第二十七章 反比例函数 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(冀教版2012)

本章综合提升（答案P32) 本章知识明纳 一般地，如果变量y与变量x之间的函数关系可以表示为 (化为常数，且k≠0)的形式，那么称y为x的反比例函数，k称为比 例系数，自变量x的取值范围是不等于 的实数 反比例函数 反比例函数的图像 (①)用描点法画反比例函数的图像，步骤： (2)由于x≠0，k≠0，所以y≠0，函数图像永远不会与 相交，只是无限靠近 反比例函数的性质 (1)反比例函数 的图像是双曲线 (2)当 时，双曲线的两支分别位于第一、 反比例函数 三象限，在每个象限内，y的值随x值的 而减小 (3)当 时，双曲线的两支分别位于第二、 反比例函数的 四象限，在每个象限内，y的值随x值的 而增大 图像和性质 反比例函数系数k的几何意义 ()在反比例函数)专k≠0的图像上任取一点，过这一点向 x轴y轴分别作垂线，两条垂线与坐标轴围成的矩形的面积 是定值 ②在反比例函数y专化≠0)的图像上任意一点，过这一点向 其中一条坐标轴作垂线，这一点和垂足以及坐标原点所构成 的三角形的面积是 且保持不变 (1)利用反比例函数解决实际问题 (②)跨学科的反比例函数应用题 (③)反比例函数中的图表信息题 反比例函数的应用 一九年级上册·数学：」 122 思想方法阴纳 >>>>>>>>>>>>>>>> (3)请根据图像直接写出不等式是<ax十6 1.数形结合思想 的解集。 :台子链接本章 反比例函数的图像和性质，一次函数和 反比例函数图像的交点问题，结合图形，利 用待定系数法求一次函数的表达式，联立方 程求交点坐标是解题的关键， 【例1】(2023·保定高阳模拟)如图所示， 一次函数y=一x十5的图像与反比例函数y= (z>0)的图像交于A(2,m),B两点，与x轴 2.分类讨论思想 台子链接本章 交于点D,连接OB 反比例函数的性质，反比例函数系数 (1)求反比例函数的表达式 的几何意义，关于x轴、y轴对称的点的坐 (2)求cos∠BOD的值. 标，一次函数与反比例函数的综合应用，分 类讨论点均在函数图像上的特点上， 【例2】(2023·保定阜平期末)如图所示，函 数y=一x十4的图像与函数y=(k≠0)的图 像在同一平面直角坐标系内，函数y=一x十4的 图像与坐标轴交于A,B两点，点M(2,m)是直 线AB上一点，点N与点M关于y轴对称，线段 MN交y轴于点C. (1)m= ,S△AOB= (2)如果线段MN被反比例函数y=的图 像分成两部分，并且这两部分长度的比为1：3， 求的值. 【变式训练1】如图所示，在平面直角坐标系 中，一次函数y=ax十b(a<0)与反比例函数y= 6≠0)的图像交于A(-m,3m),B(4,一3)两 x 点，与y轴交于点C,连接OA,OB, (1)求反比例函数和一次函数的表达式. (2)求△AOB的面积. 123 优计学案·课时通 【变式训练2】(2023·石家庄辛集期末)如图 (3)请直接写出关于x的不等式kx十b>”的 所示，在平面直角坐标系xOy中，直线AB:y= 解集 x一2与反比例函数y一元（≠0）的图像交于A, B两点，与x轴相交于点C,已知点A,B的坐标 分别为(3n,n)和(m,一3). (1)求反比例函数的表达式. (2)根据图像，请直接写出不等式工一2< x 的解集。 (3)点P为反比例函数y=图像的任意一 点，若S△POc=3S△Aoc,求点P的坐标 【变式训练3】如图所示，一次函数y=x十b 的图像与反比例函数y=4的图像交于点A(m, 4),与x轴交于点B,与y轴交于点C(0,3). (1)求m的值和一次函数的表达式. (2)已知P为反比例函数y=4图像上的一 点，S△OBP=2S△oAc,求点P的坐标. 3.方程思想 台链接亦章… 反比例函数的性质，反比例函数与一次 函数图像的交点问题，常常涉及利用待定系 数法求函数的表达式，体现了方程思想， 【例3】如图所示，直线y=kx十b(k,b为 常数)与双曲线y=”(m为常数)相交于A(2, a),B(-1,2)两点. (1)求直线y=kx十b的表达式 (2)在双曲线y一上任取两点M(x)和 N(x2,y2),若x1<x2,试确定y1和y2的大小 关系，并写出判断过程 -九年级·上册·数学： 124 通模拟 浸在液体中的高度h(cm)是液体的密度 p(g/cm3)的反比例函数，如图所示，当密度计 1.(2023·保定阜平月考)若函数y=x2m+1为反 悬浮在密度为1g/cm3的水中时，h=20cm. 比例函数，则m的值是( (1)求h关于p的函数表达式. A.1 B.0 C.0.5 D.-1 (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h= 2.(2023·唐山路南区期末) 25cm,求该液体的密度p. 如图所示，某校园艺社计划 利用已有的一堵长为10米 的墙，用篱笆围一个面积为12平方米的矩形 园子.设AB=x米，BC=y米，则下列说法正 确的是() 通中考》999>3》33 A.y关于x的函数表达式为y= 6.(2023·河北中考)如图所示， B.自变量x的取值范围为x>0,且y随x的 已知点A(3,3),B(3,1),反 增大而减小 比例函数y=(k≠0)图像 123 C.当y≥6时，x的取值范围为1.2≤x≤2 的一支与线段AB有交点，写 D.当AB的长为3米时，BC的长为6米 出一个符合条件的k的整数值： 3.(2023·石家庄新华区期末) yx 60 如图所示，在平面直角坐标 7.(河北中考)用绘图软件绘制双曲线m:y= 2 系中，过x轴正半轴上任意 与动直线l:y=a相交于一点，如图①所示为 0 一点P作y轴的平行线，分 a=8时的视窗情形 别交函数y=3(x>0)、y (1)当a=15时，l与m的交点坐标为 (2)视窗的大小不变，但其可视范围可以变化， 6(x>0)的图像于点A,点B.若点C是y 且变化前后原点O始终在视窗中心.例如，为 在视窗中看到(1)中的交点，可将图①中平面 轴上任意一点，则△ABC的面积为( 直角坐标系的单位长度变为原来的2，其可视 A.9 B.6 c.g D.3 范围就由-15≤x≤15及一10≤y≤10变成了 4.(2023·保定阜平期末)如图 一30≤x≤30及-20≤y≤20（如图②所示）. 所示，点A在函数y= 当a=-1.2和a=-1.5时，l与m的交点分 2(x>0)的图像上，点B在 别是点A和B,为能看到m在A和B之间的 一整段图像，需要将图①中平面直角坐标系的 函数y=4(x>0)的图像上， 单位长度至少变为原来的，则整数k一】 且AB∥x轴，BC⊥x轴于点C,则四边形 10i 20 ABCO的面积为() 10 -30-20-10 A.1 B.2 C.3 D.4 15-10-50 51015 0102030 10 5.学科融合物理课上，同学用自制密度计测量 1-20 液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时， ① ② 125 优计学案·课时通即用电器可变电阻应控制在不低于3.62的范【变式训练1】 围内. 解：(1)：点B(4,一3)在反比例函数y=冬的图像上， 8.解：(1)21.5 (2)①根据表格数据描点，在平面直角坐标系中画出 12 -3=冬解得6=-12。 对应函数y= 十2x≥0)的图像如图所示. 一反比例函数的表达式为y=- x > 12 6 ·A(一m,3m)在反比例函数y=- 的图像上， 3m=-12.解得m,=2,m=-2(舍去). -m --}- 经检验，m=2是方程的解且符合题意， 点A的坐标为(-2,6). 012345678x ,点A,B在一次函数y=ax十b的图像上，把点 ②不断减小 A(-2,6),B(4,一3)的坐标分别代入， (3)x≥2或x=0 1-2a+b=6, 本章综合提升 得 4a+b=-3, 【本章知识归纳】 3 y= 0列表、描点、连线x轴、y轴 y-x Ja=-2' b=3. (k≠0)k>0增大k<0增大|k| 一次函数的表达式为)=-十3。 【思想方法归纳】 (2)点C为直线AB与y轴的交点， 【例1】 ∴.0C=3. 思路分析：(1)将，点A的坐标代入y=一x十5中，求 ∴.SAAOB=S△A0c+S△BOC 出m,进而代入反比例函数表达式中可求得. 1 (2)联立方程求出交点B的坐标，作辅助线构建直角 =言00.1z+700.,l 三角形，根据三角函数的定义可得结论 1 1 解：(1)将A(2,m)代入y=-x+5,得m=3, =2×3×2+2×3×4 :把A(2,3)代入反比例函数y=中，得k=6, =9. (3)x<-2或0<x<4. 6 ∴.反比例函数的表达式为y= 【例2】 思路分析：(1)利用点在函数图像上的特点求出m,以 y=-x十5， (2)联立两个函数的表达式 及平面直角坐标系中三角形的面积的计算方法（利用 6 y 坐标轴或平行于坐标轴的直线上的边作为底) 解得=2或 =3”经检验，x的值是原方程的解且 (2)线段MN被反比例函数y=飞的图像分成两部分， y=3y=2, 符合题意，∴点B的坐标为(3,2). 并且这两部分长度的比为1：3，设交点为D,分两种 过点B作BC⊥x轴于点C,如图所示， 情8器方点8别子计第即可。 ∴.OC=3,BC=2, 解：(1)28 .0B=√32+2=√13， (2)M(2,2),N(-2,2),.MN=4. ·cos∠BOD=0C-3_3V13 0B√13-13 :线段MN被反比例函数y=的图像分成两部分， 并且这两部分长度的比为1：3，设交点为D. ①当器言时，即器- .ND=1,.D(-1,2),∴.k=-1X2=-2. ②当N-时，即- MN4’ 32 DM=MN=X4=1, 增大， 4 .当x1<x2时，y1<y2 .D(1,2),.k=1×2=2. ②当M,N分别在双曲线的不同支上时， 故k的值为-2或2. x1<x2,x1<0<x2. 【变式训练2】 ∴.此时由图像可得y1>0>y2 解：(1)把点A(3n,n)的坐标代入y=x一2，得 即此时当x1<x2时，y1>y2 n=3n-2,解得n=1, ∴.点A的坐标为(3,1). (3)不等式kx十b>”的解集为x<-1或0<x<2. :反比例函数y=冬的图像经过点A,6=3X1=3, 【变式训练3】 x 则反比例函数的表达式为y=3 解：(1：点A(m,4)在反比例函数y=兰的图像上， x m=1,A(1,4). 4 ∴.4= (2)不等式x-2<的解集为x<-1或0<x<3. 又，点A(1,4)、C(0,3)都在一次函数y=x十b的图 (3)把y=0代入y=x-2,得x-2=0, k+b=4, 解得x=2, 像上，=3，解得， b=3, 即点C的坐标为(2,0). 一次函数的表达式为y=x十3. Sax-7×2X1=1. (2)对于y=x+3,当y=0时，x=-3,∴.OB=3. C(0,3),.0C=3. :S△P0c=3S△A0C, 过点A作AH⊥y轴于点H,过点P作PD⊥x轴于 SAP=20C.lyp=3,=3, 点D,如图所示. :S△OBP=2 SAOAC, 当点P的纵坐标为3时，则3=2，解得x=1, C:2OB·PD=2×20C·AH 当点P的纵坐标为一3时，则一3=3，解得工=一1， 1 T 即2X3XPD=2×2X3X1, .点P的坐标为(1,3)或(-1，-3). 【例3】 解得PD=2,点P的纵坐标为2或-2. 思路分析：(1)依据题意，将B点代入双曲线表达式可 将y=2或-2分别代入y=4,得x=2或一2， 求得m,再将A点代入求出a,最后将A,B两，点代入 直线表达式可以得解. ∴点P的坐标为(2,2)或(-2，一2) (2)由题意，分成两种情形：一种是M,N在双曲线的 同一支上，一种是M,N在双曲线的不同支上，然后根 据图像可以得解 (3)依据图像，由一次函数值大于反比例函数值可以 得解. 解：(1)由题意，将点B代人双曲线的表达式y= m 【通模拟】 1.D2.C3.C4.C …2= 一心m=一2.双曲线的表达式为y= 2 5,解：(1)设h关于p的函数表达式为h= 又A(2,a)在双曲线上，.a=-1..A(2,-1). 0 12k+b=-1, 把p=1,h=20代入表达式，得k=1×20=20, 将A,B的坐标代入一次函数表达式，得 -k+b=2, /=-1, h关于p的函数表达式为h=20 b=1. (2)把h=25代人h=20,得25=20， .直线y=kx十b的表达式为y=一x十1. (2)由题意，可分成两种情形， 解得p=0.8, ①当M,N在双曲线的同一支上时， 答：该液体的密度p为0.8g/cm3. 由双面线y=一是在同一支上时函数值随：的增大面 【通中考】 6.=4(答案不唯一) 33 7.(1)(4,15) 13.解：(1)答案不唯一，如图①，②所示 (2)4 D 第二十八章圆 28.1圆的概念及性质 0 1.A2.B3.D4.B5.D6.80 D 7.14448.C9.B10.C 11.解：如图所示 ① ② (2)过点A,B分别作CD的垂线，垂足分别为 M,N,如图③所示. :Saam=7CD·AM=2cD·AE·na 1 So-CD.BN-CD.BE,sin a 六Ss0m=Sam十Sm-含CD,AE:aa十 1 12.解：(1)点C在以AB为直径的圆上.理由：如图所 CD,BE·血a-号cD·(AE+BE)sna 示，连接MD.由折叠的性质知∠DAC=∠BAC, 1 1 AD-AM. 2CD AB.sin a=m sin a. ,AB∥CD, (3)存在.分两种情况说明如下： ∴.∠DCA=∠BAC. ①当AB与CD相交时，由(2)及AB=CD=√2R, ∴∠DAC=∠DCA. ∴.AD=CD. 知S四边形ACBD二 2AB·CD·sina=R2sina .'AD=AM, ②当AB与CD不相交时，如图④所示. ∴.CD=AM, ∴.四边形AMCD是平行四边形， ∴.MC=AD. .AM=BM, ∴.CD=BM. ∴.四边形BCDM是平行四边形， .'.MD=BC. ③ ④ .AD=BC, ∴.MC=MD=MA=MB, .AB=CD=2R,OC=OD=0A=OB=R, ∴点C在以AB为直径的圆上 .∠AOB=∠COD=90°. D 而S网边形ABCD=SRIAAOB+SR△OCD十S△AOD十 个 S△BOc=R2+S△AOD+S△BOC· 延长BO交⊙O于点E,连接EC,设∠1，∠2，∠3， AE M 则∠1+∠3=∠2+∠3=90°， (2)由(1)易得△AMD,△BCM是等边三角形， ∠1=∠2， AM=AB=2.如图所示，过点D作DELAB于 ∴.△AOD≌△COE(SAS). .S△AOD=S△0CE, 点E,则AE=EM=1.由勾股定理，得DE= .S△AOD+S△BOc=SAOCE+S△BOc=S△BCE· √22-12=3. 过点C作CH⊥BE,垂足为H, .∠CMD=180°-∠AMD-∠BMC=60°， 则SaaE=2BE·CH=R·CH, DM=CM, .△CDM为等边三角形， ∴.当CH=R时，S△CE取最大值R2. ∴.CD=DM=AD=2, 综合①、②可知，当∠1=∠2=90°， 棉形ABCD的面积为号×(2+)×，3-33。 即四边形ABCD是边长为√2R的正方形时， S四边形ABCD=R2十R2=2R2为最大值. 34