11.4.1球（教学课件）数学沪教版必修第三册

该高中数学课件围绕球的定义、截面性质及相关计算展开，以足球、篮球等生活实例导入，通过对比圆柱、圆锥的异同引入新知，帮助学生在旧知基础上构建知识支架，理解球的对称性、截面为圆（大圆小圆）及球半径、小圆半径、球心到截面距离的关系。 其亮点在于通过典例分析（如球的截面计算、经纬度数学解释），结合数学思维的推理严谨性与数学语言的现实表达，将抽象知识与生活实际结合。采用对比旧知、逻辑推理（如勾股定理证截面为圆）及分层练习，学生能提升空间观念和应用意识，教师可借助清晰脉络和实例提高教学效果。

11.4球 1.球的认识 第11章 简单几何体 沪教版2020必修第三册·高二 情境引入 下图是我们日常生活中常见的几类几何体之一，有足球、篮球、乒乓球……我们仔细观察一下这些图形都有什么共同特征呢？ 仔细观察发现其形状都是球. 新知初探 请思考：球与我们上节所学的圆柱、圆锥之间有什么共同点？又有什么不同点？由此我们应该如何定义球呢？ 共同点 都是旋转体 不同点 与圆柱和圆锥只有一条轴不同，球具有丰富的对称性，所有经过球心的直线都可以作为球的旋转轴，每条旋转轴与球面交点之间的线段都是球的直径。 4 球的定义是什么？ 将圆心为的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球，记作球． 半圆的圆弧绕直径旋转所形成的旋转面叫做球面， 点到球面上任意一点的距离都相等，点叫做球心， 把原半圆的半径和直径分别叫做球的半径和直径。 思考：假设我们用一个平面去截球，得到的截面是什么图形呢？ 我们称此时的截面为球的什么呢？ 由直线与平面垂直的性质可知，过球心有且只有一条直线与平面垂直． 设这条直线与球面的交点分别是和，则是球的一条直径． 设平面与的交点是，是平面与球面的任意公共点; 在直角三角形中，由勾股定理，易知为定值，与点的选取无关; 这就是说，在平面上，到定点的距离为定值，所以平面与球面的交线是一个以为圆心，以为半径的圆． 特别地，若平面经过球心，则与重合，此时的截面称为球的大圆，有时候为了区分也把球的非大圆截面称为小圆. 典例分析 例1.如下图，已知球的半径为5，＝4．求小圆的半径. 解：在圆上任意取点点在球面上, ＝5． 又垂直于平面，平面上， ⊥． 于是由勾股定理得= 根据已知条件，有= 例1.如下图，已知球的半径为5，＝4．求小圆的半径. 例2.设是球的一条直径，过球心作一个大圆与垂直，过直径上不同于点的任一点作与垂直的平面，与球交于小圆，过直径作两个平面与球分别交于两个大圆和，和分别是这两个大圆的圆周与圆的交点．求证: (1)∠都是二面角的平面角； (2)和与平面所成的角的大小相等． 11 证明：(1)由题设，大圆及小圆所在平面都垂直于， ⊥，⊥，⊥，⊥， 即∠都是二面角的平面角． 例2.设是球的一条直径，过球心作一个大圆与垂直，过直径上不同于点的任一点作与垂直的平面，与球交于小圆，过直径作两个平面与球分别交于两个大圆和，和分别是这两个大圆的圆周与圆的交点． 求证:(1)∠都是二面角的平面角. 证明:(2)平面和平面都经过直线，而直线平面 由平面与平面垂直的判定定理，面面 和分别是斜线和在平面上的射影， 即分别是斜线和与平面所成的角． ＝，＝，是公共边， △≌△， ∠＝∠． 由此得＝， 即和与平面所成的角的大小相等． 13 由例2，我们可以对地球的经纬度进行数学解释． 如图所示，设直径的端点分别是地球的北极点和南极点，大圆与赤道所在的平面重合． 由例题2，能为我们生活中带来哪些启发？ 用平行于赤道平面的平面截地球得到的小圆(如圆的圆周称为纬线，按照南北方向分为南纬和北纬． 过的大圆的半圆周（如半圆）称为经线． 从它开始，分别按照东西方向分为东经和西经． 地球上某点的纬度是该点和地心连线与赤道平面所成的角． 14 由例2，知同一条纬线上的点的纬度都相同；该点的经度是它所在的经线半圆与0度经线半圆所成二面角的度数． 例如下图中，红点的方位就是（东经50°,北纬40°) 练习1.如图为球心，为小圆的圆心，用球的半径和小圆的半径表示的距离. 课堂检测 解析思路： 1.小圆是球被平面截出的圆，是截面圆的圆心，也就是球心在截面上的垂足。 2.球的半径、小圆半径​、球心到截面的距离三者满足直角三角形关系，即得出答案。 练习1.如图为球心，为小圆的圆心，用球的半径和小圆的半径表示的距离. 课堂检测 解：根据球的几何性质可得⊥圆， 又球的半径和小圆的半径表示的距离. 所以根据勾股定理可得= 练习2.已知半径为的球面上三点满足球心到平面的距离为12，则球的半径为多少？ 解析思路： 1. 先判断三角形的形状； 2. 再利用平面的外接圆半径公式； 3. 找出球心到平面的距离，球的半径、外接圆半径之间的等价关系。 解：球面上三点满足， △为直角三角形，△外接圆的半径=, 设△外接圆的圆心为，球的球心为， ⊥面， 面，所以⊥， 由勾股定理得=， 解得. 课堂小结 1.球的定义：将圆心为的半圆面绕其直径所在的直线旋转一周，所形成的几何体叫做球. 2.球的应用—半径计算公式： 课后作业 已知上海地处东经120°52′至122°12′，北纬30°40′至31°53′之间，地球半径为．求上海所辖区域： （１）经线对应的两平面所成的二面角的大小； （２）纬线所在两平面的距离.（精确到） 感谢聆听! $