第05讲 最优化问题 （知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第05讲 最优化问题 知识点梳理 一、核心概念与策略 1.基本概念 ①最优化问题是通过合理规划和安排，在给定条件下达到目标（如时间最短、费用最少、数量最多、面积最大等）的问题。 ②关键要素： 目标：明确需最小化（如时间、费用）或最大化（如数量、面积）的量； 限制条件：资源（如时间、材料）、规则（如操作步骤）等约束； 最优策略：找到满足条件且实现目标的最佳方案（如枚举比较、优先原则、极端值分析等）。 2.核心策略 ① 枚举法：列出所有可能方案，计算结果后比较选最优； ② 优先原则：按“目标相关量”排序（如时间安排中“用时短的优先”，资源分配中“单位效益高的优先”）； ③ 极端值分析：从最大或最小情况入手，逐步调整验证； ④ 调整法：先假设一个基础方案，再根据目标微调优化； ⑤ 固定条件法：如“周长一定时，长方形中正方形面积最大”（长和宽越接近，面积越大）。 二、核心题型与技巧 题型1：时间安排问题（合理顺序使总时间最短） 技巧： 排队等待问题：“用时短的优先”（减少总等待时间，如甲需3分钟，乙需5分钟，先甲后乙，总等待时间为3+（3+5）=11分钟，比先乙后甲更优）； 同时进行问题：重叠时间不重复计算（如烧水时同时洗杯子，总时间=最长单任务时间）； 烙饼/煎蛋问题：“尽量不空锅”（每次煎2面，计算最少次数：总面数÷每次煎的面数，若有余数则次数+1）。 题型2：资源分配问题（分配物品使目标最优） 技巧： 单位效益最大化：优先分配给“单位资源产生效益最高”的对象（如A产品1材料赚5元，B产品1材料赚3元，优先生产A）； · 枚举比较法：列出所有分配方案（如将5个苹果分给2人，可能（0,5）（1,4）…（5,0）），计算目标值（如利润、数量）后选最优。 题型3：数字组合最值问题（组成最大/最小的数） 技巧： 组成最大数：高位数字尽可能大，按从大到小排列（如用1、3、5、7组成最大四位数：7531）； 组成最小数：高位数字尽可能小（首位不为0），按从小到大排列（如用0、2、4、6组成最小四位数：2046）； 和一定时积最大：两个数和固定，差越小积越大（如和为10的两数，5×5=25最大，1×9=9最小）。 题型4：周长与面积最值问题（周长一定时面积最大/面积一定时周长最小） 技巧： 长方形中：周长一定，长和宽越接近，面积越大（正方形面积最大）； 面积一定，长和宽越接近，周长越小（正方形周长最小）； 举例：周长20米的长方形，长6米、宽4米时面积24平方米，长5米、宽5米（正方形）时面积25平方米（更大）。 题型5：物资运输问题（最短路线或最少运费） 技巧： 最短路线：枚举所有可能路径，比较长度（如A到B有3条路，分别长5km、6km、4km，选4km）； 最少运费：“就近运输”（如A地有10吨货，B地有8吨货，运往C、D两地，优先将近地货物运到近的目的地）。 三、常见错误提醒 1.忽略限制条件：如“每人最多做2件事”却安排3件，导致方案无效（例：妈妈需做饭30分钟、扫地10分钟、擦桌5分钟，若同时只能做1件事，总时间=30+10+5=45分钟，而非30分钟）。 2.策略错误：时间安排时“先做用时最长的”（如3人排队，用时5、3、2分钟，先做5分钟的，总等待时间为5+（5+3）+（5+3+2）=23分钟，正确应为“用时短的优先”，总等待2+（2+3）+（2+3+5）=17分钟）。 3.枚举不全面：数字组合时漏考虑“0”（如用0、1、2组成最小三位数，误写为102是对的，但漏写012（非三位数））。 4.周长与面积混淆：认为“周长越大面积越大”（如长10米、宽1米的长方形，周长22米，面积10平方米；长5米、宽4米的长方形，周长18米，面积20平方米，后者周长小但面积大）。 例题讲解 一、时间安排问题 例题1：妈妈用平底锅煎蛋，每次最多煎2个蛋，每面需煎2分钟（正反面各2分钟）。煎3个蛋最少需要几分钟？ 跟踪练习1：3名同学排队打水，甲需2分钟，乙需3分钟，丙需5分钟。按怎样的顺序打水，总等待时间最短？最短总等待时间是多少？ 二、资源分配问题 例题2：用10米长的篱笆围一个长方形鸡舍（一面靠墙，墙足够长），怎样围面积最大？最大面积是多少？ 跟踪练习2：把8块糖分给甲、乙两人，每人至少分1块，怎样分使两人糖数乘积最大？ 三、数字组合最值问题 例题3：用数字2、5、7、9组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，它们的差是多少？ 跟踪练习3：用0、3、6、8组成一个最接近7000的四位数，这个数是多少？ 四、周长与面积最值问题 例题4：用20根1厘米长的小棒围长方形，面积最大是多少平方厘米？ 跟踪练习4：一个长方形面积是12平方厘米，长和宽都是整数，周长最小是多少厘米？ 五、物资运输问题 例题5：A、B两地分别有蔬菜10吨和8吨，需运往C、D两地（C需9吨，D需9吨）。A到C运费20元/吨，A到D运费30元/吨；B到C运费15元/吨，B到D运费25元/吨。怎样运运费最少？最少运费多少？ 跟踪练习5：A、B两地分别有水果6吨和9吨，需运往C、D两个超市（C超市需8吨，D超市需7吨）。已知运费如下：A到C超市每吨12元，A到D超市每吨15元；B到C超市每吨10元，B到D超市每吨18元。怎样运输运费最少？最少运费是多少？ 提升练习 1．小李、小徐、小周和小卫四人分别拿着三个、一个、二个、四个热水瓶去打开水。热水龙头只有一个。试问怎样安排他们打水的次序（这儿不考虑先来后到），可使他们打完水所花的总时间（包括排队等候的时间）最少？假如打满一瓶水要1分钟，打水的总时间是多少分钟？ 2．四个人各拿一个水桶到同一个水龙头下接水，这个水龙头注满四个人的水桶所需的时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、6分钟。怎样安排这四个人的接水顺序，才能使他们在最少的总时间（包括排队等候的时间）内都接满水？这个最少时间是多少？ 3．某加油站每次只能给一辆车加油。给一辆大卡车加满需要7分钟，一辆农用车加满需要5分钟，一辆小汽车加满需要4分钟。现在有一辆大卡车、一辆农用车、一辆小汽车同时来到加油站加油。问：加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最少？ 4．一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米。第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班。A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？ 5．有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？ 6．如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？ 7．6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？ 8．小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 9．小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？ 10．少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发，跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B点．接着从B点再次跑到墙边用手触摸墙壁后，跑回C点，问如何选择最短路线以节省时间，请在图中标出来． 11．六一儿童节，四一班44名同学和李老师到游乐园去欢庆节日．买票时他们看到游乐园对团体票有优惠，原来每人每张票2元，现在购买一张15元的团体票就可以让10人进去．如果请你去买票，那么你认为怎样买票最合算？ 12．育红小学要组织春游，共有30名教师和400名学生．下面有两种可以租用的车型． 大车：限乘45人，每辆每天租金800元． 小车：限乘25人，每辆每天租金500元． 怎样租车最省钱呢？需要多少钱？ 13．有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是5升．如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车． 14．某加油站每次只能对一辆车进行加油．加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟．现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站加油．问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最省？ 15．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）．那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n≥2）只饼至少要几分钟？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第05讲 最优化问题 知识点梳理 一、核心概念与策略 1.基本概念 ①最优化问题是通过合理规划和安排，在给定条件下达到目标（如时间最短、费用最少、数量最多、面积最大等）的问题。 ②关键要素： 目标：明确需最小化（如时间、费用）或最大化（如数量、面积）的量； 限制条件：资源（如时间、材料）、规则（如操作步骤）等约束； 最优策略：找到满足条件且实现目标的最佳方案（如枚举比较、优先原则、极端值分析等）。 2.核心策略 ① 枚举法：列出所有可能方案，计算结果后比较选最优； ② 优先原则：按“目标相关量”排序（如时间安排中“用时短的优先”，资源分配中“单位效益高的优先”）； ③ 极端值分析：从最大或最小情况入手，逐步调整验证； ④ 调整法：先假设一个基础方案，再根据目标微调优化； ⑤ 固定条件法：如“周长一定时，长方形中正方形面积最大”（长和宽越接近，面积越大）。 二、核心题型与技巧 题型1：时间安排问题（合理顺序使总时间最短） 技巧： 排队等待问题：“用时短的优先”（减少总等待时间，如甲需3分钟，乙需5分钟，先甲后乙，总等待时间为3+（3+5）=11分钟，比先乙后甲更优）； 同时进行问题：重叠时间不重复计算（如烧水时同时洗杯子，总时间=最长单任务时间）； 烙饼/煎蛋问题：“尽量不空锅”（每次煎2面，计算最少次数：总面数÷每次煎的面数，若有余数则次数+1）。 题型2：资源分配问题（分配物品使目标最优） 技巧： 单位效益最大化：优先分配给“单位资源产生效益最高”的对象（如A产品1材料赚5元，B产品1材料赚3元，优先生产A）； · 枚举比较法：列出所有分配方案（如将5个苹果分给2人，可能（0,5）（1,4）…（5,0）），计算目标值（如利润、数量）后选最优。 题型3：数字组合最值问题（组成最大/最小的数） 技巧： 组成最大数：高位数字尽可能大，按从大到小排列（如用1、3、5、7组成最大四位数：7531）； 组成最小数：高位数字尽可能小（首位不为0），按从小到大排列（如用0、2、4、6组成最小四位数：2046）； 和一定时积最大：两个数和固定，差越小积越大（如和为10的两数，5×5=25最大，1×9=9最小）。 题型4：周长与面积最值问题（周长一定时面积最大/面积一定时周长最小） 技巧： 长方形中：周长一定，长和宽越接近，面积越大（正方形面积最大）； 面积一定，长和宽越接近，周长越小（正方形周长最小）； 举例：周长20米的长方形，长6米、宽4米时面积24平方米，长5米、宽5米（正方形）时面积25平方米（更大）。 题型5：物资运输问题（最短路线或最少运费） 技巧： 最短路线：枚举所有可能路径，比较长度（如A到B有3条路，分别长5km、6km、4km，选4km）； 最少运费：“就近运输”（如A地有10吨货，B地有8吨货，运往C、D两地，优先将近地货物运到近的目的地）。 三、常见错误提醒 1.忽略限制条件：如“每人最多做2件事”却安排3件，导致方案无效（例：妈妈需做饭30分钟、扫地10分钟、擦桌5分钟，若同时只能做1件事，总时间=30+10+5=45分钟，而非30分钟）。 2.策略错误：时间安排时“先做用时最长的”（如3人排队，用时5、3、2分钟，先做5分钟的，总等待时间为5+（5+3）+（5+3+2）=23分钟，正确应为“用时短的优先”，总等待2+（2+3）+（2+3+5）=17分钟）。 3.枚举不全面：数字组合时漏考虑“0”（如用0、1、2组成最小三位数，误写为102是对的，但漏写012（非三位数））。 4.周长与面积混淆：认为“周长越大面积越大”（如长10米、宽1米的长方形，周长22米，面积10平方米；长5米、宽4米的长方形，周长18米，面积20平方米，后者周长小但面积大）。 例题讲解 一、时间安排问题 例题1：妈妈用平底锅煎蛋，每次最多煎2个蛋，每面需煎2分钟（正反面各2分钟）。煎3个蛋最少需要几分钟？ 答案：6分钟 解析：总面数=3个蛋×2面=6面，每次煎2面，需煎6÷2=3次，每次2分钟，总时间=3×2=6分钟。步骤：①煎蛋1正、蛋2正（2分钟）；②煎蛋1反、蛋3正（2分钟）；③煎蛋2反、蛋3反（2分钟），无空锅时间。 跟踪练习1：3名同学排队打水，甲需2分钟，乙需3分钟，丙需5分钟。按怎样的顺序打水，总等待时间最短？最短总等待时间是多少？ 答案：甲→乙→丙，总等待时间17分钟 解析：用时短的优先，顺序甲（2）→乙（3）→丙（5）。总等待时间=甲等待（0）+乙等待（2）+丙等待（2+3）+三人打水时间（2+3+5）=0+2+5+10=17分钟。 二、资源分配问题 例题2：用10米长的篱笆围一个长方形鸡舍（一面靠墙，墙足够长），怎样围面积最大？最大面积是多少？ 答案：长5米、宽2.5米（或长6米、宽2米等？不，正确应为长=2×宽时面积最大） 解析：设靠墙一侧为长，宽为x米，则长=10-2x米，面积=长×宽=x（10-2x）=10x-2x²。枚举x=1时，长8，面积8；x=2时，长6，面积12；x=2.5时，长5，面积12.5；x=3时，长4，面积12；x=4时，长2，面积8。最大面积为12.5平方米（长5米、宽2.5米）。 跟踪练习2：把8块糖分给甲、乙两人，每人至少分1块，怎样分使两人糖数乘积最大？ 答案：甲4块、乙4块，乘积16 解析：枚举所有分法：（1,7）乘积7，（2,6）12，（3,5）15，（4,4）16，（5,3）15…，差越小乘积越大，（4,4）最大。 三、数字组合最值问题 例题3：用数字2、5、7、9组成一个最大的四位数和一个最小的四位数，它们的差是多少？ 答案：7173 解析：最大四位数：高位数字从大到小排列，为9752；最小四位数：高位数字从小到大排列（无0），为2579；差=9752-2579=7173。 跟踪练习3：用0、3、6、8组成一个最接近7000的四位数，这个数是多少？ 答案：6830 解析：接近7000的数可能是6000多或8000多。6000多中最大的是6830（6830与7000差170），8000多中最小的是8036（与7000差1036），170＜1036，所以最接近的是6830。 四、周长与面积最值问题 例题4：用20根1厘米长的小棒围长方形，面积最大是多少平方厘米？ 答案：25平方厘米 解析：周长=20厘米，长+宽=10厘米。长和宽越接近面积越大，长=5厘米、宽=5厘米（正方形）时，面积=5×5=25平方厘米。 跟踪练习4：一个长方形面积是12平方厘米，长和宽都是整数，周长最小是多少厘米？ 答案：14厘米 解析：面积=长×宽=12，枚举长和宽：（1,12）周长26，（2,6）周长16，（3,4）周长14，（4,3）同（3,4），最小周长14厘米。 五、物资运输问题 例题5：A、B两地分别有蔬菜10吨和8吨，需运往C、D两地（C需9吨，D需9吨）。A到C运费20元/吨，A到D运费30元/吨；B到C运费15元/吨，B到D运费25元/吨。怎样运运费最少？最少运费多少？ 答案：A运C 1吨、A运D 9吨，B运C 8吨、B运D 0吨，最少运费345元 解析：B到C运费最低（15元/吨），优先让B满足C的需求：B运C 8吨（B共8吨），C还需1吨由A运；A剩下9吨全运D，B运D 0吨。总运费=8×15+1×20+9×30=120+20+270=410？不对，正确应为A运C 9吨（A有10吨），A运D 1吨；B运D 8吨。运费=9×20+1×30+8×25=180+30+200=410，或A运C 1吨，A运D 9吨，B运C 8吨，运费=1×20+9×30+8×15=20+270+120=410，一样。 跟踪练习5：A、B两地分别有水果6吨和9吨，需运往C、D两个超市（C超市需8吨，D超市需7吨）。已知运费如下：A到C超市每吨12元，A到D超市每吨15元；B到C超市每吨10元，B到D超市每吨18元。怎样运输运费最少？最少运费是多少？ 答案：B运C超市8吨，B运D超市1吨，A运D超市6吨，最少运费186元。 解析： 1.优先分配低运费路线：比较各条路线运费，B到C超市运费最低（10元/吨），优先让B地满足C超市的需求。 C超市需8吨，B地有9吨，可先让B运8吨到C超市，此时B地剩余：9-8=1吨。 2.满足剩余需求： D超市需7吨，A地有6吨，B地剩余1吨。A到D运费15元/吨，B到D运费18元/吨，优先用A地货物运D超市（运费更低）。 A地6吨全部运D超市，D超市还需：7-6=1吨，由B地剩余的1吨补充。 3.计算总运费： B→C：8吨×10元/吨=80元； B→D：1吨×18元/吨=18元； A→D：6吨×15元/吨=90元； 总运费：80+18+90=186元。 因此，最少运费为186元。 提升练习 1．小李、小徐、小周和小卫四人分别拿着三个、一个、二个、四个热水瓶去打开水。热水龙头只有一个。试问怎样安排他们打水的次序（这儿不考虑先来后到），可使他们打完水所花的总时间（包括排队等候的时间）最少？假如打满一瓶水要1分钟，打水的总时间是多少分钟？ 【答案】按小徐→小周→小李→小卫的顺序打水所花时间最少；打水总时间为20分钟 【分析】用时最少的先打水，即热水瓶最少的先打水，则等待的时间最短，据此解答。 【详解】按这样的打水顺序所花的总时间最短：小徐→小周→小李→小卫。打水总时间（包括等候时间）： 1＋（1＋2）＋（1＋2＋3）＋（1＋2＋3＋4） ＝1＋3＋6＋10 ＝20（分钟） 答：按小徐→小周→小李→小卫的顺序打水所花时间最少；打水总时间为20分钟。 2．四个人各拿一个水桶到同一个水龙头下接水，这个水龙头注满四个人的水桶所需的时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、6分钟。怎样安排这四个人的接水顺序，才能使他们在最少的总时间（包括排队等候的时间）内都接满水？这个最少时间是多少？ 【答案】按照接水时间为3分钟、4分钟、5分钟、6分钟的顺序接水；40分钟 【分析】接水时间越少的人先接水，才能使排队和等待时间最短，据此解答。 【详解】接水顺序先后顺序为：3分钟、4分钟、5分钟、6分钟。 3×4＋4×3＋5×2＋6 ＝12＋12＋10＋6 ＝40（分钟） 答：按照接水时间为3分钟、4分钟、5分钟、6分钟的顺序接水，最少时间是40分钟。 3．某加油站每次只能给一辆车加油。给一辆大卡车加满需要7分钟，一辆农用车加满需要5分钟，一辆小汽车加满需要4分钟。现在有一辆大卡车、一辆农用车、一辆小汽车同时来到加油站加油。问：加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最少？ 【答案】应该先给小汽车加油，再给农用车加油，最后给大卡车加油，一共需要29分钟。 【分析】要使总共需要的时间最短，也就是等候时间和加油时间的总和最少，应该让加油用时少的先加油。 【详解】小汽车用去时间：4分钟； 农用车用去时间：4＋5＝9（分钟） 大卡车用去时间：4＋5＋7＝16（分钟） 一共用去时间：4＋9＋16＝29（分钟） 答：应该先给小汽车加油，再给农用车加油，最后给大卡车加油，一共需要29分钟。 4．一条直街上有5栋楼，从左到右编号为1，2，3，4，5，相邻两楼的距离都是50米。第1号楼有1名职工在A厂上班，第2号楼有2名职工在A厂上班……，第5号楼有5名职工在A厂上班。A厂计划在直街上建一通勤车站接送这5栋楼的职工上下班，为使这些职工到通勤车站所走的路程之和最小，车站应建在距1号楼多少米处？ 【答案】150米 【分析】如图，画出示意图，按照“小往大处靠”的原则来解决，第5号楼的人数最多，大方向向第5号楼靠，把1号楼、2号楼的3个人集中到3号楼，一共6人，然后3号楼的6人和5号楼的5人都往4号楼靠。 【详解】如图所示： 车站应建在4号楼，此时职工到通勤车站所走的路程之和最小； 答：车站应建在距1号楼150米处。 【点睛】对于集中货物的问题，涉及到了重量，而集中到何处起决定作用的是货物的重量，而至于距离，仅仅只是为了计算所以对于这类问题老师要强调“小往大处靠”的原则。 5．有1993名少先队员分散在一条公路上值勤宣传交通法规，问完成任务后应该在公路的什么地点集合，可以使他们从各自的宣传岗位沿公路走到集合地点的路程总和最小？ 【答案】第997个岗位处 【分析】1993名少先队员，要确定集合地点的话，比较麻烦，可以先考虑2名少先队员、3名少先队员这些较少的情况，寻找规律，然后再考虑1993名少先队员的情况。 【详解】 当只有2个人时，设2人宣传岗位分别为A1和A2（如上图），显然集合地点选在A1点或A2点或者A1A2之间的任何一个地点都可以。因为由A1、A2出发的人走过的路程总和都等于A1A2。 当有3个人时，则集合地点应该选在A2点（如上图）。因为若集合地点选在A1A2之间的B点，那时3个人所走的路程总和是A1B＋A2B＋A3B＝（A1B＋A3B）＋A2B＝A1A3＋A2B； 若集合地点选在A2A3之间的C点，那时3个人所走的路程总和是：A1C＋A2C＋A3C＝（A1C＋A3C）＋A2C＝A1A3＋A2C；而集合地点选在A2点时，3个人所走路程总和仅是A1A3。当然A1A3比A1A3＋A2B及A1A3＋A2C都小。 当有4个人时，由于集合地点无论选在A1A4之间的任何位置，对A1、A4岗位上的人来说，这2人走的路程和都是A1A4（如上图）。因此，集合地点的选取只影响A2、A3岗位上的人所走的路程，这就是说，问题转化为“2个人站在A2和A3岗位的情形”。根据上面已讨论的结论可知，集合地点应选在A2或A3或者A2A3之间任何地点。 当有5个人时，类似地可把问题转化为“3个人站在A2、A3、A4岗位的情形”（如下图）根据已讨论的结论可知，集合地点应选在A3点。 依此递推下去，我们就得到一个规律： 当有偶数（2n）个人时，集合地点应选在中间一段AnAn＋1之间的任何地点（包括An和An＋1点）； 当有奇数（2n＋1）个人时，集合地点应选在正中间岗位An＋1点。 本题有1993＝2×996＋1（奇数）个人，因此集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处。 答：集合地点应选在从某一端数起第997个岗位处。 【点睛】本题考查的是位置统筹优化的问题，可以通过归纳法求解，归纳法实质上就是发现并总结规律，然后应用规律求解问题。 6．如图，在街道上有A、B、C、D、E五栋居民楼，为使五栋楼的居民到车站的距离之和最短，车站应立于何处？ 【答案】C点 【分析】条件中只有五个楼的名字和排列顺序，楼与楼的距离也不确定。那么我们先来分析一下A、E两个点，不论这个车站放在AE之间的那一点，A到车站的距离加上E到车站的距离就是AE的长度，也就是说车站放在哪儿不会影响这两个点到车站的距离之和；然后再考虑B、C、D到车站的距离。 【详解】车站在AE之间的任何位置，AE到车站的距离之和是不变的，始终是AE的长度； 那么我们就使其他的3个点到车站的距离之和最短，再看为了使B、D两个到车站的距离之和小，应把车站放在BD之间； 同理，只要是在BD之间，B、D到车站的距离之和也是不变的，等于BD； 最后，只需要考虑C点到车站的距离最近就行了。那么当然也就是把车站放在C点了； 答：车站应立于C点 【点睛】本题考查的是位置统筹优化问题，这里就体现了一个“向中心靠拢的思想”。 7．6个人各拿一只水桶到水龙头接水，水龙头注满6个人的水桶所需时间分别是5分钟、4分钟、3分钟、10分钟、7分钟、6分钟。现在只有这一个水龙头可用，问怎样安排这6人的打水次序，可使他们总的等候时间最短？这个最短时间是多少？ 【答案】按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟 【分析】第一个人接水时，包括他本人在内，共有6个人等候，第二个人接水时，有5个人等候； ……第6个人接水时，只有他1个人等候；可见，等候的人越多（一开始时），接水时间应当越短，这样总的等候时间才会最少，因此，应当把接水时间按从少到多顺序排列等候接水。 【详解】最短时间： ＝18＋20＋20＋18＋14＋10 ＝100（分钟） 答：按照接水时间按从少到多顺序排列等候接水；最短时间是100分钟。 【点睛】本题考查的是时间统筹优化问题，对于此类问题，要把时间最少的排在最前面。 8．小明骑在牛背上赶牛过河。共有甲、乙、丙、丁4头牛。甲牛过河需要1分钟，乙牛过河需要2分钟，丙牛过河需要5分钟，丁牛过河需要6分钟。每次只能赶两头牛过河，那么小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用多少分钟？ 【答案】分钟 【分析】首先要确定赶牛的顺序，小明把牛赶到对岸还要回来，所以要选跑得快的牛来回走。 【详解】要想用最少的时间，4头牛都能过河，保证时间最短： 第一步：甲与乙一起过河，并由小明骑甲牛返回，共用：（分钟）； 第二步：返回原地的小明再骑丙与丁过河后再骑乙牛返回，共用了（分钟）； 第三步：最后小明骑甲与乙一起过河用了2分钟； 所以，小明要把这4头牛都赶到对岸，最小要用（分钟）。 答：最小要用13分钟。 【点睛】本题考查的是统筹优化的问题，确定过河顺序是求解问题的关键。 9．小明在家的一面墙上贴奖状，一共有32张，给一张奖状涂满胶水需要2分钟，涂完胶水后要过2分钟才能往墙上贴，贴的过程需要1分钟，但是如果等待超过6分钟的话胶水就会干掉不能再贴，问：小明最快用多长时间能贴完所有的奖状？ 【答案】96分钟 【分析】如果不想浪费时间，那就需要充分利用时间，如果涂一张，等2分钟，再往墙上贴，再涂，再等待，再贴在墙上，这样肯定是浪费时间的；我们完全可以在涂完胶水后的2分钟时间里继续涂，但不能超过6分钟，注意可以等于6分钟。 【详解】先涂第一张然后涂，然后涂，这时候等待了4分钟马上贴上； 再涂一张马上贴上已经等待了5分钟的； 再涂一张贴上已经等待6分钟的； 这样一直下去，会使每一张奖状花费的时间就只有涂的2分钟和贴的1分钟，也就是完成一张需要3分钟； 那么总时间是96分钟； 答：小明最快用96分钟能贴完所有的奖状。 【点睛】本题考查的是时间的统筹优化问题，要使得所用时间最短，首先就要保证不能浪费时间。 10．少先队一小队组织一次有趣的赛跑比赛，规则是从A点出发，跑到墙边，用手触摸墙壁，然后跑到B点．接着从B点再次跑到墙边用手触摸墙壁后，跑回C点，问如何选择最短路线以节省时间，请在图中标出来． 【答案】见详解． 【详解】解法一：如图所示： 作点B关于墙线的对称点，连接交墙线于点D，连接交墙线于点E，连接DB，BE，则最短路线即为AD+DB+BE+EC． 解法二：分别作点A、C关于墙线的对称点，连接，分别交墙于点D、E连接，AD、EC．则最短路线即为AD+DB+BE+EC． 11．六一儿童节，四一班44名同学和李老师到游乐园去欢庆节日．买票时他们看到游乐园对团体票有优惠，原来每人每张票2元，现在购买一张15元的团体票就可以让10人进去．如果请你去买票，那么你认为怎样买票最合算？ 【答案】购买4张团体票和5张个人票最合算 【详解】方案一：购买团体票．（44+1）÷10=4（张）……5（人） 4+1=5（张）  15×5=75（元） 方案二：购买团体票和个人票． （44+1）÷10=4（张）……5（人） 4×15=60（元） 5×2=10（元）  10+60=70（元） 70＜75 购买4张团体票和5张个人票最合算． 12．育红小学要组织春游，共有30名教师和400名学生．下面有两种可以租用的车型． 大车：限乘45人，每辆每天租金800元． 小车：限乘25人，每辆每天租金500元． 怎样租车最省钱呢？需要多少钱？ 【答案】：租9辆大车，1辆小车最省钱，需要7700元 【详解】大车：800÷45=17（元）……35（元）小车：500÷25=20（元） 大车更便宜，尽量租用大车．（400+30）÷45=9（辆）……25（人），余下的25人正好再租1辆小车． 800×9+500=7700（元） 答：租9辆大车，1辆小车最省钱，需要7700元． 13．有66吨煤要从煤场运到发电厂，大卡车的载重量是5吨，耗油量是10升；小卡车的载重量是2吨，耗油量是5升．如果要使总耗油量最少，应该如何安排大小卡车． 【答案】可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升． 【详解】如果是10吨的重量，大卡车要耗油20升，而小卡车要耗油25升．所以应该尽量安排大卡车，对于最后剩下的6吨，可以有三种方案： （1）两辆大卡车，则耗油20升； （2）一辆大卡车和一辆小卡车，则耗油15升； （3）三辆小卡车，则耗油15升． 综上所述，可以派遣12辆大卡车和3辆小卡车或13辆大卡车和1辆小卡车，总耗油量最少为135升． 14．某加油站每次只能对一辆车进行加油．加满一辆大卡车的油需要7分钟；加满一辆三卡车的油需要5分钟；加满一辆小汽车的油需要4分钟．现在有一辆大卡车、一辆三轮卡车、一辆小汽车同时来到加油站加油．问加油站应该怎样安排这三辆车的加油顺序，才能使总共需要的时间（包括加油及等候的时间）最省？ 【答案】为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车．最节省的时间是29分钟． 【分析】由于这个加油站一次只能对一辆车进行加油，因此当三辆车一起来的时候，就会发生两辆车要等候的情况．由于各辆车加油的时间是固定的，因此要尽量节省时间，只有尽量减少等候的时间．如果安排大卡车先加油，那未其他两辆车都必须等候7分钟；而如果安排小汽车先加油，那未其他两辆车都只须等4分钟．显然，小汽车先加油可节省等候时间．同样道理，第二辆加油的应该是三轮卡车，最后才给大卡车加油． 【详解】为了节省时间，这三辆车加油的顺序应该是：小汽车、三轮卡车、大卡车，这是最佳的策略．当小汽车加油时，其他两辆车各等候4分钟，当三轮卡车加油时，大卡车等候5分钟；直到大卡车加完油，总共用时间为4+（4+5）+（4+5+7）=4+9+16=29（分钟）． 答：最节省的时间是29分钟． 15．用一只平底锅煎饼，每次只能放两张饼，煎熟一只饼需要2分钟（煎熟正面反面各需要1分钟）．那么煎三只饼至少要几分钟？煎n（n≥2）只饼至少要几分钟？ 【答案】煎三只饼至少要3分钟，煎n（n≥2）只饼至少要n分钟 【分析】煎三只饼若是一只一只地煎，要6分钟；但是每次可以放两只饼，可以同时煎熟两种饼，现煎第三只饼，这样共需要4分钟，但是这两种策略都不是最佳策略． 【详解】煎三只饼至少需要三分钟．因为，第一次煎两个饼，一分钟后两个饼都熟了一面，此时将第二只取出，第一只翻个面，再放入第三只．又煎了一分钟，第一只煎好取出，第三只翻个面，再将第二只放入，再煎一分钟，全部煎熟了。煎n只饼，需要n分钟．因为，当n是偶数时，每煎两个需要2分钟，可以两只两只地煎；当n是奇数时，也可以两只两只地煎，直到最后剩下三只饼时采用上面的方法就可以了． 1 学科网（北京）股份有限公司 $