第一章 专题二 特殊平行四边形中的最值问题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

专题二特殊平行四边形中的最值问题（答案5） 类型1和菱形有关的最值问题 甜类型2磁和矩形有关的最值问题 1.如图所示，由两个长为9，宽为3的全等矩形叠 4.如图所示，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=6, 合而得到四边形ABCD,则四边形ABCD面 AC=8,P为边BC上一动点，PE⊥AB于点 积的最大值是() E,PF⊥AC于点F.点M为EF的中点，则 A.15 B.16 C.19 D.20 AM的最小值是() A.2.5 B.2.4 C.2 D.3 y 第1题图 第2题图 2.如图所示，菱形ABCD的对角线AC长为8， 第4题图 第5题图 点P是对角线AC上的一个动点，点M,N分 5.运算能力矩形OABC在平面直角坐标系中 别是边AB,BC的中点，PM十PN的最小值 的位置如图所示，点B的坐标为(3,4)，D是 是5，则菱形的边长等于 OA的中点，点E在AB上，当△CDE的周长 3.模型观念如图所示，在边长为4的菱形AB 最小时，点E的坐标为 CD中，BD=4,E,F分别是边AD,CD上的 6.如图所示，∠MON=90°，矩形ABCD的顶点 动点，且AE+CF=4,连接BE,EF,FB. A,B分别在边OM,ON上，当点B在边ON (1)求证：BE=BF. 上运动时，点A随之在边OM上运动，矩形 (2)求△BEF面积的最小值. ABCD的形状保持不变，其中AB=2,BC=1. 求运动过程中，点D到点O的最大距离 -九年级·上册·数学，B5 20 翻类型3腰和正方形有关的最值问题 11.模型观念》(1)如图①所示，已知正方形AB 7.如图所示，正方形ABCD的面积为12，△ABE CD的边长为4，点M,N分别是边BC,CD 是等边三角形，点E在正方形ABCD内，在对 上两点，且BM=CN,连接AM和BN,交于 角线AC上有一点P,若使PD十PE的和最 点P.猜想AM与BN的位置关系，并证明你 小，则这个最小值为( 的结论。 A.√6 B.2√3 (2)如图②所示，已知正方形ABCD的边长 为4.点M,N分别从点B,C同时出发，以相 C.3 D.26 同的速度沿BC,CD方向向终点C和D运 E 动，连接AM和BN,交于点P.求△APB周 长的最大值. 第7题图 第8题图 8.如图所示，平面内三点A,B,C,AB=4,AC=3, 以BC为对角线作正方形BDCE,连接AD,则 AD的最大值是( ) A.5 B.7 C.7√2 号 9.推理能力》如图所示，正方形ABCD的边长为 2,点E为与点D不重合的动点，以DE为一 边作正方形DEFG.设DE=d1,点F,G与点 C的距离分别为d2,d3,则d1十d2十d3的最小 值为() A.√2 B.2 C.2√2 D.4 10.如图所示，M,N是正方形ABCD的边CD上 的两个动点，满足AM=BN,连接AC交BN 于点E,连接DE交AM于点F,连接CF.若 正方形的边长为6，则线段CF的最小值 是 21 优计学案·课时通一直角的直角三角形的条件时，四边形AECF是正方形. ∴.∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF, 理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形 .∠EBF=∠DBC=60° AECF是矩形，已知MN∥BC,当∠ACB=90°时，则 又BE=BF, ∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，.AC⊥EF,. ∴.△BEF是等边三角形， 矩形AECF是正方形. ∴，EF=BE=BF.当BE⊥AD,即E为AD的中点时，BE有 专题一特殊平行四边形中的折叠问题 1.D2.B3.54.√5+15.2或25-2 最小值V个一-7-25，此时△55F的面积为×(2,5)- 6解：，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处， 35. ..EG=AE, .△BEG的周长为EG+BE+BG=AB+BG. 4B5(3,) ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， 6.解：如图所示，取AB的中点E,连接OE,DE,OD.OD≤ ∴.AB=AD,∠DAB=60°， OE十DE,∴当O,D,E三点共线时，点D到点O的距离最 ∴.△ABD是等边三角形，AB=BD=2十6=8， 大，此时OD=OE+DE. .△BEG的周长为8+6=14. .AB=2,BC=1, 7.B8.B9.3 40 ∴OE=AE=2AB=1, 10.证明：(1)由折叠的性质，得CD=ED,BE=BC. DE=√AD+AE=√12+1严=√2， ,四边形ABCD是矩形， ∴.OD的最大值为w2十1. ∴.AD=BC,AB=CD,∠BAD=90°， M ..AB=DE,BE=AD. 又BD=BD, ∴.△ABD≌△EDB(SSS), ∴.∠EBD=∠ADB,∴.BF=DF. (2).AD=BE,DE=AB,AE=AE, ∴.△AED≌△EAB(SSS), 7.B8.D9.C10.3√5-3 ∴∠AEB=∠EAD=号1S0-∠AFE). 11.解：(1)结论：AM⊥BN 证明：四边形ABCD是正方形， 由1)知，∠EBD=∠ADB=2(180-∠BFD. ∴.AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°. .BM=CN, N∠AFE=∠BFD, ∴.△ABM≌△BCN(SAS), ∴.∠AEB=∠EBD,.AE∥BD ∴.∠BAM=∠CBN. 11.B12.60120 ∠CBN+∠ABN=90°， 13.解：(1)由折叠知BE=EM,∠B=∠EMP=90°.△AEM的 .∠ABN+∠BAM=90°， 周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM. ∴.∠APB=90°，∴.AM⊥BN. :AB=AD=4,M是AD的中点， (2)如图所示，以AB为斜边向外作 .△AEM的周长为4+2=6(cm). 等腰直角三角形AEB,∠AEB= (2)EP-AE+DP. 90°，作EF⊥PA于点F,作EG⊥ E 理由如下：如图所示，取EP的中点 M PB交PB的延长线于点G,连 G,连接MG,则在梯形AEPD中，MG 接EP. 为中位线， G :∠EFP=∠FPG=∠G=90°， MG=2(AE+PD).在R△EMP .四边形EFPG是矩形， ∴.∠FEG=∠AEB=90°， 中，MG为斜边EP的中线，∴.MG= B ∴.∠AEF=∠BEG. 1 P,EP-AE+DP. 又：∠EFA=∠G=90°，EA=EB, '.△AEF≌△BEG(AAS), 专题二特殊平行四边形中的最值问题 ∴.EF=EG,AF=BG, 1.A2.5 .矩形EFPG是正方形，.PA+PB=PF十AF+PG一BG 3.解：(1)证明：，四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4, =2PF=2EF」 ∴.△ABD,△CBD都是边长为4的等边三角形. EF≤AE,∴.EF的最大值为AE=2√2， .AE+CF=4,..CF=4一AE=AD-AE=DE」 ∴.△APB周长的最大值为4十4√2， 在△BDE和△BCF中， 本章综合提升 (DE=CF, ∠BDE=∠C=60°， 【本章知识归纳】 BD=BC=4, 相等垂直垂直相等一半直角 ∴.△BDE≌△BCF(SAS),'.BE=BF 直角相等一半相等直角相等 (2)·△BDE≌△BCF,∠EBD=∠FBC, 直角直角相等相等垂直平分 相等垂直直角相等