第01讲 寻找规律（知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第01讲 寻找规律 知识点梳理 一、核心概念与关键要素 1. 基本概念 2. 规律是指事物在运动变化过程中，某些特征重复出现或按一定顺序变化的内在联系。数学中常见的规律类型包括： 数字规律：数列中数字的排列顺序或变化特征； 图形规律：图形的数量、形状、方向、颜色等重复或变化特征； 算式规律：算式中数字、运算符号或结果的变化特征。 2. 关键要素 重复特征：规律中重复出现的最小单元（如“△□△□…”中“△□”为重复单元）； 变化方向：数字规律中常见的递增（越来越大）、递减（越来越小）、循环（重复出现）； 变化间隔：相邻两项的差、和、积、商（如等差数列中差固定，等比数列中商固定）。 二、核心题型与技巧 题型1：数字规律——等差数列（相邻差固定） 技巧：计算相邻两个数的差，若差为固定值（递增或递减），则规律为“前一个数±固定差=后一个数”。 示例：1，4，7，10，（ ），（ ），相邻差为3（10-7=3，7-4=3，4-1=3），下一项为10+3=13，13+3=16。 题型2：数字规律——等比数列（相邻商固定） 技巧：计算相邻两个数的商（或倍数），若商为固定值（如×2、×3），则规律为“前一个数×固定商=后一个数”。 示例：2，6，18，54，（ ），相邻商为3（54÷18=3，18÷6=3，6÷2=3），下一项为54×3=162。 题型3：数字规律——间隔规律（奇数项与偶数项分开看） 技巧：当数列忽大忽小时，将奇数项（第1、3、5…项）和偶数项（第2、4、6…项）分开，分别找各自的规律。 示例：2，5，4，10，6，15，（ ），（ ），奇数项2，4，6（差2），偶数项5，10，15（差5），下两项为8（6+2），20（15+5）。 题型4：数字规律——累加规律（后一项是前几项的和） 技巧：观察后一项是否等于前两项（或前几项）的和，常见简单版为“前两项相加=第三项”。 示例：1，2，3，5，8，（ ），1+2=3，2+3=5，3+5=8，下一项为5+8=13。 题型5：图形规律——数量/形状变化 技巧：数出每组图形中基本图形的数量，或观察形状重复特征，转化为数字规律或周期规律。 示例：△→△△→△△△→（ ），数量依次1，2，3（差1），下一个为4个△。 题型6：图形规律——方向/位置变化 技巧：关注图形的旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（如90°、180°）或平移格数，确定变化规律。 题型7：算式规律（数字或运算符号的规律） 技巧：分别观察算式中第一个数、第二个数、运算符号、结果的变化，提炼规律。 示例：2+3=5，3+4=7，4+5=9，（ ）+（ ）=（ ），规律为“第n个算式：n+2 + n+3 = 2n+5”，下一个为5+6=11。 三、常见错误提醒 1.忽略间隔规律：如数列1，5，2，10，3，15，（ ），（ ），错看相邻数差4、-3、8、-7…，未发现奇数项1，2，3（差1）、偶数项5，10，15（差5），导致填错。 2.图形规律漏看细节：只关注数量，忽略方向或颜色，如○→●→○→●…（黑白交替），错填○（未注意颜色）。 3.数字规律混淆差与商：如数列2，4，8，16，错认为差依次2，4，8（递增），实际商都是2（等比），导致下一项填24（16+8）而非32（16×2）。 4.算式规律只看结果：如1×9+2=11，12×9+3=111，错认为结果都是“111…”，未发现第一个数是1，12，123（依次多一位），导致下一个算式错写12345×9+5（应为1234×9+4=11110）。 例题讲解 一、数字规律——等差数列 例题1：找出数列的规律并填空：8，12，16，20，（ ），（ ）。 跟踪练习1：找出数列的规律并填空：30，25，20，15，（ ），（ ）。 二、数字规律——间隔规律 例题2：找出数列的规律并填空：5，1，10，2，15，3，（ ），（ ）。 跟踪练习2：找出数列的规律并填空：2，20，4，18，6，16，（ ），（ ）。 三、图形规律——周期重复 例题3：观察图形变化，画出下一个图形：△□○△□○（ ）。 跟踪练习3：观察图形变化，画出下一个图形：★☆★☆★☆（ ）。 四、算式规律 例题4：根据规律填空：5×6=30，6×7=42，7×8=56，（ ）×（ ）=（ ）。 跟踪练习4：根据规律填空：1+10=11，2+9=11，3+8=11，（ ）+（ ）=（ ）。 提升练习 1．对于自然数进行如下变换：如果是奇数则加121，如果是偶数则减去11，现在对1001进行这样的变换，问：在变换过程中能否出现2008？ 2．小红走一个有10级台阶的楼梯，如果上台阶时每步跨1级或2级或3级台阶，当跨上第10级台阶时共有多少种不同的走法？ 3．长方形内部共有50个点（结合长方形4个顶点，共54个点，其中任意三点，不在同一条直线上）任意两点间可剪一刀，将长方形剪成以54个点为顶点的三角形，最多可剪成多少个三角形？需要剪多少刀？ 4．有甲乙两个水桶，甲水桶里有1千克水，乙桶是空的，第一次将甲桶水里的二分之一倒入乙桶，第二次将乙桶里的三分之一倒入甲桶，第三次将甲桶的四分之一倒入乙桶，第四次又将乙桶的五分之一倒入甲桶. 照这样来回倒下去，一直倒了2000次后，乙桶里有水多少千克？ 5．金帆管乐团共有54人，寒假期间有一个紧急的演出，韩老师需要尽快通知每一个人．用打电话的方式，每分钟通知一个人，最少需要用( )分钟才能通知到每一个人。 6．如图，用3条线段可以摆一个三角形，按下面的方式摆下去，摆2015个三角形需要 条线段。 【答案】4031 7．一串数按规律排列如下。从第一个数算起，前100个数的和是多少？ 3，2，1，4，3，2，5，4，3，6，5，4，7，6，5，… 8．某书法老师要书写一篇64个字的书法作品，至少要将宣纸连续对折 次，才能形成64个方格。 9．有20堆石子，每堆都有2006粒石子。从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作。经过不足20次操作后，某一堆中有石子1990粒，另一堆石子数在2080到2100之间。这一堆石子有( )粒。 10．从1999这个数里减去253以后，再加上244；然后再减去253，再加上244；……这样一直算下去，当减去第 次时，得数恰好第一次等于0。 11．将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作。如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6。直到两数相同为止。试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15。这两个四位数是( )与( )。 12．如果一个自然数的各位数字中有偶数个偶数，则称之为“希望数”。例如，26，201，533是希望数，8，36，208不是希望数，那么，把所有的希望数从小到大排列，第2010个希望数是 。 13．有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有 个是5的倍数。 14．下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角，求画n条射线所得的角的个数 ． 15．43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种，3分一张和5分一张，每个人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第01讲 寻找规律 知识点梳理 一、核心概念与关键要素 1. 基本概念 2. 规律是指事物在运动变化过程中，某些特征重复出现或按一定顺序变化的内在联系。数学中常见的规律类型包括： 数字规律：数列中数字的排列顺序或变化特征； 图形规律：图形的数量、形状、方向、颜色等重复或变化特征； 算式规律：算式中数字、运算符号或结果的变化特征。 2. 关键要素 重复特征：规律中重复出现的最小单元（如“△□△□…”中“△□”为重复单元）； 变化方向：数字规律中常见的递增（越来越大）、递减（越来越小）、循环（重复出现）； 变化间隔：相邻两项的差、和、积、商（如等差数列中差固定，等比数列中商固定）。 二、核心题型与技巧 题型1：数字规律——等差数列（相邻差固定） 技巧：计算相邻两个数的差，若差为固定值（递增或递减），则规律为“前一个数±固定差=后一个数”。 示例：1，4，7，10，（ ），（ ），相邻差为3（10-7=3，7-4=3，4-1=3），下一项为10+3=13，13+3=16。 题型2：数字规律——等比数列（相邻商固定） 技巧：计算相邻两个数的商（或倍数），若商为固定值（如×2、×3），则规律为“前一个数×固定商=后一个数”。 示例：2，6，18，54，（ ），相邻商为3（54÷18=3，18÷6=3，6÷2=3），下一项为54×3=162。 题型3：数字规律——间隔规律（奇数项与偶数项分开看） 技巧：当数列忽大忽小时，将奇数项（第1、3、5…项）和偶数项（第2、4、6…项）分开，分别找各自的规律。 示例：2，5，4，10，6，15，（ ），（ ），奇数项2，4，6（差2），偶数项5，10，15（差5），下两项为8（6+2），20（15+5）。 题型4：数字规律——累加规律（后一项是前几项的和） 技巧：观察后一项是否等于前两项（或前几项）的和，常见简单版为“前两项相加=第三项”。 示例：1，2，3，5，8，（ ），1+2=3，2+3=5，3+5=8，下一项为5+8=13。 题型5：图形规律——数量/形状变化 技巧：数出每组图形中基本图形的数量，或观察形状重复特征，转化为数字规律或周期规律。 示例：△→△△→△△△→（ ），数量依次1，2，3（差1），下一个为4个△。 题型6：图形规律——方向/位置变化 技巧：关注图形的旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度（如90°、180°）或平移格数，确定变化规律。 题型7：算式规律（数字或运算符号的规律） 技巧：分别观察算式中第一个数、第二个数、运算符号、结果的变化，提炼规律。 示例：2+3=5，3+4=7，4+5=9，（ ）+（ ）=（ ），规律为“第n个算式：n+2 + n+3 = 2n+5”，下一个为5+6=11。 三、常见错误提醒 1.忽略间隔规律：如数列1，5，2，10，3，15，（ ），（ ），错看相邻数差4、-3、8、-7…，未发现奇数项1，2，3（差1）、偶数项5，10，15（差5），导致填错。 2.图形规律漏看细节：只关注数量，忽略方向或颜色，如○→●→○→●…（黑白交替），错填○（未注意颜色）。 3.数字规律混淆差与商：如数列2，4，8，16，错认为差依次2，4，8（递增），实际商都是2（等比），导致下一项填24（16+8）而非32（16×2）。 4.算式规律只看结果：如1×9+2=11，12×9+3=111，错认为结果都是“111…”，未发现第一个数是1，12，123（依次多一位），导致下一个算式错写12345×9+5（应为1234×9+4=11110）。 例题讲解 一、数字规律——等差数列 例题1：找出数列的规律并填空：8，12，16，20，（ ），（ ）。 答案：24，28 解析：相邻两数差：12-8=4，16-12=4，20-16=4，差为固定值4（递增），规律为“前一个数+4=后一个数”。20+4=24，24+4=28。 跟踪练习1：找出数列的规律并填空：30，25，20，15，（ ），（ ）。 答案：10，5 解析：相邻两数差为-5（递减），规律为“前一个数-5=后一个数”。15-5=10，10-5=5。 二、数字规律——间隔规律 例题2：找出数列的规律并填空：5，1，10，2，15，3，（ ），（ ）。 答案：20，4 解析：数列忽大忽小，分开奇数项和偶数项： · 奇数项（第1、3、5项）：5，10，15，相邻差5（递增）； · 偶数项（第2、4、6项）：1，2，3，相邻差1（递增）。 · 下一项（第7项，奇数项）：15+5=20；第8项（偶数项）：3+1=4。 跟踪练习2：找出数列的规律并填空：2，20，4，18，6，16，（ ），（ ）。 答案：8，14 解析：奇数项2，4，6（差2）；偶数项20，18，16（差-2），下两项为8（6+2），14（16-2）。 三、图形规律——周期重复 例题3：观察图形变化，画出下一个图形：△□○△□○（ ）。 答案：△ 解析：图形依次为△、□、○，重复出现“△□○”，周期为3，下一个是周期的第一个图形△。 跟踪练习3：观察图形变化，画出下一个图形：★☆★☆★☆（ ）。 答案：★ 解析：周期为“★☆”，下一个是周期的第一个图形★。 四、算式规律 例题4：根据规律填空：5×6=30，6×7=42，7×8=56，（ ）×（ ）=（ ）。 答案：8×9=72 解析：第一个数5，6，7（差1）；第二个数6，7，8（差1）；结果30（5×6），42（6×7），56（7×8），规律为“第n个算式：(n+4)×(n+5)=(n+4)(n+5)”，下一个为8×9=72。 跟踪练习4：根据规律填空：1+10=11，2+9=11，3+8=11，（ ）+（ ）=（ ）。 答案：4+7=11 解析：两个数相加和为11，第一个数1，2，3（差1），第二个数10，9，8（差-1），下一个为4+7=11。 提升练习 1．对于自然数进行如下变换：如果是奇数则加121，如果是偶数则减去11，现在对1001进行这样的变换，问：在变换过程中能否出现2008？ 【答案】在变换过程中不可能出现2008。 【分析】如果是奇数则加121，如果是偶数则减去11。不管是121还是11，都是11的倍数，即每次加减的数均为11的倍数。开始的数为1001，1001÷11＝91，开始的数是11的倍数，但是2008÷11＝182……6，由此即可判断是否会出现2008。 【详解】不管是121、11还是1001，都是11的倍数，因此每次变换后的数都会是11的倍数。 2008÷11＝182……6，即2008不是11的倍数。 因此变换过程中不可能出现2008。 答：变换过程中不可能出现2008。 2．小红走一个有10级台阶的楼梯，如果上台阶时每步跨1级或2级或3级台阶，当跨上第10级台阶时共有多少种不同的走法？ 【答案】274种 【分析】根据题意先枚举出台阶数比较少时，登上台阶共有多少种不同的走法，然后根据所列举出来的不同的走法总结出规律，然后进行解答。 【详解】当跨上第1级台阶时，不同的走法数为：1种； 当跨上第2级台阶时，不同的走法数为：2种； 当跨上第3级台阶时，不同的走法数为：4种； 当跨上第4级台阶时，不同的走法数为：7种； 当跨上第5级台阶时，不同的走法数为：13种； 由此可以发现规律为：从第4级开始，不同的走法都等于前3种不同走法的和。 所以根据规律列表，如图所示： 答：当跨上第10级台阶时共有274种不同的走法。 3．长方形内部共有50个点（结合长方形4个顶点，共54个点，其中任意三点，不在同一条直线上）任意两点间可剪一刀，将长方形剪成以54个点为顶点的三角形，最多可剪成多少个三角形？需要剪多少刀？ 【答案】102个   151刀 【详解】长方形内没有点时，原来的长方形可以剪成2个三角形； 长方形内有1个点时，可以剪成4个三角形； 长方形内有2个点时，可以剪成6个三角形； 长方形内有3个点时，可以剪成8个三角形；   …… 规律为：每增加1个点，就会增加2个三角形．n个点，就可以剪出2n+2个三角形． 所以长方形内部这50个点最多可以剪出三角形50×2+2=102个． 剪前4个三角形共需要4刀，以后每增加一个点增加的两个三角形都需要剪3刀，所以共需要剪：（102-4）÷2×3+4=151（刀） 答：最多可剪成102个三角形，需要剪151刀． 【点睛】本题考查了简单的排列组合知识，可以通过逐步增加点的个数，找出三角形个数增加的规律，并依照规律解决问题． 4．有甲乙两个水桶，甲水桶里有1千克水，乙桶是空的，第一次将甲桶水里的二分之一倒入乙桶，第二次将乙桶里的三分之一倒入甲桶，第三次将甲桶的四分之一倒入乙桶，第四次又将乙桶的五分之一倒入甲桶. 照这样来回倒下去，一直倒了2000次后，乙桶里有水多少千克？ 【答案】千克 【详解】第一次倒后：乙桶有：（千克）； 第二次倒后，乙桶有：（千克）； 第三次倒后，乙桶有：（千克）； 第四次倒后，乙桶有：（千克）； 据此发现：奇数次乙桶里的剩下的水是千克，则1999次时乙剩下千克，甲有千克； 第2000次应该将乙桶的倒入甲桶，那么乙还剩下：（千克）． 答：一直倒了2000次后，乙桶里有水千克． 【点睛】解决本题的关键是根据题意写出几个算式，找出规律，再根据规律解答． 5．金帆管乐团共有54人，寒假期间有一个紧急的演出，韩老师需要尽快通知每一个人．用打电话的方式，每分钟通知一个人，最少需要用( )分钟才能通知到每一个人。 【答案】6 【详解】略 6．如图，用3条线段可以摆一个三角形，按下面的方式摆下去，摆2015个三角形需要 条线段。 【答案】4031 【分析】第一个图形有3个； 第二个图形有5个，增加了2个，即3＋2； 第三个图形有7个，又增加个，相当于在3的基础上增加了2个2，即3＋2×2； 第四个图形又多一个2，相当于在3的基础上增加了3个2，即3＋2×3 以此类推，第n个，线段需要3＋2（n－1）。 【详解】3＋2×（2015－1） ＝3＋2×2014 ＝3＋4028 ＝4031 则摆2015个三角形需要4031条线段。 7．一串数按规律排列如下。从第一个数算起，前100个数的和是多少？ 3，2，1，4，3，2，5，4，3，6，5，4，7，6，5，… 【答案】1818 【分析】观察这个数列可知。每3个数为一组，中间数为这三个数的平均数，和即为中间数的3倍。先求出前100个数一共有多少组，然后再去求和。 【详解】 最后一个数为： 前100个数的和： 答：前100个数的和是1818。 8．某书法老师要书写一篇64个字的书法作品，至少要将宣纸连续对折 次，才能形成64个方格。 【答案】6 【分析】我们知道每对折一次后，方格数就是对折前方格数的2倍。因此用对折前的方格数乘2，就可以依次计算出每次对折后的方格数。 【详解】对折1次方格数为：1×2＝2（个）； 对折2次方格数为：2×2＝4（个）； 对折3次方格数为：4×2＝8（个）； 对折4次方格数为：8×2＝16（个）； 对折5次方格数为：16×2＝32（个）； 对折6次方格数为：32×2＝64（个）； 因此至少要将宣纸连续对折6次，才能形成64个方格。 9．有20堆石子，每堆都有2006粒石子。从任意19堆中各取一粒放入另一堆，称为一次操作。经过不足20次操作后，某一堆中有石子1990粒，另一堆石子数在2080到2100之间。这一堆石子有( )粒。 【答案】2090 【分析】根据题意可以得出，某一堆石子，如果被取一次，则数量减少1，如果被放入一次，则数量增加19；考虑有1990粒石子的那一堆，如果至少一次被放，则最多19次被取，最后石子数肯定不少于原来的2006粒；则该石子一次也没被放入过，则总共被取了16次。 【详解】（粒） 由于另一堆石子数在2080与2100之间，则只被放入过 5次，被取11次； （粒） 所以这一堆石子有2090粒。 【点睛】本题考查的是实际操作的问题，并与最值问题相结合，可以通过实践探索规律。 10．从1999这个数里减去253以后，再加上244；然后再减去253，再加上244；……这样一直算下去，当减去第 次时，得数恰好第一次等于0。 【答案】 【分析】减去253以后，再加上244，每操作一次，减少9，当减少若干个9后，得到253，再减去253，第一次得到0。 【详解】 所以当减去第195次时，得数恰好第一次等于0。 【点睛】本题实质上考查的是周期问题，虽然减去253以后，再加上244，每操作一次，减少9，但如果直接计算1999减少多少个9后得到0，发现是求解不了的。 11．将两个不同的自然数中较大数换成这两个数之差，称为一次操作。如对18和42可连续进行这样的操作，则有：18，42→18，24→18，6→12，6→6。直到两数相同为止。试给出和最小的两个四位数，按照以上操作，最后得到的相同的数是15。这两个四位数是( )与( )。 【答案】 1005 1020 【分析】多举几个例子观察规律，观察操作后所得结果，不难发现每次所得的最终结果是开始两数的最大公因数，因此我们只需找到两个尽量小的四位数，它们都是15的倍数，可得1005和1020。 【详解】由题意，我们可以多给几组数按题目所给操作方法进行操作，从中找出规律； 例如：136，63→…→1，1 36，27→…→9，9 84，36→…→12，12 最小的两个四位数，且有公因数15； ， 所以符合要求的最小的两个四位数是1005和1020。 【点睛】辗转相除法也是求解公因数常用的方法，尤其是对于两个比较大的数。 12．如果一个自然数的各位数字中有偶数个偶数，则称之为“希望数”。例如，26，201，533是希望数，8，36，208不是希望数，那么，把所有的希望数从小到大排列，第2010个希望数是 。 【答案】4019 【分析】奇数加1，得到偶数，偶数加1，得到奇数，在不进位的情况下：希望数＋1＝非希望数，且非希望数＋1＝希望数，即希望数与非希望数交替出现。 【详解】从0~9开始，每10个数中有5个希望数； 因此第2010个希望数为。 【点睛】对于此类问题，首先要明白题目所定义的新概念的具体含义，充分理解意思后再考虑如何求解问题。 13．有一串数1，1，2，3，5，8，…，从第三个数起，每个数都是前两个数之和，在这串数的前2009个数中，有 个是5的倍数。 【答案】401 【分析】依次写出前2009个数，再判断是否是5的倍数，显然是不现实的，可以通过除以5的余数进行分析，两个数的和除以5的余数等于这两个数除以5的余数之和再除以5的余数。 【详解】这串数除以5的余数分别为：1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，1，1，2，3，0，… 可以发现这串余数中，每20个数为一个循环，且一个循环中，每5个数中第五个数是5的倍数。 由于，所以前2009个数中，有401个是5的倍数。 【点睛】本题考查的是斐波那契数列（兔子数列），关于斐波那契数列的计数问题，通常与周期问题相结合。 14．下图，在已知角内画射线，画1条射线，图中共有 个角；画2条射线，图中共有 个角；画3条射线，图中共有 个角，求画n条射线所得的角的个数 ． 【答案】 3 6 10 (n+1)(n+2)÷2 【详解】因为画1条射线，图中共有3个角，即1+2=3个角； 画2条射线，图中共有6个角，即1+2+3=6个角； 画3条射线，图中共有10个角，即1+2+3+4=10个角； 所以画n条射线所得的角的个数为(n+1)(n+2)÷2． 15．43位同学，他们身上带的钱从8分到5角，钱数都各不相同．每个同学都把身上带的全部钱各自买了画片．画片只有两种，3分一张和5分一张，每个人都尽量多买5分一张的画片．问他们所买的3分画片的总数是多少张？ 【答案】84张 【分析】钱数与张数的关系列表如下： 从表中可以看出3分的张数正好循环，周期是5，由此解决问题． 【详解】43÷5=8…3， 所以3分画片有：（1+3+2+4）×8+1+3=84（张） 答：他们所买的3分画片的总数是84张． 1 学科网（北京）股份有限公司 $