章节巩固练6 几何图形初步 2025-2026学年人教版七年级数学上册阶段性限时高效复习方案(广东专用)

章节巩固练6 几何图形初步 时间：90分钟 满分：120分 一、单选题（每小题2分，共40分） 1．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用数学的眼光观察我们身边的物体，下列不可以抽象为棱柱的是（   ） A． B． C．D． 2．（24-25七年级上·广东深圳·期末）鲁班锁（如图）亦称孔明锁、别闷棍、六子联方、莫奈何、难入木等，它起源于中国占代建筑中首创的榫卯结构．传说是春秋时代鲁国工匠鲁班用根木条制作一件可拼可拆的智力玩具，如图是鲁班锁的一个组件的示意图，该组件的俯视图是（　　） A． B． C． D． 3．（2025·广东惠州·二模）把下图所示的纸片沿着虚线折叠，可以围成一个几何体，这个几何体是（   ） A．四棱锥 B．四棱柱 C．三棱锥 D．三棱柱 4．（25-26七年级上·广东揭阳·开学考试）如下图，涂色的小正方形是一个正方体展开图的其中5个面，添上①~④中的（   ）号面可以使其折成一个完整的正方体． A．① B．② C．③ D．④ 5．（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图是某个几何体从不同的方向看所得到的图形，那么这个几何体是由（    ）个小正方体组合而成的． A．4 B．5 C．6 D．7 6．（24-25七年级上·广东茂名·期中）学校智拓课堂上，几位同学用相同大小的正方体积木拼搭组合体．如图所示，1个正方体积木恰好可以从1个空白位置通过，那么下列组合体中无法从空白部分通过的是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·广东深圳·期末）用一张长为20厘米，宽为12厘米的长方形纸片制作一个无盖的长方体纸盒．如图为三位同学的提供的方案，其中厘米，阴影为剪去部分，虚线为折痕． 上述三种方案中，长方体纸盒容积最大的是（   ） A．方案1 B．方案2 C．方案3 D．一样大 8．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小实同学设想将一个正方体纸盒展成平面图形，并把平面图形放在12月的日历上，使其覆盖的日期和为69，满足她设想的图形为（　　） A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·广东河源·期末）如图是正方体的展开图，原正方体相对两个面上的数字之积的最小值是（   ） A． B．30 C．24 D．20 10．（24-25七年级上·广东深圳·期末）小明受到了飞行棋游戏中骰子的启发，自己也做了一个特别的正方体“骰子”（如图），该“骰子”的六个面分别写着，，，，，，小明用自己做的正方体“骰子”进行了次投掷，他看到的情形如图所示，那么“”对面的数字是（　　） A． B． C． D． 11．（24-25七年级上·广东佛山·期末）如图，经过平整木板上的两点，能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是（   ） A．垂线段最短 B．两点之间线段最短 C．线段有两个端点 D．两点确定一条直线 12．（24-25七年级上·广东茂名·期末）如图，图中线段条数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．8 13．（24-25七年级上·广东广州·期末）已知点为线段的中点，且，若点是线段的三等分点，则（    ）． A． B． C． D． 14．（24-25七年级上·广东茂名·期末）钟表9时30分时，时针与分针所成的较小角的度数为（　　） A． B． C． D． 15．（24-25七年级上·广东湛江·期末）中俄两国海军在广东湛江附近某海域联合开展了军事演习活动，演练中，联合舰艇编队的舰艇O测得灯塔A在它的北偏东方向上，舰艇B在它的东南方向上，则的度数是（   ） A． B． C． D． 16．（24-25七年级上·广东佛山·期末）若，，，则下面说法正确的是（    ） A． B． C． D．互不相等 17．（24-25七年级上·广东深圳·期末）下列方法能判断的是（    ） .A． B． C． D． 18．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，旗语操可以抽象为一个几何模型．若A，O，B三点共线，平分，，则为（   ） A． B． C． D． 19．（24-25七年级上·广东江门·期末）已知线段，为直线上的一点，且，，分别是，的中点，则的长度是（　　） A． B． C．或 D．或 20．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，在大梅沙海滨公园中，月亮广场与水乐园相距米（米），阳光长廊、太阳广场和愿望塔分别位于月亮广场与水乐园之间线段上的、和点，阳光长廊到月亮广场和水乐园的距离相等（），太阳广场到月亮广场的距离是到水乐园距离的倍（），愿望塔到太阳广场和水乐园的距离相等（）；则阳光长廊和愿望塔之间的距离是（　　） A．米 B．米 C．米 D．米 二、填空题（每小题2分，共12分） 21．（24-25七年级上·广东惠州·期末）如图，构成该图案的几何图形有 ．（任写三个） 22．（24-25七年级上·广东深圳·阶段练习）如图是一个正方体的表面沿着某些棱剪开后展成的一个平面图形，若这个正方体的每两个相对面上的数字都是相反数，则 ． 23．（24-25七年级上·广东东莞·期末）如图，桌面上的模型由个棱长为的小正方体组成，现将该模型露在外面的部分涂上涂料，则涂上涂料部分的总面积为 ．    24．（24-25七年级上·广东深圳·期末）如图，是一个根据展开图来判断折叠后的正方体盒子是否有盖的魔法机，现输入的这个正方体展开图的相对面上两个数之和均为8，则输出为“ 盖”正方体盒（填“有”或“无”）． 25．（24-25七年级上·广东韶关·期末）如图所示，两条直线两两相交有1个交点，三条直线两两相交最多有3个交点，八条直线两两相交最多有 个交点． 26．（23-24七年级上·广东深圳·期末）已知直线l上线段，线段（点A在点B的左侧，点C在点D的左侧），若线段的端点C从点B开始以1个单位/秒的速度向右运动，同时点M从点A开始以2个单位/秒的速度向右运动，点N是线段的中点，则线段运动 秒时，． 三、解答题（共68分） 27．（24-25七年级上·广东清远·期末,8分）用若干个大小相同的小立方块搭成如图所示的几何体． (1)这个几何体由______个小立方块搭成； (2)画出从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图． 28．（24-25七年级上·广东湛江·期末,8分）某种包装盒的形状是长方体，长比高的3倍多1分米，宽的长度为3分米，它的展开图如图所示，（不考虑包装盒的黏合处） (1)设该包装盒的高为分米，则该长方体的长为______分米，展开图中的长度为______分米；（用含的式子表示） (2)若的长为10分米，现对包装盒外表面涂色（含底面），且每平方分米涂料的价格是元，求整个包装盒外表面涂色的费用是多少元？ 29．（25-26七年级上·广东深圳·阶段练习,8分）李明同学学习了图形的展开与折叠后，帮助爸爸设计了一个正方体包装盒，如图所示，由于粗心少设计了其中一个面，请你把它补上，使其折叠后成为一个封闭的正方体包装盒． (1)共有_________种弥补方法； (2)任意画出一种成功的设计图（在图中补充）； (3)在（2）画出的设计图中，把5、6、7、10、11、12这些数分别填入六个小正方形中，使得折成的正方体包装盒对面上的两个数相加得17．（直接在图中填上数字，一种情况即可） 30．（24-25七年级下·广东梅州·开学考试,8分）按下列要求完成回图和计算： (1)已知线段a和b，求作线段，使（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）； (2)已知线段，点C为上的一个动点，点D、E分别是和的中点． 若：①点C恰好是中点，则___________， ②，求的长． 31．（24-25七年级上·广东佛山·期末,12分）综合与实践 七年级进行数学实践活动，利用纸板制作有盖长方体纸箱．下面是三个数学小组的实践过程，请你完成下列问题． (1)“巧手”小组的同学准备了一张边长为的正方形纸板，先在正方形纸板四角剪去四个同样大小且宽为的小长方形，再沿虚线折合起来，制成一个有盖长方体纸箱（如图1）．则该长方体的底面中，边______，边______（用含、的式子表示）． (2)“善思”小组的同学利用长方形纸板制作两个同样大小的长方体，其中单个长方体的长和高相等为，且宽小于长．现将这两个长方体如图2的方式摆放，已知这个几何体表面的部分展开图如图3所示，请补全展开图．（只需画出其中一种情况） (3)“乐学”小组发现可以将“善思”小组的两个长方体进行甲、乙两种方式摆放，组成的大长方体体积不变，但由于摆放位置的不同，使得表面积又不一样．请分别计算甲、乙两种方式组成的大长方体表面积，并比较哪一种方式的表面积更小，说明理由． 32．（24-25七年级上·广东湛江·期末,12分）大课间的广播操展示让我们充分体会到了一种整体的图形之美．洋洋和乐乐想从数学角度分析下如何让班级同学们的广播操能做的更好，他们搜集了标准广播操图片进行讨论，如图1，为了研究方便，两手手心位置分别记为，两点，两脚脚跟位置分别记为，两点，若，，，在同一个平面内，做操过程中将手脚运动近似看作，，，绕点转动，其中为该平面内的一个定点．（本题中的角均大于且小于或等于） (1)如图1，，，三点共线，且，则_____； (2)在第三节腿部运动中，如图2，洋洋发现，、、三点共线，却不在水平方向上．若，，求的大小． (3)第四节体侧运动中，如图3，乐乐发现，在运动前、、三点在同一水平线上，两腿左右等距张开，，平分，且，、绕点顺时针旋转，旋转速度为每秒，旋转速度为每秒，当旋转到与重合时运动停止． ①运动停止时，______；（用小于平角的度数表示） ②在运动过程中，是否存在常数，使得为定值？若存在，求出常数及该定值；若不存在，请说明理由． 33．（24-25七年级上·广东珠海·期末,12分）【问题背景】 在“形美数学”的课堂中，老师让同学们准备好一副三角尺（一块含、，一块含、），在题目设计的环节上，同学们踊跃参与，设计出不同的题目，请你帮他们作答： 【构造联系】 （1）小明把三角尺按如图1所示的不同位置摆放，其中，与相等的摆法是________；与互补的摆法是________． 【深入探究】 （2）小宏将一副三角尺按如图2所示摆放，在中，，；在中，，，． ①当平分时，求的度数． ②把绕着点转动，使得边在内部，分别作的角平分线和的角平分线，如图3，求的度数． 【拓展探索】 （3）爱动脑筋的小林改变和各个角的度数，其中，按如图4所示摆放并分别作的角平分线和的角平分线，把绕点旋转一周，请直接写出与、的数量关系． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D D A B B B A A 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D A D B C D D C D D 1．B 【知识点】常见的几何体 【分析】本题考查了棱柱的定义，有两个面互相平行且相等，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱，根据棱柱的概念进行判断即可． 【详解】解：A．可以抽象为四棱柱，故该选项不符合题意， B．可以抽象为三棱锥，不是棱柱，故该选项符合题意， C．可以抽象为三棱柱，故该选项不符合题意， D．可以抽象为六棱柱，故该选项不符合题意， 故选：B． 2．B 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，从不同方向观察几何体是解题的关键． 找到从上面看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在俯视图中． 【详解】 解：从上面看，可得如图形： 故选：B 3．D 【知识点】几何体展开图的认识 【分析】本题考查了立体图形的展开；由图知，几何体由三个长方形和两个三角形围成，从而知是三棱柱，由此得解． 【详解】解：由图知，这个几何体是一个三棱柱； 故选：D． 4．D 【知识点】正方体几种展开图的识别 【分析】本题主要考查了正方体的展开图．根据正方体展开图的特征解答即可． 【详解】解：根据题意得：添上①~④中的④号面可以使其折成一个完整的正方体． 故选：D． 5．A 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题主要考查了从不同的方向看几何体，根据从正面看的图形和上面看的图形确定该几何体的层数，以及每层的小正方体的个数即可得到答案． 【详解】解：根据从正面看的图形和上面看的图形可知，该几何体分为上下两层，下面一层有3个小正方体，上面一层有1个小正方体， ∴这个几何体是由4个小正方体组合而成的． 故选：A． 6．B 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了从不同方向观察物体和几何体，关键是学会观察仔细． 根据图示可知，可以看到并排个小正方形的几何体，可以从空白位置通过，据此求解． 【详解】解：A．从上面看观察可以自到两个并非正方形，所以可以通过，故此项不符合题意； B．从上面，前面和左面观察到的都是个正方形，所以无法通过，故此项符合题意； C．人侧面观察可以看到两个并排的正方形，所以可以通过，故此项不符合题意； D．从上面看观察可以自到两个并非正方形，所以可以通过，故此项不符合题意． 故选：B． 7．B 【知识点】由展开图计算几何体的体积 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，掌握长方体表面展开图的特征是正确解答的关键． 分别求出各种方案所制作的长方体纸盒的长、宽、高，再计算出容积即可． 【详解】解：按照方案1，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案2，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， 按照方案3，制作的无盖的长方体纸盒的长为，宽为，高为， ∴容积为， ， 按照方案2制作的长方体无盖之和的容积最大， 故选：． 8．B 【知识点】日历问题(一元一次方程的应用)、正方体几种展开图的识别 【分析】此题主要考查了正方体的展开图及一元一次方程在日历上的应用，正确判断正方体的展开图、掌握日历规律是关键． 根据题意用a表示出其他五个数，并列出一元一次方程，求解并结合日历的日期为整数及正方体的展开图即可得出答案． 【详解】解：A．，则，解得：，不合题意； B．，则，解得：符合题意； C．，则，解得：，不合题意； D．，则，解得：，但不是正方体的展开图，不合题意； 故选：B． 9．A 【知识点】有理数大小比较、两个有理数的乘法运算、正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的表面展开图，有理数的乘法及大小比较；正确理解正方体的表面展开图是解题的关键．根据正方体的表面展开图可知3组相对面上的数字，即可判断答案． 【详解】解：根据正方体的展开图可知，1的对面是0，5的对面是4，6的对面是，所以原正方体相对两个面上的数字之积分别为0，20，，其中最小的是． 故选：． 10．A 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，注意正方体的空间图形是解题的关键； 根据题干可得“”和“”的对面，据此可得“”的对面． 【详解】解：由题意可知，“”的邻面有、、、，故“”的对面是“”； “”的邻面是、、、，故“”的对面是“”， 故“”的对面是“”． 故选：A 11．D 【知识点】两点确定一条直线、两点之间线段最短 【分析】本题考查了直线的性质，根据“两点确定一条直线”即可得出结论．掌握“两点确定一条直线”是解题的关键． 【详解】解：经过平整木板上的两点．能且只能弹出一条笔直的墨线．其中蕴藏的数学原理是：两点确定一条直线． 故选：D． 12．A 【知识点】直线、线段、射线的数量问题 【分析】本题考查了线段的数量，在线段的计数时，应注重分类讨论的方法计数，做到不遗漏，不重复．依据线段的定义，先数出以为端点的线段，再数出以为端点的线段相加即可． 【详解】解：以为端点的线段：、； 以为端点的线段、； 图中线段条数为条， 故选：A． 13．D 【知识点】线段中点的有关计算 【分析】本题考查与线段中点有关的计算，分点在线段内和点在线段内两种情况进行讨论求解． 【详解】解：点为线段的中点，且， ， 点是线段的三等分点，如图， 当点在线段内，， ； 当点在线段内， ， ． 故选D． 14．B 【知识点】钟面角 【分析】本题考查了钟面角，根据时钟上一大格是30度进行计算，即可解答．熟练掌握时钟上一大格是30度是解题的关键． 【详解】解：钟表9时30分时，时针与分针在表盘上相差三个半大格， 由题意得：， 钟表9时30分时，时针与分针所成的较小角的度数为， 故选：B． 15．C 【知识点】与方向角有关的计算题 【分析】本题考查了方向角的定义，由定义得，即可求解；理解方向角的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ； 故选：C． 16．D 【知识点】角的单位与角度制、角的度数大小比较 【分析】本题主要考查度分秒的换算，熟练掌握度分秒的换算规则是解题的关键．将进行换算，即可得到答案． 【详解】解：，，， 互不相等， 故选：． 17．D 【知识点】角的比较 【分析】此题考查三角形的边角关系，关键是根据三角形的三边得出角的大小比较解答． 根据角的比较大小解答即可． 【详解】解：A、由图可知，不符合题意； B、根据图可知，不符合题意； C、根据图可知，不符合题意； D、根据图可知，符合题意； 故选：D． 18．C 【知识点】角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义，根据角平分线的定义求出，再根据平角为，由计算即可解答． 【详解】解：∵，平分，A，O，B三点共线， ∴， ∴， 故选：C． 19．D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查的是线段的中点、线段的和与差，解决本题的关键是根据题意画出图形，利用数形结合求解．根据点，分别是，的中点，分别求出和的长度，然后再根据点，的位置关系求解即可． 【详解】解：当点在线段上时， 如下图所示： 点是的中点， ， 又， ， 又点是的中点， ， 又， ， 又， ； 点在线段延长线上时， 如下图所示： 同理可求出，， 又， ； 综合所述：的长度为或． 故选：D ． 20．D 【知识点】线段的和与差、线段中点的有关计算 【分析】本题考查了线段的和差，线段中点的定义，正确地识别图形是解题的关键． 根据线段中点的定义得到（米），由，得到（米），（米），得到（米），于是得到结论． 【详解】解：米，， （米）， ， （米），（米）， （米）， （米）， 答：阳光长廊和愿望塔之间的距离是米， 故选：D 21．三角形、正方形、长方形（答案不唯一） 【知识点】平面图形形状的识别 【分析】本题主要考查了平面图形的识别，解题关键是掌握平面图形的定义．根据平面图形定义，即可找出正确答案． 【详解】解：组成这个标志的几何图形有圆、三角形、正方形、长方形、梯形． 故答案为：三角形、正方形、长方形（答案不唯一）． 22． 【知识点】正方体相对两面上的字、相反数的定义、已知字母的值 ，求代数式的值 【分析】本题考查了正方体的展开图形、相反数的定义，由正方体的展开图形的特征可得2和z所在的面是相对面，3和y所在的面是相对面，5和所在的面是相对面，再结合相反数的定义求出，，，代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：根据题意得：2和z所在的面是相对面，3和y所在的面是相对面，5和所在的面是相对面， ∵每两个相对面上的数字都是相反数， ∴，，， ∴， ∴． 故答案为：． 23． 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查了几何体的表面积，涂上涂料部分的总面积就是从物体各个面看到的物体的各个面的面积总和，据此解答即可求解，正确识图是解题的关键． 【详解】解：从正面、上面，后面，左面，右面看都有个正方形，则共有个正方形， ∵每个正方形的面积为， ∴涂上涂料部分的总面积为， 故答案为：． 24．无 【知识点】正方体相对两面上的字 【分析】本题考查了正方体的展开图，有理数的运算，根据题意得出，进而进行判断，即可求解． 【详解】解：依题意，对面是3，则，的对面是，则 ∵，即，则剪去所在的正方形，则展开图只有5个面， ∴输出为“无盖”正方体盒 故答案为：无． 25． 【知识点】直线相交的交点个数问题 【分析】本题主要考查了相交线，掌握此题着重培养学生的观察、实验和猜想、归纳能力，掌握从特殊向一般猜想的方法． 根据题意，3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点，5条直线相交最多有个交点，而，故可猜想，n条直线相交，最多有个交点．据此即可求解答案． 【详解】解：∵3条直线相交最多有3个交点，4条直线相交最多有6个交点， 而， ∴可猜想，n条直线相交，最多有个交点， ∴八条直线两两相交最多有（个）交点， 故答案为：． 26．2或18/18或2 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、动点问题（一元一次方程的应用）、带有字母的绝对值化简问题、线段的和与差 【分析】本题主要考查了线段的中点、线段的和差、数轴上的动点问题，一元一次方程等知识点，解题的关键是正确的把各条线段用含有t的式子表示出来． 设点A表示的数为0，则点B表示的数为6，当运动时间为t秒时，由，，结合，可列出关于t的含绝对值符号的一元一次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设点A表示的数为0，则点B表示的数为6，当运动时间为t秒时，点C表示的数为，点D表示的数为，点M表示的数为， ∵点N是线段的中点， ∴点N表示的数为 ， ∴． 根据题意得：， 即或， 解得：或， ∴线段运动2或18秒时，． 故答案为：2或18． 27．(1) (2)见解析 【知识点】从不同方向看几何体 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体． （1）分别计算每一层的小立方块的个数即可； （2）根据简单组合体画出相应的图形即可． 【详解】（1）解：∵第一层个小立方块，第二层1个小立方块，第三层1个小立方块， ∴这个几何体由个小立方块搭成； 故答案为：； （2）解：从正面、左面、上面看到的这个几何体的形状图如下图所示． 28．(1)； (2)元 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、由展开图计算几何体的表面积、列代数式 【分析】本题考查了列代数式、长方体的表面积公式、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式是解题的关键． （1）根据该包装盒的长比高的3倍多1分米，即可得到的长，再根据长方体的展开示意图即可得出的长； （2）由（1）得，从而求出，得到（分米），（分米），算出长方体的表面积为38平方分米，再乘以每平方分米涂料的价格即可解答． 【详解】（1）解：设该包装盒的高为分米， 长比高的3倍多1分米， 分米， 分米． 故答案为：；． （2）解：由（1）得，， ， 解得：， （分米），（分米）， 长方体的表面积（平方分米）， 涂色的费用（元）． 答：整个包装盒外表面涂色的费用是元． 29．(1)4 (2)见解析（答案不唯一） (3)见解析（答案不唯一） 【知识点】正方体相对两面上的字、正方体几种展开图的识别 【分析】本题考查了正方体的平面展开图，熟练掌握正方体的平面展开图的特点是解题关键． （1）根据正方体的平面展开图的特点即可得； （2）根据正方体的平面展开图的特点即可得； （3）将和为17的两个数填入相对面上即可得． 【详解】（1）解：由正方体的平面展开图的特点可知，在下面4个位置弥补即可． 即共有4种弥补方法； （2）解：画出一种成功的设计图如下所示： （3）解：将和为17的两个数填入相对的面上即可，如图所示： 30．(1)见解析 (2)①6；② 【知识点】作线段(尺规作图)、线段中点的有关计算 【分析】本题主要考查了线段的尺规作图，线段的和差计算，熟知相关知识是解题的关键． （1）根据线段的尺规作图方法作图即可； （2）①由线段中点的定义得到的长，进而得到的长即可得到答案；②先求出的长，再由线段中点的定义得到的长即可得到答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求； （2）解；①∵，点C恰好是中点， ∴， ∵点D、E分别是和的中点， ∴， ∴； ②∵，， ∴， 点D、E分别是和的中点， ∴， ∴． 31．(1)， (2)见解析 (3)甲种方式的表面积更小，理由见解析 【知识点】列代数式、几何体展开图的认识、整式加减的应用 【分析】本题主要考查了列代数式、几何体的展开图、整式的加减等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）由长方体展开图以及长方体即可得解； （2）根据长方体展开图即可得解； （3）分别根据图形表示出甲、乙的面积，再利用作差法求解即可． 【详解】（1）解：如图所示， 由图形可知，， ∴， ∴， 故答案为：． （2）如图所示， （3）解：甲种方式的表面积更小，理由是： ， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 32．(1)90 (2) (3)①105；②当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、实际问题中角度计算问题、整式加减中的无关型问题 【分析】本题考查了角的运算、一元一次方程的应用、整式加减中的无关型问题，熟练掌握以上知识点，结合图形发现角的和差关系是解题的关键． （1）由，，三点共线可得，再结合，即可求解； （2）由，设，则，结合图形可得，解方程求出的值，即可求出的大小； （3）①算出运动停止时的时间，求出运动的角度，进而求出的度数；②由的运动过程可知，需要分类讨论：在点、、共线前，和共线后2种状态，分别用表示出和的度数，再利用整式加减的运算即可求出常数和定值． 【详解】（1）解：，，三点共线， ， 又， ， 解得：． 故答案为：90． （2）解：， 设，则， ，，三点共线， ， ， 解得：， ， ． （3）解：① 平分，， ， ， ，， ， 的旋转时间为（秒）， 运动停止时，旋转的角度为， 运动停止时，． 故答案为：105． ②当点、、三点共线时，（秒）， 当时，，， ； 当时，，， ； 综上所述，当时，存在常数，使得为定值；当时，存在常数，使得为定值． 33．（1）②③；④；（2）①；②；（3）或 【知识点】与余角、补角有关的计算、角平分线的有关计算、三角板中角度计算问题 【分析】（1）分别求出图1中各个图中、的关系，然后进行判断即可； （2）①根据角平分线定义得出，然后再求出结果即可； ②根据角平分线定义得出，，根据，求出结果即可； （3）分情况讨论：当在内部时，当在外部，且、在上方时，当在外部，且在上方，在下方时，当在外部，且在下方，在下方时，当在外部，且在下方，在上方时，分别画出图形，进行求解即可． 【详解】解：（1）图①中； 图②中； 图③中， ∴； 图④中； ∴与相等的摆法是②③；与互补的摆法是④； （2）①∵平分， ∴， ∴； ②∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ； （3）当在内部时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且、在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ∴ ， 即此时； 当在外部，且在上方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在下方时，如图所示： ∵平分， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 当在外部，且在下方，在上方时，如图所示： ∵平分， ∴ ， ∵平分， ∴ ， ∴ ， 即此时； 综上分析可知：或． 【点睛】本题主要考查几何图形中角的计算，角平分线定义，三角板中角的计算，余角和补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线定义，注意进行分类讨论． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $