精品解析：陕西省宝鸡市某校2025-2026学年高二上学期第一次质量检测数学试卷

凤翔中学2025-2026学年度第一学期高二年级 第一次质量检测数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间直角坐标系的对称性，即可求解. 【详解】由空间直角坐标系，可得点关于平面对称的点的坐标为. 故选：C. 2. 在中,已知,则等于( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由B，C的度数，三角形的内角和定理，求出A的度数，利用正弦定理即得解. 【详解】由三角形内角和： 根据正弦定理：，又 则： 故选：C 【点睛】本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，考查了学生概念理解，数学运算的能力，属于基础题. 3. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据周期性和奇偶性把待求自变量转化为的范围中求解. 【详解】由题知对一切成立， 于是. 故选：A 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量的线性运算可得结果. 【详解】. 故选：A. 5. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】取点作辅助线，根据题意分析可知平面平面，可知平面，利用等体积法求点到面的距离. 【详解】如图，底面为正方形， 当相邻的棱长相等时，不妨设， 分别取的中点，连接， 则，且，平面， 可知平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，则，即， 则，可得， 所以四棱锥的高为. 故选：D. 6. 已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】设出的法向量，利用空间位置关系的向量证明判断A，B，D；举例说明判断C作答. 【详解】设平面的法向量分别为， 对于A，由得，，，而，则，有，即，于是得，A正确； 对于B，因，则，令直线的方向向量为，又，于是得，有，，B正确； 对于C，三棱柱的三个侧面分别视为平面， 显然平面平面，平面，有， 即满足C中命题的条件，但平面与平面相交，C不正确； 对于D，因，则，因此，向量共面于平面，令直线的方向向量为，显然， 而平面，即不共线，于是得，所以，D正确. 故选：C 7. 已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用向量表示出点Q坐标，再求出，的坐标，借助数量积建立函数关系即可求解. 【详解】因点Q在直线上运动，则，设，于是有， 因为，，所以，， 因此，， 于是得 ， 则当时，，此时点Q， 所以当取得最小值时，点Q的坐标为. 故选：C 8. 在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据向量共线，共面的性质逐一分析每个选项. 【详解】对于①，若向量共线，则向量所在的直线平行，也可能共线，故①错误； 对于②，由于向量可以平移，两个向量一定共面，故②错误； 对于③，任意两个向量自然是两两共面，三个向量则不一定共面，例如空间直角坐标系轴所在的向量两两共面，但是显然轴不共面，故③错误； 对于④，若共线时，显然共面，于是只能表示和共面的向量，对于空间中的任意向量则不一定成立，故④错误. 于是四个选项都是错的. 故选：A 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为平面的法向量，则直线 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用投影向量的定义判断A，利用空间四点共面，满足，其中判断B，根据向量基底的概念判断C，利用线面关系的向量表示判断D. 【详解】因为， 所以在上的投影向量为，故A对； 因为，且，则P，A，B，C四点共面， 因为，所以P，A，B，C四点共面，故B对； 是空间的一组基底，若，所以两向量之间不共线， 所以也是空间的一组基底，故C对； 因为直线的方向向量为平面的法向量， 且，则直线或，故D错； 故选：ABC 10. 如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，且平面，则 D. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】以点为坐标原点，为轴建立空间直角坐标系，用空间向量法求解判断各选项. 【详解】由题意可知两两垂直，如图，以点为坐标原点建立空间直角坐标系，则，，，，，，，． 列表解析 ： 选项 正误 原因 A √ ，又，故 B × ，，则，所以不垂直． C √ ，，则．而，，设为平面FGD的法向量，则则可取．若平面，则与平面的法向量垂直，所以，即，解得． D √ 易得为平面的一个法向量，又为平面的一个法向量，则，故平面与平面所成锐二面角的余弦值为． 故选：ACD. 11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（　　） A. EF平面ABC1D1 B. EF⊥B1C C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据线线平行证明线面平行，由线线垂直证明线面垂直，再得线线垂直，由线线关系、线面关系可得线线角、线面角. 【详解】对于A，连结BD1，在DD1B中，E、F分别为D1D、DB的中点，则EFD1B， 又∵D1B平面ABC1D1，EF平面ABC1D1 ， ∴EF平面ABC1D1， 故A正确； 对于B，∵平面，且平面，平面， ∴B1C⊥AB，又B1C⊥BC1 又AB平面ABC1D1，BC1平面ABC1D1，ABBC1=B ∴B1C⊥平面ABC1D1 又∵BD1平面ABC1D1 ∴B1C⊥BD1，而EFBD1 ∴EF⊥B1C，故B正确； 对于C，由选项A，可知，在中，可知， 所以，所以EF与AD1所成角不为60°，故C不正确； 对于D，由选项A，可知，且平面，所以为EF与平面BB1C1C所成的角，在中，可知， 所以，故D正确. 故选：ABD 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 从，，，，，，，，，中随机选取一个数，它是奇数或的倍数的概率是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据古典概型的概率公式计算可得； 【详解】解：从，，，，，，，，，中随机选取一个数，则所有可能结果有10个，则满足是奇数或的倍数有，，，，，共6个，故是奇数或的倍数的概率 故答案为： 13. 函数的最小正周期为______． 【答案】## 【解析】 【分析】利用正切型函数周期公式求解. 【详解】函数的最小正周期为. 故答案为： 14. 函数的定义域是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据对数的性质及分式不等式的解法求定义域. 【详解】由对数的性质知， 所以函数定义域为. 故答案为： 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求样本中停车时长在区间上的频率； （2）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； （3）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议． 【答案】（1） （2） （3）不超过分钟 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中所有频率和为1求解. （2）先算出区间上的频率，然后再求间上的车辆数. （3）求得是第25百分位数. 【小问1详解】 根据频率分布直方图中所有频率和为1，设的频率为，可列等式为 所以样本中停车时长在区间上的频率为 【小问2详解】 根据频率分布直方图可知在区间上的频率为，所以计该天停车时长在区间上的车辆数为： 【小问3详解】 设免费停车时间长不超过分钟，又因为的频率为，并且的频率为，所以位于之间，则满足 确定免费停车时长为不超过分钟. 16. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 【答案】（1） （2）值域为，单调递减区间为，单调递增区间为. 【解析】 【分析】（1）直接由题意得，结合余弦函数的单调性即可得解； （2）由三角恒等变换得，由此可得值域，进一步由整体代入法可得函数的单调区间. 【小问1详解】 由题意，所以； 【小问2详解】 由（1）可知， 所以 ， 所以函数的值域为， 令，解得， 令，解得， 所以函数的单调递减区间为， 函数的单调递增区间为. 17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1） 取的中点为，接，则， 而，故，故四边形为平行四边形， 故，而平面，平面， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点为，接，可证四边形为平行四边形，由线面平行的判定定理可得平面. （2）建立如图所示的空间直角坐标系，求出平面和平面的法向量后可求夹角的余弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，故，故， 故四边形为平行四边形，故，所以平面， 而平面，故，而， 故建立如图所示的空间直角坐标系， 则， 则 设平面的法向量为， 则由可得，取， 设平面的法向量为， 则由可得，取， 故， 故平面与平面夹角的余弦值为 18. 正方体的棱长为4，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 【答案】（1） 法一、在正方形中， 由条件易知 ，所以， 则， 故，即， 在正方体中，易知平面，且， 所以平面， 又平面，∴， ∵平面，∴平面； 法二、如图以D为中心建立空间直角坐标系， 则， 所以， 设是平面的一个法向量， 则，令，则，所以， 易知，则也是平面的一个法向量，∴平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）法一、利用正方形的性质先证明，再结合正方体的性质得出平面，利用线面垂直的性质与判定定理证明即可；法二、建立空间直角坐标系，利用空间向量证明线面垂直即可； （2）利用空间向量计算面面夹角即可； （3）利用空间向量计算点面距离，再利用锥体的体积公式计算即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 同上法二建立的空间直角坐标系， 所以， 由（1）知是平面的一个法向量， 设平面的一个法向量为，所以， 令，则，即， 设平面与平面的夹角为， 则； 【小问3详解】 由（1）知平面，平面，∴， 易知， 又，则D到平面的距离为， 由棱锥的体积公式知：. 19. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面夹角的正弦值． 【答案】（1） 设，所以，因为为中点，所以， 因为，，所以是平行四边形， 所以，所以， 因为平面平面，所以平面， 因为平面平面，所以平面， 又，平面，所以平面平面， 又平面，所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先应用线面平行判定定理得出平面及平面， 再应用面面平行判定定理得出平面平面，进而得出线面平行； （2）建立空间直角坐标系，利用已知条件将点的坐标表示出来，然后将平面及平面的法向量求出来，利用两个法向量的数量积公式可将两平面的夹角余弦值求出来，进而可求得其正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，所以，又因为，所以， 以为原点，以及垂直于平面的直线分别为轴，建立空间直角坐标系. 因为，平面与平面所成二面角为60° ， 所以. 则，，，，，. 所以. 设平面的法向量为，则 ，所以，令，则，则. 设平面的法向量为， 则，所以， 令，则，所以. 所以. 所以平面与平面夹角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 凤翔中学2025-2026学年度第一学期高二年级 第一次质量检测数学试题 一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 在空间直角坐标系中，点关于平面对称的点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 在中,已知,则等于( ) A. B. C. D. 3. 已知是定义在上且周期为2的偶函数，当时，，则（ ） A. B. C. D. 4. 在平行六面体中，M为与的交点，若，，，则下列向量中与相等的向量是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在四棱锥中，底面是边长为4的正方形，，，该棱锥的高为（ ）. A. 1 B. 2 C. D. 6. 已知a，b是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 7. 已知空间直角坐标系中， ，点在直线上运动，则当取得最小值时，点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 在下列命题中： ①若向量共线，则向量所在的直线平行； ②若向量所在的直线为异面直线，则向量一定不共面； ③若三个向量两两共面，则向量共面； ④已知空间的三个向量，则对于空间的任意一个向量总存在实数使得其中正确命题的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列结论正确的是（ ） A. 已知向量，则在上的投影向量为 B. 若对空间中任意一点，有则P，A，B，C四点共面 C. 已知是空间的一组基底，若，则也是空间的一组基底 D. 若直线的方向向量为平面的法向量，则直线 10. 如图是常见的一种灭火器消防箱，抽象成数学模型为如图所示的六面体，其中四边形和为直角梯形，为直角顶点，其他四个面均为矩形，，，，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 若，且平面，则 D. 平面与平面所成锐二面角的余弦值为 11. 如图，在棱长为2的正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F分别是DD1，DB的中点，则下列选项中正确的是（　　） A. EF平面ABC1D1 B. EF⊥B1C C. EF与AD1所成角为60° D. EF与平面BB1C1C所成角的正弦值为 三、填空题：（本题共3小题，每小题5分，共15分．） 12. 从，，，，，，，，，中随机选取一个数，它是奇数或的倍数的概率是________． 13. 函数的最小正周期为______． 14. 函数的定义域是_____． 四、解答题：（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 某商场为了制定合理的停车收费政策，需要了解顾客的停车时长（单位：分钟）．现随机抽取了该商场到访顾客的100辆车进行调查，将数据分成6组：，，，，，，并整理得到如下频率分布直方图： （1）求样本中停车时长在区间上的频率； （2）若某天该商场到访顾客的车辆数为1000，根据频率分布直方图估计该天停车时长在区间上的车辆数； （3）为了吸引顾客，该商场准备给停车时长较短的车辆提供免费停车服务．若使该服务能够惠及的到访顾客的车辆，请你根据频率分布直方图，给出确定免费停车时长标准的建议． 16. 已知函数． （1）求; （2）设函数，求的值域和单调区间． 17. 如图，在四棱锥中，，，,点在上，且，． （1）若为线段中点，求证：平面． （2）若平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 正方体的棱长为4，分别为中点，． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求三棱锥的体积． 19. 如图，在四边形中，，F为CD的中点，点E在AB上，，.将四边形沿翻折至四边形，使得面与面EFCB所成的二面角为． （1）证明：平面； （2）求面与面夹角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $