第11讲 认识一次函数（知识点+题型+分层强化）（讲义）-2025-2026学年北师大版八年级数学上册满分全攻略备考系列

第11讲 认识一次函数（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.“均匀”变化现象 2.一次函数与正比例函数 3.根据情境列一次函数关系式 题型巩固 一、识别一次函数 二、正比例函数的定义 三、根据一次函数的定义求参数 四、求一次函数自变量或函数值 五、列一次函数解析式并求值 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（5） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.“均匀”变化现象 1. 生活中随处可见“均匀”变化的现象，比如汽车在道路上匀速行驶，意味着每隔一段相同的时间，汽车行驶的距离相同。所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时， 另一个变量的改变量是相同的。 2. 如果一个变量y 随另一个变量x 变化，那么将关系式 y =ax+b (式中a，b 为常数)，说成是y 随x 均匀变化，即y 关于x 的变化率为a，a 不变(变化率不变)。 知识点2.一次函数与正比例函数 1. 定义：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0 时，称y是x的正比例函数. 例如： y=4 x+5 是一次函数， y=4 x 是正比例函数 . 2. 一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx (k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知识点3.根据情境列一次函数关系式 列一次函数关系式的步骤 (1)认真分析，理解题意； (2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系； (3)写出一次函数的关系式； (4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义. 题型巩固 题型一、识别一次函数 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列函数中，不是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查了一次函数的定义．一般地，形如（，是常数）的函数叫做一次函数．直接根据一次函数的定义进行判断． 【详解】解：A、,符合一次函数的形式，其中，，且，所以它是一次函数，不符合题意； B、,符合一次函数的形式，其中，，且，所以它是一次函数，不符合题意； C、,符合一次函数的形式，其中，，且，所以它是一次函数，不符合题意； D、,不符合一次函数的形式的形式，所以它不是一次函数，符合题意； 故选：D． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】C 【知识点】识别一次函数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，根据一次函数的定义，对各个函数进行分析，即可求解． 【详解】解：一次函数的为：，，共有个， 故选：C． 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）函数：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 ． 【答案】②④ 【知识点】识别一次函数 【分析】本题考查一次函数的定义，判定一个函数是否是一次函数，从三个方面出发：①含有一个未知数；②未知数的最高次数是1次；③是一个整式，对题中所给的五个逐项验证即可得到答案，熟记一次函数定义是解决问题的关键． 【详解】解：①，当时，不满足一次函数定义，不符合题意； ②，满足一次函数定义，符合题意； ③，是分式，不满足一次函数定义，不符合题意； ④，满足一次函数定义，符合题意； ⑤，是二次函数，不满足一次函数定义，不符合题意； 综上所述，②④是一次函数， 故答案为：②④． 题型二、正比例函数的定义 4．（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义可得，解之即可求解，掌握正比例函数的定义是解题的关键． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴且， ∴， 故选：． 5．（24-25八年级·重庆·阶段练习）如果函数是正比例函数，那么 ． 【答案】0 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握正比例函数的定义是解题的关键． 根据正比例函数的定义求解即可． 【详解】解：由题意得：且， 解得：． 故答案为：0． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ． 【答案】 【知识点】正比例函数的定义 【分析】本题考查了正比例函数的定义，根据是某正比例函数的“相关数对”，设这个正比例函数为，根据正比例函数的定义可知，正比例函数的比例系数不为，正比例函数的常数项为，可得：，，从而可以求出的值． 【详解】解：是某正比例函数的“相关数对”， 设这个正比例函数为， 则有，， 由，可得：， 由，可得：， ． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)试判断点是否在该函数的图像上． 【答案】(1)与的函数解析式为 (2)点不在函数的图像上，理由见解析 【知识点】正比例函数的定义、求一次函数解析式 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质，正比例函数的定义，解题的关键是掌握相关知识． （1）先设与的函数表达式为：，把代入求出，然后把结果变成的形式即可； （2）令，求出对应的值，再与点的值对比，即可判断． 【详解】（1）解：设与的函数表达式为：， 把代入得：， 解得：， ，即， 与的函数解析式为：； （2）解：点不在函数的图像上，理由如下： 令，则， ， 点不在该函数的图像上． 题型三、根据一次函数的定义求参数 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 9．（23-24八年级上·四川达州·期末）表示一次函数，则m等于（      ） A．1 B． C．0或 D．1或 【答案】D 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数的定义．根据一次函数的定义得出，求出即可． 【详解】解：表示一次函数， ， 解得：， 故选：D． 10．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）表示一次函数，则m等于 ． 【答案】 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】此题考查了一次函数的定义：形如的函数是一次函数，熟记定义是解题的关键． 根据一次函数的定义解答． 【详解】解：∵表示一次函数， ∴，， ∴，， ∴． 故答案为：． 11．已知一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点； (2)为何值时，它的图象经过点． 【答案】(1) (2) 【知识点】根据一次函数的定义求参数 【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征及性质． （1）把原点坐标代入解析式得到，而，所以； （2）把代入解析式得到关于k的方程，然后解方程即可． 【详解】（1）解：把代入解析式得：， 解得：， ， ； （2）解：把代入解析式得：， 解得：． 题型四、求一次函数自变量或函数值 12．（2025八年级上·全国·专题练习）气象探测小组在探测气象时，将探测气球从距离地面处释放，探测气球距离地面的高度与上升时间之间的关系式为，已知这种探测气球上升的高度为时会自行爆裂，则此时该探测气球上升的时间为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，熟练掌握根据函数值求自变量的值是解题的关键．将气球爆裂时的高度代入关系式，求解上升时间． 【详解】解：中，当时， 故选：． 13．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知点在一次函数的图象上，则 ． 【答案】4 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查一次函数图象上点的坐标特征，将点P坐标代入中求解即可． 【详解】解：∵点在一次函数的图象上， ∴，解得， 故答案为：4． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）函数的图象如图所示．根据图象， (1)分别求当，时，所确定的值； (2)分别求当，时，所确定的值． 【答案】(1)， (2)， 【知识点】求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查求一次函数的函数值或自变量， （1）将的值代入解析式的自变量的位置，求出即可； （2）将的值代入解析式的因变量的位置，求出即可； 将给出的变量的值代入解析式求出另一个变量的值并能进行正确的计算是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，， 当时，； （2）当时，得， 解得：， 当时，， 解得：． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数的图象经过，两点． (1)求此函数的表达式． (2)试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由． 【答案】(1) (2)点在直线上 【知识点】求一次函数解析式、求一次函数自变量或函数值 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数图象上点的坐标，掌握一次函数的性质是解题的关键． （1）利用待定系数法求直线的解析式即可； （2）利用（1）中的解析式，通过计算自变量为对应的函数值可判断点是否在此函数的图象上． 【详解】（1）解：设一次函数解析式为， 把，分别代入得， 解得， 一次函数解析式为； （2）解：点在此函数的图象上． 理由如下： 当时，， 点在直线上． 题型五、列一次函数解析式并求值 16．（24-25八年级·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 【答案】B 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】本题考查函数关系的识别，根据题意设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，可以得到，即可得出结论． 【详解】解：设水面原来高度为b，每枚石子可以使水面上升高度为k，投放x枚石子后水面高度为y，则，符合一次函数解析式， 故选B． 17．（2023·上海嘉定·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是 ． 【答案】4 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】由题意知，一次函数的“特征值”为，当时，最大，代入求解即可． 【详解】解：由题意知，一次函数的“特征值”为， 当时，， ∴一次函数的“特征值”为4， 故答案为：4． 【点睛】本题考查了新定义，一次函数．解题的关键在于理解题意并正确的运算． 18．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示． (1)求出图中a、b、c的值； (2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距米？ 【答案】(1)，，； (2)乙出发秒或者秒后，甲、乙两人相距米． 【知识点】列一次函数解析式并求值 【分析】（1）由函数图象可以分别求出甲的速度为4米/秒，乙的速度为5米/秒，就可以求出乙追上甲的时间a的值，b表示甲跑完全程时甲、乙之间的距离，c表示乙出发后多少时间，甲走完全程就用甲走完全程的时间−2就可以得出结论； （2）分别求出8秒到100秒和100秒到123秒的解析式，再把代入即可解出x值． 【详解】（1）解：由题意及函数图象可以得出： 甲的速度为：（米/秒），乙的速度为：500÷100＝5（米/秒）， （秒）； （米）， （秒）， 所以． （2）设秒和秒的解析式分别为和， 把代入得解得， 把代入得解得， 秒解析式：，秒的解析式， 当时，则， 所以在乙出发秒或者秒后，甲、乙两人相距米 【点睛】本题考查了行程问题的数量关系的运用，一次函数的运用，清晰准确从图像获得信息是解题的关键． 分层强化 一、单选题 1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了正比例函数的定义，根据正比例函数的定义，形如（为常数且）的函数是正比例函数，逐一分析选项即可判断． 【详解】解：A．即，位于分母，指数为，不符合一次项的要求，故A不符合题意； B．，含常数项，属于一次函数而非正比例函数，故B不符合题意； C． ，符合的形式，其中，是正比例函数，故C符合题意； D．，的次数为2，属于二次函数，不符合正比例函数的定义，故D不符合题意． 故选：C． 2．已知正比例函数的图象经过点，则此正比例函数的关系式为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了待定系数法求正比例函数解析式， 把代入即可得出答案． 【详解】解：∵正比例函数的图象经过点， ∴， ∴， ∴正比例函数的关系式为， 故选：D． 3．若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的性质．（1）当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；（2）函数值是唯一的，而对应的自变量可以是多个．自变量每增加1，将代入函数，即可求得变化了多少． 【详解】解：A．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少1，不符合题意； B．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值增加2，不符合题意； C．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值减少2，符合题意； D．自变量每增加1，将代入函数得：，所以，函数值的变化量为，不符合题意； 故选：C． 4．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在直线上，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查轴对称与坐标的变化，直线上的点的坐标特征，先求出点的坐标，再代入直线的解析式，求解即可． 【详解】∵点关于轴对称的点是， ∴点的坐标为：， 把代入，得 ， 故选：B． 5．函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的定义进行求解即可． 【详解】解：∵是关于x的一次函数， ∴， 解得：， 故选：C． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，解题的关键是熟练掌握定义，一般地，形如（k，b为常数，）的函数，叫作一次函数． 6．下列函数中，一次函数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的定义．解题关键是掌握一次函数的定义条件：一次函数的定义条件是：k、b为常数，，自变量次数为1． 【详解】解：A、不是一次函数，因为不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意； B、是一次函数，因为符合一次函数的定义，故此选项符合题意； C、不是一次函数，因为自变量次数为2，故此选项不符合题意； D、不是一次函数，因为不符合一次函数的定义，故此选项不符合题意， 故选：B． 7．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题主要考查了一次函数的定义，熟知一次函数的定义是解题的关键，一般地，形如，且k、b是常数的函数叫做一次函数．根据一次函数的定义列出方程组进行求解即可． 【详解】解：∵关于x的函数是一次函数， ∴， ∴， 故选：C． 二、填空题 8．若函数（为常数）是一次函数，则 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了一次函数的定义，形如的式子，就叫做是的一次函数，据此进行列式得，计算得出，即可作答． 【详解】解：∵函数（为常数）是一次函数， ∴， 解得， 故答案为：． 9．如图，直线是一次函数的图象，填空： （1）当时， ； （2）当时， ． 【答案】 【分析】（1）先根据一次函数经过点（0，2），（3，0），求出一次函数解析式，然后把代入函数解析式求解即可； （2）根据（1）中所求的函数解析式，把代入函数解析式求解即可 【详解】解：（1）由函数图像可知一次函数经过点（0，2），（3，0）， ∴， ∴， ∴一次函数解析式为， 当时，， 故答案为：-18； （2）∵一次函数解析式为， ∴当时，， ∴， 故答案为：-42． 【点睛】本题主要考查了求一次函数解析式，求自变量或函数值，解题的关键在于能够熟练掌握一次函数解析式的求解方法． 10．对于函数，当 时，它是关于的正比例函数；当 时，它是关于的一次函数． 【答案】 【分析】本题考查的是一次函数与正比例函数的定义，熟练掌握一次函数与正比例函数的定义是解题的关键．若两个变量和间的关系式可以表示成（，均为常数，）的形式，则称是的一次函数（为自变量，为因变量）；一般地，两个变量和间的关系式可以表示成（为常数，且）的形式，则称是的正比例函数，据此即可解答． 【详解】当是关于的正比例函数时，得，， 解得； 当是关于的一次函数时，得， 解得； 故答案为：， 11．“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ． 【答案】 【分析】该员工的工资包括底薪1700元，每月超过300单且不超过500单的部分200×5=1000元，超过500单的7（x-500）元，然后求和即可． 【详解】解：y=1700+200×5+7（x-500）=7x-800． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了列函数解析式，正确理解题意成为解答本题的关键． 12．按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是，则输出y的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数值，直接利用已知代入得出的值，进而求出输入时，得出的值，解题的关键是正确运算． 【详解】解：把，代入，得， 解得：， 则当时， 把，代入， 得． 故答案为：. 三、解答题 13．下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）． 【答案】（1）（2） 【分析】根据正比例函数的定义，即一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数叫做正比例函数，其中k叫做比例系数．可得答案． 【详解】解：（1）；（2）是正比例函数， 故答案为：（1）（2） 【点睛】本题考查了正比例函数，熟知一般地，形如y＝kx（k是不等于零的常数）的函数，叫做正比例函数是解题关键． 14．写出下列各题中y与x的关系式，并判断：y是不是x的一次函数？y是不是x的正比例函数？ (1)匀速行驶的汽车的速度是80km/h，汽车行驶时间x（单位：h）与行驶路程y（单位：km）之间的关系． (2)某村耕地面积为，该村人均占有耕地面积y（单位）与人数x之间的关系． 【答案】(1)是的一次函数，也是的正比例函数 (2)不是的一次函数，也不是的正比例函数 【分析】本题考查列函数关系式和一次函数，正比例函数的定义，解题的关键是列出函数关系式． （1）由速度×时间=路程可得与的关系式，再判断是否为的一次函数，是否为正比例函数即可； （2）根据人均占有耕地面积等于总面积除以总人数得出即可. 【详解】（1），是的一次函数，也是的正比例函数． （2）不是的一次函数，也不是的正比例函数． 15．已知y与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了利用正比例关系求一次函数解析式，求一次函数的函数值，正确利用待定系数法求出对应的函数解析式是解题的关键． （1）设，利用待定系数法求解即可； （2）根据（1）所求求出时的函数值即可得到答案． 【详解】（1）解：设， ∵当时，， ∴， ∴， ∴； （2）解：在中，当时，． 16．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 【答案】（1），y是x的一次函数；（2） 【分析】（1）根据题意，首先计算得出y与x之间的关系式，再根据一次函数的性质分析，即可得到答案； （2）根据（1）的结论，将x=0.5代入到一次函数并计算，即可得到答案． 【详解】（1）根据题意，火车与乙地的距离表示为：80x（km） ∵甲、乙两地相距120km ∴火车与甲地的距离表示为：（km），即； 当火车到达甲地时，即 ∴，即火车行驶1.5h到达甲地 ∴ y是x的一次函数； （2）根据（1）的结论，得：． 【点睛】本题考查了一次函数的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的性质，从而完成求解． 17．通过实验获得u，v两个变量的各对应值如下表． u 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 v 50 100 155 207 260 290 365 470 判断变量u，v是否满足或近似地满足一次函数关系式．如果是，求v关于u的函数式，并利用函数式求出当时函数v的值． 【答案】u，v近似地满足一次函数关系式，，当时，v的值为281 【分析】直接利用一次函数的定义进行判定，再利用待定系数法求解即可． 【详解】解：u，v近似地满足一次函数关系式； 理由：由图中数据可知，当u的值依次增加1时，v的值都增加105，当u的值每增加0.5时，大部分的v的值都增加了50左右，因此，u，v近似地满足一次函数关系式． 设， 将、代入解析式可得： ， 解得：， ∴v关于u的函数式为：； 当时，； ∴u，v近似地满足一次函数关系式，；v的值为281． 【点睛】本题考查了一次函数的定义和待定系数法，解题关键是牢记一次函数的特点，并能利用待定系数法求解析式． 18．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 【答案】(1)当时，函数的表达式为 (2) (3)应输入的x值为或7 【分析】本题考查的是一次函数的定义，求解一次函数的自变量或函数值； （1）由为一次函数，可得，，进一步求解即可； （2）当时， ，当时， ，再比较大小即可； （3）当时，则，当时，则，再解方程即可. 【详解】（1）解：∵为一次函数， ∴，， 解得：， ∴当时，函数的表达式为； （2）解：当时，的值记为， ∴， 当时，的值记为， ∴， ∴； （3）解：当时，则， 解得：， 当时，则， 解得：. 19．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）． (1)已知点A(﹣)，B为y轴上的一个动点 ①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； (2)如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标． 【答案】(1)①(0,2))或(0,−2)；② (2)， 【分析】(1)①根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为(0,y)，由“非常距离”的定义可以确定|0−y|=2，据此可以求得y的值；②设点B的坐标为(0,y)，，据此即可求得点A与点B的“非常距离”最小值； (2)设点C的坐标为，根据材料：若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|知，C、D两点的“非常距离”的最小值为−x0=x0+2，据此可以求得点C的坐标． 【详解】（1）解：①∵B为y轴上的一个动点， ∴设点B的坐标为(0,y)， ∵， ∴|0−y|=2， 解得y=2或y=−2； ∴点B的坐标是(0,2))或(0,−2)； ②点A与点B的“非常距离”的最小值为； （2）解：如图2，取点C与点D的“非常距离”的最小值时， 根据运算定义“若|x1−x2|⩾|y1−y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1−x2|”知：|x1−x2|=|y1−y2|，即AC=AD， ∵C是直线y=x+3上的一个动点，点D的坐标是(0,1)， ∴设点C的坐标为， ∴−x0=x0+2， 此时，x0=−， ∴点C与点D的“非常距离”的最小值为：|x0|=， 此时． 【点睛】本题考查了新定义的运算方法，求一次函数图象上点的坐标，对于信息给予题，一定要弄清楚题干中的已知条件，理解本题中的“非常距离”的定义是正确解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第11讲 认识一次函数（知识点+题型+分层强化） 目录 知识梳理 1.“均匀”变化现象 2.一次函数与正比例函数 3.根据情境列一次函数关系式 题型巩固 一、识别一次函数 二、正比例函数的定义 三、根据一次函数的定义求参数 四、求一次函数自变量或函数值 五、列一次函数解析式并求值 分层强化 一、单选题（7） 二、填空题（5） 三、解答题（7） 知识梳理 知识点1.“均匀”变化现象 1. 生活中随处可见“均匀”变化的现象，比如汽车在道路上匀速行驶，意味着每隔一段相同的时间，汽车行驶的距离相同。所谓“均匀”变化是指：一个变量增加固定的数值时， 另一个变量的改变量是相同的。 2. 如果一个变量y 随另一个变量x 变化，那么将关系式 y =ax+b (式中a，b 为常数)，说成是y 随x 均匀变化，即y 关于x 的变化率为a，a 不变(变化率不变)。 知识点2.一次函数与正比例函数 1. 定义：若两个变量x，y间的对应关系可以表示成y＝kx＋b(k，b为常数，k ≠ 0)的形式，则称y是x的一次函数．特别地，当b＝0 时，称y是x的正比例函数. 例如： y=4 x+5 是一次函数， y=4 x 是正比例函数 . 2. 一次函数与正比例函数的关系 (1)正比例函数y＝kx(k 为常数， k ≠ 0)是一次函数y＝kx＋b(k， b 为常数， k ≠ 0)中b＝0的特例，即正比例函数都是一次函数，但一次函数不一定是正比例函数. (2)若已知y与x成正比例，则可设函数关系式为y＝kx (k ≠ 0)；若已知y是x的一次函数，则可设函数关系式为y＝kx＋b(k，b是常数，k ≠ 0). 知识点3.根据情境列一次函数关系式 列一次函数关系式的步骤 (1)认真分析，理解题意； (2)同列方程解应用题的思路，找出等量关系； (3)写出一次函数的关系式； (4)注意自变量x的取值范围，对于实际问题，还要考虑自变量的取值要使实际问题有意义. 题型巩固 题型一、识别一次函数 1．（2025八年级上·全国·专题练习）下列函数中，不是一次函数的是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东佛山·阶段练习）在下列函数解析式中，①；②；③；④，一定是一次函数的有（   ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 3．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）函数：①；②；③；④；⑤．是一次函数的有 ． 题型二、正比例函数的定义 4．（2025八年级上·全国·专题练习）若函数是正比例函数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级·重庆·阶段练习）如果函数是正比例函数，那么 ． 6．（2025八年级上·全国·专题练习）我们将数对称为一次函数的“相关数对”．若是某正比例函数的“相关数对”，则的值为 ． 7．（24-25八年级上·安徽阜阳·阶段练习）已知与成正比例，当时，． (1)求与之间的函数表达式； (2)试判断点是否在该函数的图像上． 题型三、根据一次函数的定义求参数 8．（25-26八年级上·全国·随堂练习）若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．（23-24八年级上·四川达州·期末）表示一次函数，则m等于（      ） A．1 B． C．0或 D．1或 10．（24-25八年级上·甘肃兰州·期中）表示一次函数，则m等于 ． 11．已知一次函数． (1)为何值时，它的图象经过原点； (2)为何值时，它的图象经过点． 题型四、求一次函数自变量或函数值 12．（2025八年级上·全国·专题练习）气象探测小组在探测气象时，将探测气球从距离地面处释放，探测气球距离地面的高度与上升时间之间的关系式为，已知这种探测气球上升的高度为时会自行爆裂，则此时该探测气球上升的时间为（   ） A． B． C． D． 13．（24-25八年级上·广东梅州·期中）已知点在一次函数的图象上，则 ． 14．（25-26八年级上·全国·单元测试）函数的图象如图所示．根据图象， (1)分别求当，时，所确定的值； (2)分别求当，时，所确定的值． 15．（23-24八年级上·浙江杭州·期末）一次函数的图象经过，两点． (1)求此函数的表达式． (2)试判断点是否在此函数的图象上，并说明理由． 题型五、列一次函数解析式并求值 16．（24-25八年级·山西晋城·期中）我们都知道“乌鸦喝水”的故事．杯中有一定量的水，假设乌鸦向杯中投放完全相同的石子，在水面高度到达杯口边缘之前，每枚石子都浸没水中，从投放第一枚石子开始记数，水面高度与投入的石子个数之间满足的函数关系是（    ） A．正比例函数关系 B．一次函数关系 C．反比例函数关系 D．其他函数关系 17．（2023·上海嘉定·二模）新定义：函数图象上任意一点，称为该点的“坐标差”，函数图像上所有点的“坐标差”的最大值称为该函数的“特征值”，一次函数（）的“特征值”是 ． 18．甲、乙两人在直线跑道上同起点、同终点、同方向匀速跑步米，先到终点的人原地休息，甲先出发2秒．在跑步过程中，甲、乙两人间的距离y（米）与乙出发的时间t（秒）之间的关系如图所示． (1)求出图中a、b、c的值； (2)在乙出发多少秒后，甲、乙两人相距米？ 分层强化 一、单选题 1．下列函数中，y是x的正比例函数的是（    ） A． B． C． D． 2．已知正比例函数的图象经过点，则此正比例函数的关系式为（    ） A． B． C． D． 3．若一个函数的自变量每增加1，函数值就减少2，则其解析式可以是（　　） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，点关于轴对称的点在直线上，则的值为（   ） A．1 B．3 C． D．2 5．函数是关于x的一次函数的条件为（    ） A．且 B． C．且 D． 6．下列函数中，一次函数是（　　） A． B． C． D． 7．若关于的函数是一次函数，则的值为（   ） A．3 B．2 C．1 D．0 二、填空题 8．若函数（为常数）是一次函数，则 ． 9．如图，直线是一次函数的图象，填空： （1）当时， ； （2）当时， ． 10．对于函数，当 时，它是关于的正比例函数；当 时，它是关于的一次函数． 11．“闪送”是1小时同城速递服务领域的开拓者和一对一急送服务标准的制定者．客户下单后，订单全程只由唯一的“闪送员”专门派送，平均送达时间在60分钟以内，同时避免传统快递服务的中转、分拣，配送过程中存在的诸多安全性问题．某闪送公司每月给闪送员的工资为：底薪1700元，超过300单后另加送单补贴（每送一个包裹称为一单），送单补贴的具体方案如下： 送单数量 补贴（元/单） 每月超过300单且不超过500单的部分 5 每月超过500单的部分 7 设该月某闪送员送了单，所得工资为元，则与的函数关系式为 ． 12．按照如图所示的运算程序计算函数y的值，若输入x的值是5，则输出y的值是14．若输入x的值是，则输出y的值是 ． 三、解答题 13．下列式子中，哪些表示y是x的正比例函数？ （1）；（2）；（3）；（4）． 14．写出下列各题中y与x的关系式，并判断：y是不是x的一次函数？y是不是x的正比例函数？ (1)匀速行驶的汽车的速度是80km/h，汽车行驶时间x（单位：h）与行驶路程y（单位：km）之间的关系． (2)某村耕地面积为，该村人均占有耕地面积y（单位）与人数x之间的关系． 15．已知y与成正比例，当时，． (1)求y与x的函数关系式； (2)当时，求y的值． 16．甲、乙两地相距120km，现有一列火车从乙地出发，以80km/h的速度向甲地行驶．设x（h）表示火车行驶的时间，y（km）表示火车与甲地的距离． （1）写出y与x之间的关系式，并判断y是否为x的一次函数； （2）当x=0.5时，求y的值． 17．通过实验获得u，v两个变量的各对应值如下表． u 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 4 v 50 100 155 207 260 290 365 470 判断变量u，v是否满足或近似地满足一次函数关系式．如果是，求v关于u的函数式，并利用函数式求出当时函数v的值． 18．如图所示的是一个“函数求值机”的示意图，其中是的函数，当输入不同的值时，将输出对应的值，其中函数为一次函数． (1)当时，求函数的表达式． (2)当时，的值记为，当时，的值记为，则____．（填“”、“”或“”） (3)要使输出结果为2，求应输入的值． 19．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1(x1，y1)与P2(x2，y2)的“非常距离”，给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|．例如：点P1(1，2)，点P1(3，5)，因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|=3，也就是图1中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）． (1)已知点A(﹣)，B为y轴上的一个动点 ①若点A与点B的“非常距离”为2，写出满足条件的点B的坐标； ②直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值； (2)如图2，已知C是直线上的一个动点，点D的坐标是(0，1)，求点C与点D的“非常距离”最小时，相应的点C的坐标． 学科网（北京）股份有限公司 $