精品解析：陕西省西安市第三中学2025-2026学年高二上学期第一次月测评数学试题

西安市第三中学2025-2026学年度第一学期 高二年级第一次月测评数学试题 命题人：王珂 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若两条平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 17 D. 21 【答案】A 【解析】 【分析】根据两直线平行求出，再由两平行线间的距离公式求出. 【详解】因为直线与，所以，解得， 又两条平行直线与之间的距离是，所以， 解得（舍去）或， 所以. 故选：A 2. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的标准方程得到方程组，解得答案. 【详解】方程表示椭圆，则，解得. 故选：B 3. 直线被圆所截得的最短弦长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求出直线过定点坐标，当圆被直线截得的弦最短时，圆心到弦的距离最大，此时圆心与定点的连线垂直于弦，求出弦心距，利用勾股定理求出结果即可． 【详解】解：圆的圆心为，半径， 又直线，直线恒过定点， 当圆被直线截得的弦最短时，圆心与定点的连线垂直于弦， 此时弦心距为． 所截得的最短弦长：． 故选：C． 4. 过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据渐近线相同可设所求为，将点代入求得即可得解. 【详解】因为所求双曲线与双曲线有相同的渐近线，所以设其方程为， 又点在双曲线上，所以，解得， 则双曲线方程为. 故选：B． 5. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，得到蒙日圆方程为，根据蒙日圆与圆只有一个公共点，结合圆与圆的位置关系，得到或，求得的值，即可得到答案. 【详解】由椭圆的方程，可得且，且蒙日圆方程为， 可得蒙日圆的圆心为原点O，半径为， 又由圆的圆心为，半径为2， 因为两圆只有一个公共点，则两圆外切或内切， 可得或， 又因为，所以或， 解得或． 故选：B． 6. 过坐标原点的直线与椭圆交于两点，设椭圆的右焦点为，已知，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】作出另一个焦点，利用椭圆的定义结合余弦定理求出基本量，再求离心率即可. 【详解】 如图所示，设椭圆的左焦点为，连接， 由椭圆的对称性，可得四边形为平行四边形， 设，则，， 由余弦定理得： ， 所以，因为，， 所以椭圆的离心率. 故选：D． 7. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 【答案】D 【解析】 【分析】分析给定方程的曲线性质并画出图象，再由目标函数的几何意义，结合直线与圆的位置关系求出最大值. 【详解】在方程中，用换方程不变，用换方程不变， 因此曲线关于x轴和y轴对称， 当，时，方程为，即， 方程表示的曲线如图（含原点）： 令，则表示过点的直线（不含点）， 观察图知，当直线与曲线在第四象限部分半圆（圆心为，半径为）相切时，斜率最大， 由圆心到直线的距离为得，，而，解得， 所以的最大值为 故选：D 8. 已知椭圆，O为坐标原点，，AB是椭圆C的一条弦，若弦AB的中点在线段OE（不含端点O，E）上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设点、的坐标为，，由中点在线段上， 得， 由点差法可得，设方程为，与椭圆方程联立，利用韦达定理表示可得答案. 【详解】设点、的坐标为，， 则中点在线段上，且， 则，又，， 由点差法可得两式相减得， 易知，，所以，则， 设方程为，代入， 并整理得， 由解得，因为的中点在线段（不含端点）上， 所以，， 由韦达定理得，，故 ， ∴的取值范围是． 故选：A. 二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 【答案】BD 【解析】 【分析】根据椭圆方程标准形式可判断A，根据椭圆定义可判断B，根据焦半径范围判断C，根据基本不等式可判断D即可. 【详解】由椭圆，可得， 所以，故离心率为，故A错误； 根据椭圆的定义可知的周长为，故B正确； 根据椭圆焦半径的取值范围可知，故C错误； 根据基本不等式可得， 取等号条件是，故D正确. 10. 已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ） A. 若直线l与圆M相切，则 B. 当时，四边形的面积为 C. 直线经过一定点 D. 已知点，则为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据圆心到直线距离等于半径建立等式，解出即可判断A；根据求出，进而求出，根据相切可得四边形面积等于两个全等的直角三角形面积和，根据三角形面积公式即可求出结果；根据相切可知四点共圆，且为直径，求出圆的方程即可得弦所在的直线方程，进而判断C；根据直线过定点及可得，即C在以为直径的圆上，求出圆的方程可发现圆心为点，即可判断D. 【详解】解：对于A，若直线l与圆M相切，则圆心到直线的距离， 解得，所以A正确； 对于B，当时，，，， 因为为圆的两条切线，所以， 所以四边形的面积， 所以B错误； 对于C，因为，，且， 所以四点共圆，且为直径， 所以该圆圆心为，半径为， 所以圆的方程为：， 因为是该圆和圆的相交弦， 所以直线的方程为两圆方程相减， 即， 化简可得：， 所以直线经过定点，所以C正确； 对于D，因为，所以， 因为在直线上，所以 即点C在以为直径的圆上，因为，， 所以圆心为，半径为， 所以圆的方程为：，圆心为， 因为点C在该圆上，所以为定值，所以D正确． 故选：ACD 11. 已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹方程是 B. 点的轨迹与圆没有公共点 C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 直线是“最远距离直线” 【答案】ACD 【解析】 【分析】设点，根据题意列方程化简可得方程判断A；结合图形直接判断B；将转化为，结合图形判断C；判断直线与点P的轨迹方程是否有交点判断D. 【详解】对于A，设，因为点P到点F的距离是点P到直线l的距离的一半， 所以，化简得，A正确； 对于B，由，得，即圆心为，半径为1， 易得点P的轨迹与圆C交于点，B错误． 对于C，过P作于B，则，， 由图知，的最小值即为点A到直线l：的距离，该距离为5，C正确； 对于D，由可得，解得，存在， 因此直线是“最远距离直线”，D正确； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：根据题设条件求出轨迹方程，结合图形求解是关键. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 过点的圆的切线方程为 _________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据切线斜率存在和不存在分类讨论，斜率存在时设直线方程，由圆心到切线距离等于半径求解． 【详解】当切线的斜率不存在时， 切线的方程为，圆心到该直线的距离等于半径1，符合题意， 当切线的斜率存在时， 设过点的切线方程为，即， ∵圆心到直线的距离等于半径， ∴，解得， ∴切线方程为， 综上所述，切线方程为或． 故答案为：或． 13. 已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为______． 【答案】## 【解析】 【分析】首先根据题目条件求出和，然后根据椭圆定义进行转换，求出的最小值. 【详解】设椭圆C的半焦距为c，由题意，得，，所以，． 设椭圆C的左焦点为，则， 所以． 故答案为：． 14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据椭圆和双曲线的定义可得，根据勾股定理化简可得，结合离心率定义即可得结果. 【详解】由题意可知，， 所以. 因为，所以，即， 所以， 故答案为：2. 15. 已知圆C：，直线l：与圆C相交于A､B两点. （1）已知点在圆C上，求的取值范围： （2）若O为坐标原点，且，求实数m的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）令，临界条件为直线与圆相切，利用圆心到直线的距离等于半径，求得 z的取值范围，进而得解； （2）利用圆的弦长公式及，可求实数m的值. 【小问1详解】 将圆的方程变形为，圆心 ， 令，即， 如图，临界条件为直线与圆相切，当直线为位置时取，当直线为位置时取 圆心到直线的距离，即 ，解得或 所以的取值范围为 【小问2详解】 ， 圆心到直线的距离 由点到直线的距离公式，即 ，解得 所以实数m的值为 16. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据长轴长和离心率求出基本量后可得椭圆方程； （2）设出直线方程并联立椭圆方程后结合韦达定理用参数表示面积后可求的值，从而可求弦长. 【小问1详解】 因为长轴长为4，故，而离心率为，故， 故，故椭圆方程为：. 【小问2详解】 由题设直线的斜率不为0，故设直线，， 由可得， 故即， 且， 故， 解得， 故. 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若均在的右支上，且的周长为，求的方程； （3）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在点，使得为定值. 【解析】 【分析】（1）根据双曲线中的意义和关系，可求的值，得到双曲线的方程. （2）先根据双曲线的定义，求出弦的长度；设直线：，与双曲线方程联立，利用弦长公式，可求的值，即得直线方程. （3）假设存在轴上的定点，使得为定值.结合（2）中的结论，根据为定值，可求的值. 【小问1详解】 因为，所以， 又，所以. 所以双曲线的方程为：. 【小问2详解】 因为均在的右支上，且的周长为， 所以. 如图： 因为，设直线：，代入得： ， 整理得：. 设，， 因为均在的右支上，所以，且，所以， . 所以. 所以. 所以. 所以直线的方程为：，即. 【小问3详解】 假设存在轴上的定点，使得为定值. 因为，， 所以 . 因为为常数，所以. 此时. 所以存在点，使得为定值. 18. 设圆的圆心为，直线过点，是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与交于点. （1）求出点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】（1）根据题意可知，结合椭圆定义可得点的轨迹方程； （2）分类讨论：当直线斜率不存在时，可求得四边形的面积为，当直线斜率存在时，设的方程为，分别求出与关于的函数关系式，进而求出四边形面积关于的函数关系式，再求出面积的取值范围，从而可得结果. 【详解】（1）由题可知，故， 又圆的标准方程为，从而，， 由题设得，，，由椭圆定义可得点的轨迹方程为： （2）当直线斜率不存在时，即方程为，，， 四边形的面积为 当直线斜率存在时，设的方程为，，. 由，得. 恒成立， 由韦达定理可得，. . 过点且与垂直的直线：，到的距离为 所以. 故四边形的面积. 又，则，故四边形的面积取值范围为. 综上，四边形面积的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：本题主要考查了圆锥曲线综合题目，在求点的轨迹时，利用定义将其转化为椭圆的轨迹，计算四边形面积时，先利用弦长公式求出，利用几何方法求出，再利用不等式的性质求出最值是解题关键，考查学生的分类讨论思想与数学运算能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 西安市第三中学2025-2026学年度第一学期 高二年级第一次月测评数学试题 命题人：王珂 一、单选题（每小题5分，共40分） 1. 若两条平行直线与之间的距离是，则（ ） A. B. C. 17 D. 21 2. 若方程表示椭圆，则实数的取值范围是（    ） A. B. C. D. 3. 直线被圆所截得的最短弦长等于（ ） A. B. C. D. 4. 过点且与双曲线有相同渐近线的双曲线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 画法几何学的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆，已知椭圆的蒙日圆是，若圆与椭圆的蒙日圆有且仅有一个公共点，则的值为（ ） A. 或 B. 或 C. D. 6. 过坐标原点的直线与椭圆交于两点，设椭圆的右焦点为，已知，且，则椭圆的离心率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知实数x，y满足，则的最大值为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 1 8. 已知椭圆，O为坐标原点，，AB是椭圆C的一条弦，若弦AB的中点在线段OE（不含端点O，E）上，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题6分，共18分.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知椭圆的两个焦点分别为是上任意一点，则（ ） A. 的离心率为 B. 的周长为12 C. 的最小值为3 D. 的最大值为16 10. 已知直线交轴于点P，圆，过点P作圆M的两条切线，切点分别为A，B，直线与交于点C，则（ ） A. 若直线l与圆M相切，则 B. 当时，四边形的面积为 C. 直线经过一定点 D. 已知点，则为定值 11. 已知点，直线，动点到点的距离是点到直线的距离的一半.若某直线上存在这样的点，则称该直线为“最远距离直线”，则下列结论中正确的是（ ） A. 点的轨迹方程是 B. 点的轨迹与圆没有公共点 C. 平面上有一点，则的最小值为5 D. 直线是“最远距离直线” 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 过点的圆的切线方程为 _________________． 13. 已知椭圆：的离心率为，F是椭圆C的右焦点，P为椭圆C上任意一点，的最大值为．设点，则的最小值为______． 14. 已知椭圆与双曲线有公共焦点与在第一象限的交点为，且，记的离心率分别为，则__________. 15. 已知圆C：，直线l：与圆C相交于A､B两点. （1）已知点在圆C上，求的取值范围： （2）若O为坐标原点，且，求实数m的值. 16. 已知椭圆的离心率为，长轴长为4． （1）求C的方程； （2）过点的直线l交C于两点，为坐标原点.若的面积为，求． 17. 已知双曲线的左、右焦点分别为，且．过的直线与交于两点． （1）求的方程； （2）若均在的右支上，且的周长为，求的方程； （3）是否存在轴上的定点，使得为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 18. 设圆的圆心为，直线过点，是圆上的任意一点，线段的垂直平分线与交于点. （1）求出点的轨迹方程； （2）设点的轨迹为曲线，直线交于，两点，过且与垂直的直线与圆交于，两点，求四边形面积的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $