第二十四章 专题六 求圆中的最值问题-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012)

专题六求圆中的最值问题（答案31） 类型1)利用垂线段最短求最值 D,P是BD上一动点，连接PE,PC,则 1.如图所示，在平面直角坐标系中，点A的坐标 PE+PC的最小值为 为（一3,4），⊙A的半径为2，P为x轴上一动 点，PB切⊙A于点B,则PB的最小值 为() 5.如图所示，⊙O的半径为2，点A,B,C在⊙O 上，OA⊥OB,∠AOC=60°，P是OB上一动 点，求PA十PC的最小值. A.2 B.3 C.2√3 D.4 类型2)利用经过⊙0内一定点P的所有弦 中，与OP垂直的弦最短来求最值 2.在半径为5cm的⊙O中，点P是⊙O内一 点，且OP=3cm,则过点P的最短弦长 是() A.4 cm B.3 cm C.6 cm D.8 cm 类型3)通过过圆心作圆外直线的垂线求最值 3.探究拓展如图所示，在平面直角坐标系中，直 类型5》利用弧的中点到弦的距离最大求最值 线y=一x一2与x轴、y轴分别交于A,B两 6.如图所示，已知⊙O的半径为2，弦BC的长 点，C,D是半径为1的⊙O上两动点，且CD= 为23，点A为弦BC所对优弧上任意一点 √2，P为弦CD的中点.当C,D两点在圆上运动 (B,C两点除外) 时，△PAB面积的最大值是 (1)求圆心O到弦BC的距离 (2)求△ABC面积的最大值. 类型4)利用对称求最值 4.(内江中考)如图所示，在△ABC中，∠ABC= 60°，BC=8,E是BC边上一点，且BE=2,点 I是△ABC的内心，BI的延长线交AC于点 112 优+学案·课时通△ 阶段检测六(24.2)（答案P31) 一、选择题 6.如图所示，在平面直角坐标系中，⊙O的半径 1.如果⊙A的半径为5，圆心A的坐标是(1,2)， 为1，则直线y=x一√2与⊙O的位置关系 点P的坐标是(5,2)，那么点P的位 是( ) 置() A.相离 A.在⊙A内 B.在⊙A上 B.相切 C.在⊙A外 D.不能确定 C.相交 2.如图所示，以点O为圆心作圆，所得的圆与直 D.以上三种情况都有可能 线a相切的是( A.以OA为半径的圆 B.以OB为半径的圆 C.以OC为半径的圆 D D.以OD为半径的圆 第6题图 第7题图 3.(石家庄桥西区期末)如图所示，点A,B,C均 7.（广州中考)如图所示，△ABC的内切圆⊙1 在直线1上，点P在直线1外，则经过其中任 与BC,CA,AB分别相切于点D,E,F,若⊙I 意三个点，最多可画出圆的个数为() 的半径为r,∠A=a,则(BF+CE-BC)的值 P。 和∠FDE的大小分别为( ) A.2r,90°-a B.0,90°-a A B C I A.1 B.2 C.3 D.4 C2x,90°-2 D.0,90°- 2 4.如图所示，在△ABC中，点P是△ABC的内 8.如图所示，⊙O的半径为2，点O到直线1的 心，则∠PBC十∠PCA+∠PAB的度数 距离为3，点P是直线1上的一个动点，PQ 为() 切⊙O于点Q,则PQ的最小值为() A.60°B.90° C.120° D.150° A.13 B.√5 C.3 D.2 第4题图 第5题图 第8题图 第10题图 5.(杭州拱墅区二模)如图所示，点B在⊙A上， 二、填空题 点C在⊙A外，以下条件不能判定BC是 9.一个点到圆的最小距离为3cm,最大距离为 ⊙A切线的是( 6cm,该圆的直径是 A.∠A=50°，∠C=40° 10.如图所示，在△ABC中，AC=2,BC=4,点 B.∠B-∠C=∠A O在BC上，以OB为半径的圆与AC相切 C.AB2+BC2=AC2 于点A,D是BC边上的动点，当△ACD为 D.⊙A与AC的交点是AC中点 直角三角形时，AD的长为 △九年级·上册·数学.RJi 113∴.∠A+∠B=90° :∠ADC=∠B, .Op= 2 .∠ODA+∠ADC=90°， 即∠CDO=90°，∴.CD⊥OD PQ=0P-+0Q=3 2, .OD是⊙O的半径， ∴.直线CD与⊙O相切， SAABP= 2AB·PQ=3. 2.证明：连接OF,CF,如图所示. 4.2√/13 ,AC是⊙O的直径， 5.解：如图所示，作点A关于OB的 .∠AFC=90°，.∠BFC=90° 对称点A',连接A'C,交OB于点 又，E是BC的中点， P,PA+PC的最小值即为A'C .'.EF=EC, 的长. ∴.∠EFC=∠ECF. ∠AOC=60°， .OC=OF, .∠A'0C=120°. ∴.∠OFC=∠FCO. 作OD⊥A'C于点D,如图所示， ,∠ACB=∠FCO+∠ECF=90°， 0 则∠A'OD=60 ∴.∠EFC+∠OFC=90°，即∠EFO=90°， OA'=OA=2,A'D=3, .OF⊥EF,∴.直线EF是半圆O的切线. .A'C=2√5. 3.证明：如图所示，连接OE,过点 故PA十PC的最小值为2√3. O作OF⊥CD. 6.解：(1)如图所示，作OH⊥BC于点H,交⊙O于点 ,BC切⊙O于点E, 0 D,连接OB,则点D为优弧BC的中点. .OE⊥BC,OE=OA 又，AC为正方形ABCD的对 ,⊙O的半径为2，弦BC的长 角线， 为2√5， ∴.∠ACB=∠ACD, .OB=2,BH=√3， ..OF=OE=0A, .0H=√22-(3)2=1， ∴.CD是⊙O的切线. ∴圆心O到弦BC的距离为1. 4.解：(1)证明：如图所示，过点D作 DF⊥AC于点F, (2)由(1)知，D为BAC的中点， ∠B=90°，∴.AB⊥BC OD=2, :AD平分∠BAC,DF⊥AC, 当点A与点D重合时，点A到BC的距离最大，此 ..BD=DF, 时△ABC的面积最大， ∴.AC经过⊙D的半径DF的外 .DH=OD+OH=2+1=3, 端点且垂直于DF, △ABC面积的最大值为2×25×3=3V5. AC是⊙D的切线. (2)在Rt△BDE和Rt△FDC中， 阶段检测六（24.2) (DE=DC, 1.A2.D3.C4.B5.D6.B7.D8.B DB=DF, ∴.Rt△BDE≌Rt△FDC(HL),∴.EB=CF. 99cm或3cm10.名或g 3 11.4W312.35° .AB=AF,..AB+EB=AF+CF, 13.2√5或2√214.6-3√3 即AB+EB=AC,∴.AC=10+6=16. 15.解：如图所示，过点P作PC⊥ 专题六求圆中的最值问题 OB,垂足为点C, 1.C2.D 则∠OCP=90° 3.3解析：如图所示，作OQ⊥AB于点Q,连接OP, ∠AOB=30°，OP=24cm, OD,OC. PC-OP-12 cm. .CD=√2，OC=OD=1, (1)当r=12cm时，r=PC,∴.⊙P与OB相切. ..OC2+OD2=CD2, (2),当⊙P与OB相离时，r<PC, ∴△OCD为等腰直角三角形. .r需满足的条件是0cm<r<12cm. 由y=-x-2,得点A(-2,0),B(0,-2), 16.解：(1).OA=OC,.∠CAD=∠AC0, .'.OA=OB=2, .∴.∠COD=∠CAD+∠ACO=2∠CAD. △OAB为等腰直角三角形， ∠D=2∠CAD,∴∠D=∠COD. ∴AB=2√2，OQ=√2， ,PD切⊙O于点C,∴.∠OCD=90°， 由题意，得当P,O,Q共线时，S△ABP最大， ∴.∠D=∠COD=45°. P为弦CD的中点， (2),∠D=∠COD,CD=2, 31