第六章 专题八 反比例函数与几何图形的综合应用-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

专题八反比例函数与几何图形的综合应用（答案29） 类型1屈与三角形有关的综合应用 类型3与菱形有关的综合应用 3 1.新情境》如图所示，A,B是反比例函数y= 3.如图所示，在平面直角坐标系中，坐标原点O 是菱形ABCD的对称中心.边AB与x轴平 上两点，过这两点的直线与x轴的夹角为45°， 与y轴的交点为(0,2)，作AC∥x轴，AC⊥BC 行，点B的坐标为(1，一2)，反比例函数y- x 于点C. (k≠0)的图象经过A,C两点.求点C的坐标 (1)求阴影部分的面积. 及反比例函数的表达式 (2)若BC和AC分别交x轴、y轴于点D,E, 连接DE,求证：△ABCO△EDC. 类型4与正方形有关的综合应用 4.如图所示，在平面直角坐标系中，正方形 类型2与矩形有关的综合应用 OABC的顶点O与坐标原点重合，其边长为 2.如图所示，在平面直角坐标系中，矩形OABC 2,点A,C分别在x轴，y轴的正半轴上，一次 1 的顶点B的坐标为(4,2)，直线y= 2x+2 函数y=2x的图象与CB交于点D,反比例函 与边AB,BC分别相交于点M,N,反比例函数 数y=(k为常数，k≠0)的图象经过点D,与 y=(x>O)的图象过点M.求证：点N也在 AB交于点E,与一次函数y=2x的图象在第 三象限内交于点F,连接AF,EF.求反比例函 函数y=(x>0)的图象上 数)=冬的表达式，并直接写出E,F两点的 坐标 -九年级·上册·数学，BS 134 翻类型5与平行四边形有关的综合应用 类型6与几何图形中的动点问题有关的综合 5.如图所示，已知点A在x轴上，□OABC的顶 应用 点B在反比例函数y=的图象上，顶点C在 x 6,如图①所示，反比例函数y-冬>0)的图象与 反比例函数y=2的图象上，口OABC的面积 直线y=x交于点M,∠AMB=90°，其两边分 别与两坐标轴的正半轴交于点A,B,四边形 等于4. OAMB的面积为6. (1)求k的值. (1)求的值. (2)已知OA=1,若在坐标平面内存在不同于 点C的任意点D,使以O,A,B,D为顶点所作 (2)如图②所示，点P在反比例函数y=(x> 的四边形是平行四边形，请直接写出所有符合 O)的图象上，若点P的横坐标为3，∠EPF= 条件的点D的坐标. 90°，其两边分别与x轴正半轴，直线y=x交 于点E,F,问是否存在点E,使PE=PF?若 存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明 理由. 头欢 135 优计学案·课时通一3解：1)把A(m,2)代人=合，得宁m=2,解得m=4, 1 专题七反比例函数表达式中 k的几何意义 k(x>0), 点A的坐标为(4,2).把A(4,2)代人y= 1.A2.B3.A 得冬-2，解得=8，反比例两数的表达式为)：=兰 4.解：设点P的坐标为(a,0),则点A的坐标为(a,),点B (2)如图所示，过点C作CM⊥x轴于点M,交AB于点N. 的坐标为(a,一9），Sac==SAm十Sa= 2x131+x×1-61=号 5.A6.A 7.解：根据题意，得S四边形PcoD=PC·PD=6, SAOm-SAoNc-2X2-1, 将直线OA向上平移3个单位长度后，其函数表达式为 所以S四边形PA0B=Sg边形PCOD一S△OBD一S△OAC=6-1一1=4. y=2x+3.当x=0时，y=3,“点B的坐标为(0,3).设直 1 8.A 9.解：如图所示，过点A作AM⊥y轴于点M,过点B作BN⊥ 线AB的函数表达式为y=mx+n,将A(4,2),B(0,3)代人， y轴于点N, 1 得4m十n=2,解得m=一 4’.直线AB的函数表达式为 ∴.∠AMO=∠BNO=90°，∴.∠AOM+∠OAM=90° n=3, .OA⊥OB,.∠AOM+∠BON=90°， n=3, 1 .∠OAM=∠BON, =2x+3 解得x2, .△AOM∽△OBN. y=一 x+3,联立表达式，得 8 y=4, 点A,B分别在反比例函数y= y= 1 ∴.点C的坐标为(2,4).在y= 4x+3中，当x=2时，y (x>0),y=- 4(x>0)的图象上， 名CN=4-号-号Sae-x2×4=3, 5 53 .S△A0M:S△BON=1:4, ∴.AO:BO=1:2, .△ABC的面积为3. OB 4.解：1)把点A(4,1D代入y=冬，得=4X1=4,即反比例函 “0A-2. x 专题八反比例函数与几何图形 4 数的表达式为y=工 的综合应用 (2)在y=x一3中，令y=0,则x=3,∴.点C的坐标为 1.解：(1)设直线AB的函数表达式为y=x十b,把(0,2)代入， (3,0),.OC=3,设点P的坐标为(0，a), 得b=2,即直线AB的函数表达式为y=x十2.令y=0,得 Sax=25aum…号×3=2X号X8X1a=2,点 1 x=-2,即0Q=0P=2,SAoQ=2X2X2=2, P的坐标为(0,2). 3 (3)设点E的坐标为(c,d),把(m,-4)代入y=x-3,得 聚立用三之是化这仁-a-8, -4=m-3,m=-1,∴.点B的坐标为(-1，-4).以A, y=x+2, B,P,E为顶点的四边形是平行四边形， B(1,3),AE=BD=3,EC=CD=1,..AC=BC=3+1= /=4-1, ,或+4=-1， …d+2=-4+1以1+d=-4+2或{d-4=1十2 4,∴SAe=号X4X4=8,则Ss=SaAx-Sae=8- 2=6. ÷白皮-该化 (2)由(1)，得EC=DC,且∠C=90°，AC=BC,∴.△DEC和 ∴.点E的坐标为(3，-5)或(-5，-3)或(5,7). △BAC都为等腰直角三角形， 5.解：(1)8 ∴∠CDE=∠CBA=45°，∠CED=∠CAB=45°，则△ABC 10 ∽△EDC. (2)当0≤x<5时y=5x=2x； 2.证明：矩形OABC的顶点B的坐标为(4,2)，.点M的横 当5≤x<15时，y=10-0.2(x-5)=-0.2x+11; 当x≥15时，y=15×8_120 坐标为4，点N的纵坐标为2，把x=4代入y=-子x+, xx 综上所述，y与x之间的函数表达式为 得y=号点M的坐标为(4，号） 2x(0≤x<5), 1 5 -0.2x+11(5≤x<15), 把y=2代人y=-2x+2,得x=1, y= 20(x≥15). :点N的坐标为①，2.”函数y=冬（红>0）的图象过点 x (3)此次消毒有效.理由如下：当y=5时，2x=5,解得x 2.5,当)=5时，120-5，解得x=24,因为24-2.5=21.5> M,k=4X号-2， 20,所以此次消毒有效。 “反比例函数的表达式为y-2(c>0), 29 把N(1,2)代入y= 得2=2. (2)存在点E,使得PE=PF.由题意，得点P的坐标为(3,2). I.如图②所示，过点P作PG⊥x轴于点G,过点F作FH1 ∴点N也在函数y=么(>0)的图象上. PG于点H,交y轴于点K. .∠PGE=∠FHP=∠FPE=90°，∠EPG=∠PFH, 3.解：连接AC,BD,,坐标原点O是菱形ABCD的对称中心， PE=PF, .AC,BD相交于点O,且∠AOB=90°.，B(1,一2)，且AB∥ ∴.△PGE≌△FHP, x轴，.设A(a,-2),则A02=a2+4,B02=5,AB2=(1- .PG=FH=2,FK=OK=3-2=1, a)2 GE=HP=2-1=1, 在Rt△AOB中，由勾股定理，得(1一a)2=a2+4十5，解得 .OE=OG+GE=3十1=4，∴.点E的坐标为(4,0). a=-4,A(-4,-2),.C(4,2).反比例函数)=工 (k≠O)的图象经过A,C两点，反比例函数的表达式为 x 4.解：，正方形OABC的边长为2，.点D的纵坐标为2，即 70 y=2,将y=2代入y=2x,解得x=1, 0 .点D的坐标为(1,2). ② ③ :反比例函数y一兰的离象经过点D, Ⅱ.如图③所示，过点P作PG⊥x轴于点G,过点F作FH⊥ GP的延长线于点H,交y轴于点K. 2=卓解得及=8 ,∠PGE=∠FHP=∠FPE=90°，∠EPG=∠PFH, PE=PF,∴.△PGE≌△FHP, 反比例函数y=复的表达式为 2 ,PG=FH=2,FK=OK=3+2=5, GE=HP=5-2=3, E(2,1),F(-1,-2). .OE=OG+GE=3+3=6,∴.E(6,0). 5.解：(1)设OA=m,点B的纵坐标是n, 综上所述，存在点E1(4,0)或E2(6,0), ,□OABC的面积等于4， 使PE=PF. n=4 本章综合提升 m 【本章知识归纳】 把y=4代入y=，得x= k km m 4 4 y一空反比例双画线列表播点连线一，三二四 m 减小增大轴对称中心对称 把y=4代人y=名 ,得x= 21 42m, 【思想方法归纳】 【例1】A 根据题意，得织-了m- 【变式训练1】-3 【例2】思路分析：(1)把C(1,4)代入y= 工，求出k的值； 解得k=6. (2)当OA=1时，点A的坐标是(1,0)， (2)把(4，m)代入y=正，求出m的值，把C1,4),D(4,1D代入 点B的纵坐标是4，则点B的坐标是(，4)，点C的坐标 y=ax十b,求出a=-1,b=5,得出一次函数的表达式，把y=0 代入y=-x+5求出x=5,得出OA=5,根据△OCD的面积S 是（分4： =S△coA-S△DoA代入求出即可. 当OADB是平行四边形时，点D的坐标是（侣，4小： 解：(1)把C14)代入y=冬，得及=4，反比例函数的表达式为 当OA是对角线时，OA的中点是(？，0），设点D的坐标是 4 y=. x (a,b). (2把4，m)代人y=兰得m=1.把C1,4),D(4,D代人y 则2(a+）2,4+b)=0, 红+b,得十，生解得份二次函数的表达式为 b=5, 解得a=一 26=-4. y=-x+5.把y=0代入y=-x+5,得x=5,.0A=5, 则点D的坐标是(，-4)， 5S6x-5aaa-56-7X5X4-7X5X1-7.5 1 6.解：(1)如图①所示，过点M作MC⊥x轴于 【变式训练2】 点C,MD⊥y轴于点D,则∠MCA= 解：(1)BM=OM=2,∴.点B的坐标为（一2，一2） ∠MDB=90°.∠BOA=90°，.∠DMA= D :反比例函数y=冬(k≠0)的图象经过点B, 90°.又：∠BMA=90°，∴.∠AMC= ∠BMD.:点M在直线y=x上， 10A 则一2=2得及=4反比例函数的表达式为y= MC=MD, ①D '.△AMC≌△BMD, “点A的纵坐标是4,4=4 ,得x=1, .S四边形0cMD=S四边形OAMB=6,k=6. .点A的坐标为(1,4).一次函数y=mx+n(m≠0)的图象 30