第二章 实数（知识串讲+热考题型+真题训练）-2025-2026学年八年级数学上册高频考点题型归纳与满分必练（北师大版新教材）

第二章 实数 【考点1】求一个数的算术平方根 【考点2】利用算术平方根的非负性解题 【考点3】与算术平方根有关的规律探索题 【考点4】求一个数的平方根 【考点5】已知一个数的平方根，求这个数 【考点6】利用平方根解方程 【考点7】已知一个数的立方根，求这个数 【考点8】算术平方根和立方根的综合应用 【考点1】无理数的定义 【考点10】实数的性质 【考点11】实数与数轴 【考点12】无理数的大小估算 【考点13】无理数整数部分有关计算 【考点14】二次根式有意义的条件 【考点15】利用二次根式的性质化简． 【考点16】最简二次根式的判定 【考点17】同类二次根式的相关概念 【考点18】二次根式的混合运算 【考点19】二次根式的化简求值 【考点20】二次根式的实际应用 【考点21】分母有理化 知识点1：算术平方根和平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 4.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 知识点3：无理数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点4：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 知识点5：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 知识点6：二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 知识点7：最简二次根式及化简 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点8： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点9：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点10：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点1】求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）的算术平方根是（  ） A．2 B． C．4 D．8 2．（24-25七年级下·云南·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河南许昌·期中）若是的算术平方根，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 【考点2】利用算术平方根的非负性解题 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 2．（24-25八年级下·云南昭通·期中）已知：，则的值为（    ） A．0 B．4 C．12 D．16 3．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【考点3】与算术平方根有关的规律探索题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知，则a的值是（   ） A．130 B．1300 C．169 D．1690 2.（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（    ） A．0.161 B．0.508 C．16.1 D．50.8 【考点4】求一个数的平方根 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 2．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广西防城港·期中）的平方根是（　　） A．8 B． C．4 D． 【考点5】已知一个数的平方根，求这个数 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的立方根为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 2．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是 ． 4．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【考点6】利用平方根解方程 1．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）求下列式中的值： 2．（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 3．（22-23七年级下·河南新乡·期中）解方程： (1)； (2)． 【考点7】已知一个数的立方根，求这个数 1．的立方根是（    ） A． B． C． D． 2．方程的解是 ． 3．方程的根是 ． 【考点8】算术平方根和立方根的综合应用 1．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 2．已知的立方根为3． (1)求的平方根； (2)填空：的算术平方根是________． 3．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根. 【考点1】无理数的定义 1．下列各数中，无理数是（   ） A． B． C． D．0 2．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 3．下列各数中，无理数有（　　） （每两个2之间逐次增加1个0） A．个 B．个 C．个 D．个 【考点10】实数的性质 1．实数的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 3．的相反数是 ． 【考点11】实数与数轴 1．无理数在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 2．如图，直径为2厘米的圆从0刻度开始沿直尺向右滚动一周到达点A，则点A表示的数是（　　）厘米． A．1 B．2 C．π D． 3．如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【考点12】无理数的大小估算 1．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 2．估计的值在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 3．估算的值是在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【考点13】无理数整数部分有关计算 1．若整数是80的算术平方根的整数部分，则（ ） A．9 B．8 C．6 D．2 2．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 3．估算的整数部分 ． 【考点14】二次根式有意义的条件 1．函数的自变量取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．当 时，式子有意义． 3．已知，则的值为 ． 【考点15】利用二次根式的性质化简． 1．已知，化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 2．已知，则计算的正确结果是（    ） A． B．1 C． D． 3．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 5．已知，化简 ． 【考点16】最简二次根式的判定 1．下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【考点17】同类二次根式的相关概念 1．下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 2．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【考点18】二次根式的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 2．计算： (1)； (2)． 3．计算： (1)； (2)． 4．计算： (1)； (2) 【考点19】二次根式的化简求值 1．已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 2．已知，求下列式子的值： (1) (2) 3．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 4．先化简，再求值： ，其中 【考点20】二次根式的实际应用 1．如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 ． 2．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 3．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积． 4．某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求长方形绿地的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【考点21】分母有理化 1．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 2．观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 实数 【考点1】求一个数的算术平方根 【考点2】利用算术平方根的非负性解题 【考点3】与算术平方根有关的规律探索题 【考点4】求一个数的平方根 【考点5】已知一个数的平方根，求这个数 【考点6】利用平方根解方程 【考点7】已知一个数的立方根，求这个数 【考点8】算术平方根和立方根的综合应用 【考点1】无理数的定义 【考点10】实数的性质 【考点11】实数与数轴 【考点12】无理数的大小估算 【考点13】无理数整数部分有关计算 【考点14】二次根式有意义的条件 【考点15】利用二次根式的性质化简． 【考点16】最简二次根式的判定 【考点17】同类二次根式的相关概念 【考点18】二次根式的混合运算 【考点19】二次根式的化简求值 【考点20】二次根式的实际应用 【考点21】分母有理化 知识点1：算术平方根和平方根 1.算术平方根的定义 如果一个正数的平方等于，即,那么这个正数叫做的算术平方根（规定0的算术平方根还是0）；的算术平方根记作，读作“的算术平方根”，叫做被开方数. 2.算术平方根的性质 3.平方根小数点位数移动规律 被开方数的小数点向右或者向左移动2位，它的算术平方根的小数点就相应地向右或者向左移动1位.例如：，，，. 4.平方与开平方互为逆运算. (≥0)的平方根的符号表达为，其中是的算术平方根. 知识点2：立方根 1.定义：如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根.这就是说，如果，那么叫做的立方根.求一个数的立方根的运算，叫做开立方. 2.立方根的特征 立方根的特征：正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0. 知识点3：无理数 1.无理数 （1）定义：无限不循环小数又叫无理数. （2）无理数的特征：无理数的小数部分位数无限.无理数的小数部分不循环，不能表示成分数的形式 （3）常见的无理数有三种形式：①含类.②看似循环而实质不循环的数，如：1.313113111…….③带有根号的数，但根号下的数字开方开不尽，如. 2.实数与数轴上的点一一对应. 数轴上的任何一个点都对应一个实数，反之任何一个实数都能在数轴上找到一个点与之对应. 知识点4：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 知识点5：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 知识点6：二次根式的乘除法法则 1.二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 知识点7：最简二次根式及化简 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 知识点8： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 知识点9：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 知识点10：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【考点1】求一个数的算术平方根 1．（24-25七年级下·甘肃陇南·期中）的算术平方根是（  ） A．2 B． C．4 D．8 【答案】A 【分析】本题主要考查算术平方根，先计算的值，再求其算术平方根即可． 【详解】解：∵，4的算术平方根是2； ∴的算术平方根是2； 故选：A． 2．（24-25七年级下·云南·期中）下列各式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了算术平方根，根据算术平方根的定义及性质，逐一分析各选项的正误． 【详解】解：A、表示的算术平方根，结果为非负数，即，而非，故A错误． B、的被开方数为负数（），在实数范围内无意义，故B错误． C、的被开方数为负数，实数范围内无平方根，故C错误． D、表示的算术平方根，，故，D正确． 故选：D． 3．（24-25七年级下·河南许昌·期中）若是的算术平方根，则的值为（　　） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了算术平方根的计算，掌握算术平方根的计算方法是关键，根据算术平方根的计算判定即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根为， 故选：D ． 【考点2】利用算术平方根的非负性解题 1．（24-25八年级下·广东广州·期中）已知，则的值为（ ） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，根据非负数的性质得到，求解即可，掌握非负数的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级下·云南昭通·期中）已知：，则的值为（    ） A．0 B．4 C．12 D．16 【答案】C 【分析】此题考查了算术平方根非负数的性质，代数式求值， 根据算术平方根非负数的性质，两个非负数的和为0，则每个非负数均为0．由此可解出x和y的值，再代入计算． 【详解】∵，， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 3．（24-25七年级下·贵州贵阳·期中）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查绝对值，算术平方根，有理数的乘方，解题的关键是求出和的值． 根据绝对值和算术平方根的非负性，解得和的值，代入计算即可． 【详解】解：，，， ∴，， ∴，， ∴，， ∴ ∴ 故选：． 【考点3】与算术平方根有关的规律探索题 1．（24-25七年级下·湖南长沙·期中）已知，则a的值是（   ） A．130 B．1300 C．169 D．1690 【答案】B 【分析】本题考查了当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，熟练掌握此知识点是解题的关键．根据当被开方数的小数点每移动两位，那么其算术平方根的小数点也相应的移动一位，即可解答． 【详解】解：∵，， ∴， ∴的值为． 故选B． 2.（23-24七年级下·四川南充·阶段练习）按一定规律排列的一列数：，，，，…，其中第6个数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了与算术平方根相关的规律探索题，找到规律是解题的关键； 根据前面几个数的式子可得规律：第n个数是，进而求解. 【详解】解：第1个数是， 第2个数是， 第3个数是， 第4个数是， ……， 所以第n个数是， 所以第6个数为； 故选：A. 3．（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）利用计算器计算出的下表中各数的算术平方根如下： … … … 0.25 0.7906 2.5 7.906 25 79.06 250 … 根据以上规律，若，，则（    ） A．0.161 B．0.508 C．16.1 D．50.8 【答案】B 【分析】本题考查了算术平方根的变化规律，正确找出一般规律是解题关键．通过观察表格数据，发现当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位，据此规律求解即可得． 【详解】解：由表格可知，当被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，其算术平方根的小数点相应向右（或向左）移动一位， ∵， ∴， 故选：B． 【考点4】求一个数的平方根 1．（24-25七年级下·广西南宁·期末）16的平方根是（   ） A．2 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根的定义，一个正数的平方根有2个，它们互为相反数．根据平方根的定义即可求解． 【详解】解：∵，， ∴16的平方根是， 故选：D． 2．（24-25七年级下·湖北恩施·期中）的平方根是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根的定义，因为，所以的平方根是． 【详解】解：， 的平方根是． 故选：C． 3．（23-24七年级下·广西防城港·期中）的平方根是（　　） A．8 B． C．4 D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方根．解题的关键在于明确一个正数有两个实平方根，它们互为相反数，负数没有平方根，0的平方根是0．先计算出，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴的平方根是， 故选：D． 【考点5】已知一个数的平方根，求这个数 1．（2025七年级下·全国·专题练习）若，则的立方根为（   ） A．0 B． C．0或 D．0或 【答案】C 【分析】本题考查了平方根，立方根，熟练掌握平方根和立方根的定义是解题的关键．根据平方根的定义得到x的值，代入代数式即可得到结论． 【详解】解：, 或， 的立方根为0或， 故选：C. 2．（24-25七年级下·云南昆明·期中）已知，则x的值为（   ） A．4 B．2或 C．或4 D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平方根，根据平方根定义进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 故选：C． 3．（24-25七年级下·广东广州·期中）已知一个正数的两个平方根分别是和，那么这个正数是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方根的定义．根据一个数的两个平方根互为相反数，列式解答即可． 【详解】解：∵一个正数的两个平方根分别为和， ∴ 解得：， ∴， ∴这个正数为． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·广东湛江·期中）已知一个正数的两个不相等的平方根是与． (1)求的值； (2)求关于的方程的解． 【答案】(1) (2)， 【分析】本题考查平方根的意义及利用平方根解方程，关键是要掌握一个正数有两个平方根，互为相反数． （1）由一个正数的两个平方根互为相反数求a值即可； （2）将a代入，利用平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：∵一个正数的两个不相等的平方根分别是与， ∴， 解得； （2）解：把代入，得， ∴， ∴． ∴方程的解是，； 【考点6】利用平方根解方程 1．（24-25七年级下·甘肃定西·期中）求下列式中的值： 【答案】或 【分析】先将方程两边同时除以，得到的值，再根据平方根的定义，对开平方，得到的值，最后求解 ．本题主要考查了平方根的定义及应用，熟练掌握平方根的定义，即若（），则是解题的关键． 【详解】解： 2．（24-25七年级下·全国·期中）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)原方程无解 【分析】本题考查了利用平方根解方程，能熟练利用平方根的定义解方程是解题的关键． （1）将方程化为，由平方根的定义，即可求解； （2）将方程化为，由平方根的性质，即可求解； 【详解】（1）解：， ， ，； （2）解：， ， 负数没有平方根， 原方程无解． 3．（22-23七年级下·河南新乡·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2)， 【分析】（1）先将系数化为，然后方程左右两边同时开方即可求解； （2）用直接开方法求出的值，再求出的值即可． 【详解】（1）解：， ， ，． （2）解：， 或， ，． 【点睛】本题考查了利用平方根求解，正确利用平方根求解是解答本题的关键． 【考点7】已知一个数的立方根，求这个数 1．的立方根是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了立方根的定义，掌握立方根的定义是解题关键． 根据立方根的定义即可求解． 【详解】解：， 的立方根是． 故选：A． 2．方程的解是 ． 【答案】 【分析】本题考查立方根，根据立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴方程的解是， 故答案为：． 3．方程的根是 ． 【答案】 【分析】本题考查了利用立方根的定义解方程，先移项，再把未知数的系数化为1，然后利用立方根的定义求解即可． 【详解】解：∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为： 【考点8】算术平方根和立方根的综合应用 1．已知的平方根是，的立方根是，则的算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了立方根与平方根，先根据平方根求出的值，再根据立方根求出的值，然后代入求值即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， 解得， ， ， 的算术平方根为． 故答案为：12． 2．已知的立方根为3． (1)求的平方根； (2)填空：的算术平方根是________． 【答案】(1)的平方根为； (2)6 【分析】本题考查的是立方根，平方根，算术平方根． （1）先根据的立方根是3求出x的值，利用平方根的定义求解即可； （2）根据（1）的结果求出的值，根据算术平方根的定义解答即可． 【详解】（1）解：由题意知， 所以，解得， 因为， 所以的平方根为； （2）解：所以， 因为，所以36的平方根是， 所以的算术平方根是6． 故答案为：6． 3．已知的平方根是，的立方根是2，求的算术平方根. 【答案】3 【分析】此题考查了算术平方根、立方根等知识，根据平方根和立方根的意义得到 ，解得 ，求出的值，根据算术平方根的意义求出答案即可. 【详解】解：∵的平方根是，的立方根是2， ∴ ， 解得 ， ∴， ∵， ∴的算术平方根为3 【考点1】无理数的定义 1．下列各数中，无理数是（   ） A． B． C． D．0 【答案】C 【分析】本题考查无理数，无限不循环小数叫做无理数，据此进行判断即可． 【详解】解：A. 是分数，属于有理数． B. ，结果为整数，属于有理数． C. 是圆周率，属于无限不循环小数，不能表示为分数，因此是无理数． D. 是整数，属于有理数． 故选：C． 2．下列实数中，是无理数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是无理数，掌握无理数的概念是解题的关键．根据无理数的定义，判断各选项是否为无限不循环小数或无法表示为分数的数即可． 【详解】解：A.是有理数，故选项不是无理数，不符合题意； B.是分数，是有理数，故选项不是无理数，不符合题意； C.是圆周率，是无限不循环小数，故选项是无理数，符合题意； D.为有限小数，是有理数，故选项不是无理数，不符合题意； 故选：C． 3．下列各数中，无理数有（　　） （每两个2之间逐次增加1个0） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】此题考查了无理数的定义，算术平方根，根据无理数的定义（无限不循环小数），逐一判断各数的类型． 【详解】， ∴无理数有（每两个2之间逐次增加1个0），共4个． 故选：C． 【考点10】实数的性质 1．实数的倒数是（    ） A．2 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了倒数，根据倒数的定义，乘积为1的两个数互为倒数即可求解． 【详解】解：实数的倒数是指与相乘等于1的数， ∴实数的倒数是， 故选：D． 2．若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查实数的性质，绝对值的意义，根据绝对值的意义，进行求解即可． 【详解】解： 故选：C． 3．的相反数是 ． 【答案】 【分析】此题考查了实数的性质和相反数的定义．只有符号不同的两个数互为相反数，据此进行解答即可． 【详解】解：的相反数是， 故答案为： 【考点11】实数与数轴 1．无理数在数轴上的对应点如图所示，则的值可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查无理数估算、实数与数轴，先由数轴得到，再结合、、、即可得到答案．熟记常见无理数的估计值是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示，， A、，则的值不可能是，该选项不符合题意； B、，则的值可能是，该选项符合题意； C、，则的值不可能是，该选项不符合题意； D、，则的值不可能是，该选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，直径为2厘米的圆从0刻度开始沿直尺向右滚动一周到达点A，则点A表示的数是（　　）厘米． A．1 B．2 C．π D． 【答案】D 【分析】本题考查圆的周长及数轴上点的意义，解题关键是通过图形求得圆的周长．根据圆的周长作答即可． 【详解】解：圆旋转一周，周长为， ∴点A所表示的数为． 故选：D． 3．如图，正方形的面积为3，顶点在数轴上，且点表示的数为2，数轴上有一点在点的左侧，若，则点表示的数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了实数与数轴，求一个数的算术平方根，根据正方形面积计算公式可得，再根据数轴上两点距离计算公式求解即可． 【详解】解：∵正方形的面积为3， ∴， ∴， ∵点表示的数为2， ∴点表示的数为， 故选：B． 【考点12】无理数的大小估算 1．估计的值应在（   ） A．1和2之间 B．2和3之间 C．3和4之间 D．4和5之间 【答案】C 【分析】本题考查无理数的估算，熟练掌握无理数的估算方法是解题的关键，要估计的值，可以通过比较已知的平方数来确定其范围． 【详解】解：∵，，且10介于9和16之间， ∴应在3和4之间， 故选：C． 2．估计的值在（   ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】C 【分析】本题主要考查了无理数的估算．首先确定的范围，再通过加法运算确定的范围，即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的值在4到5之间． 故选：C 3．估算的值是在（    ） A．2到3之间 B．3到4之间 C．4到5之间 D．5到6之间 【答案】B 【分析】本题考查了估算无理数的大小，熟练掌握完全平方数是解题的关键．首先估算的范围，再减去2确定结果所在的区间． 【详解】解：∵， ∴， ∴，即， ∴的值在3到4之间． 故选：B． 【考点13】无理数整数部分有关计算 1．若整数是80的算术平方根的整数部分，则（ ） A．9 B．8 C．6 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了求无理数的整数部分．找到两个相邻的整数，使其平方分别小于和大于80即可 【详解】解：∵， ∴， 即． ∴的整数部分为8． 因此，整数m的值为8， 故选：B． 2．若的整数部分为，小数部分为，则代数式的值为（   ） A． B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查估算无理数的大小，熟练掌握无理数估算的方法是解题的关键． 先估算的大小后即可求得，的值，然后代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， 则，， 那么， 故选：D 3．估算的整数部分 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了无理数的估算，根据得到，进而可得，据此可得答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分是5， 故答案为：5． 【考点14】二次根式有意义的条件 1．函数的自变量取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查函数的自变量取值范围．根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：根据题意得：，解得：． 故选：C． 2．当 时，式子有意义． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解题的关键是掌握二次根式有意义的条件，正确计算．根据二次根式有意义的条件得，得出，即可求解． 【详解】解：依题意，， 解得：， ∴当时，式子有意义． 故答案为：（答案不唯一）． 3．已知，则的值为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，分式的求值，根据二次根式有意义的条件，得到，进而求出分式的值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【考点15】利用二次根式的性质化简． 1．已知，化简的结果是（   ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了化简绝对值，二次根式的性质，因为，故，即可作答． 【详解】解：∵， ∴ ， 故选：C 2．已知，则计算的正确结果是（    ） A． B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是二次根式以及绝对值的化简，根绝未知数的值化简是解决本题的关键．根据的取值范围，判断，的正负，进行化简，合并同类项，得出结果． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：C． 3．已知实数在数轴上的对应点如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知，， ，， ； 故选：C． 4．如图，数轴上点表示的数为，化简 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简和化简绝对值，利用数轴表示数的方法得到，再利用完全平方公式和二次根式的性质化简原式，然后去绝对值后合并即可． 【详解】解：根据数轴点表示的数得， 所以， ． 故答案为：1． 5．已知，化简 ． 【答案】1 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，掌握成为解题的关键． 先运用完全平方公式对被开方数因式分解，然后再根据二次根式的性质化简即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：1． 【考点16】最简二次根式的判定 1．下列各式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查最简二次根式．根据最简二次根式的条件：①被开方数不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数不含分母，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、被开方数是分数，不是最简二次根式，故选项A不符合题意； B、满足最简二次根式的定义，是最简二次根式，故此选项符合题意； C、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； D、可以化简，不是最简二次根式，故此选项不符合题意； 故选：B． 2．下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判定条件：①被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；②被开方数的因数是整数，因式是整式．根据最简二次根式的定义逐项分析即可得解． 【详解】解：A、中被开方数中含能开得尽方的因数，故不是最简二次根式，不符合意义； B、属于最简二次根式，符合题意； C、中被开方数的因数不是整数，故不是最简二次根式，不符合意义； D、中被开方数的因数不是整数，故不是最简二次根式，不符合意义； 故选：B． 3．若与最简二次根式能合并，则m的值为（    ） A．7 B．9 C．2 D．1 【答案】D 【分析】先将化简为最简二次根式，再根据最简二次根式的定义即可得． 【详解】解：， 与最简二次根式能合并， ， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了最简二次根式、二次根式的化简，熟练掌握最简二次根式的概念是解题关键． 4．若与最简二次根式能合并，则的值为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式．熟练掌握利用二次根式的性质进行化简，最简二次根式是解题的关键． 由题意知，，则，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∴， 解得，， 故选：B． 【考点17】同类二次根式的相关概念 1．下列各式中与是同类二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式，熟练掌握同类二次根式的定义是解题的关键，先将各项进行化简，再利用同类二次根式的定义逐一判断即可． 【详解】解：A、，与不是同类二次根式，此项错误； B、，与是同类二次根式，此项正确； C、，与不是同类二次根式，此项错误； D、，与不是同类二次根式，此项错误； 故选：B． 2．下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与不是同类二次根式，符合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 故选：． 【考点18】二次根式的混合运算 1．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先算乘除法以及去括号，再计算加减，即可作答． （2）先根据完全平方公式，平方差公式展开，再计算加减，即可作答． 【详解】（1）解： （2）解 2．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式的运算法则以及平方差公式． （1）先将化简，再利用平方差公式计算，最后将两部分结果相加； （2）利用乘法分配律展开式子，然后分别计算各项二次根式的乘法． 【详解】（1） （2） 3．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键． （1）先化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法公式的计算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解：原式； （2）原式． 4．计算： (1)； (2) 【答案】(1)1 (2)4 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先进行乘法运算和化简，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法和乘方运算，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【考点19】二次根式的化简求值 1．已知，， (1)求及的值； (2)求的值． 【答案】(1)， (2)7 【分析】本题考查了分母有理化、二次根式的化简求值的知识，掌握分母有理化、二次根式的运算法则是关键． （1）先求出 再代入求值即可； （2）先计算，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ， ； （2）解：， 将 代入得： 2．已知，求下列式子的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的化简求值、分式的加法、完全平方公式，正确对所求的式子进行变形是关键． （1）首先把所求的式子利用完全平方公式变形，然后代入数值计算即可求解． （2）首先把已知的式子进行变形，变形成的形式，然后代入数值计算即可求解； 【详解】（1）解：∵， ∴ ； （2）解： ． 3．已知，，求下列各式的值． (1)； (2)． 【答案】(1)36 (2) 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，因式分解的应用，解题的关键是熟练掌握运算法则，准确计算． （1）先根据完全平方公式进行因式分解，然后再代入求值即可； （2）先根据平方差公式进行因式分解，然后再代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ． 4．先化简，再求值： ，其中 【答案】； 【分析】本题主要考查分式的混合运算和二次根式的化简求值，先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把代入进行计算即可 【详解】解： ； 当时，原式 【考点20】二次根式的实际应用 1．如图，在长方形中，无重叠放入面积分别为27和12的两张正方形纸片，则剩余部分的面积为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查二次根式的运算及应用，由两张正方形纸片面积分别为和，则两张正方形纸片边长分别为和，然后利用面积公式即可求解，熟练掌握二次根式的运算是解题的关键． 【详解】解：∵两张正方形纸片面积分别为和， ∴两张正方形纸片边长分别为和， ∴剩余部分的面积为， 故答案为：． 2．某居民小区有块形状为长方形的绿地，长方形绿地的长为，宽为，现要在长方形绿地中修建一个长方形花坛即图中阴影部分，长方形花坛的长为，宽为． (1)长方形的周长是多少？（结果化为最简二次根式） (2)除修建花坛的地方，其它地方全修建成通道，通道上要铺上造价为的地砖（假设地砖没有损耗），要铺完整个通道，则购买地砖需要花费多少元？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题考查二次根式的应用； （1）根据长方形的周长列出算式，再利用二次根式的混合运算顺序和运算法则计算即可； （2）先计算出空白部分的面积，然后再用空白部分的面积乘以单价即可得出结论． 【详解】（1）解：长方形的周长 答：长方形的周长是． （2）铺地砖的面积 故购买地砖的花费为(元) 答：购买地砖需要花费元． 3．如图，从一个大正方形中裁去面积分别为和的两个小正方形，求剩余部分（阴影部分）的面积． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的应用，先分别求出两个小正方形的边长，得到大正方形的边长，即可得到阴影部分的面积，熟练掌握算术平方根的意义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，两个小正方形的边长分别为，， ∴大正方形的边长为， ∴剩余部分的面积是． 4．某小区有一块长方形绿地，长为米，宽为米，现在要在长方形绿地中修建两个形状大小相同的小长方形花坛（即图中阴影部分），每个小长方形花坛的长为米，宽为米． (1)求长方形绿地的周长； (2)除花坛外，其他地方全修建成通道，通道需铺上造价为55元/平方米的地砖，则购买地砖需要多少钱？ 【答案】(1)米 (2)3080元 【分析】此题考查了二次根式的四则混合运算的应用，读懂题意，熟练掌握运算法则和顺序是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式计算即可； （2）先利用长方形的绿地面积减去花坛的面积，再用化简结果乘以地砖的单价即可． 【详解】（1）解：(米）， ∴长方形的周长为米． （2）解：(平方米)， 则(元)， ∴要铺完整个通道，则购买地砖需要花费3080元． 【考点21】分母有理化 1．像，，两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为“有理化因式”．例如与，与等都是互为“有理化因式”．进行二次根式运算时，利用“有理化因式”可以化去分母中的根号． (1)化简：① ．② ． (2)计算 (3)已知，，，试比较a，b，c的大小，并说明理由． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】本题考查了分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算．熟练掌握分母有理化，平方差公式，二次根式的混合运算法则是解题的关键． （1）①根据，再计算求解即可；②根据，再计算求解即可； （2）先将括号中的每一项分母有理化，进一步计算求解即可； （3）由题意得，同理：，，则，进而可得． 【详解】（1）解：①， 故答案为：； ②解：， 故答案为：； （2）解： ． （3）解：；理由如下； ∵， ∴， 同理：，， ∴， ∴． 2．观察下列各式的计算过程，寻找规律： ； ； ；… 利用发现的规律解决下列问题． (1)化简式子______； (2)直接写出式子的值： ； (3)计算：（n为正整数）． 【答案】(1)； (2)2023； (3)． 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，分母有理化，式子规律，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据题干的式子，总结规律，即可作答． （2）先运用式子规律化简括号内，再运算二次根式的乘法运算，即可作答． （3）先把原式的每个项进行分母有理化，再进行二次根式的加法运算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，， 故答案为：； （2）解： ． 故答案为：2023， （3）解：依题意， ． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $