精品解析：四川省成都市树德中学2025-2026学年高一上学期10月阶段性测试数学试题

树德中学高2025级高一上学期10月阶段性测试数学试题 命题人：彭月 审题人：叶强、洪晓蕾、严芬 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若函数，则（　　） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 4. 下面各组函数中是同一函数的是（ ） A. ， B. 与 C. ， D. 与 5. 命题，是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 7. 设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（ ） A. 12个 B. 8个 C. 6个 D. 4个 8. 若集合，，且仅有一个整数解，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 存在一个无理数，它的立方是有理数 C. 设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D. 若且，则，至少有一个大于1 10. 已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为8 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围为________. 13. 设，，若，则的取值范围是___________. 14. 已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）函数是一次函数，且，求的函数解析式. （2）已知，求的函数解析式. 16. 已知集合，. （1）当时，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 18. 已知，. （1）若不等式的解集非空，求实数的取值范围； （2）若，求不等式的解集； （3）若不等式对于恒成立，求的取值集合. 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，，且，，当且仅当时，等号成立.利用柯西不等式也可以求最值，例如：若，求的最小值. 证明：根据柯西不等式有， ， ，，即，当且仅当时等号成立，结合解得，，，的最小值为3. 请根据以上材料解答下列问题： （1）证明二阶柯西不等式：； （2）求的最大值及此时的取值； （3）若，，不等式恒成立，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 树德中学高2025级高一上学期10月阶段性测试数学试题 命题人：彭月 审题人：叶强、洪晓蕾、严芬 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出集合，再根据并集的定义求解即可. 【详解】由，， 则. 故选：C 2. 若函数，则（　　） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】根据给定的函数，分段判断代入计算作答. 【详解】函数，则， 所以. 故选：A 3. 已知，使成立的一个充分不必要条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式性质和充分条件以及必要条件的判断分析即可. 【详解】对A，若，则，则充分性成立；若，则，则必要性成立，故A错误； 对B，若，举例，此时，则充分性不成立，故B错误； 对C，若，举例，此时，则充分性不成立，故C错误； 对D，若，则，则，则充分性成立；若，当时，此时，故必要性不成立，故D正确； 故选：D. 4. 下面各组函数中是同一函数的是（ ） A. ， B. 与 C. ， D. 与 【答案】B 【解析】 【分析】结合同一函数的概念逐项判断即得. 【详解】对于A，函数， 所以两函数对应关系不同，故A错误； 对于B，函数和函数的定义域均为，且函数， 两函数定义域和对应法则均相同，故B正确； 对于C，两函数对应关系不同，故C错误； 对于D，函数的定义域为，函数的定义域为， 两函数定义域不同，故D错误； 故选：B. 5. 命题，是假命题，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】转化为命题的否定为真命题，再分离参数即可得到答案. 【详解】由题意得：“，”为真命题， 即对恒成立， 因为，当且仅当时等号成立， 则. 故选：C. 6. 若函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先根据抽象函数定义域问题得的定义域为，再结合，解出即可. 【详解】因为，则， 则的定义域为，则，解得， 则函数的定义域为. 故选：B. 7. 设集合，在上定义运算“·”为：，其中，.那么满足条件的有序数对共有（ ） A. 12个 B. 8个 C. 6个 D. 4个 【答案】A 【解析】 【分析】结合集合新定义得，去绝对值结合的取值范围分类讨论即可求解. 【详解】由已知得， 故，化简得. 当时，，，，； 当时，，，，； 当时，，； 当时，，. 综上，满足条件的有序数对共有12对. 故选：A. 8. 若集合，，且仅有一个整数解，则的值不可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】求两个不等式的解，根据不等式组的解只有一个整数解，结合两不等式的解的交集，可确定不等式端点需要满足的关系，即可列不等式求解. 【详解】解不等式，得或. 解方程，得. ①当，即时，，不等式的解集为空集，不符合题意， 所以； ②当，即时，不等式的解集为， 此时不等式组的解集为，根据题意， 得，即； ③当，即时，不等式的解集为， 要使不等式组的解集中仅有一个整数， 则，即. 综上，的取值范围为，对比选项只有不在范围内. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“，”的否定为“，” B. 存在一个无理数，它的立方是有理数 C. 设，则方程有两个不等的负实数根的充要条件是 D. 若且，则，至少有一个大于1 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，根据存在量词命题的否定的定义求解判断即可；对于B，举例判断即可；对于C，根据一元二次方程根的分布求解判断即可；对于D，利用反证法求证即可判断. 【详解】对于A，命题“，”的否定为“，”，故A错误； 对于B，比如为无理数，而为有理数，故B正确； 对于C，由方程有两个不等的负实数根， 则，解得，故C错误； 对于D，假设都不大于1，即，则，因此不成立， 所以假设不成立，故D正确. 故选：BD 10. 已知正数，满足，则下列各选项正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 的最小值为1 D. 的最小值为8 【答案】ABD 【解析】 【分析】结合基本不等式及求解判断各选项即可. 【详解】对于，因为，得， 所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故正确； 对于B，由，所以， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为，故B正确； 对于C，， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为2，故C错误； 对于D，由， 当且仅当时取等号， 所以的最小值为8，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知关于的一元二次不等式的解集为，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则且 B. 若，则关于的不等式的解集也为 C. 若，则关于的不等式的解集为 D. 若一元二次函数的值域为，且，则的最小值为 【答案】CD 【解析】 【分析】对于A项，利用一元二次不等式的性质可知A错误；对于B项，令，当时，不等式的解集不为，B不正确；对于C项，根据求出，，代入所求不等式求出解集，可知C正确；对于D项，根据题意得到且，将代入，然后换元利用基本不等式可求出最小值可得D正确. 【详解】对于A选项，若，即一元二次不等式无解， 则一元二次不等式恒成立， 且，故A错误； 对于B选项，令（），则、、， ∴可化为， 当时，可化为，其解集不等于，故B错误； 对于C选项，若， 则，且和是一元二次方程的两根， ，且，，， 关于的不等式可化为， 可化为，，，解得或， 即不等式的解集为或，故C正确； 对于D选项，一元二次函数的值域为， 且，， ，，令，则， ， 当且仅当，则，且为正数时，等号成立， 所以的最小值为，故D正确. 故选：CD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知，，则的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质求解即可. 【详解】因为，所以， 又，两不等式式相加可得， 则的取值范围为. 故答案为：. 13. 设，，若，则的取值范围是___________. 【答案】或 【解析】 【分析】先求出集合，再分、两种情况结合讨论求解即可. 【详解】由， 当时，，即，满足； 当时，要使，则或或， 若为单元素集合，则，即， 此时，满足题意； 若，则，解得. 综上所述，的取值范围是或. 故答案为：或. 14. 已知，定义：表示不小于的最小整数，如：，，，若，则的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由已知得，再利用的定义分类讨论可得其范围，解不等式可得解. 【详解】由，可得，即； 当时，即时，（舍去）； 当时，即时，，满足题意； 当时，即时，（舍去）； 同理可知，当或时不合题意， 所以实数的取值范围是. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. （1）函数是一次函数，且，求的函数解析式. （2）已知，求的函数解析式. 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）利用换元法求解即可. 【详解】（1）设， 则， 则，解得或， 所以或. （2）令，则， 所以， 则. 16. 已知集合，. （1）当时，求集合； （2）若“”是“”的必要不充分条件，求实数的取值范围. 【答案】（1）或 （2）或 【解析】 【分析】（1）先求出具体集合，再进行混合运算即可. （2）结合题意判断集合之间的关系，再求解参数即可. 【小问1详解】 令，则， 即，解得或， 则或， 当时，，故或. 故或. 【小问2详解】 由题意是的必要不充分条件， 可得是的真子集，则或， 所以或. 17. 某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为3米，底面积为12平方米，且背面靠墙的长方体形状的保管员室.由于此保管员室的后背靠墙，无须建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元.设屋子的左右两侧墙的长度均为米. （1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？最低为多少？ （2）现有乙工程队也参与此保管员室建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求的取值范围. 【答案】（1）米 （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可得与的关系，结合基本不等式计算即可得； （2）由题意可将问题转化为在恒成立，结合基本不等式计算即可得. 【小问1详解】 设甲工程队的总造价为y 元， 则， ， 当且仅当，即时等号成立， ∴当左右两面墙的长度为米时，甲工程队的报价最低为14400元； 【小问2详解】 由题意可得，对任意的恒成立， 即有，即在恒成立， 又， 当且仅当即时等号成立， ，又，故. 18. 已知，. （1）若不等式的解集非空，求实数的取值范围； （2）若，求不等式的解集； （3）若不等式对于恒成立，求的取值集合. 【答案】（1）； （2） 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 （3）. 【解析】 【分析】（1）转化为有解问题，分，和讨论即可； （2）移项因式分解有，再对分类讨论即可； （3）变换主元，再代入端点得到不等式组，解出即可. 【小问1详解】 由题设有解， 当时，，符合题意； 当时，不等式恒有解，符合题意， 当时，需要，可得； 综上，的范围为. 【小问2详解】 由题意得，由不等式，可得，即， 当时，不等式可化为，则； 当时，方程，则，或， 当时，，则或； 当时，，即； 综上： 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为 【小问3详解】 由题设对于恒成立，则， 即，解得， ，则的取值范围为. 19. 我们利用完全平方公式得出了一类重要不等式：，，当且仅当时，等号成立.我们从不等式出发，可以得到一个非常优美的不等式——柯西不等式，柯西不等式的一般形式为：，，且，，当且仅当时，等号成立.利用柯西不等式也可以求最值，例如：若，求的最小值. 证明：根据柯西不等式有， ， ，，即，当且仅当时等号成立，结合解得，，，的最小值为3. 请根据以上材料解答下列问题： （1）证明二阶柯西不等式：； （2）求的最大值及此时的取值； （3）若，，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） 由， 当且仅当，即时等号成立， . （2）取最大值9 （3） 【解析】 【分析】（1）根据题设，作差即可求证； （2）利用柯西不等式求解即可； （3）转化问题为，进而求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为柯西不等式可得， 又因为， 所以， 即得， 化简得，当且仅当取最大值9. 【小问3详解】 因为， 所以，则， 所以， 因为柯西不等式可得， 又因为，，所以，令， 所以， 即得，当且仅当取最小值24； 所以的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $