精品解析：青海省西宁市大通回族土族自治县第二完全中学等校2025-2026学年高三上学期10月联考数学试卷

2025~2026高三10月联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用列举法表示集合P，Q，根据集合的交集的定义求解即可. 【详解】因为， 则. 故选：A. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数除法的运算法则进行求解即可. 【详解】因为， 所以，即得， 所以. 故选：B 3. 已知定义在上的函数，则“”是“函数是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】根据偶函数的定义及充分、必要条件的判定方法可得结论. 【详解】因为由“”，不能得到“函数是偶函数”，由“函数是偶函数”可得“”， 所以“”是“函数是偶函数”的必要不充分条件. 故选：C. 4. 设，若恒成立，则的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. -1 【答案】B 【解析】 【分析】由基本不等式求得不等式左边的最小值，由恒成立建立新的不等式关系，然后解得的最大值. 【详解】因为， 当且仅当时取等号， 所以，解得，所以的最大值为4. 故选：B. 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】以1为中间量比较题中三个数与1的大小关系，得到和的关系.然后证明成立，两边取对数即可判断关系，从而得到结论. 【详解】故， , 所以，故. 故. 故选：D. 6. 若是奇函数，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用奇函数的定义求出. 【详解】函数定义域为，由是奇函数，得， 则，整理得， 所以. 故选：B 7. 若函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由可求出的取值范围，根据正切型函数的单调性可得出集合的包含关系，可得出关于的不等式组，即可求正实数的取值范围. 【详解】因为，则函数在区间上只能单调递增， 当时，， 所以，，其中， 所以，，解得， 由解得，且， 当时，； 当时，则，可得. 综上所述，正实数的取值范围是. 故选：D. 8. 若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先证明时，对任意，满足恒成立，当时，将不等式变形为，设，，利用导数判断函数的单调性，由条件结合单调性可得恒成立，设，利用导数求函数的最小值，由此可得结论. 【详解】若，则对任意，，，， 所以对任意，不等式恒成立， 若，则， 不等式可化为， 故，即， 由已知在恒成立， 令，，则，恒成立， 因为时，， 所以函数在上单调递增，又，， 所以恒成立，其中，， 即恒成立． 令，， 所以在上单调递增，则， 所以． 综上可得， 故选：B． 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是1 D. 设，且，则的最小值是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A，B，通过系数化正结合基本不等式可判断C，利用“1”的妙用，可判断D. 【详解】对于A，因为时，，当且仅当时，等号成立，A正确； 对于B，因为，所以，当且仅当时，即等号成立，但，故B错误； 对于时，，所以，因为，所以，当且仅当时等号成立，故C正确； 对于D，因为，由，因，所以，当且仅当时，等号成立，D正确. 故选：ACD. 10. （多选）下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于选项A，利用两角和的正切公式判断；对于选项B，先利用诱导公式将转化为，再根据两角差的正弦公式求解；对于选项C，方法一利用二倍角的正弦公式化简即可，方法二多次运用积化和差公式，结合和差化积与特殊角的三角函数值求解；对于选项D，先通分，再根据二倍角公式和辅助角公式化简. 【详解】对于选项A，因为， 所以， 所以，A错误. 对于选项B，因为， 所以，B 正确. 对于选项C，方法一： . 方法二： ，C正确. 对于选项D，，D正确. 故选：BCD 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若函数，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D. 函数的所有零点之和为 【答案】ABD 【解析】 【分析】由题设得，结合指数函数的性质及周期性求值域判断A、B；画出函数大致图象，数形结合判断C；解指数方程，利用周期性确定零点，最后求和判断D. 【详解】A：由题设，则定义域为，对； B：当时，当时，即为周期函数，故值域也为，对； C：由解析式可得函数图象如下，则直线与图象有且只有4个公共点， 若过则，过则， 结合图知，且，错； D：令，可得，结合周期性及函数图象知， 在上的零点有、、， 所以，所有零点的和为，对. 故选：ABD 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题，则该命题的否定是__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据特称命题的否定知识解答即可. 【详解】特称命题的否定是全称命题，将改成，并否定结论. 即. 故答案为：. 13. 已知函数的最小值为1，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】求出函数的导数，分类讨论，从而求出的单调区间，即可根据函数的最值求得的值. 【详解】函数的定义域为，求导得， 当时，在内恒成立， 所以函数在内单调递增，此时无最小值； 当时，由，得，由，得， 所以函数在内单调递减，在内单调递增， 故当时，取得最小值，即，故． 故答案为：． 14. 已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两角和与差的三角函数公式，化简得，其中，，结合题意推导，由此算出，根据三角函数的诱导公式求出的值． 【详解】由题意得， 结合，可得， 其中锐角θ满足，. 因为关于的方程在内有两个不同的解、， 所以方程，即在内有两个不同的解、. 根据，， 满足， 可得， 结合正弦函数的性质，可知，， 所以，即， 可得． 故答案为：． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据充分不必要条件的性质，得到集合是集合的真子集，从而得到关于实数的不等式组，求解不等式组，即可得到实数的取值范围. （2）根据集合是否为空集进行分类讨论，结合，分别求出实数的取值范围，最后取并集即可. 【小问1详解】 已知“”是“”的充分不必要条件， 根据充分不必要条件的定义可知集合是集合的真子集， 已知， 所以（等号不同时成立），解得. 故实数的取值范围为； 【小问2详解】 当时，因为， 所以，解得，此时成立； 当时，，解得， 因为， 则或，解得或， 此时， 综上，若，则实数的取值范围为. 16. 已知直线是函数的一条对称轴. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在上的最大值和最小值. 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为 【解析】 【分析】（1）根据给定的对称轴，结合正弦函数的图象与性质列式求解即得. （2）化简，再利用正弦函数的性质求出最值即可. 【小问1详解】 直线是函数的一条对称轴， 所以， 解得，由可得， 所以. 【小问2详解】 令，由， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以，， 即在上的最大值为，最小值为. 17. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）证明：． 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）确定函数定义域，求导，根据导数的符合判断函数单调性，从而确定单调区间； （2）由（1）可得，然后利用导数证明其小于等于0即可. 【小问1详解】 由题意得的定义域为，且， 当时，在上单调递增， 当时，在上单调递减， 综上可知，的单调递增区间为，单调递减区间为； 【小问2详解】 由（1）易得在处取得极大值，即最大值， ， 设，则， 当时，单调递增， 当时，单调递减， ，即， 由（1）知，所以. 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：； （3）若的最小值为求实数的值. 【答案】（1）奇函数 （2） 由，则， ， 所以得证. （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数奇偶性的概念进行判断. （2）分别写出与进行化简整理即可. （3）先明确的解析式，利用换元法，结合二次函数的性质，分类讨论求函数的最小值，利用最小值为，可得实数的值. 【小问1详解】 的定义域为，关于原点对称， 由题意，得， 因为，所以为奇函数. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 令，所以， ①当时在上单调递增，，解得； ②当时，在上单调递减，在上单调递增， ，解得（舍去）. 综上所述，实数的值为. 19. 已知函数． （1）若直线是曲线在处的切线方程，求a，b的值． （2）设和是函数的两个零点． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）当最小时，求a的值． 【答案】（1）， （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）根据导数的几何意义求解即可； （2）（ⅰ）求导，分和两种情况结合单调性讨论求解即可； （ⅱ）设，，结合题设可得，令，可得，设，，利用导数分析其单调性，可得在上单调递增，因此欲求t的最小值，只需求的最小值，即求的最小值，设，，利用导数分析其单调性可得当时，取最小值，进而求解即可. 【小问1详解】 由，则， 所以，解得， 又， 所以，即． 【小问2详解】 （ⅰ）由． 当时，，则在R上单调递增， 则在R上至多存在一个零点，不符合题意； 当时，由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则． 令，，则， 由，得，由，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 则，则． 当时，，当时，， 则由函数零点存在定理可知在R上有两个不同的零点． 综上可知，a的取值范围为． （ⅱ）因为，结合的单调性可设，， 且，，两式相减整理得． 令，则， 又，有，所以， 则， 设，， 则， 设，，则， 则在上单调递增， 因为，所以，即， 则在上单调递增， 故欲求t的最小值，只需求的最小值，即求的最小值． 令，，则， 令，，则， 则在上单调递增， 又，，所以，，即， 由，得，由，得， 则在上单调递减，在上单调递增， 则当时，取最小值，取最小值，t取最小值， 此时． 综上所述，当最小时，． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026高三10月联考 数学 全卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 答卷前，考生务必将自己的姓名､准考证号填写在答题卡上，并将条形码粘贴在答题卡上的指定位置. 回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并收回. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知定义在上的函数，则“”是“函数是偶函数”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 设，若恒成立，则的最大值为（ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. -1 5. 已知，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若是奇函数，则（ ） A. 1 B. －1 C. D. 7. 若函数在区间上单调，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 若对任意，满足恒成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列结论正确的是（ ） A. 当时， B. 当时，的最小值是3 C. 当时，的最大值是1 D. 设，且，则的最小值是 10. （多选）下列化简正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知函数，则下列选项正确的是（ ） A. 若函数，则的定义域为 B. 函数的值域为 C. 若直线与函数的图象有且只有4个公共点，则实数k的取值范围为 D. 函数的所有零点之和为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若命题，则该命题的否定是__________. 13. 已知函数的最小值为1，则______． 14. 已知函数和函数．若关于的方程在内有两个不同的解、，则的值为______． 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知集合. （1）若“”是“”的充分不必要条件，求实数的取值范围； （2）若，求实数的取值范围. 16. 已知直线是函数的一条对称轴. （1）求函数的解析式； （2）设函数，求在上的最大值和最小值. 17. 已知函数． （1）讨论的单调区间； （2）证明：． 18. 已知函数. （1）判断函数的奇偶性； （2）证明：； （3）若的最小值为求实数的值. 19. 已知函数． （1）若直线是曲线在处的切线方程，求a，b的值． （2）设和是函数的两个零点． （ⅰ）求a的取值范围； （ⅱ）当最小时，求a的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $