专题02 特殊四边形热考几何模型（知识必备+4大重难题型+过关验收）（期末复习讲义）九年级数学上学期北师大版

该初中数学期末复习讲义通过表格系统梳理“十字架”模型、对角互补模型等四大核心考点，明确复习目标与考情规律，结合图形示例解读模型结构与结论，构建清晰知识脉络，突出矩形、正方形等载体下的重难点联系。 讲义亮点在于分层练习设计，从基础通关到综合拓展覆盖不同难度，典例如半角模型证明培养推理能力，最值模型应用发展空间观念，助力学生掌握模型思想，教师可据此实施精准分层教学，提升复习效率。

品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 专题02特殊四边形热考几何模型（期末复习讲义） 明·期末考情 核心考点 复习目标 考情规律 “十字架”模型 掌握矩形、正方形中十字架模型的基本 高频考点，近3年多数地区期末卷均有涉及， 结构，理解“垂直线段比与图形边长比 多出现于选择、填空压轴题或解答题中档题。 的关联”核心结论，明确模型成立的前 以矩形、正方形为主要载体，常见题型包括： 提条件（如矩形中需两条线段分别在相 ①判断垂直线段的数量/比例关系：②结合矩形 对两边上且互相垂直)。 边长计算垂直线段长度；③直角三角形中十字 架模型的结论应用。 对角互补模型 掌握常见对角互补模型的类型（如90 中频考点，多与正方形、菱形综合考查，出现 对角互补、120°对角互补，以正方形、 于解答题中档题。 菱形为载体)，熟记“对角互补+邻边 核心围绕90°对角互补模型，常见题型包括： 相等”模型中线段相等、角平分线、面 ①以正方形对角线为背景，判断线段相等；② 积相等的核心结论。 计算对角互补四边形的面积；③结合旋转探究 角平分线性质。 半角模型 掌握以正方形为载体的半角模型结构 高频考点，是期末压轴题的核心模型之一，出 (如45°半角对90°全角)，牢记“线 现于解答题最后两题。以正方形为主要载体， 段和差”核心结论（如正方形中EF=AE 常见题型包括：①基础证明；②结合边长计算 +CF)及推导的理论依据（旋转性质、 线段长度、三角形周长；③拓展至一般四边形 全等三角形判定)。 的半角问题，探究周长定值。 最值模型（将军 掌握九上高频最值模型的类型，包括利 高频考点，贯穿选择、填空、解答压轴题，覆 饮马) 用垂线段最短、三角形三边关系、轴对 盖范围广。以特殊平行四边形为载体，常见题 称性质（将军饮马）、菱形矩形的边长 型包括：①菱形/矩形中线段长度的最值；②将 与对角线关系、直角三角形斜边上的中 军饮马模型的变式应用；③结合相似三角形、 线性质等求最值的核心原理。 直角三角形斜边上的中线性质求最值。 记·必备知识 同知识点01“十字架”模型 1/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【模型解读】 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则垂直简记：垂直即相 等；相等即垂直. M H 图(1) 图(2) ①线段过顶点时，如图(1).易证△ADE≌△BAFASA,·AE=BF. ②线段不过顶点时，如图(2)，作AN//EG,BM/HF.易证 △ADN≌△BAM(ASA),·AN=BM,·易得EG=FH· 昼知识点2对角互补模型 【模型解读】 B E M 如图，在正方形ABCD中，点O是对角线AC,BD的交点，过点O作射线OM,ON,分别交BC,CD于 点E,F,且∠E0F=90°，OC,EF交于点G. 结论：①△C0E兰△D0F;②△0BE兰△OCP;③△OEF是等腰直角三角形；④四边形CE0F的面 积为正方形ABCD面积的京 图知识点03半角模型 【模型解读】 2/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 图(1) 图（2) 如图(1)，在正方形ABCD中，E,F分别在BC,CD上，BD分别交AE,AF于M,N,若∠EAF=45° 则有以下结论：①EF=BE+DF;②C△CER=2AB;③FA平分∠DFE,EA平分∠BEF; ④MN2=BM2+DN2; 如图(2)，在正方形ABCD中，E,F分别在CB的延长线、DC的延长线上，若∠EAF=45°， 则有以下结论：①FA平分∠DFE;②EF=DF-BE. 局知识点04最值模型 1.根据垂线段最短求最值 【模型解读】 在直角三角形中求线段长度的最小值时，通常利用矩形的对角线相等这一性质将所求线段长度的最小 值转化成直角顶点与斜边动点连线的长度的最小值，此时根据垂线段最短即可求解. 2.根据三角形三边关系求最值 【模型解读】 利用三角形三边关系解决最值问题时，构造出来的这个三角形要有两条边的长为定值，另外一边为要 求的那条边 3.“将军饮马”求最值 【模型解读】 B 求直线同侧两点与直线上一动点所连线段和的最小值时，作其中一点关于直线的对称点，将两点转化 到直线的两侧，利用两点之间线段最短求最小值。 3/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 破·重难题型 它题型一“十字架”模型 【典例1-1】（2025四川德阳中考真题)在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园ABCD进 行测量规划使用，如图，点E、F处是它的两个门，且DE=CF,要修建两条直路AF、BE,AF与BE相交 于点O(两个门E、F的大小忽略不计)， E D (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得AD=4米，AE=3米，根据实际需要，某小组同学想在四边形0BCF地上再修一条2.5米长的 直路，这条直路的一端在门F处，另一端P在己经修建好的路段OB或花园的边界BC上，并且另一端P与 点B处的距离不少于1.5米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由， 【详解】(1)解：四边形ABCD是正方形， AD=AB=DC,∠BAE=∠ADF=90°， :DE=CF, .AE=DF, △BAE≌△ADF(SAS), .BE=AF,∠DAF=∠ABE, 又：∠ABE+∠AEB=90°， ∠DAF+∠AEB=90°， .∠A0E=90°， AF⊥BE, :这两条路AF与BE等长，且它们相互垂直； (2)解：能修建一条这样的直路，理由如下： 由(1)得AE=DF,BE=AF, :AE=3米，AD=4米， DF=3米，DC=4米，FC=1米， 4/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 AF2=AD2+DF2=42+32=25, AF=5, BE=5, 又：在R△ABE中有S4e=)BE40=)4BABE, 1 2 2 5A0=4×3, :.A0=5 _12 OF=AF-A0=5-12=13 55 ①如果另一端点P在路段OB上， 则在R△OPF中，PF>OF=13>2.5, 5 此种情况不成立； ②如果另一端点P在花园边界BC上时， 设PC=x,则在Rt△PFC中，有PF2=PC2+FC2=x2+1=(2.5), x=t 2 PC= 2 :BP=BC-PC=4->4-E-15, 2 .能修建成这样的一条直路。 【典例1-2】(23-24九年级上河南洛阳期末)小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常 有比较简明的结论.下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题. 图1 图2 图3 (1)如图1，在正方形ABCD中，E为AB上一点，连结DE,过点A作AG⊥DE于点F,交BC于点G,则 AG与DE的数量关系是 (2①如图2，在矩形ABCD中，AB=nBC,M、N为AB、CD上的点，连结MN,过点D作DE⊥MN于点 5/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 F,交BC于点E,小明发现，过点M作MG⊥CD于点G,可以得到MN与DE的数量关系.这个数量关 系是什么？请说明理由 ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于 ③应用上述结论解决问题；如图3，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8,BC=6,点D是AB的中点，连结 CD,过点B作CD的垂线BE,交直线AC于点E,垂足是点F,直接写出BE的长度. 【详解】(1)解：：四边形ABCD是正方形， :AB=BC=CD=AD,∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=90°， ∠DAF+∠FAE=90°， :AG⊥DE, .∠AFD=90°， ∴.∠DAF+∠ADF=90°， ∠ADE=∠BAG, 在△ADE和△BAG中， [∠ADE=∠BAG AD=BA ∠DAE=∠ABG .△ADE≌△BAG(ASA), .AG=DE, 故答案为：AG=DE; (2)解：①DE=nMN,理由如下， M B 1 E G 图2 :四边形ABCD是矩形， ∠B=∠C=90°，AB=CD, :MG⊥CD, ∴∠B=∠C=∠MGN=90°，∠GMN+∠GNM=90°， :.四边形BCGM是矩形， 6/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 .GM =BC, :DE⊥MN, ∠CDE+LGNM=90°， ∴.∠CDE=∠GMN, aCDE∽aGMN, DECDAB =n, MN GM BC ÷DE=nMN; ②矩形的两邻边之比. @能号 证明：如图所示，延长CD至点M,使DM=CD, E B 图3 “点D是AB的中点， :AD=BD, :四边形ACBM是平行四边形， :∠ACB=90°， :平行四边形ACBM是矩形， CM=AB=VAC2+BC2=V82+62=10, :BE⊥CM, ∠CBE+∠BCF=∠BCF+∠ACM=90°， .∠ACM=∠BCE, .△CBE∽△ACM, CMAC,即E6 BE BC 10-81 7/78 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 如5 【典例1-3】（25-26九年级上陕西渭南期中)【问题探究】 (1)如图，已知正方形ABCD,点E在边AB上，点H在射线BC上，连接DE· ①如图1，当点H在BC边上时，过点H作HG⊥DE交DE于点O,则线段DE _GH;(填“>” "<”或“=”) D H 图1 ②如图2，平移图1中的线段GH,使点G与点D重合，点H在BC的延长线上，连接EH,取EH的中点 P,连接PC,求证：BE=√2PC; 图2 【问题解决】 (2)如图3，有一块边长为7km的正方形农田ABCD,为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库E、 H、G(大小忽略不计)分别在边AB、BC、AD上，DE、GH是两条水渠，水渠DE和GH相交于点O 己知LG0D=45°，水渠HG=√65km,求水库E到农田边AD的距离AE. G BL 图3 【详解】解：(1)①过点C作CF∥GH,交AD于点F,如图， 8/78 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 B C :四边形ABCD是正方形， .AB=BC=CD=AD,∠A=∠B=∠ADC=90°，AD∥BC, .HC∥GF, :四边形GHCF是平行四边形， .CF=GH, :GH⊥DE, .CF⊥DE, ∠EDC+∠DCF=90°， 又∠ADE+∠CDE=90°， ·∠ADE=∠DCF, 又DA=CD,∠A=∠ADC, .△DAE≌CDF(ASA, .DE=CF, .DE=GH, 故答案为：=； ②证明：由平移得DE=GH=DH,DH⊥DE, :四边形ABCD是正方形， .AD=DC,∠ADC=∠DCH=90°， ∠ADE+LEDC=90°， :∠EDH=∠EDC+∠CDH=90°， ∠ADE=LCDH, ∴△ADE≌△CDH (ASA, .AE=CH, 如图，在BC上截取BN=BE,连接EN, 9/78 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 则△BEN是等腰直角三角形， EN =BE2+BN2=2BE, :BA=BC,BE=BN, :CN=AE=CH 点C为NH的中点， :点P为EH的中点， .PC是△ENH的中位线， pC-9E,甲8E=5C (2)解：如图，过点D作DN∥GH交BC于点N, M G E 、 B HN :AD∥BC,即DG∥HN, :四边形GHND是平行四边形， DN GH =65km, :∠C=90°，DC=AB=7km, ∴CN=√DN2-CD2=V65-49=4km), :BN BC-CN =7-4=3(km), 连接EN,在AD上方作LADM=∠CDN,DM交BA的延长线于点M, 四边形ABCD是正方形， 10/78 专题02 特殊四边形热考几何模型（期末复习讲义） 核心考点 复习目标 考情规律 “十字架”模型 掌握矩形、正方形中十字架模型的基本结构，理解“垂直线段比与图形边长比的关联”核心结论，明确模型成立的前提条件（如矩形中需两条线段分别在相对两边上且互相垂直）。 高频考点，近3年多数地区期末卷均有涉及，多出现于选择、填空压轴题或解答题中档题。以矩形、正方形为主要载体，常见题型包括：①判断垂直线段的数量/比例关系；②结合矩形边长计算垂直线段长度；③直角三角形中十字架模型的结论应用。 对角互补模型 掌握常见对角互补模型的类型（如90°对角互补、120°对角互补，以正方形、菱形为载体），熟记“对角互补+邻边相等”模型中线段相等、角平分线、面积相等的核心结论。 中频考点，多与正方形、菱形综合考查，出现于解答题中档题。 核心围绕90°对角互补模型，常见题型包括：①以正方形对角线为背景，判断线段相等；②计算对角互补四边形的面积；③结合旋转探究角平分线性质。 半角模型 掌握以正方形为载体的半角模型结构（如45°半角对90°全角），牢记“线段和差”核心结论（如正方形中EF=AE+CF）及推导的理论依据（旋转性质、全等三角形判定）。 高频考点，是期末压轴题的核心模型之一，出现于解答题最后两题。以正方形为主要载体，常见题型包括：①基础证明；②结合边长计算线段长度、三角形周长；③拓展至一般四边形的半角问题，探究周长定值。 最值模型（将军饮马） 掌握九上高频最值模型的类型，包括利用垂线段最短、三角形三边关系、轴对称性质（将军饮马）、菱形/矩形的边长与对角线关系、直角三角形斜边上的中线性质等求最值的核心原理。 高频考点，贯穿选择、填空、解答压轴题，覆盖范围广。以特殊平行四边形为载体，常见题型包括：①菱形/矩形中线段长度的最值；②将军饮马模型的变式应用；③结合相似三角形、直角三角形斜边上的中线性质求最值。 知识点01“十字架”模型 【模型解读】 在正方形的对边分别取点并相连，所得两条线段，若垂直，则相等；若相等，则垂直.简记：垂直即相等；相等即垂直. ①线段过顶点时，如图（1）.易证， . ②线段不过顶点时，如图（2），作, .易证 ，， 易得 . 知识点02 对角互补模型 【模型解读】 如图，在正方形中，点是对角线，的交点，过点作射线， ，分别交，于点，，且 ，，交于点 . 结论：；； 是等腰直角三角形；④四边形的面积为正方形面积的 . 知识点03 半角模型 【模型解读】 如图（1），在正方形中，,分别在,上，分别交,于， ，若 , 则有以下结论：；； 平分,平分；； 如图（2），在正方形中，,分别在的延长线、 的延长线上，若 , 则有以下结论：平分； . 知识点04 最值模型 1.根据垂线段最短求最值 【模型解读】 在直角三角形中求线段长度的最小值时，通常利用矩形的对角线相等这一性质将所求线段长度的最小值转化成直角顶点与斜边动点连线的长度的最小值，此时根据垂线段最短即可求解. 2.根据三角形三边关系求最值 【模型解读】 利用三角形三边关系解决最值问题时，构造出来的这个三角形要有两条边的长为定值，另外一边为要求的那条边. 3.“将军饮马”求最值 【模型解读】 求直线同侧两点与直线上一动点所连线段和的最小值时，作其中一点关于直线的对称点，将两点转化到直线的两侧，利用两点之间线段最短求最小值. 题型一 “十字架”模型 【典例1-1】（2025·四川德阳·中考真题）在综合实践活动中，同学们将对学校的一块正方形花园进行测量规划使用，如图，点处是它的两个门，且，要修建两条直路，与相交于点（两个门的大小忽略不计）． (1)请问这两条路是否等长？它们有什么位置关系，说明理由； (2)同学们测得米，米，根据实际需要，某小组同学想在四边形地上再修一条米长的直路，这条直路的一端在门处，另一端在已经修建好的路段或花园的边界上，并且另一端与点B处的距离不少于米，请问能否修建成这样的直路，若能，能修建几条，并说明理由． 【典例1-2】（23-24九年级上·河南洛阳·期末）小明在学习中发现，当垂直线段出现在四边形中间时，通常有比较简明的结论．下面是他的发现过程，请补充并完成其中的问题． (1)如图1，在正方形中，为上一点，连结，过点作于点，交于点，则与的数量关系是_________． (2)①如图2，在矩形中，，为上的点，连结，过点作于点，交于点．小明发现，过点作于点，可以得到与的数量关系．这个数量关系是什么?请说明理由． ②填空；由①可得，顶点分别在矩形的每一组对边（或延长线）上互相垂直的两条线段的比，等于__________． ③应用上述结论解决问题；如图3，在中，，点是的中点，连结，过点作的垂线，交直线于点，垂足是点，直接写出的长度． 【典例1-3】（25-26九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【变式1-1】（2025·河南省直辖县级单位·一模）综合实践 【教材再现】如图，是一个正方形花园，、是它的两个门，且．要必有两条路和．这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 本道题通过证，可得，． 在同学们已有知识经验的基础上，王老师以正方形折叠为主题开展数学活动． (1)【操作发现】如图1．边长为12的正方形纸片，点在边上．将正方形沿折叠，点落在处，将纸片展开，作射线，交于点，作射线交于．小明在操作中发现：．请你帮他证明． (2)【结论应用】 在（1）的基础上，在翻折过程中，随着点的变化、的位置也随之变化、如图2．当时，求的长度． (3)【拓展应用】 正方形的边长为6，是边上一动点，是边上的一动点，将正方形沿折叠，使点恰好落在边的三等分点处，点的对应点为点，请直接写出折痕的长． 【变式1-2】（25-26九年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． 【变式1-3】（2025·山西长治·三模）问题背景 如图1，四边形是一个正方形花园，，分别是它的两个门，且，要修建两条路和，这两条路等长吗？它们有什么位置关系？为什么？ 问题探究 (1)如图2，在正方形中，若，试证明． 知识迁移 (2)如图3，在矩形中，点，，，分别在线段，，，上，且．若，，求的值．（用含，的代数式表示） 知识运用 (3)如图4，，是两个直角三角形，，，，交于点，经过的中点，交于点，，且，请直接写出的值． 题型二 对角互补模型 【典例2】（23-24九年级上·陕西榆林·期中）综合与探究： 【问题发现】 数学课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点O旋转． （1）在图1中，线段，之间的数量关系是______； 【类比迁移】 （2）如图2，矩形对角线相交于点O，点O又是矩形的一个顶点，且这两个矩形全等，矩形可绕点O旋转．边与AB相交于点E，边与相交于点F，猜想，，，之间的数量关系，并说明理由； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点O在边的中点处，可绕绕点O旋转．它的两条边，分别交，于点E，F，若，求OE的长． 【变式2-1】（24-25九年级上·辽宁阜新·期末）【课本再现】 （1）如图1，正方形的对角线相交于点O，点O又是正方形的一个顶点，而且这两个正方形的边长都为1，四边形为两个正方形重叠部分，正方形可绕点O转动． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是______． ②在①的基础上，连接，则线段之间的数量关系是______． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心O是矩形的一个顶点，与边相交于点E，与边相交于点F，连接，矩形可绕着点O旋转，猜想，，之间的数量关系，并进行证明； 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，直角的顶点D在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点E，F，可绕着点D旋转，当时，请直接写出的面积． 【变式2-2】（24-25九年级上·江西九江·期中）【实践探究】数学实践课上，活动小组的同学将两个正方形纸片按照图1所示的方式放置．如图1，正方形的对角线相交于点，点又是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，四边形为这两个正方形的重叠部分，正方形可绕点旋转． 【问题发现】 （1）①线段，之间的数量关系是________． ②在①的基础上，连接，则线段，，之间的数量关系是________． 【类比迁移】 （2）如图2，矩形的中心是矩形的一个顶点，与边相交点，与边相交于点，连接，延长交于点，连接，，矩形可绕点旋转．判断线段，，之间的数量关系并证明． 【拓展应用】 （3）如图3，在中，，，，直角的顶点在边的中点处，它的两条边和分别与直线，相交于点，，可绕点旋转．当时，请直接写出线段的长． 【变式2-3】（23-24九年级上·江苏盐城·期末）（1）【问题初探】 苏科版教材八年级下册第九章《中心对称图形一一平行四边形》中有这样的问题：如图1正方形的边长为1，的顶点O在正方形两条对角线的交点处，，将绕点O旋转，的两边分别与正方形的边和交于点E和点F（点F与点C，D不重合），问：在旋转过程中，四边形的面积会发生变化吗？证明你的结论． 爱思考的小明和小丽同学分别探究出了如下两种解题思路： 小明：如图a，证明，则，这样，可实现四边形的面积向面积的转化； 小丽：如图b，过点O分别作于点G，于点H，证明，从而将四边形的面积转化成小正方形的面积． 通过他们的思路点拨，你认为： （填一个数值），其实，在这样的旋转变化过程中，线段与的和也是一个定值，为 （填一个数值）； （2）【类比探究】 如图2，若将（1）中的“正方形”改为“含的菱形”，即，当绕点O旋转时，的边交边于点M，交边于点N． 请猜想： ①线段与之间的数量关系是 ； ②四边形与菱形的面积关系是 ； （3）【拓展应用】 ①对上面的问题进行进一步的探究，如图3，将图2中的沿方向平移至如图所示位置，若（m为常数）请描述与的数量关系（用含m的式子表示），并说明理由； ②在①的条件下，若，试说明点P恰为的重心． 题型三 半角模型 【典例3-1】（23-24九年级上·海南海口·期末）如图，四边形是正方形，M，N分别在上，连接且，我们把这种模型称为“半角模型”，旋转是解决此类模型的常用方法． (1)补全图形：将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到； (2)直接写出线段之间的数量关系 ． (3)根据（2）的结论，写出证明过程； (4)如果正方形的边长是4，求的周长． 【典例3-2】阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型.半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，、与、边分别交于、两点.易证得. 大致证明思路：如图2，将延长至点，使，连，可证，再证，故. 任务：如图3，在四边形中，，，，以A为顶点的，、与、边分别交于、两点.请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立，若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由. 【典例3-3】（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【变式3-1】（23-24九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期中）通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整．原题：如图1，点E、F分别在正方形的边、上，，连接，试猜想、、之间的数量关系．        (1)把绕点逆时针旋转至，可使与重合，由，得，，即点F、D、G共线，易证≌__________，故、、之间的数量关系为__________． (2)如图2，点E、F分别在正方形的边、的延长线上，．连接，试猜想、、之间的数量关系为__________，并给出证明． (3)如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．若，，直接写出的值和的长． 【变式3-2】（23-24九年级上·河北张家口·期末）【方法前置】作图形旋转是解决几何问题的重要方法，如图①，正方形中，、分别在边、上，且，连接，求证：．可将绕点逆时针旋转到的位置（容易得出点在的延长线上），进一步证明与全等．亲爱的同学们，你想好了吗？试着看下面的问题情境吧． 【问题情景】如图②，正方形是绿地公园的一块空地，其边长为60米．公园设计部门为了给儿童提供更舒适更安全的活动场地，准备将空地中的四边形（在上，在上）部分作为儿童活动区，并用围栏围挡起来，只留三个出人口，即点、点、点，而且根据实际需要，要使得，并将儿童活动区（即四边形）划分为和两种不同的游戏场地，儿童活动区之外的部分种植花草． （1）【模型感知】请参考【方法前置】的思路在图②中证明． （2）【模型应用】如图②，若，请你计算儿童活动区的面积； （3）【模型拓展】如图③，连接，若，与线段分别交于点、点，，请直接写出、和之间的数量关系． 【变式3-3】（24-25九年级上·辽宁盘锦·期中）问题：如图，点、分别在正方形的边，上，，试判断、、之间的数量关系． (1)【发现】、、之间的数量关系为_______． (2)【类比引申】 如图，四边形中，，，，点、分别在边、上，则当与满足_______关系时，仍有中的结论，请证明． (3)【探究应用】 如图，在某公园的同一水平面上，四条通道围成四边形，已知米，，，，道路 、上分别有景点型、，且与垂直，米，现要在 、之间修一条笔直的道路，求这条道路的长．（结果取整数，参考数据：，） 题型四 最值模型 【典例4-1】（24-25九年级上·陕西宝鸡·期末）如图，在中，，，，D、E分别是、边上的两个动点，点G是的中点，连接，，若，则的最小值为 ． 【典例4-2】（23-24九年级上·陕西西安·期末）如图，在矩形中，，，点E在边上，点F在边上，且，连接，则的最小值为 ． 【变式4-1】（24-25九年级上·山西大同·期末）如图，在中，，，．点是内部一点，且，连接，则长的最小值为 ． 【变式4-2】（25-26九年级上·全国·期末）如图，在中，，，点B为边上一点（不与点A，E重合），连接，将绕点C旋转到的位置． (1)若，请用表示的度数； (2)连接，过点C作，求长的最小值． 【变式4-3】（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在正方形中，点为对角线上一动点（点不与、重合），连接，过点作交直线于，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，． (1)求证：； (2)试探究与的数量关系，并说明理由； (3)若正方形的边长为，求的最小值． 期末基础通关练（测试时间：10分钟） 1．（25-26九年级上·河南周口·月考）如图，正方形的边长为4，为边上的一点，，为边上的一点，当时，的长为（   ） A．1.6 B．2 C．2.4 D．3 2．（24-25九年级上·广东·期末）在正方形中，边长，为中点，为上一点，且垂直平分交于点，则的长度为（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·河北保定·期末）如图，边长为的正方形，对角线相交于O，E为边上一动点（不与B，C重合），交于F，G为中点.给出如下四个结论： ①； ②点E在运动过程中，面积的最小值为1； ③点E在运动过程中，周长不变化； ④点E在运动过程中，与始终相等 其中正确的结论是（   ） A．①③④ B．①②③ C．②③④ D．①②④ 期末重难突破练（测试时间：20分钟） 1．（24-25九年级上·广东佛山·期末）如图，在菱形中，，、分别是、上的动点，满足．若，则周长的最小值为（   ） A． B． C．12 D．18 2．（24-25九年级上·黑龙江齐齐哈尔·期末）综合与实践 已知矩形，点E在边上，点M在边上，点N在边上，，垂足为点F．    (1)如图1，当时，点M与点A重合时，则与的数量关系是______（填“”、“”、“”号）． (2)如图2，若，求与的数量关系； (3)应用（2）中的结论解决问题： ①如图2，若，，，则的最小值为______； ②如图3，在中，，，，点D是的中点，连接，过B作的垂线，交直线于E，垂足是点F，请直接写出的长． 3．（24-25九年级上·吉林长春·期末）【问题背景】 如图1所示，正方形的边长为4，是边上一点（不与、重合），在边上取点，使得，分别连接、相交于点． 【问题解决】 (1)判断与有怎样的位置关系，并给出证明； (2)如图2，若点为的中点，则的长为 ； (3)如图3，过点分别作、的垂线，垂足分别为、，连接，则的最小值为 ． 4．（24-25九年级上·甘肃兰州·期末）综合与实践 问题情境 在综合与实践课上，老师让同学们以“大小不等的两个正方形”为主题开展数学活动，如图1，现有一个边长为的正方形，点E从对角线上的点A出发向点C运动，连接并延长至点F，使，以为边在右侧作正方形，边与射线交于点M． 操作发现 （1）点E在运动过程中，判断线段与线段之间的数量关系，直接写出答案； 实践探究 （2）在点E的运动过程中，某时刻正方形与正方形重叠的四边形的面积是，求此时的长； 探究拓广 （3）请借助备用图2，探究当点E不与点A，C重合时，线段，与之间存在的数量关系，请直接写出． 期末综合拓展练（测试时间：30分钟） 1．（23-24九年级上·湖南张家界·期末）定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形称为“等补四边形”． (1)下列选项中一定是“等补四边形”的是________； A．平行四边形；   B．矩形；        C．正方形；            D．菱形 (2)如图1，在边长为a的正方形中，E为边上一动点（E不与C、D重合），交于点F，过F作交于点H． ①试判断四边形是否为“等补四边形”并说明理由； ②如图2，连接，将绕A点逆时针旋转得到，判断线段与线段的数量关系，并求的周长； ③若四边形是“等补四边形”，当时，求的长． 2.根据已知图形解答下列问题． （1）问题发现 如图1，A、B、C、D四家工厂分别坐落在正方形城镇的四个角上，仓库P和Q分别位于AD和DC上，且两条直路BP⊥AQ．试判断的BP与AQ数量关系．并说明理由． （2）类比探究 如图2，在矩形ABCD中，AB=6，AD=9．点P在边AD上，连接BP，过点A作AQ⊥BP于点M，交射线DC于点Q．求的值． （3）拓展延伸 如图3，在三角形ABD中，∠BAD=90°，AB=6，AD=9，P是AD边上一动点，Q是BD边上一动点，且=，当BP⊥AQ时，AP= ． 　 　 3.（24-25九年级上·广东珠海·期中）【问题呈现】 如图，的顶点在正方形两条对角线的交点处，，将绕点旋转，旋转过程中，的两边分别与正方形的边和交于点、（点与点，不重合）．探索线段、、之间的数量关系． 【问题初探】 （1）求证：，并直接写出线段、、之间的数量关系 ； 【问题引申】 （2）如图，连接，若正方形的边长为，其他条件不变，在旋转过程中，求的面积的最大值； 【创新拓展】 （3）如图，将图中的正方形改为的菱形，，其他条件不变，请你写出线段、、之间的数量关系，并说明理由． 4．（24-25九年级上·广东深圳·期末）【问题思考】 （1）如图1，已知正方形，M，N分别是边，上一点，连接，，，且，若延长到，使得，连接． 则：运用三角形全等的相关知识，可推理得到三条线段，，之间的数量关系是 ． 【探究应用】 （2）如图2，正方形的边长为5，点E是射线上一动点（不与点B重合），连接，以为边长在的上方作正方形，交射线于点，连接． ①当点E在上时． （ⅰ）若，求的值； （ⅱ）若是等腰三角形，求此时的长． ②当点E在的延长线上时，若，则线段的长为 ． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $