专题06 轴对称之将军饮马最值难点题型汇编（五大模型高频题型二大易错题型）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（人教版新教材）

专题06 轴对称之将军饮马最值难点题型汇编 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】.......................................................................................1 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】...................................................................3 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】..................................................................4 【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】............................................................6 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】..............................................................................7 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】. 1．如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   2．如图，在边长为单位1的正方形网格中有． (1)在图中画出关于直线成轴对称的图形； (2)在直线上有一点P使得的值最小，请在图中标出点P的位置； (3)求的面积． 3．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 1．如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 2．如图, 的周长为16．点是边的中点，=2，过点作的垂线，是上任意一点，则 的周长最小值为(     ) A．12 B．14 C．16 D．18 3．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ． 4．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 1．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，AD是BC边上的中线且AD=6，是AD上的动点，是AC边上的动点，则的最小值是（    ）. A． B．16 C．6 D．10 2．如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF=4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为（    ） A．15° B．25° C．30° D．45° 3．如图，是正方形的一条对称轴，点是直线的上的一个动点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 5．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 6．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为 ；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ． 7．如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 8．如图，已知梯形，，，，点在上，，是中点，在上找一点使的值最小，此时其最小值等于 ．    【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 1．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 2．如图，在中，，，，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．3.5 D． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 4．如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（    ）    A． B． C． D． 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】 1．如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 3．如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（    ） A．75° B．90° C．95° D．105° 4．如图，∠MON=45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为(        ) A．80° B．90° C．110° D．120° 5．如图，在中，AD是的角平分线，E，F分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为 ． 6．如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ． 7．如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 8．如图，在中，，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 度． 9．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝ °． 1．如图，点E在等边的边上，，点P是射线上一动点，点F是边上一动点，，垂足为点C，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 2．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 3．如图所示，已知五边形，． (1)在，上分别找一点M，N，使得的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，若，求的度数． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题06 轴对称之将军饮马最值难点题型汇编 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】.......................................................................................1 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】...................................................................5 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】..................................................................9 【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】............................................................17 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】..............................................................................21 【题型1 ：“2定点1动点”作图问题】. 1．如图，直线表示一条河，，表示两个村庄，向两个村庄供水，现有如图所示的四种铺设管道的方案，则所需管道最短的方案是（　　）    A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题考查了最短路径的数学问题，依据两点之间，线段最短，将所求路线长转化为两定点之间的距离是解答本题的关键． 依题意，分析出所需管道最短，利用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离． 【详解】解：如图， 画出点关于的对称点，则： 连接，交直线于点， ， 此时，最小， 故选：． 2．如图，在边长为单位1的正方形网格中有． (1)在图中画出关于直线成轴对称的图形； (2)在直线上有一点P使得的值最小，请在图中标出点P的位置； (3)求的面积． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查作图—轴对称变换、轴对称最短路线问题，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质作图即可； （2）连接，交直线于点，则点即为所求； （3）利用割补法求面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求作； （2）解：如图，点P即为所求作； （3）解：的面积． 3．【提出问题】唐朝诗人李颀的诗《古从军行》开头两句“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河．”中隐含着一个有趣的数学问题——将军饮马．如图1，将军从山脚下的点出发，到达河岸点饮马后再回到点宿营，他时常想，怎么走，才能使他每天走的路程之和最短呢？ 【解决问题】 （1）标出【提出问题】中点的位置（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）如图2，为了说明点的位置即为所求，某学习小组经探究发现，在直线上另外取点，连接，说明即可； 【类比探究】 （3）如图2，将军牵马从军营处出发，到河流饮马，再到草地吃草，最后回到处，试分别在边和上各找一点、，使得走过的路程最短．（保留画图痕迹，辅助线用虚线，最短路径用实线） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】本题主要考查了轴对称最短路径问题，正确画出图形是解题关键． （1）作点关于直线的对称点连接交于点，点即为所求； （2）先由轴对称的性质得到，，则，再由两点之间线段最短即可证明结论； （3）分别作点关于，的对称点、，连接分别交，于、，则路线即为所求. 【详解】解：（1）如图所示，点C即为所求， ； （2）直线是点、的对称轴，点、在上， ，， ， 在中， ， ； （3）如图所示， ， ， 则， 根据两点之间线段最短可得路线即为所求． 【题型2 ：“2定点1动点”求周长最小值问题】 1．如图，在中，，的面积为12，，分别以点A、B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，连接EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．则周长最小值为（   ） A．8 B．10 C．12 D．14 【答案】A 【分析】本题考查了两点之间线段最短，尺规作垂直平分线，三角形的面积公式，解题关键是利用三角形的面积公式求解． 先根据两点之间线段最短，找出最小值，再根据三角形的面积公式求解． 【详解】连接， 由作图得：是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，D为的中点， ∴，， ∵的面积为，， ∴， ∴， ∴， ∴周长最小值为， 故选：A． 2．如图, 的周长为16．点是边的中点，=2，过点作的垂线，是上任意一点，则 的周长最小值为(     ) A．12 B．14 C．16 D．18 【答案】A 【分析】连接BE，依据l是AB的垂直平分线，可得AE=BE，进而得到AE+CE=BE+CE，依据BE+CE≥BC，可知当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变，故△AEC的周长最小值等于AC+BC． 【详解】∵点D是AB边的中点，BD=2， ∴AB=2BD=4， ∵△ABC的周长为16， ∴AC+BC=12， 如图，连接BE， ∵点D是AB边的中点，l⊥AB， ∴l是AB的垂直平分线， ∴AE=BE， ∴AE+CE=BE+CE， ∵BE+CE≥BC， ∴当B，E，C在同一直线上时，BE+CE的最小值等于BC的长，而AC长不变， ∴△AEC的周长最小值等于AC+BC=12， 故选：A． 【点睛】此题考查轴对称-最短距离问题，解题关键在于涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，多数情况要作点关于某直线的对称点． 3．如图，在中，已知，，的垂直平分线交于点，交于点，为直线上一点，连结，则的周长最小值是 ． 【答案】13 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质、轴对称、最短路线问题等知识，将周长的最小值转化为是解题的关键． 连接，由是的垂直平分线，得，则，由两点之间线段最短可知的最小值为，即可得出答案． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ， 点、、三点在一条直线上时，的最小，最小值为， 最小值为，此时点与点重合， 周长的最小值为， 故答案为：13． 4．如图，在中，，边的垂直平分线分别交，于点，，点是边的中点，点是上任意一点，连接，，若，，当周长取到最小值时，，之间的数量关系是 ． 【答案】 【分析】如图，连接．根据垂直平分，推出，，所以，当、、在同一直线上时，最小，最小值为．据此解答即可．本题考查了轴对称最短路线问题，熟练运用垂直平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，连接． 垂直平分， ，， ， 当、、在同一直线上时，最小，最小值为． 周长最小值． ，点是边的中点， ， ， ， 即． 故答案为：． 【题型3 ：“2定点1动点”求线段最小值问题】 1．如图，△ABC中，AB=AC=10，BC=16，AD是BC边上的中线且AD=6，是AD上的动点，是AC边上的动点，则的最小值是（    ）. A． B．16 C．6 D．10 【答案】A 【分析】根据等腰三角形三线合一可知AD垂直平分BD，再根据垂直平分线的性质即可得到BF=CF，则有最小值相当于有最小值，因此只有当、在同一条直线且、所在直线垂直于AC时有最小值． 【详解】解：如下图所示，作BG⊥AM于M，交AD于F， ∵△ABC中，AB=AC=10，AD是BC边上的中线， ∴△ABC是等腰三角形，，BD=DC， ∴ AD是BC的垂直平分线， ∴ BF=CF． 则有最小值时，有相同的最小值． 根据垂线段最短可得出=≥，则取最小值时，． 根据三角形的面积公式，可得： ， 解得：， 即的最小值为． 故答案选：A． 【点睛】本题考查了轴对称—最短路径问题，熟练应用等腰三角形三线合一、垂直平分线的性质是解题的关键． 2．如图，等边△ABC的边长为8，AD是BC边上的中线，E是AD边上的动点，F是AB边上一点，若BF=4，当BE+EF取得最小值时，则∠EBC的度数为（    ） A．15° B．25° C．30° D．45° 【答案】C 【分析】取AC得中点G，连接BG，交AD于点E，由等边△ABC的边长为8，BF＝4知点F是AB中点，据此得点G与点F关于AD对称，此时BE+FE＝BG最小，再根据等边三角形的性质可得答案． 【详解】解：取AC得中点G，连接BG，交AD于点E， ∵等边△ABC的边长为8，BF＝4， ∴点F是AB中点， ∴点G与点F关于AD对称， 此时BE+EF＝BG最小， 根据等边三角形的性质知∠EBC∠ABC＝30°， 故选：C． 【点睛】本题考查了轴对称－最短路线问题、等边三角形的性质，解决本题的关键是利用等边三角形的性质找对称点． 3．如图，是正方形的一条对称轴，点是直线的上的一个动点，当最小时，（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】这是一个很明显将军饮马模型的最短路问题，根据模型先找D关于直线MN的对称点，发现对称点与A重合，然后连接AC与对称轴的交点P，满足PC+PD的值最小，此时可以知道，∠PCD=45° 【详解】∵是正方形的一条对称轴，∴ D关于直线MN对称的点为A，连接AC交MN于P点，此时PM+PN的值最小，∵△ACD为等腰直角三角形，∴∠PCD=45°. 【点睛】本题主要考查将军饮马模型的最短路问题，利用模型找到满足PM+PN的值最小时，P的位置是本题的关键 4．如图，在中，，，，是的中点，垂直平分，交于点，交于点，在上确定一点，使最小，则这个最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三线合一的性质，线段垂直平分线的性质，轴对称的性质，连接，根据等腰三角形三线合一的性质和三角形的面积公式得到，根据垂直平分线的性质和轴对称的性质得出，推得的长度等于的最小值，即可得到结论． 【详解】解：∵，是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 如图，连接， ∵垂直平分， ∴， ∴， ∴当，，在同一直线上时，， 即的长度等于的最小值， ∴的最小值为， 故答案为：． 5．如图所示，在四边形中，，，，，在上找一点，使的值最小，则的最小值为 ． 【答案】6 【分析】此题主要考查了轴对称的性质，平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质，判断出是解本题的关键． 先作出点C关于的对称点，判断出，进而判断出，再构造出直角三角形，利用含30度角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，延长至，使， ∵， ∴点与点C关于对称， 连接交于，此时最小， ∵， ∴ ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 过点B作交的延长线于E， 则（平行线间的距离处处相等）， 在中，， ∴， 即的值最小值为6， 故答案为：6． 6．小月学习三角形相关知识后，对其进行深入学习，并得到如下结论：如图，在中，，点D是的中点，如果，则．她把这个结论用于解决实际问题：将以点O为原点建立平面直角坐标系，，，则的长为 ；若在上有一点P，使得最小，则点P的坐标为 ． 【答案】 3 【分析】本题考查最短路径问题，轴对称性质等．根据题意利用中位线性质即可得到的值，再过点作轴，使，连接交轴于点，则此时有最小值，继而利用题干中的性质即可得到点的坐标． 【详解】解：∵，点D是的中点，， ∴， 过点作轴交轴于，使，连接交轴于点，则此时有最小值， ， ∵，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3；． 7．如图，等腰中，，，l是的对称轴，D是上一动点，在l上存在一点P，能使的值最小，这个最小值为 ． 【答案】 【分析】此题考查了等腰三角形的性质、轴对称的性质和最短路径问题等知识．过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E，则，则即为最小值，由求出即可． 【详解】解：过点C作于点D，交直线于点P，设直线交于点E， ∵等腰中，l是的对称轴， ∴，， ∴ ∴即为最小值，当时，的长度最小， ∵，， ∴， 解得， 即的最小值为， 故答案为： 8．如图，已知梯形，，，，点在上，，是中点，在上找一点使的值最小，此时其最小值等于 ．    【答案】 【分析】首先找关于的对称点，然后根据轴对称的性质进行计算． 【详解】解：∵，， ∴， ∴平分， 作点关于的对称点，，如图， 则为中点，所以， 连交于点， ∴， ∴． 故答案为．    【点睛】本题考查轴对称最短路线的问题，熟练找到对称点是解题的关键． 【题型4 ：“1定点2动点”-线段/周长最小问题】 1．如图，在锐角中，，，的平分线交于点D，M、N分别是和上的动点，则的最小值是（    ） A．8 B．6 C．4 D．3 【答案】C 【分析】作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N，则为所求的最小值，根据是的平分线可知，再由含30°角的直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：如图，作，垂足为H，交于M点，过M点作，垂足为N． 是的平分线， ， ， 是点B到直线的最短距离（垂线段最短）， 是的最小值， ，， ， 故选C． 【点睛】本题考查的是轴对称—最短路线问题、角平分线的性质及含30°角的直角三角形的性质，解答此类问题时要从已知条件结合图形认真思考，通过角平分线性质，垂线段最短，确定线段和的最小值． 2．如图，在中，，，，BD是的角平分线，点P，点N分别是BD，AC边上的动点，点M在BC上，且，则的最小值为（    ） A．3 B． C．3.5 D． 【答案】A 【分析】作点关于的对称点，连接，则，，当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长，利用含角的直角三角形的性质，即可得到的最小值． 【详解】解：如图所示，作点关于的对称点，连接，则，， ， 当，，在同一直线上，且时，的最小值等于垂线段的长， 此时，△中，， ， 的最小值为3， 故选择A． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题，30°直角三角形性质，凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，结合轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点． 3．如图，在△ABC中，AC＝BC＝8，∠ACB＝120°，BD平分∠ABC交AC于点D，点E、F分别是线段BD，BC上的动点，则CE+EF的最小值是（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】从已知条件结合图形，利用对称性和三角形的三边关系确定线段和的最小值． 【详解】解：作C点关于BD的对称点C'，过C'作C'F⊥BC交BD于点E，交BC于点F， ∴CE+EF＝C'E+EF≥C'F， ∴CE+EF的最小值是C'F的长， ∴CC'⊥BD， ∵BD平分∠ABC， ∴∠C'BG＝∠GBC， 在△C'BG和△CBG中， ， ∴△C'BG≌△CBG（ASA）， ∴BC＝BC'， ∵AC＝BC＝8，∠ACB＝120°， ∴∠ABC＝30°，BC'＝8， 在Rt△BFC'中，C'F＝BC'＝84， ∴CE+EF的最小值为4， 故选：B． 【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线的问题，角平分线的性质，解题关键是学会添加常用的辅助线，利用角平分线的性质解决问题． 4．如图，分别是线段的垂直平分线，，一只小蚂蚁从点M出发爬到边上任意一点E，再爬到边上任意一点F，然后爬回M点，则小蚂蚁爬行的最短路径为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意可知与的交点为E，与的交点为F，根据垂直平分线的性质计算即可； 【详解】由题意可知与的交点为E，与的交点为F． ∵分别是线段的垂直平分线， ∴， ∴小蚂蚁爬行的最短路径为． 【点睛】本题主要考查了最短路线问题和垂直平分线的性质，准确计算是解题的关键． 【题型5 ：“1定点2动点”-角度问题】 1．如图，在五边形中，，点P，Q分别在边，上，连接，， ，当的周长最小时，的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查轴对称图形的性质．延长到点G使得，延长到点F使得，连接交、于点、，则这时的周长最小，根据无变形的内角和求出的度数，根据轴对称的性质得到，，然后计算解题即可． 【详解】解：延长到点G使得，延长到点F使得，    ∵， ∴、垂直平分、， 连接交、于点、， 则，， ∴，这时的周长最小， ∵ ∴， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴，， ∴， 故选：B． 2．如图，在五边形中，，，，，在、上分别找到一点 M、N，使得的周长最小，则的度数为（　　 ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据要使的周长最小，即利用点的对称，让三角形的三边在同一直线上，A关于和的对称点，，即可得出，进而得出即可得出答案． 【详解】解：作A关于和的对称点，，连接，，交于M，交于N，则，即为的周长最小值．作延长线，   ∵， ∴， ∴， ∵，， 且，， ∴， 故选：C． 【点睛】此题主要考查了平面内最短路线问题求法以及三角形的外角的性质和垂直平分线的性质等知识，根据已知得出M，N的位置是解题关键． 3．如图，AD 为等腰△ABC的高，其中∠ACB=50°，AC=BC，E，F 分别为线段AD，AC 上的动点，且 AE=CF， 当 BF＋CE 取最小值时，∠AFB的度数为（    ） A．75° B．90° C．95° D．105° 【答案】C 【分析】先构造△CFH全等于△AEC，得到△BCH是等腰直角三角形且FH=CE，当FH+BF最小时，即是BF+CE最小时，此时求出∠AFB的度数即可． 【详解】解：如图，作CH⊥BC，且CH=BC，连接HB，交AC于F，此时△BCH是等腰直角三角形且FH+BF最小， ∵AC=BC， ∴CH=AC， ∵∠HCB=90°，AD⊥BC， ∴AD//CH， ∵∠ACB=50°， ∴∠ACH=∠CAE=40°， ∴△CFH≌△AEC， ∴FH=CE， ∴FH+BF=CE+BF最小， 此时∠AFB=∠ACB+∠HBC=50°+45°=95°． 故选：C． 【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定、等腰三角形的性质、最短路径问题，关键是作出辅助线，有一定难度． 4．如图，∠MON=45°，P为∠MON内一点，A为OM上一点，B为ON上一点，当PAB的周长取最小值时，∠APB的度数为(        ) A．80° B．90° C．110° D．120° 【答案】B 【分析】作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′，此时△PAB的周长最小，最小周长为A′B′，即可求出答案． 【详解】 作出P点关于OM、ON的对称点A′、B′，然后连接A′B′ ∵点A′与点P关于直线OM对称，点B′与点P关于ON对称 ∴A′P⊥OM，B′P⊥ON，A′A=AP，B′B=BP ∴∠A′=∠APA′，∠B′=∠BPB′ ∵A′P⊥OM，B′P⊥ON， ∴∠MON+∠A′P B′=180° ∴∠A′P B′=180°-45°=135° 在△A′B′P中，由三角形的内角和定理可知：∠A′+∠B′=180°-135°=45° ∴∠A′PA+∠BP B′=45° ∴∠APB=135°-45°=90° 故答案选择：B 【点睛】本题考查的是最短路线问题及四边形的内角和定理，根据两点之间线段最短的知识画出图形是解答此类题目的关键． 5．如图，在中，AD是的角平分线，E，F分别是，上的动点．若，当的值最小时，的度数为 ． 【答案】 【分析】过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、，证明垂直平分，推出，由三角形三边关系可知，，即的值最小为，通过证明，推出，因此利用三角形外角的性质求出即可． 本题考查垂直平分线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形外角的性质，三角形三边关系等知识点，解题的关键是找出取最小值时点E的位置． 【详解】解：过点B作于点G，交于点，过点作于点，与交于点，连接、， ， ， ， ∴， ，， 垂直平分， ， ， 当点E在点处时，最小， ， ， ， ， ， ， 即当的值最小时，的度数为 故答案为： 6．如图，在四边形中，，在上分别找一点M，N，使周长最小，此时，则的度数为 ． 【答案】/120度 【分析】本题主要考查轴对称的性质，三角形内角和定理，作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接，则此时的周长有最小值，由轴对称的性质得到，，再根据三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：作A点关于的对称点F，作A点关于的对称点E，连接交于N，交于M，连接， ， ， 的周长 ，即此时的周长有最小值， 由轴对称的性质可得，， ， ， ， ， 故答案为：． 7．如图，已知：，在的内部有一点P，A为上一动点，B为上一动点，，当的周长最小时， 度．的周长的最小值是 ． 【答案】 120 【分析】分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小，连接，，由轴对称的性质得，，结合得到，进而推出是等边三角形，再利用等边三角形的性质即可求解． 【详解】解：分别作点P关于，的对称点，；连接，分别交，于点A、点B，则此时的周长最小． 连接，， 由轴对称的性质得，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∵，， ∴， ∵的周长， ∴的周长的最小值． 故答案为：120；． 【点睛】本题主要考查了轴对称最短路径问题、等边三角形的性质与判定，解决本题的关键是理解要求周长最小问题可归结为求线段最短问题，通常是作已知点关于所求点所在直线的对称点． 8．如图，在中，，，点C在直线上，，点P为上一动点，连接，．当的值最小时，的度数为 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形和等边三角形的性质，轴对称最短线路问题． 作点B关于直线的对称点D，连接，，，当点P为与的交点时，的值最小．由轴对称易证，结合证得是等边三角形，可得，结合已知根据等腰三角形性质可求出，即可解决问题． 【详解】如图，作点B关于直线的对称点D，连接，，，当点P为与的交点时，的值最小． 由轴对称可得：，，， ∴，， ∴， 即， ∵， ∴是等边三角形， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴． 故答案为： 9．如图，在四边形ABCD中，∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别取一点M、N，使△AMN的周长最小，则∠MAN＝ °． 【答案】80 【分析】作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，根据轴对称确定最短路线问题，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，利用三角形的内角和定理列式求出∠A1+∠A2，再根据轴对称的性质和角的和差关系即可得∠MAN． 【详解】如图，作点A关于BC、CD的对称点A1、A2，连接A1、A2分别交BC、DC于点M、N，连接AM、AN，则此时△AMN的周长最小， ∵∠BCD＝50°，∠B＝∠D＝90°， ∴∠BAD＝360°﹣90°﹣90°﹣50°＝130°， ∴∠A1+∠A2＝180°﹣130°＝50°， ∵点A关于BC、CD的对称点为A1、A2， ∴NA＝NA2，MA＝MA1， ∴∠A2＝∠NAD，∠A1＝∠MAB， ∴∠NAD+∠MAB＝∠A1+∠A2＝50°， ∴∠MAN＝∠BAD﹣（∠NAD+∠MAB） ＝130°﹣50° ＝80°， 故答案为：80． 【点睛】本题考查了轴对称的最短路径问题，利用轴对称将三角形周长问题转化为两点间线段最短问题是解决本题的关键． 1．如图，点E在等边的边上，，点P是射线上一动点，点F是边上一动点，，垂足为点C，当的值最小时，，则的长为（   ） A．3 B． C．2 D． 【答案】B 【分析】此题考查轴对称最短路径问题、等边三角形的性质、角直角三角形的性质等知识，求出是解题的关键． 作点关于直线的对称点，过作于，交于，则此时的值最小，由直角三角形的性质求得，由，得到，即可得到答案． 【详解】解：∵是等边三角形， ，， 作点关于直线的对称点，过作于，交于， 则此时，的值最小， ∵，， ∴， ∵， ， ∵， ， ∴， ， ∴ 故选：B 2．如图，在四边形中，，，面积为，的垂直平分线分别交，于点，，若点和点分别是线段和边上的动点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】本题考查轴对称最短问题，平行线的性质，三角形的面积，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是把最短问题转化为垂线段最短． 连接，过点作于,利用三角形的面积公式求出，由题意，求出的最小值，可得结论． 【详解】解：连接，过点作于． 面积为，， ， ， 垂直平分线段， ， ， 当的值最小时，的值最小， 根据垂线段最短可知，当时，的值最小， ， ， 的最小值为， 故答案为：． 3．如图所示，已知五边形，． (1)在，上分别找一点M，N，使得的周长最小．（保留作图痕迹，不写作法） (2)在（1）的基础上，若，求的度数． 【答案】(1)见解析； (2)； 【分析】（1）本题考查轴对称最小距离和问题，分别作出点关于，的对称点连接两对称点即可得到最小距离和点； （2）本题考查轴对称的性质及三角形内角和定理，内外角关系，根据（1）的作图得到相应角度关系结合三角形内角和及内外角关系求解即可得到答案； 【详解】（1）解：分别找到关于，的对称点，，连接与，的交点即为最小周长点，如图所示， ； （2）解：∵， ∴， 由（1）得，，， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $