第二十一章 一元二次方程 限时训练-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012 河北专用)

建议用时10分钟，实际用时分钟 21.2.2公式法（答案P41) 1.解下列方程： (1)x2-3x-2=0; (2)x2-5x+1=0. 2.已知关于x的一元二次方程x2+(2m+1)x+m2-1=0. (1)当m为何值时，方程有两个不相等的实数根？ (2)在(1)的结论下，若m取最小整数，求此时方程的两个根. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.2.3因式分解法（答案P41) 解下列方程： (1)x2-2=0; (2)3x(x-1)=2-2x; (3)(x+2)2=(1-2x)2; (4)x2-1=2(x+1). 《2》 优计学案·课时通 建议用时10分钟，实际用时 分钟 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (课程标准变动为考查内容)（答案P41) 1.已知x1,x2是方程2x2一5x一4=0的两个根，求下列各式的值： (1)(x1-2)(x2-2); (2)x十x. 2.方程x2-2x十m一5=0是关于x的一元二次方程，该方程的两个实数根分别为x1,x2· (1)求m的取值范围. (2)若(x1+x2)2+x1·x2+10=0,求m的值 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.3实际问题与一元二次方程(1)（答案P41) 1.一个两位数的十位数字与个位数字之和是6，把这个数的个位数字与十位数字对调后，所得 的新两位数与原来的两位数的积是1008，求这个两位数. 2.某商场购进一批每盒40元的月饼销售，根据销售经验，应季销售每盒月饼的售价为60元 时，每天可售出400盒.当售价每提高1元时，销量就相应减少10盒. (1)若商场要每天获得9000元的利润，每盒月饼的售价应定为多少元？ (2)过季处理时，经过两次打折，每盒月饼售价为29.4元，商场平均每次打几折？ 一九年级上册·数学R阿北专用 3 建议用时10分钟，实际用时 分钟 21.3实际问题与一元二次方程(2)（答案P41) 1.用长100cm的金属丝能否制成面积为600cm2的矩形框架？能否制成面积为800cm2的 矩形框架？ 2.某一养殖户每年的养殖成本包括固定成本和可变成本，其中固定成本每年均为4万元，可变 成本逐年增长，已知该养殖户第1年的可变成本为2.6万元，设可变成本平均每年增长的百 分率为x (1)用含x的代数式表示第3年的可变成本为 万元 (2)如果该养殖户第3年的养殖成本为7.146万元，求可变成本平均每年增长的百分率x. 建议用时10分钟，实际用时 分钟 22.122.1.1二次函数（答案P41) 1.已知函数y=(m2-2)x2+(m+√2)x+8. (1)若这个函数是一次函数，求m的值. (2)若这个函数是二次函数，求m的取值范围. 2.一块矩形的草地，长为8m,宽为6m,若将长和宽都增加xm,设增加的面积为ym2. (1)求y与x之间的函数解析式. (2)若要使草地的面积增加32m2,长和宽都需增加多少米？ 4 优计学案·课时通41 (2)补全树状图如图所示 12-3 道口A 直 左 (2)设取走了x个白球，根据题意，得 4+x_5 下一道口直左右直 左右直左右 12=6 解得x=6. 结果朝向西南北南东西北西东 答：取走了6个白球， 共有9种等可能的结果，嘉淇经过两个十字道口后 【变式训练1】16 向西参观的结果有3种，向南参观的结果有2种，向 【例2】思路分析：(1)求出阴影部分的面积与三角形的 北参观的结果有2种，向东参观的结果有2种， 面积的比值即可解答. 31 一向西参观的概率为)=3，向南参观的概率=向 (2)使朋影区域和空白区城的面积比为2便可· 解：(1)因为阴影部分的面积与三角形的面积的比 北参观的概率=向东参观的概率=2 9 值是6-8 向西参观的概率大. 10.解：(1)·经过第一次移动游戏，甲的位置停留在正 所以投针一次落在阴影区域的概率为。 半轴上， ∴必须甲对乙错 (2)如图所示. 一共有四种等可能的情形，都对，都错，甲对乙 错，甲错乙对， P(甲对乙错)=是 (2)根据题意可得乙n次答对，向西移动4n个单位 长度，(10一n)次答错，向东移了2(10一n)个单位 长度， 要使针落在图中阴影区域和空白区域的概率均为 ∴.m=5-4n+2(10-n)=25-6n. 2,还要涂黑2个小正三角形 ∴.当n=4时，离原点最近. (3)起初，甲、乙的距离是8个单位长度， 【变式训练2】B 易知，当甲、乙一对一错时，二者之间距离缩小2个 【通模拟】 单位长度， 1.B2.B3.B4.D 当甲、乙同时答对或答错时，二者之间的距离缩小 2个单位长度， ∴.当进行了飞次移动游戏后，甲与乙的位置相距 6.解：(1)0.9550.952 2个单位长度时，共缩小了6个单位长度或10个单 (2)0.95 位长度， (3)310÷0.95≈327（粒） ,.6÷2=3或10÷2=5， 答：至少需要准备327粒种子进行发芽培育. .k=3或k=5. 7.解：(1)随机抽取一张卡片，恰好得到数字3的概率 限时训练 21.1一元二次方程 (2)列表如下： 1.解：关于x的方程(m-2)xm2-2+(3-m)x-2 第一张 0是一元二次方程， 和 m-2≠0， 3 3 5 6 .m2-2=2. 第二张 解得m=-2. 3 6 9 2.解：把x=m代人2x2+3x-1=0,得 2m2+3m-1=0, 3 6 6 8 9 则2m2+3m=1. 5 8 10 11 所以4m2+6m+2023=2(2m2+3m)+2023=2+ 2023=2025. 6 9 9 11 12 21.221.2.1配方法 由表知，共有16种等可能的结果，其中和为奇数的 解：(1)配方，得x2+6x十9=-7+9， 结果有6种，和为偶数的结果有10种， 即(x+3)2=2. 所以李明得到门票的概率= ,王刚得到门票的概 3 直接开平方，得x十3=士√2， 535 由此可得x+3=√2，或x十3=一√2， 率=8,8≠8，所以李明的说法正确。 所以x1=-3十√2，x2=-3-√2. 【通中考】 (2)移项，得x2+4x=1. 8.B 配方，得x2十4x十4=1+4， 9.解：（①）嘉淇走到十字道口A向北走的概率为3 即(x+2)2=5. 直接开平方，得x十2=士√5， 40 由此可得x+2=√5，或x+2=一√5， 于是得x+1=0,或x-3=0, 所以x1=-2十√5，x2=-2-√5. x1=-1,x2=3. (3)移项，得x2-2√2x+2=0, *21.2.4一元二次方程的根与系数 配方，得(x-√2)2=0. 的关系（课程标准变动为考查内容） 5 所以x1=x2=√2. 1.解：根据题意，得x1十x2=2x1x2=一2. (4)方程可化为x2-2x=4, (1)原式=x1x2-2(x1十x2)+4=-2-2×2 配方，得x2-2x十1=5， 即(x-1)2=5. 4=-2-5+4=-3. 直接开平方，得x一1=土√5， (2)原式=（x1十x2)2-2x1x2 由此可得x一1=√5，或x-1=一√5， () 所以x1=1十√5，x2=1一V5 2x(-2》-5+4-4 41 21.2.2公式法 1.解：(1)a=1,b=-3,c=-2. 2.解：(1)根据题意，方程有两个实数根，得 △=b2-4ac=(-3)2-4×1×(-2)=17>0. △=(-2)2-4(m-5)≥0， 解得m6. 方程有两个不等的实数根 x=-b±6-4ac_3±V17 (2)根据题意，得x1十x2=2,x1x2=m一5. ,(x1+x2)2+x1·x2十10=0， 2a 2 .22+m-5+10=0, 即x,-3+17 2x2= 3-√/17 解得m=一9. 2 21.3实际问题与一元二次方程(1) (2)a=1,b=-5,c=1. 1.解：设原两位数的个位数字为x,十位数字为(6 △=b2-4ac=(-5)2-4×1×1=21>0. x).根据题意，得[10(6-x)+x][10x十(6-x)]= 方程有两个不等的实数根 1008,即x2-6x+8=0,解得x1=2,x2=4,.6- x=4或6一x=2. x= -b士√b2-4ac_5±W21 2a 2 .这个两位数是42或24. 5+√21 5-√21 2.解：(1)设每盒月饼的售价应提高x元，每天可获得 即x1= 2 ,x2= 9000元的利润.根据题意，得(60+x-40)(400一 2 10x)=9000, 2.解：(1)根据题意，得△=b2-4ac=(2m+1)2 4(m2-1)=4m+5. 解得x1=x2=10, ..60+x=70. 方程有两个不等的实数根，所以△>0. 答：每盒月饼的售价应定为70元，每天可获得9000元 5 解得m>一4 的利润 (2)设商场平均每次打y折，根据题意，得 (2)结合(1)可知，m的最小整数值为一1. .原方程化为x2一x=0, 60×(0】°=29.4， a=1,b=-1,c=0. 解得y1-7,y2=一7（不合题意，舍去） △=b2-4ac=(-1)2-4×1×0=1>0. 答：商场平均每次打七折. 方程有两个不等的实数根 21.3实际问题与一元二次方程(2) x=b±√6-4ac1±1 1.解：设矩形的长为xcm,则宽为(100÷2-x)= 2a 2· (50-x)cm. 即x1=1,x2=0. 根据题意，得(50-x)x=600. 21.2.3因式分解法 解得x=20或x=30. 解：(1)因式分解，得(x-√2)(x十√2)=0. 所以能够制成面积为600cm的矩形框架。 于是得x一√2=0，或x+√2=0， 当(50-x)x=800时，x2-50x+800=0. ,△=(-50)2-4×800<0， x1=√2，x2=-√2. 方程无解， (2)方程变形，得3x(x一1)+2(x-1)=0. ∴.不能制成面积为800cm2的矩形框架. 因式分解，得(x-1)(3x十2)=0. 2.解：(1)2.6(1十x)2 于是得x-1=0,或3x十2=0， (2)根据题意，得4+2.6(1+x)2=7.146. x1=1,x2=-3 解方程，得x1=0.1=10%,x2=一2.1（不合题意， 舍去). (3)方程变形，得(x十2)2-(1-2x)2=0. 答：可变成本平均每年增长的百分率是10%. 因式分解，得[(x+2)+(1-2x)][(x+2)-(1 2x)]=0,即(-x+3)(3.x+1)=0. 22.122.1.1二次函数 于是得一x+3=0,或3x+1=0, 1.解：(1)由题意，得m十√2≠0，m2-2=0,解得 1 m=√2. x1=3,x2=-3 (2)由题意，得m2-2≠0， (4)方程变形，得(x+1)(x-1)-2(x+1)=0. 解得m≠√2且m≠一√2. 因式分解，得(x+1)(x-3)=0. 2.解：(1)矩形的草地长为8m,宽为6m,若将长和 41