第06讲 变化规律 （知识点梳理+例题讲解+提升练习）-四年级奥数培优讲义

四年级奥数培优讲义：第06讲 变化规律 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 变化规律是指在加法、减法、乘法、除法运算中，当加数、减数、被减数、因数、被除数、除数（统称“变化量”）发生增加、减少或倍数变化时，结果（和、差、积、商）随之发生的规律性变化。 2.核心公式 （1）和的变化规律 若一个加数增加 ，另一个加数不变，则和增加 ； 若一个加数减少 ，另一个加数不变，则和减少 ； 若一个加数增加 ，另一个加数增加 ，则和增加 ； 若一个加数增加 ，另一个加数减少 （），则和增加 。 （2）差的变化规律 若被减数增加 ，减数不变，则差增加 ； 若被减数减少 ，减数不变，则差减少 ； 若减数增加 ，被减数不变，则差减少 ； 若减数减少 ，被减数不变，则差增加 ； 若被减数增加 ，减数增加 ，则差变化为“原差 ”。 （3）积的变化规律（因数不为0） 若一个因数乘 ，另一个因数不变，则积乘 ； 若一个因数除以 （），另一个因数不变，则积除以 ； 若一个因数乘 ，另一个因数乘 ，则积乘 ； 若一个因数乘 ，另一个因数除以 （），则积乘 。 （4）商的变化规律（除数不为0） 若被除数乘 ，除数不变，则商乘 ； 若被除数除以 （），除数不变，则商除以 ； 若除数乘 （），被除数不变，则商除以 ； 若除数除以 （），被除数不变，则商乘 ； 若被除数和除数同时乘或除以相同的数（），商不变（商不变性质）。 二、核心题型与技巧 题型1：和的变化规律（已知加数变化，求新的和） 技巧：和的变化量 = 各加数变化量之和（增加记为“+”，减少记为“-”），新和 = 原和 + 和的变化量。 题型2：差的变化规律（已知被减数/减数变化，求新的差） 技巧：差的变化量 = 被减数变化量 - 减数变化量（被减数增加记“+”，减少记“-”；减数增加记“+”，减少记“-”），新差 = 原差 + 差的变化量。 题型3：积的变化规律（已知因数变化，求新的积） 技巧：积的变化倍数 = 各因数变化倍数的乘积（乘记“×”，除以记“÷”），新积 = 原积 × 积的变化倍数。 题型4：商的变化规律（已知被除数/除数变化，求新的商） 技巧：商的变化倍数 = 被除数变化倍数 ÷ 除数变化倍数（乘记“×”，除以记“÷”），新商 = 原商 × 商的变化倍数；若被除数和除数同乘/同除相同数（非0），商不变。 题型5：变化规律综合应用（结合和差积商规律解决问题） 技巧：先判断运算类型（加、减、乘、除），再分别确定各部分的变化量或变化倍数，分步应用对应规律计算结果。 三、常见错误提醒 1.积的变化规律中倍数混淆：两个因数同时变化时，误将倍数“相加”而非“相乘”（如一个因数×2，另一个×3，积误×5，正确应为×6）。 2.商的变化规律中“被除数/除数”影响混淆：误将“除数×a”等同于“被除数×a”对商的影响（如被除数×2，除数×3，商误×6，正确应为×2÷3=×）。 3.差的变化规律中减数变化符号错误：减数增加时，差的变化量误记为“+”（如被减数+5，减数+3，差误+8，正确应为+5-3=+2）。 4.和的变化规律中“增加/减少”抵消错误：一个加数增加、另一个减少时，误将变化量“相加”而非“相减”（如一个加数+4，另一个-2，和的变化量误+6，正确应为+4-2=+2）。 例题讲解 一、和的变化规律 例题1：两个数相加，和是72，若一个加数增加15，另一个加数减少8，现在的和是多少？ 跟踪练习1：两个加数的和是58，其中一个加数减少12，另一个加数增加9，现在的和是多少？ 二、差的变化规律 例题2：被减数是90，减数是45，差是45。若被减数增加10，减数减少5，现在的差是多少？ 跟踪练习2：被减数是120，减数是70，差是50。若被减数减少8，减数增加12，现在的差是多少？ 三、积的变化规律 例题3：一个因数是12，另一个因数是5，积是60。若一个因数乘3，另一个因数乘2，新的积是多少？ 跟踪练习3：两个因数的积是84，若一个因数除以2，另一个因数乘4，新的积是多少？ 四、商的变化规律 例题4：被除数是100，除数是20，商是5。若被除数除以5，除数乘2，新的商是多少？ 跟踪练习4：被除数是180，除数是30，商是6。若被除数乘4，除数除以3，新的商是多少？ 五、变化规律综合应用 例题5：两数相减，被减数、减数与差的和是120，其中差是25。若被减数增加10，减数减少5，现在的差是多少？ 跟踪练习5：两数相乘，积是72，若一个因数增加1，另一个因数不变，积变为80。原来的两个因数分别是多少？ 提升练习 1．小军在计算一道减法算式时，把被减数十位上的3写成了8，把减数个位上的9写成了6，所得的差是147，正确的差是( )。 2．两个小数相加，一个加数减少3.4，另一个加数增加2.95，和（    ）。 A．增加0.45 B．减少0.55 C．减少0.45 D．增加0.55 3．小马虎在计算一道加法计算时，把一个加数7.36看成7.63，计算出的结果是11.4。这道题的正确结果是( )。 4．两个数相加，如果其中的一个加数增加160，另一个加数减少110，那么和( )。 5．两个加数的和是968，若其中一个加数是320，那么另一个加数是( )；若其中一个加数减少358，另一个加数不变，那么和变为( )。 6．小玲做一道加法题，把一个加数326看成362，得到的结果是804，这道加法题的正确结果是( )。 7．东东在计算一道减法算式时，把减数十位上的3看成了8，结果得到的差是293，正确的差应该是 。 8．某农场有一块长15米宽10米的长方形试验田，今年为了提高产量，要将试验田的面积扩大到原来的4倍，请至少写出两种方案。 9．两个因数相乘的积是489，如果一个因数不变，将另一个因数扩大到原来的3倍，现在的积是( )。 10．有一个宽6米的绿化带，占地面积是960平方米，为了扩大绿化面积，现将绿化带的宽增加到12米，长不变。扩建后这个绿化带的占地面积是多少平方米？ 11．上海大剧院是中国第一座国际性、现代化的综合剧院，主舞台面积720平方米，宽16米。如果想继续增强视听效果，将主舞台的宽度增加到32米，长不变，扩建后的主舞台面积达到多少平方米？ 12．污水污染已成为一个比较严重的问题。某地为治理污水污染，打算把一个长方形污水处理池扩大面积，原来污水池的面积是2500平方米，将这个污水处理池的长扩大为原来的5倍，宽扩大为原来的2倍。扩建后的污水处理池的面积是多少平方米？ 13．马小虎在计算乘法时，把其中一个因数26看成了29，结果得到的积比正确的多924。你知道正确的积是多少吗？ 14．5箱蜜蜂可以酿蜂蜜350千克，之昂家今年共酿了4200千克蜂蜜，请你算一算之昂家今年一共养了多少箱蜜蜂？ 15．两数相除，得到的商是3，余数为20，如果被除数和除数同时扩大8倍，商是多少？余数是多少？你能从中发现什么？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 四年级奥数培优讲义：第06讲 变化规律 知识点梳理 一、核心概念与公式 1.基本概念 变化规律是指在加法、减法、乘法、除法运算中，当加数、减数、被减数、因数、被除数、除数（统称“变化量”）发生增加、减少或倍数变化时，结果（和、差、积、商）随之发生的规律性变化。 2.核心公式 （1）和的变化规律 若一个加数增加 ，另一个加数不变，则和增加 ； 若一个加数减少 ，另一个加数不变，则和减少 ； 若一个加数增加 ，另一个加数增加 ，则和增加 ； 若一个加数增加 ，另一个加数减少 （），则和增加 。 （2）差的变化规律 若被减数增加 ，减数不变，则差增加 ； 若被减数减少 ，减数不变，则差减少 ； 若减数增加 ，被减数不变，则差减少 ； 若减数减少 ，被减数不变，则差增加 ； 若被减数增加 ，减数增加 ，则差变化为“原差 ”。 （3）积的变化规律（因数不为0） 若一个因数乘 ，另一个因数不变，则积乘 ； 若一个因数除以 （），另一个因数不变，则积除以 ； 若一个因数乘 ，另一个因数乘 ，则积乘 ； 若一个因数乘 ，另一个因数除以 （），则积乘 。 （4）商的变化规律（除数不为0） 若被除数乘 ，除数不变，则商乘 ； 若被除数除以 （），除数不变，则商除以 ； 若除数乘 （），被除数不变，则商除以 ； 若除数除以 （），被除数不变，则商乘 ； 若被除数和除数同时乘或除以相同的数（），商不变（商不变性质）。 二、核心题型与技巧 题型1：和的变化规律（已知加数变化，求新的和） 技巧：和的变化量 = 各加数变化量之和（增加记为“+”，减少记为“-”），新和 = 原和 + 和的变化量。 题型2：差的变化规律（已知被减数/减数变化，求新的差） 技巧：差的变化量 = 被减数变化量 - 减数变化量（被减数增加记“+”，减少记“-”；减数增加记“+”，减少记“-”），新差 = 原差 + 差的变化量。 题型3：积的变化规律（已知因数变化，求新的积） 技巧：积的变化倍数 = 各因数变化倍数的乘积（乘记“×”，除以记“÷”），新积 = 原积 × 积的变化倍数。 题型4：商的变化规律（已知被除数/除数变化，求新的商） 技巧：商的变化倍数 = 被除数变化倍数 ÷ 除数变化倍数（乘记“×”，除以记“÷”），新商 = 原商 × 商的变化倍数；若被除数和除数同乘/同除相同数（非0），商不变。 题型5：变化规律综合应用（结合和差积商规律解决问题） 技巧：先判断运算类型（加、减、乘、除），再分别确定各部分的变化量或变化倍数，分步应用对应规律计算结果。 三、常见错误提醒 1.积的变化规律中倍数混淆：两个因数同时变化时，误将倍数“相加”而非“相乘”（如一个因数×2，另一个×3，积误×5，正确应为×6）。 2.商的变化规律中“被除数/除数”影响混淆：误将“除数×a”等同于“被除数×a”对商的影响（如被除数×2，除数×3，商误×6，正确应为×2÷3=×）。 3.差的变化规律中减数变化符号错误：减数增加时，差的变化量误记为“+”（如被减数+5，减数+3，差误+8，正确应为+5-3=+2）。 4.和的变化规律中“增加/减少”抵消错误：一个加数增加、另一个减少时，误将变化量“相加”而非“相减”（如一个加数+4，另一个-2，和的变化量误+6，正确应为+4-2=+2）。 例题讲解 一、和的变化规律 例题1：两个数相加，和是72，若一个加数增加15，另一个加数减少8，现在的和是多少？ 答案：79 解析：和的变化量 = 15（增加） - 8（减少） = 7，新和 = 原和 + 变化量 = 72 + 7 = 79。 跟踪练习1：两个加数的和是58，其中一个加数减少12，另一个加数增加9，现在的和是多少？ 答案：55 解析：和的变化量 = -12 + 9 = -3，新和 = 58 + (-3) = 55。 二、差的变化规律 例题2：被减数是90，减数是45，差是45。若被减数增加10，减数减少5，现在的差是多少？ 答案：60 解析：差的变化量 = 被减数变化量 - 减数变化量 = +10 - (-5) = 15（减数减少5，变化量为-5），新差 = 45 + 15 = 60。 跟踪练习2：被减数是120，减数是70，差是50。若被减数减少8，减数增加12，现在的差是多少？ 答案：30 解析：差的变化量 = -8 - (+12) = -20，新差 = 50 + (-20) = 30。 三、积的变化规律 例题3：一个因数是12，另一个因数是5，积是60。若一个因数乘3，另一个因数乘2，新的积是多少？ 答案：360 解析：积的变化倍数 = 3 × 2 = 6，新积 = 原积 × 变化倍数 = 60 × 6 = 360。 跟踪练习3：两个因数的积是84，若一个因数除以2，另一个因数乘4，新的积是多少？ 答案：168 解析：积的变化倍数 = （÷2）× 4 = 2，新积 = 84 × 2 = 168。 四、商的变化规律 例题4：被除数是100，除数是20，商是5。若被除数除以5，除数乘2，新的商是多少？ 答案：0.5 解析：商的变化倍数 = （÷5）÷ （×2） = ，新商 = 5 × = 0.5。 跟踪练习4：被除数是180，除数是30，商是6。若被除数乘4，除数除以3，新的商是多少？ 答案：72 解析：商的变化倍数 = （×4）÷ （÷3） = 4 × 3 = 12，新商 = 6 × 12 = 72。 五、变化规律综合应用 例题5：两数相减，被减数、减数与差的和是120，其中差是25。若被减数增加10，减数减少5，现在的差是多少？ 答案：40 解析：① 先求被减数和减数：被减数 = 减数 + 差，且被减数 + 减数 + 差 = 120 → 被减数×2 = 120 → 被减数 = 60，减数 = 被减数 - 差 = 60 - 25 = 35；② 差的变化量 = 被减数变化量 - 减数变化量 = +10 - (-5) = 15；③ 新差 = 25 + 15 = 40。 跟踪练习5：两数相乘，积是72，若一个因数增加1，另一个因数不变，积变为80。原来的两个因数分别是多少？ 答案：8和9 解析：设不变的因数为，另一个因数为，则， → → 72 + = 80 → ，则。 提升练习 1．小军在计算一道减法算式时，把被减数十位上的3写成了8，把减数个位上的9写成了6，所得的差是147，正确的差是( )。 【答案】94 【分析】根据题意，把被减数十位上的3写成了8，也就是30变成了80，用80减去30，是被减数的十位增加了多少。被减数增加，减数不变，差就增加，所以也是差增加的数。减数个位上的9写成了6，用9减去6，是减数减少的数。被减数不变，减数减少，差增加，那么也是差增加的数。然后用错误的差减去被减数的十位增加的和减数个位减少的，即可求得正确的差。 【详解】80－30＝50 9－6＝3 147－50－3 ＝97－3 ＝94 所以，正确的差是94。 2．两个小数相加，一个加数减少3.4，另一个加数增加2.95，和（    ）。 A．增加0.45 B．减少0.55 C．减少0.45 D．增加0.55 【答案】C 【分析】一个加数增加几，另一个加数减少几，如果增加的多，则和增加，如果减少的多，则和减少。据此可知，一个加数减少3.4，另一个加数增加2.95，和应减少（3.4－2.95）。 【详解】3.4－2.95＝0.45 两个小数相加，一个加数减少3.4，另一个加数增加2.95，则和减少0.45。 故答案为：C 3．小马虎在计算一道加法计算时，把一个加数7.36看成7.63，计算出的结果是11.4。这道题的正确结果是( )。 【答案】11.13 【分析】根据题意，把一个加数7.36看成7.63，则这个加数增加了（7.63－7.36），那么计算出的结果11.4也比正确结果增加了（7.63－7.36），据此用错误的结果减去增加的数，就是这道题的正确结果。 【详解】7.63－7.36＝0.27 11.4－0.27＝11.13 这道题的正确结果是11.13。 4．两个数相加，如果其中的一个加数增加160，另一个加数减少110，那么和( )。 【答案】增加50 【分析】和的变化规律：一个加数不变，另一个加数加上几或减去几，和就等于原来的和加上几或减去几。由题意得，两个数相加，其中的一个加数增加160，另一个加数减少110。160＞110，即增加的比减少的值多。160－110＝50，所以和会增加50。 【详解】两个数相加，如果其中的一个加数增加160，另一个加数减少110，那么和增加50。 5．两个加数的和是968，若其中一个加数是320，那么另一个加数是( )；若其中一个加数减少358，另一个加数不变，那么和变为( )。 【答案】 648 610 【分析】加数＋加数＝和，则和－加数＝加数，968减去320，即可算出另一个加数是几。 一个加数不变，另一个加数增加或减少几，和也增加或减少几。 【详解】968－320＝648 968－358＝610 两个加数的和是968，若其中一个加数是320，那么另一个加数是648；若其中一个加数减少358，另一个加数不变，那么和变为610。 6．小玲做一道加法题，把一个加数326看成362，得到的结果是804，这道加法题的正确结果是( )。 【答案】768 【分析】在加法算式中，加数＋加数＝和，其中一个加数不变，另一个加数加几（或减几），和就加几（或减几）。把一个加数326看成了362这个加数增加了几，和就增加了几，再用和减去增加的数，就是正确的和。 【详解】362－326＝36 804－36＝768 小玲做一道加法题，把一个加数326看成362，得到的结果是804，这道加法题的正确结果是（768）。 7．东东在计算一道减法算式时，把减数十位上的3看成了8，结果得到的差是293，正确的差应该是 。 【答案】343 【分析】差的变化规律：被减数不变，减少增加几，则差反而减少几；十位上的3表示30，十位上的8表示80，把减数十位上的3看成了8，减数多算了（80－30），则差少算了（80－30），用现在的差加上（80－30），即可计算出正确的差应该是多少；据此解答。 【详解】根据分析： 80－30＝50 293＋50＝343 所以正确的差应该是343。 8．某农场有一块长15米宽10米的长方形试验田，今年为了提高产量，要将试验田的面积扩大到原来的4倍，请至少写出两种方案。 【答案】方案一：长不变，宽扩大到原来的4倍，即长15米，宽40米，面积为600平方米； 方案二：宽不变，长扩大到原来的4倍，即长60米，宽10米，面积为600平方米。 【分析】根据长方形的面积＝长×宽。再根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的多少倍，积也扩大到原来的多少倍。则方案一：长不变，宽扩大到原来的4倍，即宽为（10×4）米，则试验田的面积扩大到原来的4倍；方案二：宽不变，长扩大到原来的4倍，即长为（15×4）米，则试验田的面积扩大到原来的4倍。据此解答。 【详解】方案一：长不变，宽扩大为原来的4倍，则宽为：10×4＝40（米） 15×40＝600（平方米） 方案二：宽不变，长扩大为原来的4倍，则长为：15×4＝60（米） 60×10＝600（平方米） 答：方案一：长不变，宽扩大到原来的4倍，即长15米，宽40米，面积为600平方米；方案二：宽不变，长扩大到原来的4倍，即长60米，宽10米，面积为600平方米。 9．两个因数相乘的积是489，如果一个因数不变，将另一个因数扩大到原来的3倍，现在的积是( )。 【答案】1467 【分析】根据积的变化规律，当一个因数不变，另一个因数扩大到原来的3倍时，积也会扩大到原来的3倍。因此，原积489乘3即可得到现在的积。 【详解】489×3＝1467 所以，现在的积是1467。 10．有一个宽6米的绿化带，占地面积是960平方米，为了扩大绿化面积，现将绿化带的宽增加到12米，长不变。扩建后这个绿化带的占地面积是多少平方米？ 【答案】1920平方米 【分析】由题意得，有一个宽6米的绿化带，占地面积是960平方米。为了扩大绿化面积，现将绿化带的宽增加到12米，长不变，据此作图如下： 由图可知，现在的宽是原来的2倍，长不变。长方形的面积＝长×宽，所以现在这个绿化带的面积是原来的2倍，直接用960乘2即可算出扩建后这个绿化带的占地面积。 【详解】12÷6×960 ＝2×960 ＝1920（平方米） 答：扩建后这个绿化带的占地面积是1920平方米。 11．上海大剧院是中国第一座国际性、现代化的综合剧院，主舞台面积720平方米，宽16米。如果想继续增强视听效果，将主舞台的宽度增加到32米，长不变，扩建后的主舞台面积达到多少平方米？ 【答案】1440平方米 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，主舞台的宽是16米，要把宽增加到32米，长不变，因32÷16＝2，即宽扩大到原来的2倍；根据积的变化规律，一个因数不变，另一个因数扩大到原来的几倍，积也扩大到原来的几倍，所以主舞台的面积也扩大到原来的2倍，即用720平方米乘2。据此解答。 【详解】（32÷16）×720 ＝2×720 ＝1440（平方米） 答：扩建后的主舞台面积达到1440平方米。 12．污水污染已成为一个比较严重的问题。某地为治理污水污染，打算把一个长方形污水处理池扩大面积，原来污水池的面积是2500平方米，将这个污水处理池的长扩大为原来的5倍，宽扩大为原来的2倍。扩建后的污水处理池的面积是多少平方米？ 【答案】25000平方米 【分析】根据长方形面积＝长×宽，再根据积的变化规律，因数扩大到原来的几倍，积就扩大到原来的几倍。据此解答。 【详解】2500×5×2 ＝12500×2 ＝25000（平方米） 答：扩建后的污水处理池的面积是25000平方米。 13．马小虎在计算乘法时，把其中一个因数26看成了29，结果得到的积比正确的多924。你知道正确的积是多少吗？ 【答案】8008 【分析】根据积的变化规律：两个因数相乘时，一个因数不变，另一个因数增加（减少），它们的积也增加（减少），因此用924÷（29－26）可求出另一个因数；再用另一个因数乘26，即可求出正确的积。 【详解】924÷（29－26） ＝924÷3 ＝308 308×26＝8008 答：正确的积是8008。 14．5箱蜜蜂可以酿蜂蜜350千克，之昂家今年共酿了4200千克蜂蜜，请你算一算之昂家今年一共养了多少箱蜜蜂？ 【答案】60箱 【分析】根据题意，用350除以5，求出平均每箱蜜蜂能酿多少千克蜂蜜，再用4200除以每箱蜜蜂能酿的蜂蜜质量，求出之昂家今年一共养了多少箱蜜蜂。 【详解】350÷5＝70（千克） 4200÷70＝60（箱） 答：之昂家今年一共养了60箱蜜蜂。 【点睛】本题考查的是归一问题，先求出单一量，再求总量。 15．两数相除，得到的商是3，余数为20，如果被除数和除数同时扩大8倍，商是多少？余数是多少？你能从中发现什么？ 【答案】3；160；商不变，余数与被除数、除数扩大的倍数相同 【解析】略 1 学科网（北京）股份有限公司 $