精品解析：山西太原市第五中学校2027届高三9月开学质量检测数学试卷

2027届高三9月开学质量检测 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若复数，则（　　） A. 13 B. C. 5 D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据共轭复数的定义和复数的乘法运算计算即得. 【详解】因，则． 故选：A． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意，集合，而， 因为，所以. 3. 底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】由题意可得：圆锥的母线长为， 所以圆锥的侧面积为. 4. 已知平面向量．若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 【答案】C 【解析】 【详解】因为，所以． 所以向量在向量上的投影向量为，解得． 5. 与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆与圆的位置关系可得，再根据椭圆的定义可得动圆圆心的轨迹. 【详解】设动圆的圆心为，半径为，圆，圆， 则，. 又，所以点在以为焦点的椭圆上． 故选：A． 6. 若函数的最大值为，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】C 【解析】 【分析】利用导数求出函数的最大值，进而列式求解. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，，单调递增；当时，，单调递减， 函数在处取得最大值，所以. 7. 某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长（单位：分钟）与工艺迭代次数的关系式为，定义边际时长缩减量．当时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代．已知，则满足停止迭代条件的迭代次数至少为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数和对数函数的性质计算即可. 【详解】由题意，得． 由，得． 两边取自然对数，得，所以， 解得，所以满足停止迭代条件的迭代次数至少为． 8. 已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用集合新定义，等差数列的定义以及充分条件、必要条件的判断分析即可. 【详解】由可知，所以对任意的均有意义， 充分性：若数列是等差数列，设公差为，首项为，且， 则， 因为，所以，所以对于任意正整数，集合都是单元素集， 当时，满足已知条件，但是不满足集合中元素为正数，故充分性不成立， 必要性：若对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数， 则对任意正整数，所有对应的为同一个正数，记为， 取，则， 根据等差数列的定义可知：数列是等差数列，故必要性成立， 所以“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的必要不充分条件. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据．已知该组数据的平均数为4，方差为3，极差为8，中位数为5．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，，．若新数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】ABD 【解析】 【详解】由题意，得， 故选项ABD都正确． 10. 已知均为锐角，且，则（　　） A. B. C. 若，则 D. 的最大值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据给定条件，利用和差角的正弦公式化简判断AB；利用和差角的正切公式，结合基本不等式求解判断CD. 【详解】由，得， 即，由为锐角，得， 对于AB，，A正确，B错误； 对于C，由，得， 即，而，解得，C正确； 对于D，， 当且仅当，即时取等号，D正确． 故选：ACD 11. 在矩形 中， ，将沿折起，使点到达点的位置，得到三棱锥 . 若，则（ ） A. B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 直线与直线所成的角为 D. 平面与平面的夹角为 【答案】AC 【解析】 【分析】A选项，直接利用勾股定理即可求解； B选项，根据几何关系找到外接球的球心和半径，根据球的表面积计算公式进行求解； C选项，将直线的夹角转化为方向向量的夹角，注意直线夹角的取值范围； D选项，将平面的夹角转化为二面角，注意平面夹角的取值范围. 【详解】 A选项，因为，且，所以平面，则，所以是直角三角形， 又因为，，所以，所以A选项正确； B选项，由A选项分析得，又因为，，所以是直角三角形， 又因为，，所以，所以是直角三角形， 分别作和的中点和，则，因为是直角三角形， 所以，同理可得， 则点即为三棱锥外接球的球心，且外接球半径为， 所以外接球表面积，所以B选项错误； C选项，， 又因为直线与直线所成的角范围是，所以夹角为，所以C选项正确； D选项，如图所示，分别作，，则异面直线和的夹角即为平面与平面的夹角， 由三角形面积公式可得，所以， 同理可得，则, 而， 而， 其中，， ，， 所以， 所以，即平面与平面的夹角为，所以D选项错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知两边及其夹角，可通过余弦定理求第三边，利用向量关系计算中线长即可． 【详解】由，，，根据余弦定理可得： ，解得； 由中线满足向量关系可得： ， 则． 13. 抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则实数的值为________． 【答案】2 【解析】 【详解】因为，所以抛物线的焦点为． 因为可转化为，所以，，， 所以双曲线的焦点为． 由题意，可得，两边平方并整理， 得，即． 因为，所以方程的解只有．故实数的值为2． 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由题可知，即的图象关于直线对称，再利用导数判断函数的单调性，然后结合对称性及单调性解不等式即可． 【详解】因为， 所以， 所以的图象关于直线对称． 因为，设， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以函数在上单调递增． 又因为，所以当时，， 函数单调递减，当时，，函数单调递增． 由，得， 所以．整理得， 解得或，即不等式的解集是． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角B的大小； （2）若的外接圆半径，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由余弦定理即可求解； （2）由正弦定理求得，结合以及求得，再结合三角形面积公式即可求解. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以． 【小问2详解】 由正弦定理，得，又，所以． 因为，所以， 由，得，所以，，又，所以． 所以的面积为． 16. 已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是． （1）求实数a的值； （2）求的值（结果可保留幂的形式）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据二项式的项的系数是解得的值； （2）运用赋值法解决问题，先对已知的二项式中的赋值，再对已知的二项式中的赋值，得到两个方程，联立方程组求解得出答案. 【小问1详解】 解：（1）二项式的展开式中含的项为， ∴， 则， 又，解得． 【小问2详解】 由（1）可得， 令，则①， 令，则②， ∴由① ＋② 可得：； 由① －② 可得：． ∴. 17. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）当且时，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明：如图2，取的中点为，连接，． 因为四边形是矩形，且点为的中点，所以， 且， 又因为，分别为，的中点，所以， 且， 所以，且，所以四边形为平行四边形， 所以，且平面，平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，连接，，易证四边形为平行四边形，从而得，再根据线面平行的判定定理可得平面； （2）分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，根据面面角的向量求法可得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为平面，四边形为矩形， 所以分别以，，所在直线为，，轴建立空间直角坐标系，如图3所示． 因为为中点，所以，即为等腰直角三角形，即． 又因为四边形是矩形，所以，所以，即． 又， 所以，，，，， 则，，，， 设平面的法向量为， 则，即， 则，令，则，所以； 设平面的法向量为， 则，即， 令，则，所以． 设平面与平面的夹角为， 则， 即平面与平面夹角的余弦值为． 18. 已知椭圆的离心率为，且C过点． （1）求C的方程； （2）直线与C交于A，B两点，过C上的点P（与A，B不重合且不在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B不重合），直线OP的斜率为（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线AP，BP的斜率都存在，分别记为，． ①求证：； ②判断是否为定值？并说明理由． 【答案】（1） （2）①证明见解析；②是定值，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）由题意建立关于的方程组，解方程组即可求解； （2）（i）根据面积关系结合面积公式可得平分，即可证得； （ii）联立直线方程和椭圆方程消元后结合在椭圆上化简前者后可得. 【小问1详解】 由题意，得，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 （i）因为， 则， 因此， 而，有，即平分， 故直线的斜率互为相反数，则. （ii）设， 由，得， 因， 设 则有，而， 化简得， 即 ， 于是， 故， 化简得， 又因在椭圆上，则，即则， 从而， 整理得， 又因不在直线上，即， 则得，即，因， 于是，故为定值． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：等价于． 方法一：令，则． 令，则． 函数在上单调递增，且， 函数在内存在唯一的零点，即． 当时，；当时，， 函数即在上单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为， 函数在上单调递增． 当时，； 当时，． 综上，在上恒成立，即在上恒成立． 方法二：令． 当时，． 当时，． 令，则在上单调递增． ， 函数即在上单调递增，， 函数在上单调递增，． 综上，在上恒成立，即在上恒成立 （3）． 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求切线方程即可； （2）方法一：不等式等价于证，令，求导得，再令，继续求导得，然后由零点存在定理可得函数在内存在唯一的零点，进而可得函数在上单调递增，再分当及即可证明． 方法二：易知时，，再利用导数可证在上单调递增，则，然后可证． （3）不等式可化为，令，则，结合函数的单调性可得在上恒成立，即在上恒成立，再求函数的最小值即可． 【小问1详解】 ． 又． 曲线在点处的切线方程为， 即． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 不等式，即， 等价于． 令，则原不等式可转化为． 函数在上单调递增，在上恒成立， 可得在上恒成立，在上恒成立． 设，则， 当时，；当时，， 函数在上单调递减，在上单调递增， 函数的最小值为． 又实数的取值范围为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2027届高三9月开学质量检测 数学 注意事项： 1.本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡的相应位置． 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题卷上无效． 4.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 5.考试结束后，将本试题卷和答题卡一并交回． 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求． 1. 若复数，则（　　） A. 13 B. C. 5 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 底面半径与高均为1的圆锥的侧面积为（ ） A. B. C. D. 4. 已知平面向量．若向量在向量上的投影向量为，则（ ） A. B. C. 1 D. 3 5. 与圆外切，同时与圆内切的圆的圆心在（　　） A. 椭圆上 B. 双曲线的一支上 C. 抛物线上 D. 圆上 6. 若函数的最大值为，则实数的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 7. 某新能源实验室迭代优化固态电池快充工艺，电池单次充满所需时长（单位：分钟）与工艺迭代次数的关系式为，定义边际时长缩减量．当时，继续迭代带来的快充提升低于研发成本，应当停止迭代．已知，则满足停止迭代条件的迭代次数至少为（ ） A. 20 B. 22 C. 24 D. 26 8. 已知是各项均为正数的无穷数列，记集合，则“数列是等差数列”是“对于任意正整数，集合都是单元素集，且该元素为正数”的（ ）． A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 科研人员测试多组碳化硅功率器件的耐压性能，得到一组实验数据．已知该组数据的平均数为4，方差为3，极差为8，中位数为5．对原始数据进行线性变换，得到一组新数据，，，，．若新数据的平均数为，方差为，极差为，中位数为，则（ ） A. B. C. D. 10. 已知均为锐角，且，则（　　） A. B. C. 若，则 D. 的最大值为 11. 在矩形 中， ，将沿折起，使点到达点的位置，得到三棱锥 . 若，则（ ） A. B. 三棱锥外接球的表面积为 C. 直线与直线所成的角为 D. 平面与平面的夹角为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 在中，角的对边分别为，已知，，，边上的中线的长度为______． 13. 抛物线的焦点也是双曲线的一个焦点，则实数的值为________． 14. 已知函数，则关于的不等式的解集为_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求角B的大小； （2）若的外接圆半径，求的面积． 16. 已知二项式，其中，且此二项式的项的系数是． （1）求实数a的值； （2）求的值（结果可保留幂的形式）． 17. 如图，四棱锥的底面为矩形，平面，点，分别为棱，的中点． （1）证明：平面； （2）当且时，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的离心率为，且C过点． （1）求C的方程； （2）直线与C交于A，B两点，过C上的点P（与A，B不重合且不在坐标轴上）作x轴的平行线交线段AB于点Q（与A，B不重合），直线OP的斜率为（O为坐标原点），的面积为，的面积为，若，直线AP，BP的斜率都存在，分别记为，． ①求证：； ②判断是否为定值？并说明理由． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）证明：； （3）若在上恒成立，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $