5.2 一次函数的概念（第1课时 一次函数的概念）（教学课件）数学苏科版2024八年级上册

该初中数学课件聚焦一次函数与正比例函数的概念及关系，通过具体函数表达式的问题链引导学生观察自变量、次数及特征，搭建从实例探究到抽象概念的学习支架，衔接知识精讲模块。 其亮点在于结合弹簧秤、出租车费用等生活实例，以问题探究培养抽象能力与模型意识，典例分析和思维提升强化推理判断，课堂小结系统梳理知识。助力学生发展数学眼光与思维，教师可高效开展概念教学与应用训练。

5.2 一次函数的概念 第1课时 一次函数的概念 第五章 一次函数 学 习 目 标 1 2 3 能根据简单实际问题中的已知条件确定函数的表达式，并对函数表达式进行分类，归纳一类函数表达式的共性特征，形成一次函数概念，体会一次函数的意义，发展抽象能力． 认识正比例函数中两个变量之间的对应规律，会结合实例说明正比例函数的意义及变量之间的对应规律，认识到正比例函数是特殊的一次函数． 能举出一次函数(包括正比例函数)的实例，初步体会其中“k”“b”的实际意义． 问题情境 某人给汽车加油时的计价屏如图所示．加油枪流量是40L/min，加油前油箱中有油6L，在这个过程中有哪些常量、变量？有哪些函数关系？ 常量有单价、加油枪流量、加油前油箱中的油、油箱的总容量． 变量有加油时间、加油油量、油箱中油量、花费金额． 问题情境 某人给汽车加油时的计价屏如图所示．加油枪流量是40L/min，加油前油箱中有油6L，在这个过程中有哪些常量、变量？有哪些函数关系？ 加油时，金额y元与加油油量x L具有函数关系， 可以用函数表达式表示，即y＝7.49x． 油箱中的油量Q L与加油时间t min具有函数关系， 可以用函数表达式表示，即Q＝40t＋6． 探索交流 y＝7.49x Q＝40t＋6 它们有什么相同之处与不同之处？你能将它们进行分类吗？ 上面函数表达式中，自变量是什么？函数表达式是关于自变量的几次式？ 观察上述表达式的结构，如何用符号语言表达它们的共同特征？ y＝1－x y＝30t 知识精讲 一般地，形如y＝kx＋b(k，b为常数，k≠0)的函数叫作一次函数，其中x是自变量，y是x的函数． 特别地，当b＝0时，y＝kx(k为常数，k≠0)叫作x的正比例函数． 注意： (1)一次函数有三个特征：①k≠0;②自变量x的次数是1;③常数b可以是任意实数． (2)正比例函数一定是一次函数,但一次函数不一定是正比例函数． 典例分析 例1 下列函数中哪些是一次函数，哪些是正比例函数？ 解：(1) (4) (5) (6) (8)是一次函数， (1) (5) (6)是正比例函数. (1) y＝－8x； (2) y＝； (3) y＝5x2＋6； (4) y＝1－x； (5) y＝－； (6) y＝2＋2(x－1)； (7) y＝ax＋b； (8) y＝ . 新知巩固 1. 下列说法正确的是（　 ） A. y＝2x是正比例函数，但不是一次函数 B. y＝ 不是一次函数 C. y＝－ x 是一次函数 D. y＝10(x＋3)是正比例函数 C 3. 当m＝______时，函数y＝(m＋2) －1是关于x的一次函数. 新知巩固 2. 已知函数y＝(k＋1)x＋k－1，当k 　≠－1　时，它是关于x的一次函数；当k＝ 　1　时，它是关于x的正比例函数. ≠－1　 1　 2　 4. 若y＝(m2－1)x2＋(1－m)x是y关于x的正比例函数，则m的值为－1　. －1 典例分析 例2 写出下列各个变化过程中两个变量之间的函数表达式，并指出其中的一次函数、正比例函数． 解：(1) C＝4x，C是x的正比例函数． (2) 正方形花圃的面积S m2随边长x m的变化而变化． (1) 正方形花圃的周长C m随边长x m的变化而变化． 解：(2) S＝x²，S不是x的一次函数． 正比例函数中两个变量之间的对应规律是什么？ 典例分析 (3) 如图，A，B两站相距200 km．若火车从B站出发以320 km/h的速度匀速驶向C站，火车与A站的距离y km随行驶时间t h的变化而变化． 解：(3) y＝200＋320t，y是t的一次函数． 典例分析 (4) 如图，搭1条“小鱼”需要8根火柴棒，每多搭1条“小鱼”就要增加6根火柴棒．所需火柴棒的根数S随着所搭“小鱼”条数n的变化而变化． 解：(4) S＝8＋6(n－1)，即S＝6n＋2，S是n的一次函数． 讨论交流 　　1. 在章头活动中，量筒水面的高度(h)是量筒中玻璃球总体积(V)的一次函数吗？ h＝10＋ 解：设量筒底面半径为R． 　　量筒水面的高度(h)是量筒中玻璃球总体积(V)的一次函数． 讨论交流 2. 请举出一些生活中正比例函数、一次函数的实际例子．尝试说明其中“k”“b”的实际意义． 正比例函数关系：苹果的单价为5元/kg，总价y(元)和重量x(kg)的关系为y＝5x． “k”的实际意义是每斤苹果的价格，即苹果的单价． 一次函数关系：出租车起步价是10元，之后每千米收费2元，总费用y(元)和行驶距离x(km)之间的关系为y＝2x＋10．“k”的实际意义是每千米增加的费用，“b”的实际意义是当行驶路程为0时(刚上车)的费用，即需要支付的初始的费用． 新知巩固 1. 水池中有水465m3，每小时排水15m3，排水t h时，水池中还有水ym3．写出y 关于t的函数表达式． 解：(1) y＝465－15t． 2. 长方形草坪的长为15m，宽为10m. 将草坪的长减少xm，宽保持不变. (1) 写出长方形草坪的面积ym²关于xm的函数表达式，并写出自变量x的取值范围. (2) y是x的一次函数吗？如果是，写出k，b的值. 解：(1) y＝10(15－x)，即y＝－10x＋150 (0＜x＜15)． (2) y是x的一次函数，k＝－10，b＝150． 思维提升 例3（2023·山西）一种弹簧秤最大能称不超过10kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12cm，每挂重1kg的物体，弹簧伸长0.5cm．在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y（cm）与所挂物体的质量x（kg）之间的函数表达式为 　y＝0.5x＋12　． 原来的长度 每挂重t kg的物体，弹簧伸长0.5t cm 增加的长度 y＝0.5x＋12 思维提升 1. 下列各组变量的关系中，成正比例关系的是（　　） A. 圆的面积S随半径r的变化而变化 B. 用10m长的绳子围成一个长方形，其中一边长y(m)随它邻边x(m)的变化而变化 C. 铁的密度为7.8g/cm3，铁块的质量m(g)随它的体积V(cm3)的变化而变化 D. 汽车油箱中有汽油50L，行驶过程中油箱中的油量Q(L)随行驶路程s(km)的变化而变化 C 思维提升 2. 某学校要建一块长方形菜地供学生劳动实践，菜地的一边靠墙 (墙足够长)，另外三边用木栏围成，木栏总长40m. 如图，设长方形一边的长为xm，与之相邻的另一边的长为ym，当x在一定范围内变化时，y随x的变化而变化，则y与x之间满足 　一次函数关系 　（填“正比例函数关系”或“一次函数关系”）. 一次函数关系 思维提升 3. 已知h是t的一次函数，小明发现下表中有一个h的值是错误的： t … 1 2 3 5 … h … 2.4 2.8 3.4 4 … 请排除后利用正确的数据确定当h＝8时，t＝ 　15　. 15　 2＋0.4　 2＋0.4×5　 h＝2＋0.4t 2＋0.4×2　 思维提升 4. （2023·上海）某加油站推出促销活动，一张加油卡的面值是1000元，打九折出售，使用这张加油卡加油，油价降低0.3元/升．假设这张加油卡的面值能够一次性全部用完． (1) 他实际花了______元购买这张加油卡； (2) 优惠后的油价为y元/升，原价为x元/升，求y关于x的函数表达式； 900 解：(2) 根据题意，得y＝0.9(x－0.3)＝0.9x－0.27， 所以 y关于x的函数表达式为 y＝0.9x－0.27． 思维提升 (3) 若原价为7.3元/升，则优惠后的油价比原价便宜多少？ 解：(3) 当x＝7.3时，y＝0.9×7.3－0.27＝6.3， 所以 优惠后的油价比原价便宜7.3－6.3＝1(元/升)． 课堂小结 一次函数的概念 正比例函数中两个变量之间的对应规律 一次函数的概念 一次函数中“k”“b”的实际意义 感谢聆听！ $