第二十一章 专题一 一元二次方程的解法-【优+学案】2025-2026学年新教材九年级上册数学课时通(人教版2012 河北专用)

专题一一元二次方程的解法（答案3） 湖类型1限定方法解一元二次方程 A.①直接开平方法；②公式法；③配方法 1.在下列方程中，一定有实数解的是() B.①因式分解法；②公式法，③公式法 A.x2+1=0 B.(2x+1)2=0 C.①直接开平方法；②因式分解法；③配方法 D.①直接开平方法；②公式法；③因式分解法 C.(2x+1)2+3=0 D.(分x-a)°=a 5.用适当的方法解一元二次方程： 2.(2023·唐山迁安模拟)用配方法解一元二次 (1)x2-5.x+4=0; 方程x2一4x一6=0，下列变形正确的 是() A.(x-2)2=-6+4B.(x-2)2=6+2 C.(x-2)2=-6+2D.(x-2)2=6+4 3解下列方程： (2)x2-2x-15=0; (1)(x一2)2=9（直接开平方法）； (3)5x2=4-2x; (2)x2一4x-5=0(配方法)； (3)(x+1)(x-3)=2x-6(因式分解法)； (4)x(x-2)=2-x. (4)3x2+2x-1=0(公式法). 甜类型3一元二次方程的特殊解法 6.若实数x满足(x2+3x)2+2(x2+3x)-3= 0,则x2+3x的值为() A.3 B.-3或1 C.1 D.-1或3 类型2选用适当的方法解一元二次方程 7.已知方程x4-5x2十6=0，设y=x2,则原方程 4.解下列方程：①(x一2)2=5；②x2-3x-2=0; 变形为 ,原方程的根 ③x2一4x一896=0.其中较适当的方法 为 为() 一九年级·上册数学R)河北专用 12 *21.2.4一元二次方程的根与系数的关系 (课程标准变动为考查内容)（答案P4) 7.已知关于x的一元二次方程x2一(2m十1)x十 m2+m=0. 知识点1利用根与系数的关系求两根之和与 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不等的 两根之积 实数根， 1.(2023·保定定州期中)已知x1,x2是一元二 (2)设该方程的两个实数根为a,b,若(2a十b)· 次方程2x2一4x十1=0的两个实数根，则 (a+2b)=20,求m的值. x1·x2等于() 1 A.-2 B.一2 c D.2 2.新视野》关于x的方程x2十bx十c=0的两根 为1和一2，则b,c的值分别为() A.b=1,c=-2 B.b=-1,c=-2 易错固用根与系数的关系时忽视隐含条件 C.b=3,c=2 D.b=-3,c=2 “△≥0” 知识点2利用根与系数的关系求相应代数式 8.关于x的方程x2十(a十1)x十a2=0的两根互 的值 为倒数，则a= 3.若一元二次方程x2一x一2=0的两根为x1, x2,则(1+x1)+x2(1一x1)的值是() 通能力》2%9999>9>9>99% A.4 B.2 C.1 D.-2 9.(2023·邯郸邯山区一模)一元二次方程x2 4.已知x1,x2是方程2x2-3x一1=0的两根，则 3x一1=0与x2一x十3=0的所有实数根的和 x十x= 等于() 知识京3利用根与系数的关系求方程中待定 A.2 B.-4 C.4 D.3 字母的取值或取值范围 10.推理能力》若一个菱形的两条对角线长分别 5.已知x1,x2是关于x的方程x2十bx一3=0的 是关于x的一元二次方程x2-10x+m=0 两根，且满足x1十x2一3x1x2=5,那么b的值 的两个实数根，且其面积为11，则该菱形的边 为() 长为( A.4 B.-4 C.3 D.-3 A.√3 B.2√3 C.√/14 D.214 6.若关于x的一元二次方程x2+2x十1一2m=0 11.已知关于x的一元二次方程mx2-(m十2)x+ 有两个实数根，且这两个实数根之积为负数， =0有两个不等的实数根x1,x2.若】十 则实数m的取值范围是() 4 1 A.m≥0 B.m>2 =4m,则m的值是( ) ℃2 C.0<m<2 1 A.2 B.-1 D.0≤m<2 C.2或-1 D.不存在 优学秦·课时通∴.a的值可以为0,1,2. x+3=0, 当a=0时，方程为x2-5=x(0-2)-2, ∴.x1=1,x2=-3. .x2+2x-3=0, ④x2+3x-4=0,(x-1)(x+4)=0,x-1=0,或 .x1=-3,x2=1. x+4=0, 当a=1时，方程为x2-5=x(x-2)-2, ∴.x1=1,x2=-4. .2x-3=0, 猜想：第2023个方程的根为x1=1, 此时方程不是一元二次方程， x2=-2023. 即此种情况不符合题意，舍去 专题一 一元二次方程的解法 当a=2时，方程为x2-5=x(2x-2)-2, 1.B2.D x2-2x+3=0, 3.解：(1)(x-2)2=9, 此时，△=4一4×1×3<0， x-2=士3， .方程x2-5=x(2x-2)-2无解. x-2=3或x-2=-3, 综上所述：当a=0时，方程的解是x1=一3， x1=5,x2=一1. x2=1;当a=2时，方程无解. (2)x2-4x-5=0, 21.2.3因式分解法 x2-4x=5, 1.C2.A3.D4.(x-2)(x+3) x2-4x+4=5+4, 5.x+3=0(或x-1=0) (x-2)2=9, 6.解：(1)因式分解，得(x+3)(x-3)=0. 于是得x+3=0或x一3=0， x-2=士3， x一2=3或x一2=-3， .x1=-3,x2=3. (2)因式分解，得2(x-5)(x+3)=0. x1=5,x2=-1. 于是得x一5=0或x十3=0， (3)(x+1)(x-3)=2x-6, (x十1)(x一3)=2(x-3), ∴.x1=5,x2=-3. 7.A8.B (x+1)(x-3)-2(x-3)=0, (x-3)(x+1-2)=0, 25x2-± 9解：1)(z-2)2=49, 5 (x-3)(x-1)=0, 17 x-3=0或x-1=0, 所以x1=5x?=5 x1=3,x2=1. (4)3x2+2x-1=0, (2)x2-2x=2,x2-2x十1=3， a=3,b=2,c=-1, (x-1)2=3,x-1=±√3， .b2-4ac=22-4×3×(-1)=16>0, 所以x1=1十√3，x2=1-3, (3)a=4,b=-5,c=-7, x= -b±√62-4ac=-2±√/16 2a 68 △=b2-4ac=(-5)2-4×4×(-7)=137>0.方程 1 有两个不等的实根x= 5士√137_5士√137 六x1=32=-1. 2×4 8 4.A 所以x,=5+137,,5-137 5.解：(1)a=1,b=-5,c=4, 8x2= 8 .b2-4ac=(-5)2-4X1×4=9, (4)(x-√2)2+5(x-√2)=0， -(-5)士95士3 (x-√2)(x-√2+5)=0， .x= 2×1 2 x一√2=0或x-√2+5=0， 即x1=4,x2=1. 所以x1=√2，x2=√2-5. (2)x2-2x=15, x2-2x+1=16, 10.A11.C12.C13.114.4+22 (x-1)2=16, 15.解：(1)x2+2x-8=0, (x+4)(x-2)=0, x-1=4或x-1=-4, x1=5,x2=-3. x十4=0或x一2=0， 解得x1=一4，x2=2. (3).5x2=4-2x, (2)设一次项系数“口”为b, 5.x2+2x-4=0. 将x=-1代入x2+bx-8=0, ,a=5,b=2,c=-4, 得(-1)2-b-8=0, .△=22-4×5X(-4)=84>0, 解得b=一7， .x= -2±√84-1士√21 即原题中系数“口”是-7. 2×5 5 16.解：(1)第n个方程为x2+(n-1)x-n=0. -1+√21 -1-√/21 (2)①x2-1=0,(x-1)(x+1)=0, .x1= 5 ,x2= 5 x-1=0,或x+1=0, (4)x(x-2)=2-x, .x1=1,x2=-1. x(x-2)+x一2=0， ②x2+x-2=0,(x-1)(x+2)=0, (x一2)(x+1)=0, x一1=0，或x十2=0， x-2=0或x+1=0, x1=1,x2=-2. 解得x1=2,x2=-1. ③x2+2x-3=0,(x-1)(x+3)=0,x-1=0,或6.C 3 7.y2-5y+6=0 最小值1. x1=-√2，x2=√2，x3=√3， 阶段检测一（21.1~21.2) x4=-√3 1.C2.B3.D4.B5.C6.C7.A8.2029 *21.2.4一元二次方程的根与系数 的关系（课程标准变动为考查内容） 9.m2-3m-10=0510.511.2号 1.C2.A3.A4.3 5.A6.B 12.解：(1).4(6x-1)2=25, 7.解：(1)证明：，△=[-(2m+1)]-4(m2+m) (6x-1)2=25 4· =4m2+4m+1-4m2-4m 5 7 =1>0, A6z-1=±2解得x2x=- ∴.无论m取何值，方程都有两个不等的实数根. (2)原方程整理为x2-4x+1=0. (2)该方程的两个实数根为a,b, .a=1,b=-4,c=1, a+6=-二(2m+1）=2m+1,ab=m2+m- .△=b2-4ac=(-4)2-4×1×1=12>0. 1 方程有两个不等的实数根 m2+m. .(2a+b)(a+2b) 工=4结_4生25-=2士5. 2×1 2 =2a2+4ab+ab+2b2 =2(a2+2ab+b2)+ab .x1=2+3,x2=2-√3 =2(a+b)2+ab, (3).x2+3x-2=0,∴.x2+3x=2. ∴.2(a+b)2+ab=20, ∴.2(2m+1)2+m+m=20, 21 整理得m2十m-2=0, 解得m1=一2，m2=1, 2,x=7-3 解得x,=17-3 2 ∴.m的值为-2或1. (4)x(x-7)=8(7-x), 8.19.D10.C11.A12.202313.16 x(x-7)+8(x-7)=0. 14.3<m5 .(x-7)(x十8)=0. 15.解：(1)根据根与系数的关系， x-7=0,或x+8=0, 得q=-3×1=-3, 解得x1=7,x2=一8. p=-(-2十4)=-2. 13.解：(1)x=-1 则p的值为一2，g的值为一3. a-1=0, a=1, (2)由(1)得方程为x2-2x-3=0, (2)根据题意，得b一2=0，解得b=2, .n2-2n-3=0,.n2-2n=3. c十3=0， c=-3, m十n=2,mm=一3， 则方程是x2十2x一3=0， .m2+2n2+pn=m2+2n2-2n=(m十n)2 即(x+3)(x-1)=0, 2mn+n2-2n=4+6+3=13. .x十3=0或x-1=0, 16.解：(1)根据题意，得△=(2m十1)2- x1=-3,x2=1. 4(m2-2)≥0， 14.解：(1)(2ax+b) 解得m≥-}，所以m的最小整数值为-2。 (2)0b2-4ac≥0②-6S aa (2)根据题意，得x1十x2=-（2m十1)，x1x2= (3)x2-4x-1=0, m2-2. x2-4x=1, (x1-x2)2+m2=21, x2-4x+4=1+4, .(x1十x2)2-4x1x2十m2=21. (x-2)2=5, ∴.(2m+1)2-4(m2-2)+m2=21, 整理，得m2+4m-12=0,解得m1=2,m2=-6. x-2=±√5，x1=2+5,x2=2-√5， ∴.x1+x2=2+√5十2-√5=4， m≥二，m的值为2 x1x2=(2+√5)(2-√5)=22-(5)2=-1. 17.解：(1)将原方程整理为x2+2(m一1)x十m2=0. 15.解：(1).x2+2xy+2y2+2y+1=0, 原方程有两个实数根， .(x2+2xy+y2)+(y2+2y+1)=0, ∴.△=[2(m-1)]2-4m2=-8m+4≥0， ∴.(x+y)2+(y+1)2=0. 解得m≤2 1 又(x+y)2≥0，(y+1)2≥0， ∴.x+y=0,y+1=0, (2)x1,x2为一元二次方程x2=2(1-m)x一m2 .x=1,y=-1,.x-y=2. 的两实数根， (2).a2+b2-6a-8b+25=0, 即x1,x2为一元二次方程x2+2(m-1)x十m2= ∴.(a2-6a+9)+(b2-8b+16)=0, 0的两实数根 .(a-3)2+(b-4)2=0, 1 ∴y=x1十x2=-2m+2,且m≤2 .a-3=0,b-4=0, ∴.a=3,b=4. 因为y随m的增大而减小，故当m=2时，y取得 ,三角形两边之和大于第三边， ∴.c<a+b,即c<3+4,