第一章 特殊平行四边形 本章综合提升-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(北师大版2012)

本章综合提升（答案P5) 本章知识归纳 定义一有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形 性质，菱形的四条边 菱形 菱形的对角线互相 判定一对角线互相 的平行四边形是菱形；四边 的四边形是菱形 面积一两条对角线长乘积的 “定义一有一个角是 的平行四边形叫做矩形 性质厂矩形的四个角都是 矩形 具矩形的对角线 直角三角形斜边上的中线等于斜边的 特殊 判定一对角线 的平行四边形是矩形：有三个角是 的四边形的矩形 行四边形 定义一有一组邻边 并且有一个角是 的平行四边形叫做正方形 正方形的四个角都是 四条边 性质 (正方形的对角线 且互相 正方形 有一组邻边 的矩形是正方形 对角线互相 的矩形是正方形 判定 有一个角是 的菱形是正方形 对角线 的菱形是正方形 一个角 是直角 矩形 一组邻 边相等 平行四边形、菱形、矩形、 正方形之间的关系 平行四边形 正方形 菱形 个角 是直角 息想方法小纳 AD,BC于点E,F,连接BE,DF, ●>>>>>>>>>>>>>>>> (1)求证：△DOE≌△BOF. 1.转化思想 (2)若AB=4,AD=8,求四边形EBFD的 通过对条件的转化，结论的转化，使问题化 周长 难为易，化生为熟，化未知为已知，最终解决问 题，这个过程体现了转化的思想方法. ☑ 台子链接本章 在求特殊平行四边形边长的问题时往 往会把四边形转化为直角三角形的问题予 以解决，使复杂的问题简单化。 【例1】如图所示，在矩形ABCD中，过对 角线BD的中点O作BD的垂线EF,分别交 -九年级·上册·数学，BS 22 【变式训练1】如图所示，在四边形ABCD 动，点F同时以每秒1个单位长度的速度从点C 中，AB∥DC,AB=CD,对角线AC,BD交于点 出发沿CA方向运动.若AC=12,BD=8,则经 O,过点C作CE⊥AB交AB延长线于点E,且 过多少秒后，四边形BEDF是矩形？ ∠ABO=∠ACE,连接OE (1)求证：四边形ABCD是菱形. (2)若CE=33,∠ADC=120°，求菱形 ABCD的面积. 【变式训练2】如图所示，在矩形ABCD中， AB=16厘米，BC=24厘米，点P在线段BC上 以4厘米/秒的速度向C点运动，同时，点Q在 线段CD上向D点运动，当点Q的运动速度为多 少厘米/秒时，能够在某时刻使△ABP与△PCQ 2.分类讨论思想 全等 分类讨论思想在研究与解决数学问题时，如 果问题不能以同一种方法处理或同一种形式表 述、概括，可根据数学对象的本质属性的相同和 不同点，按照一定的原则或某一确定的标准，在 比较的基础上，将数学对象划分为若干既有联系 又有区别的部分，然后进行讨论，再把这几类结 论汇总，从而得出问题的答案， 百链授本章 在利用动点问题判定特殊四边形的形 状或利用特殊四边形的性质时，如果不能确 定动点的位置时往往需要进行分类讨论， 【例2】如图所示，在平行四边形ABCD 中，对角线AC,BD相交于点O,动点E以每秒 1个单位长度的速度从点A出发沿AC方向运 优计学案·课时通一 3.数形结合思想 链接亦章一 数形结合通过“以形助数”或“以数解形”即 本章用到的方程思想解决的问题一般 通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问 是求特殊平行四边形中的线段长. 题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题 【例4】如图所示，在矩形ABCD中， 途径的目的 AB=8,AD=6,点O是对角线BD的中点，过点 白子链接亦章 《 O的直线分别交AB,CD边于点E,F,连 在本章利用几何图形拼图的方式，运用 接DE,BF, 面积的方法来验证乘法公式的过程中，体现 (I)求证：四边形DEBF是平行四边形 了数形结合思想， (2)当DE=DF时，求EF的长. 【例3】如图所示，在平面直角坐标系 xOy中，点A,C,F在坐标轴上，E是OA的中 点，四边形AOCB是矩形，四边形BDEF是正方 形.若点C的坐标为(3,0)，则点D的坐标 为() A.(1,2.5) B.(1,1+√3) C.(1,3) D.(1,23) 【变式训练3】如图所示，菱形ABDC的顶点 A(-1,0),B(3,0)在x轴上，点C在y轴正半轴 上，那么菱形ABDC的面积是( 【变式训练4】如图所示，正方形ABCD的边 长为6，点E,F分别在AB,AD上.若CE= 3√5，且∠ECF=45°.求CF的长. B 12345x A.16 B.4√/15 C.12 D.2/15 4.方程思想 方程的思想是对问题用方程解决的应用，也 是对方程概念本质的认识.它通过对数学问题中 变量间等量关系的分析，构建方程或方程组，或 利用方程的性质去分析、转换、解决问题. 一九年级·上册·数学，BS 24 通模拟 5.(2023·临沂河东一模)如图所示，在△ABC 中，BC=18.若BD⊥AC于点D,CE⊥AB于 1.(2023·南阳唐河模拟)如图所示，在菱形 点E,F,G分别为BC,DE的中点.若ED= ABCD中，过点C作CE⊥BC交BD于点E. 10,则FG的长为( ) 若∠BAD=118°，则∠CEB=() A.2/14 B.9 C.10 D.无法确定 A.59° B.62° C.69° D.72° 2.(2023·惠州惠城一模)如图所示，在矩形 ABCD中，AC,BD交于点O,M,N分别为 第5题图 第6题图 BC,OC的中点.若∠ACB=30°，AB=8,则 6.(2023·常德模拟)如图所示，在□ABCD中， M,N是BD上的两点，BM=DN.连接AM, MN的长为( MC,CN,NA.请你添加一个条件 ； 使得四边形AMCN是矩形. 7.(2023·东莞一模)如图所示，在正方形ABCD A.2 B.4 C.8 D.12 的外侧作等边△ADE,则∠ABE的度数 3.(2023·安徽二模)如图所示，在∠AOB中，以 为 点O为圆心，任意长为半径作弧，交射线OA 于点C,交射线OB于点D,再分别以点C,D 为圆心，OC的长为半径，两弧在∠AOB的内 部交于点E,作射线OE.若OC=10,OE=16, 8.(2023·盐城期末)如图所示，过四边形ABCD 则C,D两点之间距离为() 的四个顶点分别作对角线AC,BD的平行线， AD B 如所围成的四边形EFGH是矩形，则原四边 形ABCD需满足的条件是 .(只需写 出一个符合要求的条件) A.10 B.12 C.13 D.6 4.(2023·深圳福田区期中)如图所示，点E在正 方形ABCD内，满足∠AEB=90°，AE=5, 9.(2023·商丘梁园期末)如图所示，在矩形ABCD BE=12,则阴影部分的面积是() 中，AB=2,AD=1,E为AB的中点，F为EC 上一动点，P为DF的中点，连接PB,则PB 的最小值是 A.119 B.129 C.139 D.149 25 优计学案·课时通 10.(2023·广元旺苍模拟)如图所示，在△ABC 通中考》%29沙2 中，∠BCA=90°，CD是边AB上的中线，分 别过点C,D作BA和BC的平行线，两线交 12.(2023·上海中考)在四边形ABCD中，AD∥ 于点E,且DE交AC于点O,连接AE BC,AB=CD.下列说法能使四边形ABCD (1)求证：四边形ADCE是菱形， 为矩形的是( (2)若∠B=60°，BC=6,求四边形ADCE的 A.AB∥CD B.AD=BC 面积. C.∠A=∠B D.∠A=∠D 13.（2023·湘西州中考)如图所示，在矩形 ABCD中，点E在边BC上，点F是AE的 中点，AB=8,AD=DE=10,则BF的 长为 14.(2023·广西中考)如图所示，在边长为2的 正方形ABCD中，E,F分别是BC,CD上的 动点，M,N分别是EF,AF的中点，则MN 的最大值为 11.(青岛崂山区一模)如图所示，正方形ABCD, 点P在边BC的延长线上，连接AP交BD 于点F,过点C作CG∥AP交BD于点G,连 接AG,CF. 15.(2023·新疆中考)如图所示，AD和BC相交 (1)求证：△ADF2△CBG 于点O,∠ABO=∠DCO=90°，OB=OC,点 (2)判断四边形AGCF是什么特殊四边形？ E,F分别是AO,DO的中点. 请说明理由. (1)求证：OE=OF. (2)当∠A=30°时，求证：四边形BECF是 矩形. -九年级：上册数学，BS 26直角的直角三角形的条件时，四边形AECF是正方形. ∴.∠EBD+∠DBF=∠FBC+∠DBF, 理由：由(3)知，当点O运动到AC的中点时，四边形 .∠EBF=∠DBC=60° AECF是矩形，已知MN∥BC,当∠ACB=90°时，则 又BE=BF, ∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，.AC⊥EF,. ∴.△BEF是等边三角形， 矩形AECF是正方形. ∴，EF=BE=BF.当BE⊥AD,即E为AD的中点时，BE有 专题一特殊平行四边形中的折叠问题 1.D2.B3.54.√5+15.2或25-2 最小值V个一-7-25，此时△55F的面积为×(2,5)- 6解：，将菱形折叠，使点A恰好落在对角线BD上的点G处， 35. ..EG=AE, .△BEG的周长为EG+BE+BG=AB+BG. 4B5(3,) ,四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， 6.解：如图所示，取AB的中点E,连接OE,DE,OD.OD≤ ∴.AB=AD,∠DAB=60°， OE十DE,∴当O,D,E三点共线时，点D到点O的距离最 ∴.△ABD是等边三角形，AB=BD=2十6=8， 大，此时OD=OE+DE. .△BEG的周长为8+6=14. .AB=2,BC=1, 7.B8.B9.3 40 ∴OE=AE=2AB=1, 10.证明：(1)由折叠的性质，得CD=ED,BE=BC. DE=√AD+AE=√12+1严=√2， ,四边形ABCD是矩形， ∴.OD的最大值为w2十1. ∴.AD=BC,AB=CD,∠BAD=90°， M ..AB=DE,BE=AD. 又BD=BD, ∴.△ABD≌△EDB(SSS), ∴.∠EBD=∠ADB,∴.BF=DF. (2).AD=BE,DE=AB,AE=AE, ∴.△AED≌△EAB(SSS), 7.B8.D9.C10.3√5-3 ∴∠AEB=∠EAD=号1S0-∠AFE). 11.解：(1)结论：AM⊥BN 证明：四边形ABCD是正方形， 由1)知，∠EBD=∠ADB=2(180-∠BFD. ∴.AB=BC,∠ABM=∠BCN=90°. .BM=CN, N∠AFE=∠BFD, ∴.△ABM≌△BCN(SAS), ∴.∠AEB=∠EBD,.AE∥BD ∴.∠BAM=∠CBN. 11.B12.60120 ∠CBN+∠ABN=90°， 13.解：(1)由折叠知BE=EM,∠B=∠EMP=90°.△AEM的 .∠ABN+∠BAM=90°， 周长=AE+EM+AM=AE+EB+AM=AB+AM. ∴.∠APB=90°，∴.AM⊥BN. :AB=AD=4,M是AD的中点， (2)如图所示，以AB为斜边向外作 .△AEM的周长为4+2=6(cm). 等腰直角三角形AEB,∠AEB= (2)EP-AE+DP. 90°，作EF⊥PA于点F,作EG⊥ E 理由如下：如图所示，取EP的中点 M PB交PB的延长线于点G,连 G,连接MG,则在梯形AEPD中，MG 接EP. 为中位线， G :∠EFP=∠FPG=∠G=90°， MG=2(AE+PD).在R△EMP .四边形EFPG是矩形， ∴.∠FEG=∠AEB=90°， 中，MG为斜边EP的中线，∴.MG= B ∴.∠AEF=∠BEG. 1 P,EP-AE+DP. 又：∠EFA=∠G=90°，EA=EB, '.△AEF≌△BEG(AAS), 专题二特殊平行四边形中的最值问题 ∴.EF=EG,AF=BG, 1.A2.5 .矩形EFPG是正方形，.PA+PB=PF十AF+PG一BG 3.解：(1)证明：，四边形ABCD是边长为4的菱形，BD=4, =2PF=2EF」 ∴.△ABD,△CBD都是边长为4的等边三角形. EF≤AE,∴.EF的最大值为AE=2√2， .AE+CF=4,..CF=4一AE=AD-AE=DE」 ∴.△APB周长的最大值为4十4√2， 在△BDE和△BCF中， 本章综合提升 (DE=CF, ∠BDE=∠C=60°， 【本章知识归纳】 BD=BC=4, 相等垂直垂直相等一半直角 ∴.△BDE≌△BCF(SAS),'.BE=BF 直角相等一半相等直角相等 (2)·△BDE≌△BCF,∠EBD=∠FBC, 直角直角相等相等垂直平分 相等垂直直角相等 【思想方法归纳】 的性质，得到AO=BC,DE=EF=BF,∠AOC=∠DEF 【例1】思路分析：(1)由矩形的性质得AD∥BC,则∠OED= ∠BFE=∠BCF=90°.根据全等三角形的性质即可得到结论. ∠OFB,而∠DOE=∠BOF,OD=OB,即可根据全等三角形的 C 判定定理“AAS”证明△DOE≌△BOF. 【变式训练3】D (2)由△DOE≌△BOF,得DE=BF,则四边形BFDE是平行 【例4】思路分析：(1)根据矩形的性质得到AB∥CD,由平行线 四边形.因为EF⊥BD,所以平行四边形BFDE是菱形，然后把 的性质得到∠DFO=∠BEO,根据全等三角形的性质得到 菱形BFDE问题转化为直角三角形的问题予以解决.由勾股定 DF=BE,于是得到四边形BEDF是平行四边形， 理，得42十(8一BE)2=BE2,求得BE=5,则四边形BFDE的 (2)推出四边形BEDF是菱形，得到DE=BE,EF⊥BD,OE= 周长为20. OF.设AE=x,则DE=BE=8-x,根据勾股定理即可得到 解：(I)证明：，四边形ABCD是矩形， 结论」 .AD∥BC,∴.∠OED=∠OFB. 解：(1)证明：.四边形ABCD是矩形，.ABCD,OD=OB, :O是BD的中点，OD=OB. .∠DFO=∠BEO.又'∠DOF=∠BOE, 在△DOE和△BOF中，∠OED=∠OFB,∠DOE=∠BOF, ∴.△DOF≌△BOE(AAS),∴.DF=BE.又，DF∥BE,∴.四边 OD=OB,.△DOE≌△BOF(AAS). 形DEBF是平行四边形. (2):AD∥BC,点E,点F分别在AD,BC上，DE∥BF.(2),DE=DF,四边形DEBF是平行四边形，∴平行四边形 △DOE≌△BOF,DE=BF,.四边形BFDE是平行四边DEBF是菱形，∴.DE=BE,EF⊥BD,OE=OF. 形.EF⊥BD,∴.平行四边形BFDE是菱形，.BE=DE= 设AE=x,则DE=BE=8一x.在Rt△ADE中，根据勾股定 BF=DF.∠A=90°，AB=4,AD=8,∴.AB2+AE2=BE2, AE=8-DE=8-BE,∴.4+(8-BE)2=BE2,解得BE=5, 理，有AE+AD2=DE2,∴x2+62=(8-x)2,解得x=名， .BE+DE+BF+DF=4BE=4X5=20,.四边形BFDE的 ·DE=8-7=25 周长为20. 一4=.在R△ABD中，根据勾股定理，有AB?十 【变式训练1】 AD-BD,BD10,.OD BD5. 解：(1)证明：.CE⊥AB,∴.∠CEA=90°， .∠CAE+∠ACE=90°.∠ABO=∠ACE, Rt△DOE中，根据勾股定理，有DE2一OD2=OE2,.OE= ∠ABO+∠BAO=90°，∠AOB=90°，∴.AO⊥OB.AB∥ -子-5F=20E-号 /25) 15 4 CD,AB=CD,.四边形ABCD是平行四边形.又AC⊥BD, 【变式训练4】 .平行四边形ABCD是菱形. 解：如图所示，延长FD到点G,使DG=BE.连接CG,EF (2)四边形ABCD是菱形，∠ADC=120°， ∴.OA=OC,OB=OD,∠DAB=60°，∠CAB=30 四边形ABCD为正方形，在△BCE与△DCG中，CB=CD, ∠CBE=∠CDG,BE=DG,.△BCE≌△DCG(SAS), 在Rt△ACE中，AC=2CE=6√3，AB=2OB, .CG=CE,∠DCG=∠BCE.,∠ECF=45°，∠BCD=90°， .A0=C0=33. .∠BCE+∠DCF=45°，.∠DCG+∠DCF=45°， 在Rt△ABO中，AB2=OB2+OA2,∴.4OB2一OB2=(3√3)2， ∴.∠GCF=45°.在△GCF与△ECF中，GC=EC,∠GCF= 解得OB=3(负值舍去)，∴BD=6, ∠ECF,CF=CF,.△GCF≌△ECF(SAS),.GF=EF」 Sn=7×6X65=18w5. .CE=3√5，CB=6, 【例2】思路分析：设运动的时间为t秒，则AE=CF=t.由平行 .BE=√CE2-CBz=√(3√5)2-62=3， 四边形的性质得OE=OF=6-t或OE=OF=t一6.再根据 .AE=3. OE=OD列方程6-t=4或t一6=4，求出t的值即可. 设AF=x,则DF=6一x,GF=3十(6-x)= 解：设运动的时间为t秒，：四边形ABCD是平行四边形， 9一x, AC=12.BD=8.0A=OC-7AC=6.0B=OD-2BD= 又EF=√AE2+x2=√9十x, .(9-x)2=9十x2, 4..AE=CF=t,.OE=OF=6-t或OE=OF=t-6,∴.四 x=4,即AF=4, 边形BEDF是平行四边形.：当EF=BD时，平行四边形 ∴.GF=5,DF=2, BEDF是矩形，∴.OE=OD,.6-t=4或t-6=4,.t=2或 .CF=√/CD2+DF=√62+2=2√/10. t=10,经过2秒或10秒，四边形BEDF是矩形. 【通模拟】 【变式训练2】 1.A2.B3.B4.C5.A 解：设点Q的速度为xcm/s分两种情形讨论： ①当AB=PC,BP=CQ时，△ABP与△PCQ全等，即16= 24一4t,解得t=2,∴.2x=2×4,∴.x=4; 6.OM=2AC(答案不唯-） ②当BP=PC,AB=CQ时，△ABP与△PCQ全等，即4t= 7.15°8.AC⊥BD9.√2 16 10.解：(1)证明：，DE∥BC,EC∥AB,∴.四边形DBCE是平行 2×24=12,t=8,…3x=16,x=3 四边形，.EC∥DB,且EC=DB.在Rt△ABC中，CD为 综上所述，满足条件的点Q的滤度为4cm/:或普cm/s AB边上的中线，.AD=DB=CD,.EC=AD,.四边形 ADCE是平行四边形..AD=CD,.平行四边形ADCE是 【例3】思路分析：过点D作DH⊥y轴于点H,根据矩形和正方形 菱形. 6 (2)在Rt△ABC中，CD为AB边上的中线，∠B=60°， (2):(m-3)xm2-7+(m-2)x十5=0是一元一次方程， BC=6,∴，△BCD为等边三角形，∴.AD=DB=CD=6, ∴.①当m2-7=1时，m=士2√2，此时 ∴.AB=12,由勾股定理得AC=6√3， m一3≠0，m一2≠0，m-3十m-2≠0，符合题意 四边形DBCE是平行四边形，.DE=BC=6. ②当m一3=0且m一2≠0时，解得m=3. ∴.S菱形ADCE AC·ED_63×6-=185. 故当m为3或士2√2时，方程是一元一次方程. 2 2 11.解：(1)证明：四边形ABCD是正方形， 11.证明：a2-8a十20=(a-4)2+4≥4，.无论a取何值， ∴.AD=BC,∠DBC=∠ADB=45°. a2一8a十20≥4，即无论a取何值，原方程的二次项系数都 .'CG∥AP,.∠BGC=∠BFP. 不会等于0，.关于x的方程(a2-8a十20)x2+2ax+1= .'∠BFP=∠AFD,∴.∠AFD=∠BGC 0,无论a取何值，该方程都是一元二次方程. I∠AFD=∠BGC, 第2课时一元二次方程的解的估算 在△ADF和△CBG中，{ ∠ADB=∠CBD, 1.D2.5 AD=BC, 3.解：当x=0时，a2-1=0,解得a1=-1,a2=1. ∴.△ADF≌△CBG(AAS). 又：原方程为一元二次方程，∴.a≠1，.a=一1. (2)四边形AGCF是菱形.理由如下： 4.C5.x=46.A7.B8.x=-3 连接AC,设AC与BD交于点O,如图所示， 9.解：根据题意知a2=3a十4，∴a2-3a=4,则 D (a+4)(a-4)-3(a-1)=a2-16-3a+3=a2-3a-13 4-13=-9. 10.(1)31121.61.7 (2)1.7 2用配方法求解一元二次方程 ,四边形ABCD是正方形， 第1课时用配方法求解简单的一元二次方程 ,OA=OC,OB=OD,AC⊥BD. 由(1)知△ADF≌△CBG, 1.B2.A3.-√34.4或-2 .DF=BG,..OB-BG=OD-FD 5.解：(1)两边开平方，得x-1=6或x-1=-6, ..OG=OF..OG=OF,OA=OC, 解得x1=7,x2=一5. .四边形AGCF为平行四边形. (2)两边同除以2，得(x一1)2=8. :AC⊥FG,,平行四边形AGCF是菱形. 两边开平方，得x一1=士2√2， 【通中考】 .x1=1+22,x2=1-22. 12.C13.2514.√2 (3)移项，得(2y一3)2=64. 15.证明：(1)∠ABO=∠DCO=90°，AB/CD,∠A=∠D. 两边开平方，得2y一3=±8， 在△AOB与△DOC中， 即2y一3=8或2y-3=-8, ∠A=∠D, ∠ABO=∠DCO, y1=5.5,y2=-2.5. OB=CO, 6.C7.D8.(x-4)2=99.13 ∴.△AOB≌△DOC(AAS), 10.解：(1)移项，得x2-6x=15, ∴.AO=D0. 配方，得x2-6x十9=15+9，(x-3)2=24, 点E,F分别是AO,DO的中点， 开方，得x-3=±26， ∴0E=0A,0F=0D∴0E=0F. ∴.x1=3+2V6,x2=3-2W6. (2)移项，得x2+2x=3, (2)OB=OC,OE=OF,.四边形BECF是平行四边形 配方，得x2+2x十1=3十1，(x十1)2=4， “∠A=30,∴0B=20A=0E.:0E=0F,0B=0C, 开方，得x+1=士2， ,BC=EF,.平行四边形BECF是矩形 x1=1,x2=-3. 第二章一元二次方程 11.±612.D13.C 14.1或-315.2 1认识一元二次方程 16.解：(1)整理，得(y十2)2=12， 第1课时一元二次方程 两边开平方，得y+2=士2√3 1.D2.B3.B4.65.A 6.1000(1+x)2=1440 y1=25-2,y2=-2W3-2. 7.C8.B （8移项，得x-号1 9.(11-2x)(7-2x)=21 10.解：(1)：(m-3)xm2-7+(m-2)x十5=0是一元二次方 配方，得-号+（侣》=1+（层）月 程，m2-7=2且m-3≠0，解得m=一3. 故当m为一3时，方程是一元二次方程. 即(》广-9