮盒子的体积为 立方分米． 【分析】（1）根据题意设长方形铁皮的长为 3x 分米，则宽为 2x 分米，再列式计算后即可求出本题答案； （2）先求出正方形的边长为 分米，再利用长方体体积公式计算即可求出本题答案． 【解答】解：（1）根据题意，设长方形铁皮的长为 3x 分米，则宽为 2x 分米， 3x•2x ＝300， 6x2 ＝300， 解得：x ∵x＞0， ∴长方形铁皮的长为 分米，宽为 分米； （2）根据题意可知，正方形的边长为：（分米）， 学科网（北京）股份有限公司 ∴长方体体积为： 答：长方体铁皮盒子的体积为 立方分米． 15 ．（2025 春•陆丰市校级月考）（1）已知 2a - 1 的立方根是 3 ，a - 2b 的平方根是±4 ，求 4a+3b+11 的平方根； （2）若 3a - 5 与 23 - a 是同一个正数 m 的两个不相等的平方根，求 a 和 m 的值． 【答案】（1）4a+3b+11 的平方根是±8；（2）a ＝ - 9 ，m ＝1024． 【分析】（1）直接利用立方根、平方根的定义得出 a ，b 的值，再求出 4a+3b+11 的值，根据平方根的定义进而得出答案； （2）直接利用平方根的定义得出 a 的值，进而即可求出 m 的值． 【解答】解：（1）根据题意得 2a - 1 ＝33 ＝27 ，a - 2b = ( ±4）2 ＝16， ∴a ＝14 ，b ＝ - 1， ∴4a+3b+11 ＝4×14+3×（ - 1）+11 ＝64， ∵± 64 = ± 8， ∴4a+3b+11 的平方根是±8； （2） ∵3a - 5 与 23 - a 是同一个正数 m 的两个不相等的平方根， ∴（3a - 5）+（23 - a）＝0， ∴a ＝ - 9， ∴m ＝（3a - 5）2 ＝[3×（ - 9） - 5]2 ＝1024 学科网（北京）股份有限公司 $