第一章 特殊平行四边形 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

建议用时10分钟，实际用时 分钟 第一章特殊平行四边形 1菱形的性质与判定(1)（答案31） 如图所示，在菱形ABCD中，作BE⊥AD,CF⊥AB,分别交AD,AB的延长线于点E,F. (1)求证：AE=BF. (2)若点E恰好是AD的中点，AB=2,求BD的长. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1菱形的性质与判定(2)（答案P31) 1.如图所示，在菱形ABCD中，BC=10,点E在BD上，点F为AD的中点，FE⊥BD,垂足 为E,EF=4,求BD的长. 2.如图所示，在菱形ABCD中，CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F,求证：AE=AF, 一九年级·上册·数学B5 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1菱形的性质与判定(3)（答案31） 抽象能力如图所示，在四边形ABCD中，对角线AC,BD交于点O,AB∥DC,AB=BC,BD 平分∠ABC,过点C作CE⊥AB交AB的延长线于点E. (1)求证：四边形ABCD是菱形 (2)若AB=25,BD=4,求AC的长， 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1菱形的性质与判定(4)（答案P32) 如图所示，在平行四边形ABCD中，过点A作AM⊥BC于点M,交BD于点E,过C作CN⊥ AD于点N,交BD于点F,连接AF,CE. (1)求证：△ABE≌△CDF. (2)求证：当AB=AD时，四边形AECF是菱形 《2》 优十学案·课时通一 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1菱形的性质与判定(5)（答案P32) 运算能力》如图所示，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,且AC=6,DB=8, AE⊥BC于点E. (1)求菱形ABCD的面积. (2)求AE的长度. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 1菱形的性质与判定(6)（答案P32) 如图所示，在△ABC中，BC=BA,作出△ABC关于AC对称的△ADC. (1)求证：四边形ABCD是菱形. (2)连接BD交AC于点O,取BC的中点M,连接OM.若OA=6,S菱形ABCD=48,求OM的长. 一九年级，上册数学BS 37 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2矩形的性质与判定(1)（答案P32) 如图所示，在矩形ABCD中，AB=4,BC=6,若点P在AD边上，连接BP,PC,△BPC是以 PB为腰的等腰三角形，求PB的长 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2矩形的性质与判定(2)（答案P32) 如图所示，在矩形ABCD中，E,F分别是边AB,CD上的点，AE=CF,连接EF,BF,EF与 对角线AC交于点O,且BE=BF,∠BEF=2∠BAC. (1)求证：OE=OF (2)若BC=2,求AB的长. 《4》 优十学案·课时通 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2矩形的性质与判定(3)（答案P32) 如图所示，将□ABCD的边DC延长至点E,使DC=CE,连接AE,交边BC于点F. (I)连接AC,BE,求证：四边形ABEC是平行四边形 (2)若∠AFC=2∠D.求证：四边形ABEC是矩形. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2 矩形的性质与判定(4)（答案P33) 如图所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD的中点，过点A作BC的平行线 交BE的延长线于点F,连接CF. (1)求证：AF=DC (2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADCF是矩形？并证明你的结论. 一九年级，上册数学BS 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2矩形的性质与判定(5)（答案P33) 如图所示，平行四边形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,AF=CE,EF=2BO,连接DE, BF,BE,DF. (1)求证：四边形EBFD是矩形. (2)你所证明结论的依据是 ,该依据的逆命题是 (填“真”或“假”)命题 建议用时10分钟，实际用时 分钟 2矩形的性质与判定(6)（答案P33) 如图所示，在口ABCD中，AC⊥AD,延长DA于点E,使得DA=AE,连接BE. (1)求证：四边形AEBC是矩形， (2)过点E作AB的垂线分别交AB,AC于点F,G,连接CE交AB于点O,连接OG,若 AB=6,∠CAB=30°，求△OGC的面积. 《6 优十学案·课时通 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(1)（课程标准变动内容）（答案P33) 如图所示，在正方形ABCD内，以AB为边作等边三角形ABE,连接DE并延长，交BC于点 G.求∠BEG的度数. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(2)（课程标准变动内容）（答案P33) 如图所示，在正方形ABCD中，点G在对角线BD上（不与点B,D重合），GE⊥DC于点E, GF⊥BC于点F,连接AG,EF.求证：AG=EF. 一九年级，上册数学BS 1 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(3)（课程标准变动内容）（答案P33) 如图①所示，正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O,E是AC上一点，连接DE,过点A 作AM⊥DE,垂足为M,AM与BD相交于点F. (1)直接写出OE与OF的数量关系： (2)如图②所示，若点E在AC的延长线上，AM⊥DE交ED的延长线于点M,AM的延长线 交BD的延长线于点F,其他条件不变.试探究OE与OF的数量关系，并说明理由 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(4)（课程标准变动内容）（答案P33) 如图所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，过点C的直线MN∥AB,D为AB边上一点，过点 D作DE⊥BC,交直线MN于点E,垂足为F,连接CD,BE. (1)求证：CE=AD (2)当点D是AB的中点时，判断四边形BECD的形状，并说明理由. (3)若点D为AB的中点，则当∠A= 时，四边形BECD是正方形 M 《8 优计学案·课时通 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(5)（课程标准变动内容）（答案P33) 如图所示，在一次数学兴趣小组活动中，一位同学用直尺和圆规对矩形ABCD进行了如下操 作：①作∠BAD的平分线AE交BC于点E;②过点E作EF⊥BC交AD于点F,过点D作 DH⊥AE交AE于点H.请你根据操作，观察图形解答下列问题： (1)求证：四边形ABEF为正方形 (2)若AB=6,BC=8,求四边形DHEC的面积. D 建议用时10分钟，实际用时 分钟 3正方形的性质与判定(6)（课程标准变动内容）（答案P34) 已知：如图①所示，四边形ABCD四条边上的中点分别为E,F,G,H,顺次连接EF,FG, GH,HE,得到四边形EFGH(即四边形ABCD的中点四边形). (1)请说明四边形EFGH的形状， (2)如图②所示，请连接四边形ABCD的对角线AC与BD,当AC与BD满足 条件 时，四边形EFGH是矩形，证明你的结论. 一九年级，上册数学BS 91过点A(1,4)和点B(一2，一2)， (2).A(-1,4),B(4,-1),P(n,0),BQ∥AP,BQ=AP, /m十n=4, 解得/m=2, .四边形APQB是平行四边形，.点A向左平移一1一n个 -2m十n=-2, n=2. 单位长度，向下平移4个单位长度得到点P, 即一次函数的表达式为y=2x十2. ∴点B(4,-1)向左平移-1-n个单位长度，向下平移4个 (2)·y=2x十2与y轴交于点C,∴点C的坐标为(0,2).：点 单位长度得到点Q(5+n,-5). B(-2,-2),点M(-2,0),∴OC=MB=2.BM⊥x轴， 4 .MB/OC,∴.四边形MBOC是平行四边形，∴.四边形MBOC “点Q在y=一兰上5十=告解得=-引 51 的面积是OM·OC=4. 如图所示，连接AQ交x轴于点C,设直线AQ的函数表达 【通模拟】 式为y='x十b',则 1.A2.D3.y=-1 4.5 1-k′+b′=4， 直 5.解：1)八点A(1,4)在函数y=的图象上，k=1X4=4, 告+6=-5， 解得5， 6=-1, 反比例函数的表达式为，-兰“点B(m,一2)在反比例 线AQ的函数表达式为y=-5x-1.令 y-0,则x=-号c(日0)， 函数图象上心m=2-2, .B(-2,-2).点A(1,4),B(-2,-2)在一次函数y2= ..PC=- 1+21=4,S△APQ= 5 ax十b图象上， 1 /a+6=4, S△Ac十S△orc=2X4X(4+5)=18,四边形APQB的 2。十b=一2，解得，。一次函数的表达式为y2 b=2, 面积为36. 2x+2. (2)y1>y2成立的自变量x的取值范围为0<x<1或x< 故n= 号符合愿 -2. (3)直线AB的解析式y2=2x十2.令x=0,则y=2, 限时训练 .D(0,2),即OD=2, 第一章特殊平行四边形 ×2x2+号×2×1=3. 1 ∴.S△AOB=S△AOD+S△BOD= 1 菱形的性质与判定(1) 6.解：(1)20 解：(1)证明：，四边形ABCD是菱形， （2)从图象看，点C(20,90),设反比例函数的表达式为y一 .AB=BC,AD∥BC,.∠A=∠CBF, ?,将点C的坐标代入反比例函数表达式，得m=20×90 BE⊥AD,CF⊥AB, .∠AEB=∠BFC=90°， 1800,则反比例函数的表达式为y=1800 ∴.△AEB≌△BFC(AAS),∴.AE=BF (2):点E是AD的中点，且BE⊥AD,∴直线BE为AD的垂 当x=40时y=10=45,则点D(40,45).从图象看，点A 直平分线，∴.BD=AB=2. 和点D的纵坐标相同，则点A(0,45),设直线AB的表达式 1菱形的性质与判定(2) 为y=x+45,将点B(10,90)代人，得90=10k+45,解得 1.解：连接AC交BD于点O.:四边形ABCD是菱形，.OB= k=4.5,则直线AB的表达式为y=4.5x+45. OD,AD=BC=10,AC⊥BD.FE⊥BD,∴.FE∥AC ③能.理由：当y=60时，则4,5z+45=60,解得x二9；当 :点F为AD的中点，.EF是△AOD的中位线，∴.OA= 2EF=8, y=60时，z=1800 30, 60 ∴.OD=√AD2-0A7=√102-82=6， 则30一号>25，放安排在号分钟到30分钟之间即可。 .BD=2OD=12. 2.证明：，四边形ABCD是菱形， 【通中考】 .AB=BC=DC=AD,∠B=∠D. 7.A8.C9.A10.20 CE⊥AB于点E,CF⊥AD于点F, 山.解：()设h关于p的函数表达式为方=。，把p=1,h=20 ∴.∠CEB=∠CFD=90° 在△BCE和△DCF中， 代入，得=1X20=20,∴h关于p的函数表达式为h=20 I∠CEB=∠CFD, 0 ∠B=∠D, (2)把h=25代入h=。,得25=0， ,解得p=0.8. BC=DC; 答：该液体的密度p为0.8g/cm3. ∴.△BCE≌△DCF(AAS), 12.解：(1)反比例函数y=的图象过A(-1,4),B(a,-1) .'BE=DF, ..AB-BE=AD-DF, 两点， 即AE=AF. .m=-1X4=a·(-1),∴.m=-4,a=4,.反比例函数 1菱形的性质与判定(3) 的表达武为y=1,B4,二D把A,B的坐标代人y与 解：(1)证明：AB∥CD,.∠ABD=∠CDB, 红+6得他。=得和低。” BD平分∠ABC,∴.∠ABD=∠CBD, b=3, ∴.∠CDB=∠CBD,∴.BC=CD. .一次函数的表达式为y=一x十3. 又AB=BC,.CD=AB,且AB∥CD, 31 .四边形ABCD是平行四边形. .BD=8, .AB=BC, ∴，平行四边形ABCD是菱形 (2)四边形ABCD是菱形，.AO=CO, 在Rt△BOC中，由勾股定理， BD⊥AC,BO=DO= BD=8, 得BC=√OB2+OC2=/42+62=2√13. ,点M是BC的中点，点O是BD的中点， ∴.A0=√AB2-OB2=√20-4=4， ∴.AC=2OA=8. .0M-AB-BC-/13. 1菱形的性质与判定(4) 2矩形的性质与判定(1) 证明：(1)，四边形ABCD为平行四边形， 解：如图所示，在矩形ABCD中，AB=CD=4,BC=AD=6, .AB=CD,AB∥CD,∠BAD=∠BCD, ∠BAD=90°. .∠ABE=∠CDF 如图①所示，当PB=PC时，点P是BC的垂直平分线与AD .AM⊥BC,CN⊥AD, 的交点， .MA⊥AN,NC⊥BC, 1 .∠BAM=∠DCN. 则AP=DP=2AD=3. 在△ABE和△CDF中， 在Rt△ABP中，由勾股定理， I∠ABE=∠CDF, 得PB=√AP2+AB2=√32+4=5. AB=CD, 如图②所示，当BP=BC=6时，△BPC也是以PB为腰的等腰 ∠BAM=∠DCN, 三角形. ,∴.△ABE≌△CDF(ASA). 综上所述，PB的长度是5或6. (2)如图所示，连接AC. :△ABE≌△CDF, ..AE=CF. .MA⊥AN,NC LAN, '.AMCN,则AECF .四边形AECF为平行四边形， ,四边形ABCD为平行四边形， )) AB-AD. 2矩形的性质与判定(2)】 ∴.四边形ABCD是菱形， 解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， ∴.AC⊥EF, ∴.AB∥CD,∴.∠BAC=∠FCO. ∴.平行四边形AECF为菱形， 在△AOE和△COF中， I∠EAO=∠FCO, ∠AOE=∠COF, AE=CF, .△AOE≌△COF(AAS), B ..OE=OF. 1菱形的性质与判定(5) (2)如图所示，连接OB」 解：(1)菱形ABCD的面积为 BE=BF,OE=OF, .BO⊥EF 2AC:BD=×6X8=24. 在Rt△BEO中，∠BEF+∠ABO= (2)在菱形ABCD中，AC⊥BD, 90°. △AOE2△COF,.OA=OC. 在R△0BC中，0B=号5D=4,OC= AC=3, 四边形ABCD是矩形， BC=√OB2+OCz=√32+4=5， .∠ABC=90°， ∴.OA=OB=OC, S支形ABcD=BC·AE=5AE=24, .∠BAC=∠ABO. AE=24 1 .∠BEF=2∠BAC,即2∠BAC+∠BAC=90°， .∠BAC=30°. 1菱形的性质与判定(6) .BC=2,.AC=2BC=4, 解：(1)证明：，△ABC与△ADC关于AC对称， ∴.AB=√AC2-BC=√4-2=23. .'.AB=AD,BC=DC. .BC=BA,..AB=BC=DC=AD, 2矩形的性质与判定(3) ∴.四边形ABCD是菱形. 证明：(1)，四边形ABCD是平行四边形， (2)由(1)可知，四边形ABCD是菱形， .AB∥CD,AB=CD,即AB∥CE. ..OC=OA=6,OB=OD,ACLBD, .DC=CE,..AB=CE, .∴.AC=2OA=12,∠BOC=90° .四边形ABEC是平行四边形 (2),四边形ABCD是平行四边形， S菱形ACm=之AC·BD=48, .BC∥AD,.∠BCE=∠D. .∠AFC=∠FEC+∠BCE, 即号×12×BD=48, ∴.∠AFC=∠FEC+∠D. 32 :∠AFC=2∠D,.∠FEC=∠D, .∴.△ABD≌△CBD(SAS),∴.∠ABD=∠CBD. .AE=AD.四边形ABCD是平行四边形，.AD=BC, 又，AB=BC,BG=BG,.△ABG≌△CBG(SAS), AE=BC,.平行四边形ABEC是矩形. ∴.AG=GC.GE⊥DC于点E,GF⊥BC于点F, 2矩形的性质与判定(4) ∴.∠GEC=∠ECF=∠CFG=90°，∴.四边形EGFC是矩形， 解：(1)证明：AF∥BC,∴∠AFE=∠DBE.点E是AD的 .EF=GC,∴.AG=EF 中点，.AE=DE.在△AFE和△DBE中， I∠AFE=∠DBE, :{∠FEA=∠BED, AE-DE, .△AFE≌△DBE(AAS),.AF=DB. AD是BC边上的中线，∴DB=DC, .'.AF=DC. 3正方形的性质与判定(3)（课程标准变动内容） (2)当AC=AB时，四边形ADCF是矩形.证明：AF=DC, 解：(1)OE=OF AF∥BC,∴.四边形ADCF是平行四边形.：AC=AB,AD是 (2)OE=OF.理由： BC边上的中线，∴.AD⊥BC,∴.∠ADC=90°，.平行四边形 正方形ABCD的对角线AC,BD相交于点O, ADCF是矩形. AM⊥DE, 2矩形的性质与判定(5) ∴.∠AOD=∠DOE=∠AME=90°，OA=OD, 解：(I)证明：：四边形ABCD是平行四边形， .∠MEA+∠MAE=90°=∠AFO+∠MAE, ..OB=OD,OA=OC. .∠AFO=∠MEA. .AF=CE 在△AOF和△DOE中， ∴.AF-AO=CE-CO,即OE=OF, |∠AFO=∠DEO, .四边形EBFD为平行四边形. ∠AOF=∠DOE=90°， .EF=2BO,..EF=BD, AO-DO, .平行四边形EBFD为矩形. ∴.△AOF≌△DOE(AAS),∴.OE=OF (2)对角线相等的平行四边形是矩形真 3 正方形的性质与判定(4)（课程标准变动内容） 2矩形的性质与判定(6) 解：(1)证明：DE⊥BC,∴，∠DFB=90° 解：(1)证明：：四边形ABCD是平行四边形，.AD∥BC, ∠ACB=90°，∠ACB=∠DFB, AD=BC.,DA=AE,∴.AE=BC,AE∥BC, ∴ACDE.MN∥AB,即CE∥AD, ∴.四边形AEBC是平行四边形.AC LAD,.∠DAC=90°， ∴.四边形ADEC是平行四边形，.CE=AD. .∠CAE=90°，.四边形AEBC是矩形. (2)四边形BECD是菱形.理由： (2).EG⊥AB,.∠AFG=90°. :点D为AB的中点，AD=BD.CE=AD, :∠CAB=30°，∴∠AGF=60°，∠EAF=60°.：四边形AEBC ∴.BD=CE.:BD∥CE,∴.四边形BECD是平行四边形 是矩形，.OA=OC=OB=OE,∴∠ACE=∠CAB=30°， :∠ACB=90°，点D为AB的中点， △AOE是等边三角形， .CD=BD,.□BECD是菱形 ∴.AE=EO,.AF=OF,∴.AG=OG, (3)45° .∠GOF=∠GAF=30°，∴.∠CGO=60°， .∠COG=90°，.CG=2OG. 3正方形的性质与判定(5)（课程标准变动内容） :0C=0A=2AB=3, 解：(1)证明：四边形ABCD是矩形， .AD∥BC,∠B=∠BAF=90°， .OG2+32=(2OG)2,解得OG=√3（负值舍去），.△OGC的 ∴.∠DAE=∠AEB. AE平分∠BAD,∠BAE=∠DAE, 面积=号×3X8-3 .∠BAE=∠AEB,∴.BA=BE. 21 EF⊥BC, 3正方形的性质与判定(1)（课程标准变动内容） ∴.∠BEF=∠B=∠BAF=90°， 解：：四边形ABCD是正方形， ∴.四边形ABEF是矩形 ..AB=BC=CD=DA, 又BA=BE,.矩形ABEF是正方形 ∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠DAB=90°. (2)如图所示，连接DE 又△ABE是等边三角形，∴AB=AE=BE, ∠EAB=∠ABE=∠AEB=60. D ,∴.∠DAE=∠DAB-∠EAB=90°-60°=30°，AE=AD, ∠ADE=∠AED专X180-30=7 .∠BEG=180°-∠AED-∠AEB=180°-75°-60°=45°. 3正方形的性质与判定(2)（课程标准变动内容） 证明：如图所示，连接GC.:四边形ABCD是正方形，∴AB= ,AB=6,四边形ABEF是正方形 BC,AD=DC,∠DAB=∠DCB=90°， ∴.BE=AB=6,由勾股定理，得AE=6√2. 33 AD=8,DH⊥AE..∠AHD=90° 2用配方法求解一元二次方程(1) .∠HAD=45°，.∠ADH=45°， 解：(1)2(x-1)2=338, ∴.AH=DH,由勾股定理，得DH=AH=4√2， ∴(x-1)2=169,.x-1=±13， ∴.HE=AE-AH=62-42=22, .x1=14,x2=-12. Same=Sam+Sa=号×2EX4E+号X6X (2): 20y+2)2-6=0,∴(y+2)2=12, (8-6)=14. .y+2=25或y+2=-2√5， 3正方形的性质与判定(6)（课程标准变动内容） ∴y1=-2+23,y2=-2-2W3. 解：(1)四边形EFGH的形状是平行四边形. (3)4(x-2)2-49=0,(x-2)=49 理由：如图①所示，连接BD. E,H分别是AB,AD的中点， x-2-±名， EH//BDEH-BD. =- 同理FG/BD,FG=号BD, (4)方程两边直接开方，得3x一1=x十1或3x一1=一(x十1) .2x=2或4x=0, .EH∥FG,EH=FG, 解得x1=1,x2=0. .四边形EFGH是平行四边形 2用配方法求解一元二次方程(2)》 解：(1)x2一4x一2=0， .x2-4x+4=6,∴.(x-2)2=6, ∴.x-2=士√6，.x1=2+√6，x2=2一√6」 (2).x2+6x-3=0,.x2十6x=3, ∴.(x十3)2=12，x十3=±2V3, (2)AC⊥BD .x1=-3+2√5，x2=-3-25. 证明：如图②所示，连接AC,BD. (3):x2-x=3x-1,.x2-4x+1=0, :E,F,G,H分别为四边形ABCD四条边上的中点， .x2-4x十4=3，..(x一2)2=3， ∴.EH∥BD,HG∥AC. .x-2=土√3，∴x1=2十√3，x2=2-3. AC⊥BD, (4)∵x2+2=2√2x, .EH⊥HG. .x2-2√2x十2=0， 又：四边形EFGH是平行四边形， .平行四边形EFGH是矩形 ∴.(x-√2)2=0，∴x1=x2=2. 2用配方法求解一元二次方程(3) 解：0)：4x2+8x+3=02+2z=- (x十1)2=1 1=+分 x1=一 3 1 ② 第二章一元二次方程 -+2+1=0-号=(-）厂=号 1认识一元二次方程 1 2 1.解：(1)化简，得(a-1)x2+3ax-8a+16=0. x一3 =士 3 由方程(a一x)2=a(x2十x十a)一8a十16是关于x的一元 1 二次方程，得 x1=1x=-3 a一1≠0，解得a≠1， (3)原方程变形为x2-12x一14=0，x2-12x+36=14+36, ∴当a≠1时，方程(a-x)2=a(x2+x十a)-8a十16是关于 .(x-6)2=50,.x-6=土5W2, x的一元二次方程. .x1=6+5√2，x2=6-5V2. (2)由一次项系数为零，得a=0. 则原方程是-x2+16=0,即x2=16. (4)原方程化为一般形式为2x2-9x-34=0,x2-9 2x=17, .x1=一4，x2=4. x2、 2.解：：一元二次方程(a-1)x2-2x十a2-1=0有一个根为 +8=17+(-)--±愿 4 x=0, x1=9+3,=9-V353 ,x2= ∴.a2-1=0, 4 ∴.a=1或a=-1. 2用配方法求解一元二次方程(4) 方程(a-1)x2-2x十a2-1=0是一元二次方程， 解：任务一：①转化思想完全平方公式 ∴.a-1≠0，即a≠1，.a=-1. ②等式的基本性质 34