22.1.3 第1课时 二次函数y=ax2＋k的图象和性质-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012)

的增大而增大；当x>0时，y随x的增大而减小. x2+1 6.解：解法1：由二次函数y=ax2的性质知， (1)抛物线y=ax2的开口大小由|a决定. 2 |a越大，抛物线的开口越窄； 5-4-3-2-012345元 |a越小，抛物线的开口越宽. (2)抛物线y=ax2的开口方向由a决定. 当a>0时，开口向上，抛物线（除顶点外）都在x轴 -4 =-32-1 5 上方； 当a<0时，开口向下，抛物线（除顶点外）都在x轴 1y=名女+1与y=子-1图象的相同点：形 下方. 状都是抛物线，对称轴都是y轴， 根据以上结论知：a>b>0,0>c>d. 所以a>b>c>d. 不同点题物线y-弓+1开口向上，顶点是0,1 解法2：如图所示，因为直线x=1与四条抛物线的 交点从上到下依次为(1，a),(1,b),(1,c),(1,d), 范物线y=号-1开口向下，顶点是0，-》 所以，a>b>c>d. (2)性质的相同点：开口大小相同. 不同点：抛物线y=3x十1，当x<0时，y随x的 增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.抛物 线y=-言-1，当x<0时y随x的塔大而增 大；当x>0时，y随x的增大而减小.（答案不唯一） 3.C 7.A8.C9.C10.1611.72 4.y=一2x2+2解析：把抛物线y=ax2十c向下 12.解：(1)根据题意得m+2≠0且m2十m一4=2， 平移3个单位长度后得到抛物线y=一2x2一1， 解得m1=2,m2=一3， .a=-2,c-3=-1,.c=2, 所以满足条件的m的值为2或一3. .平移前的抛物线的函数解析式为y=一2x2十2. (2)当m+2>0时，抛物线有最低点，所以m=2, 5.-316.A7.A8.C9.A 抛物线的函数解析式为y=4x2, 10.a<-211.-2 所以抛物线的最低点坐标为(0,0)，当x>0时，y 12.解：当x=0时，y=ax2+3=3, 随x的增大而增大. 则点A的坐标为(0,3). (3)当m=一3时，抛物线开口向下，函数有最 BC∥x轴，∴.点B,C的纵坐标都为3. 大值； 抛物线的函数解析式为y=一x2, 当y=3时，日=3解得z1=3=-3, 所以二次函数的最大值是0，这时，当x>0时，y ∴.点B的坐标为（一3,3），点C的坐标为(3,3)， 随x的增大而减小 .BC=3-(-3)=6. 13.解：(1)，正方形的周长为Ccm, 13.解：(1)△ABC为等边三角形，BC=10, C AO⊥CB, ”正方形的边长为cm,∴正方形的面积S一， 0B=0C=2BC=2X10=5,AC=BC=10, (2)作图如图所示. 10 S/em ∴.A0=√JAC2-OC=√102-5=5√5， 8 ∴.A(0,5√3)，B(-5,0),C(5,0).将点A,B的坐 标代入y=ax2+k, 65432. 得/k=53, 解得 5 25a+k=0, =5√5， -101234567891012Cm (3)由图象可得C=4cm. “抛物线的函数解析式为y=一万x十5 (4)由图象可得C≥8cm. (2).C(5,0),A(0,5√3)， 22.1.3二次函数y=a(x一h)2+k的图象和性质 ∴.直线AC的函数解析式是y=一√3x+5√3， 第1课时二次函数y=ax2十k的图象和性质 ∴.D(t,-3t+53). 1.C 2.解：如图所示. P(,-+5小 m-(-9r+5v)-(+5. 15.解：(1)，抛物线y=a(x一4)2向左平移6个单位 长度后得到抛物线y=一3(x一h)2, ∴.d= 复+ ∴.a=-3,4-6=h,解得h=-2. (2),抛物线y=a(x一4)2的顶点为A,且与y轴 交于点B,由(1)得y=-3(x一4)2， 第2课时二次函数y=a(x一h)2的图象和性质 .点A(4,0),B(0,-48). 1.C2.D3.<2 ,抛物线y=一3(x一h)2的顶点是M,由(1)得 4.解：(1)抛物线的对称轴为直线x=一1. y=-3(x十2)2，.M(-2,0), (2)填表如下： 1 -7-5-3-1135… S△Ms=2X4-(-2)X-48=14. -9-4-10-1-4-9… 16.解：(1)已知直线y=-x一2， 令x=0,则y=一2，点B的坐标为(0，一2). (3)如图所示. 令y=0,则x=一2，.点A的坐标为（一2,0）. 已知抛物线的函数解析式为y=a(x一h)2, 顶点为点A(一2,0)，且经过点B(0,一2)， y=a(z+2)2,-2=4如，解得u=) ∴抛物线的函数解析式为y=一 2x+22 1 5.y=2(x-1)2 (②)：点C(m,）在抛物线y=-名x+2 6.解：(1)抛物线y=a(x十4)2经过点M(-一3,2)， 上-7m+2y=- 1 ,∴.a(-3十4)2=2，解得a=2, 2, .抛物线的函数解析式为y=2(x十4)2。 解得m1=1,m2=-5. (2)可以由抛物线y=2x2向左平移4个单位长度得到. (3)如图所示，作点B关于对 (3).a=2>0, 称轴直线x=一2的对称点 ∴抛物线开口向上， B',连接OB',OB'与对称轴的 顶点坐标为（一4,0），对称轴为直线x=一4. 交点即为点P. 7.A解析：，抛物线y=一3(x十2)2的顶点坐标为 点B的坐标为(0，一2)，对 B'/ （一2,0)，抛物线y=一3x2的顶点坐标为(0,0)， 称轴是直线x=一2，∴点B ∴.平移的方法可以是沿x轴向右平移2个单位长度 的坐标为（一4，一2）. 8.D9.A10.D 11.D解析：如图所示】 则直线OB的函数解析式为y=2x. x=一2， 联立方程1解得=-2， y=2x, y=-1. 2V3 3 故点P的坐标为(-2，-1). 第3课时二次函数y=a(x一h)2+k -2-1012345678x 的图象和性质 1.D2.A3.<-1 4.解：(1)抛物线y=a(x-3)2十2经过点(1，-2)， A.由图象可知，若m<1,则c1<c2<c3,故此选项 ∴.-2=a(1-3)2+2,解得a=-1. 错误，不符合题意； (2).抛物线y=一(x一3)2十2的对称轴为直线 B.由图象可知，若1<m<2,则c2≤c1<c3或c1≤ x=3,.点A(m,y1),B(n,y2)(m<n<3)在对称 c2<c3,故此选项错误，不符合题意； 轴左侧. C.由图象可知，若2<m<3,则c3≤c2<c1或c2≤ 又抛物线开口向下，∴.当x<3时，y随x的增大 c3<c1,故此选项错误，不符合题意； 而增大.m<n<3,∴.y1<y2 D.由图象可知，若m>3,则cg<c2<c1,故此选项 5.C 正确，符合题意. 6.解：二次函数y=一2(x十1)2+3的图象的顶点为 12.都有最低点（答案不唯一）13.h≤3 (-1,3),把点（一1,3）先向右平移3个单位长度，再 14.-3或0解析：y=（x+1)2, 向下平移4个单位长度，得到点的坐标为(2，一1)， 当y=1时，解得x=一2或 x=0.如图所示，由图知当m= 所以原二次函数的解析式为y=一2（红一2）-1， 0或m+1=-2时，函数y取 得最小值1，则m=0或m=一3. 所以a= 2h=2,k=-1. 822.1.3 二次函数y=a(x一h)2十k的图象和性质 第1课时二次函数y=ax2+k的图象和性质（答案P7) ,通基础业 4.把抛物线y=ax2+c向下平移3个单位长度 后得到抛物线y=一2x2一1，则平移前的抛物 知识点1二次函数y=ax2十k的图象和性质 线的函数解析式为 1.(珠海一模)二次函数y=ax2十b的图象如图 所示，则一次函数y=ax+b的图象一定不经 ☆易错点确定二次函数的最值时，忽略了自变 过() 量的取值范围而出错 5.函数y=一x2+1,当-1≤x≤2时，函数y 的最小值是 ,最大值是 ·通能力 EEE111111144111111 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 6.在同一平面直角坐标系中画出y=3x2+2, 2.在同一平面直角坐标系中画出二次函数 y=-3x2-1,y= y司女+1与二次函数y= 3x3-1的 3x的图象，则它 们( 图象。 (1)从抛物线的开口方向、形状、对称轴、顶点 A.都是关于y轴对称 等方面说出两个函数图象的相同点与不 B.顶点都在原点 同点. C.都是抛物线且开口向上 (2)说出两个函数图象的性质的相同点与不 D.以上都不对 同点 7.几何直观在同一平面直角坐标系中，一次函 数y=一x十2与二次函数y=x2十k的图 象可能是( :兴 知识点2抛物线y=ax2十k与y=ax2的 关系 8.推理能万若点(-2)，(-，(19) 3.将二次函数y=x2的图象向下平移3个单位 都在二次函数y=x2一3的图象上，则( ) 长度所得图象的函数解析式为() A.y=(x-3)2 B.y=(x+3)2 A.y1>y2>y3 B.y2>y1>y3 C.y=x2-3 D.y=x2+3 C.y3>y1>y2 D.y1>y3>y2 32 优+学案·课时通 9.几何直观如图所示，两条抛物线y1= 通素养 IIIIMIIMlIIUIUMd 1 +1=-1与分别经过点 13.探究拓展在平面直角坐标系中，抛物线y= (一2,0)，(2,0)且平行于y轴的两条平行线 ax2+k交y轴于点A,交x轴于点B,C, 围成的阴影部分的面积为( △ABC为等边三角形，BC=10. y (1)如图①所示，求抛物线的函数解析式. (2)如图②所示，P为AC上方抛物线上一 0 -3-2Z1 1 23 点，过点P作PD∥AO交AC于点D,设点 -1 P的横坐标为t,PD的长度为d,求d与t 3以 1 的函数解析式， A.8 B.6 C.10 D.4 10.抛物线y=ax2+(a十2)的顶点在x轴的下 方，且当x>0时，y随x的增大而减小，则a 的取值范围是 11.如图所示，二次函数y= ax2十c图象的顶点为B. 若以OB为对角线的正方 形ABCO的另两个顶点 A,C也在该抛物线上，则a·c的值 是 12.如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线y= ax2十3与y轴交于点A,过点A与x轴平 行的直线交抛物线y=了于点B,C求 BC的长度. △九年级·上册·数学.RJiH 33