第二十八章 圆 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

解得r=号，即AB所在圆0的半径长为号m AB=10, .∴.AD=BD=5,OD=CD 12.解：(1)连接OA,如图所示. 由题意得AD=号AB=30米.0D=-18)米， 设半径为r,则OD=2, 在Rt△AOD中，由勾股定理，得52+（ 在Rt△ADO中，由勾股定理，得r2=302+(r 18)2, 解得r=34米，即圆弧所在的圆的半径r的长为 解得r=10V 3 ,即⊙0的半径为103 3 34米. (2),弦AB垂直平分半径OC,∴.BO=BC (2)连接OA',如图所示 .BO=CO,.△OBC为等边三角形， .OE=OP-PE=30米， .∠BOC=60°， ∴.在Rt△A'EO中，由勾股定理，得A'E2= A'02-OE2,即A'E2=342-302, 60°XxX103 ∴.劣弧BC的长 310√5 解得A'E=16米. 1809 9 .A'B=32米. 60°×πX 10w3Y .32>30,.不需要采取紧急措施. 3 50 扇形BOC的面积为 360° 9t. 17.解：(1)(-2,0) (2)2590 (3)设圆锥的底面半径为r, 则2xr=90π×2√5 解得，=5 2 13.解：(1)如图所示，作OD⊥AB于点E,交⊙O于 180 点D, 本章综合提升 【本章知识归纳】 圆圆心半径⊙O圆O弦直径圆弧弧 优弧劣弧三点外接圆外心圆心角圆周角 相等一半直角直径互补平分垂直平分 水面 圆心垂直l=nπR 180 S=nTR: ”或S=Rm 元r2+πrl 则AE-号AB=3米，DE=1米 【思想方法归纳】 【例1】 设圆的半径为r米， 思路分析：设球心为点O,过点O作MN⊥AD交AD 在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2, 于点M,交BC于点N,连接OF,结合题意可解得 .32+(r-1)2=r2, OF=5cm,OM=3cm,根据勾股定理求得MF=4 解得r=5, cm,最后由垂径定理求得EF=8cm. .该圆的半径为5米 A (2②)当AB=8米时，AE=7AB=4米， 【变式训练1】 D 在Rt△AOE中，AE2+OE2=OA2, 【例2】 ∴.42+OE2=52,∴.0E=3米， 思路分析：(1)连接BD,由圆周角定理推出∠ADB= .DE=5-3=2(米)， 90°，∠BDC=∠BAC=a,即可得到∠ADC= 即水面下盛水筒的最大深度为2米。 ∠ADB+∠BDC=90°+a. 28.5弧长和扇形面积的计算 (2)由圆周角定理推出∠PCO=∠ADB=90°，令 1.D2.A3.D4.x5.D6.2π-4 PB=x,由勾股定理得到(6十x)2=(2x)2十6，求出 7.B8.120°9.510.C11.D12.A13.C x=4,得到PB=4,即可求出AP的长. 142-晋15.13x-36 解：(1)连接BD,如图所示. ,AB是⊙O的直径，∠ADB=90°. 16.解：(1)OC是半径，AB垂直平分半径OC, ,∠BDC=∠BAC=a, 39 ∴.∠ADC=∠ADB+∠BDC=90°+a. 【例3】 (2),∠ACP=∠ADC, 思路分析：(I)作弦AB的垂直平分线，交CD的垂直 ∴.∠PCO+∠ACO=∠ADB+∠BDC. 平分线EF于点O,则，点O即为所求作的圆心. OA=OC,.∠OCA=∠OAC. (2)首先连接OA,由(1)可得△AOH为直角三角形， 又：∠BDC=∠OAC,.∠BDC=∠OCA, H是AB的中点，GH=4,即可求得AH的长，然后在 ∴.∠PCO-∠ADB=90° Rt△AOH中，由勾股定理，得OA2=AH2十OH,即 令PB=x,则PC=2PB=2x. 可求得拱桥的半径R ⊙O的半径为6，.PO=OB十PB=6十x. 解：(1)如图所示，点O即为所求作， P02=PC2+OC2,∴.(6+x)2=(2x)2+62, .x=4,.PB=4, .AP=AB+PB=6×2+4=16. H (2)连接OA,如图所示，设(1)中两弧交于点G,GO交 【变式训练2】 AB于点H, 解：(1)证明：连接BG,如图所示. 由(1)中的作图可知△AOH为直角三角形，H是AB AB是⊙O的直径，.∠AGB=90°， 的中点，GH=4m, ∴.∠ABG+∠BAG=90° AB⊥CD,∴∠F+∠BAG=90°， AH= 2AB=8 m. ∴.∠F=∠ABG. .GH=4m,.OH=R-4. :∠ADG=∠ABG,∴∠ADG=∠F. 在Rt△AOH中，由勾股定理，得OA2=AH+OH, (2)①连接OC,如图所示，设⊙O的半径是r. ∴.R2=82+(R-4)2 .'BE=2,..OE=r-2,DC=AE=2r-2. 解得R=10. AB LCD,:EC-CD-- .拱桥的半径R为10m. 【变式训练3】 在Rt△OEC中，CO2=OE2+EC2, 解：连接OA,OC,如图所示. .r2=(r-2)2+(r-1)2, x2-6r+5=0,.r=5或r=1(舍去)， .⊙0的半径长是5. ②.AE=AB-BE,∴.AE=10-2=8, ..CD=AE=8. GDB AB⊥DC,.DE=EC=4. ,由题意知AB∥CD,OE⊥AB,OF⊥CD,CD= :∠ADG=∠F,∠DAG=∠DAF, 20 cm, ∴.△DAGn△FAD,.AD:FA=AG:AD, .AD2=FA·AG. CG-CD=10 cm. G是AF的中点，AG=AF, 在Rt△OGC中，由勾股定理，得OC2=CG2+OG2, .0C2=102+(0C-2)2, ADA 解得OC=26cm, AD2=AE2+DE2=80,.AF2=160. 则OE=26-2-2=22(cm). ,在Rt△OEA中，由勾股定理，得OA2=OE2十AE2, ∠AEF=90°，.EF=√AF2-AE2=4√6， .262=222+AE, ∴.DF=DE+EF=4√6+4. .AE=8√3cm. ,OE⊥AB,OE过圆心O, .AB=2AE-16√3cm. 【通模拟】 1.B2.B3.D4.C5.A6.B7.B8.A9.C 10.D11.5 40 12.解：(1).一个圆被分成三个扇形，其中一个扇形的 24.2第1课时配方法(1) 圆心角为120°， 解：(1)x1=-2+√10，x2=-2-√10. .另外两个扇形的圆心角度数的和为240°. (2)x1=4,x2=-2. 又，另外两个扇形的圆心角度数的比为3：5， 240×g-90,240X8-150, (3)x1=2+√3，x2=2-3. 1 (4)x1=二2，x2=月 ∴.这两个扇形的圆心角的度数分别为90°和150°. (5)x1=-2+√3，x2=-2-3. (2)圆心角为120°的扇形的面积为 120π×5 360 +y®，1® (6)x1= 2 4 4 3π(cm2). 13.解：(1)△ABC是等腰直角三角形，证明： 第1课时配方法(2) AC为⊙O的直径， 解：(1)x1=2十√3，x2=2-√3. ∴.∠ADC=∠ABC=90°. (2)x1=-4+3√2，x2=-4-32. ,∠ADB=∠CDB, (3)x1=1,x2=-3. :.AB=BC, ∴.AB=BC, (4).x,-9+V353 4 ,-9-3 又.∠ABC=90°， (5)x1=-19,x2=17. ∴.△ABC是等腰直角三角形 (6)x1=x2=一2 3 (2)在Rt△ABC中，AB=BC=√2， .AC=2, 第2课时公式法(1) 在Rt△ADC中，AD=1,AC=2,.CD= 解：(1)x1=2,x2=1 √AC2-AD2=√5. (2)x1=-3+17 4 x2=-3-17 4 【通中考】 14.A15.B (3)x,=1+19 1-√/19 3 x2= 3 限时训练 1 23.1平均数与加权平均数 (4)x1=1,x2=5 解：(1)甲班平均得分为(83+88十90)÷3=87（分），乙 (6)z1=1,x2=-2 3 班平均得分为(93+86+85)÷3=88（分）. 答：根据三项得分的平均数从高到低确定名次，乙班第 (6)x,=-1+10 3 x2=-1-10 3 一，甲班第二. 第2课时公式法(2)】 (2)甲班的总评成绩为83×20%+88×30%+90× 50%=88(分)，乙班的总评成绩为93×20%十86× 解：(1)x1=-2+√6，x2=-2-√6. 30%+85×50%=86.9(分). (2)x,=1+10 88>86.9,∴甲班高于乙班. 3 3 答：两个班级的排名顺序发生变化，甲班第一，乙班 (3)a,=2+2V6 2-2√6 5 ,a2= 第二 5 23.2中位数和众数 (4)x1=2+√2，x2=2-√2. 解：(1)9010 1 (5)x1=-2,x2=2 (2)七年级的成绩好一些.理由如下：因为七年级成绩 (6)x1=2,x2=4. 的平均数最高，中位数高于九年级学生的，所以七年级 第3课时 因式分解法(1) 的成绩要好一些.（答案不唯一）. 解：(1)x1=0,x2-4. 23.3方差 2 6 解：(1)m= 166+166 =166,n=165. (2)x1=- 5x2=7 2 (3)x1=3,x2=9. (2)甲组 (3)170172 ④0x1=1:=- 3 41本章综合提升（答案P39) 本章知识归纳 在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周， 另一个端点A所形成的图形叫做 固定的端，点O叫做 线段OA叫做 ，以点0为圆心的圆，记作 '，读作“ 连接圆上任意两，点的线段叫做 经过圆心的弦叫做 圆上任意两点间的部分叫做 ,简称 圆的概念及性质 圆的任意一条直径的两个端，点把圆分成两条孤，每条孤都叫 做半圆，大于半圆的孤叫做 小于半圆的孤叫 做 不在同一条直线上的 确定一个圆 经过三角形三个顶，点的圆，叫做三角形的 过三点的圆 三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点， 叫做三角形的 顶点在圆心，两边都与圆相交的角叫做 顶点在圆上，两边都与圆相交的角叫做 圆 在同圆或等圆中，同孤或等孤所对的圆周角 都等于这条孤所对的圆心角的 半圆（或直径）所对的圆周角是 ,90°的圆周角所对 的弦是 圆心角和圆周角 圆内接四边形的对角 垂直于弦的直径 这条弦，并且平分弦 所对的两条弧 推论1：平分弦（不是直径）的直径 于弦，并且 弦所对的两条孤， 垂径定理 推论2：弦的垂直平分线经过 并且平分弦所 对的两条孤 推论3：平分弦所对一条孤的直径！ 平分弦， 并且平分弦所对的另一条孤 孤长公式： (孤长为l,圆心角度数为n, 圆的半径为R) 扇形面积计算公式：设圆心角是°，圆的半径为R的扇 形面积为S,则 (其中为扇形的弧长) 孤长和扇形面积的计算 圆锥的侧面积：S侧= 圆锥的全面积：S全= 一九年级上册·数学：山 144 思想方法阴纳 连接AD,DC,CP.若∠BAC=a. >>>>>>>>>>>>>>>>>> (1)求∠ADC的度数（用含α的代数式表示）. 1.转化思想 (2)若∠ACP=∠ADC,⊙O的半径为6， 链接亦章… CP=2BP,求AP的长. 垂径定理及其应用，解题的关键是学会 添加常用辅助线，构造直角三角形，将实际 问题转化为数学问题，进而达到解决问题的 目的. 【例1】(2023·保定雄县期末)把半径为 5cm的球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒 外，其截面如图所示，若CD=8cm,则EF的长 为() 【变式训练2】如图所示，AB是⊙O的直径， 弦CD⊥AB于点E,G是AC上一点，AG,DC 的延长线交于点F,连接AD,GD,GC. (1)求证：∠ADG=∠F. A.8 cm B.7 cm (2)已知AE=CD,BE=2. C.5 cm D.4 cm ①求⊙O的半径长， 【变式训练1】(2023·沧州任丘三模)图①是 ②若点G是AF的中点，求DF的长. 木马玩具，图②是木马玩具底座水平放置的示意 图，点O是AB所在圆的圆心，点A,B离地高度 均为15cm,水平距离AB=90cm,则OA的长 为( A.60 cm B.65 cm C.70 cm D.75 cm 2.方程思想 白链接本章 圆周角定理，垂径定理，关键是由圆周 角定理找出直角，由勾股定理列出相关方程 3.数形结合思想 求解问题. “台链接亦章一 圆周角定理，垂径定理及其应用，解题 【例2】如图所示，AB是⊙O的直径，AC 的关键是数形结合思想的应用， 是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点， 145 优计学案·课时通 【例3】如图所示的拱桥，用AB表示桥拱. (1)若AB所在圆的圆心为O,EF是弦CD 的垂直平分线，请你利用尺规作图，找出圆心O. 45 (不写作法，但要保留作图痕迹) 第2题图 第3题图 (2)若拱桥的跨度（弦AB的长）为16m,拱 高(AB的中点到弦AB的距离)为4m,求拱桥 3.(2023·石家庄裕华区二模)一张直径为40cm 的半径R. 的圆饼被切掉了一块，数据如图所示，则优弧 ABC的长度为( A.10元cm B.15πcm C.20πcm D.30πcm 4.(2023·邯郸邯山区期末)如图所示，MN为 ⊙O的弦，∠N=52°，则∠MON的度数 为( 【变式训练3】应用意识》如图所示，圆柱形 水管内原有积水的水平面宽CD=20cm,水深 GF=2cm.若水面上升2cm(EG=2cm),则此 A.38° B.52° C.76° D.104° 时水面宽AB为多少？ 5.(2023·石家庄桥西区期末)一个圆锥的侧面 展开图是半径为9cm、圆心角为120°的扇形， 则此圆锥底面圆的半径为( ) A.3 cm B.4 cm C.5 cm D.6 cm 6.(2023·石家庄裕华区模拟)如图所示，AD是 半圆O的直径，四边形ABCD内接于半圆O, ∠ADB=20°，则∠C=() A.100° B.110° C.120° D.130° 通模拟》2 1.(2023·石家庄桥西区期末)下列说法正确的 0. 是() A.长度相等的弧是等弧 第6题图 第7题图 B.圆既是轴对称图形，又是中心对称图形 C.弧是半圆 7.(2023·邯郸丛台区期末)如图所示，△ABC D.三点确定一个圆 是⊙O的内接三角形，∠C=30°，⊙O的半径 2.(2023·石家庄藁城区期末)如图示，⊙O的 为2cm,若点P是⊙O上的一点，PB=AB, 弦AB=8,M是AB的中点，且OM=3,则 则PA的长为( ) ⊙O的半径等于() A.2√2cm B.2√3cm A.2 B.5 C.8 D.10 C.3 cm D.2 cm 一九年级上册·数学： 146 8.(2023·邯郸模拟)如图所示，以CD为直径的 13.(2023·唐山丰润区期末)如图所示，四边形 ⊙O中，弦AB⊥CD于点M,AB=16,CM= ABCD内接于⊙O,AC为⊙O的直径， 16,则MD的长为() ∠ADB=∠CDB. A.4 B.6 C.8 D.10 (1)试判断△ABC的形状，并给出证明. (2)若AB=√2，AD=1,求CD的长. 0 M D 第8题图 第9题图 9.(2023·邯郸三模)图①是边长为1的等边三 角形铁丝框ABC,按图②方式变形成以A为 圆心，AB长为半径的扇形（图形周长保持不 变)，则所得扇形ABC的面积是( ) A.1 B.2 c 通中考》>299332>>>9% D.π 14.(河北中考)有一题目：“已知点O为△ABC 10.(2023·承德兴隆期末)如图所示，⊙O的直 的外心，∠BOC=130°，求∠A.”嘉嘉的解答 径CD=10,弦AB⊥CD,垂足为M,CM=2, 为：画△ABC以及它的外接圆O,连接OB, 则AB的长为( ) OC,如图所示.由∠BOC=2∠A=130°，得 A.5 B.6 C.7 D.8 ∠A=65°.而淇淇说：“嘉嘉考虑的不周全， ∠A还应有另一个不同的值.”下列判断正确 的是() A.淇淇说得对，且∠A的另一个值是1159 第10题图 第11题图 B.淇淇说得不对，∠A就得65 11.(2023·唐山丰南区期末)如图所示，在⊙O C.嘉嘉求的结果不对，∠A应得50° 中，弦AB=8,圆心O到AB的距离3，则⊙O D.两人都不对，∠A应有3个不同值 的半径长为 12.(2023·石家庄桥西区期末)一个圆被分成三 个扇形，其中一个扇形的圆心角为120°，另外 两个扇形的圆心角度数的比为3：5. (1)求另外两个扇形的圆心角. 第14题图 第15题图 (2)若圆的半径是5cm,求圆心角为120°的扇 15.(河北中考)如图所示，AC,BE是⊙O的直 形的面积.（结果保留π） 径，弦AD与BE交于点F,连接AB,BD, CF,AE,DE,下列三角形中，外心不是O的 是() A.△ABE B.△ACF C.△ABD D.△ADE 147 优计学案·课时通