精品解析：广东省中山市华侨中学2025-2026学年高一上学期第一次段考数学试题

广东省中山市华侨中学2025-2026学年高一上学期第一次段考 数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据全称量词命题的否定为存在量词命题，即可求解. 【详解】命题，则是. 故选：B. 2. 下列各图中，可作为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由函数定义即可判断 【详解】由一个对应唯一一个可知A对，BCD错误. 故选:A 3. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出，从而利用得到答案. 【详解】或， 故或， 则阴影部分为. 故选：C 4. 名句“欲穷千里目，更上一层楼”（想看得远就得上高楼，但上了高楼可能起大雾，不一定看的远），由此推断，“更上一层楼”是“穷千里目”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】结合充分条件与必要条件定义判断即可得. 【详解】由题意可得“更上一层楼”不一定“穷千里目”， 但“穷千里目”一定需要“更上一层楼”， 故“更上一层楼”是“穷千里目”的必要不充分条件. 故选：B. 5. 给出下列等式，其中因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将各选项中的多项式进行因式分解，逐项判断即可. 【详解】对于A选项，，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. 6. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可得方程的两个根为和，且，结合二次方程根与系数的关系得到、、的关系，再结合二次函数的性质判断即可． 【详解】因为的解集为， 所以方程的两根分别为和1，且， 则变形可得 故函数的图象开口向下， 且与x轴的交点坐标为和，故A选项的图象符合. 故选：A 7. 某校向5班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余 17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 【答案】D 【解析】 【分析】设出未知数，作出韦恩图，得到方程，求出答案. 【详解】设对A，B都赞成的学生人数为，则对A，B都不赞成的学生人数为， 作出韦恩图如下： 故， 解得， 故对A，B都赞成的学生人数为21. 故选：D 8. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件可得在上单调递减，列出不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为对任意，当时，都有成立， 所以在上单调递减， 则，即，所以. 即实数的取值范围是. 故选：A 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A：举反例说明即可；对于BCD：根据不等式的性质分析判断. 【详解】对于选项A：若，则，故A错误； 对于选项B：若，由不等式性质可知，故B正确； 对于选项C：若，则，可得， 且，所以，故C正确； 对于选项D：若，则， 所以，故D正确； 故选：BCD. 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于ABC：根据题意利用基本不等式分析判断；对于D：整理可得，再利用基本不等式分析判断. 【详解】因为正数a，b满足， 对于选项A：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故A正确； 对于选项B：因为，当且仅当时，等号成立， 所以的最小值为2，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为，故C正确； 对于选项D：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值为4，故D正确； 故选：ACD. 11. （多选）已知函数的定义域为， 且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】按照各选项的形式，反复利用赋值法，逐个验证即可. 【详解】A，令，得到，又，则，错误. B，令，得到，由选项A知，所以，正确. C，令，则，即， 令可得，故，而， 所以，正确， D，由，则， 所以， ， 由可知，即，错误. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是________. 【答案】且 【解析】 【分析】根据分明不为零以及偶次根式下被开方数非负列不等式求解. 【详解】由题意，要使函数有意义，则， 解得，且； 故函数的定义域为：且. 故答案为：且. 【点睛】本题考查函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题. 13. 已知，则____________. 【答案】63 【解析】 【分析】由换元法可得的解析式，然后代入计算，即可得到结果. 【详解】令，则， 即， 所以，即. 故答案为： 14. 定义：为实数、中较小的数，已知，其中、均为正实数，且，则的最大值是____________. 【答案】 【解析】 【分析】方法一：由已知条件可得出，，结合不等式的基本性质得出，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值，即可得出的最大值； 方法二：由得，可求得，可得出，画出函数、的图象，数形结合可得出的最大值. 【详解】方法一：由题意可知，且，， 由不等式的基本性质可得， 而， 即， 又因为，所以， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因此的最大值为； 方法二：由得，由可得， 所以，则， 画出函数、的图象， 由图可知，当时，即时， 即当时，取最大值，且其最大值为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，，且. （1）求的值及集合，； （2）设全集，求； （3）写出的所有子集. 【答案】（1）；， （2） （3），，，,． 【解析】 【分析】（1）由与的交集中元素为2，将代入中的方程求出的值，即可确定出与； （2）根据与求出两集合的并集与交集，找出交集的补集，即为所求； （3）找出所求集合的所有子集即可． 【小问1详解】 根据题意得：，， 将代入中的方程得：，即， 则，； 【小问2详解】 全集，， ； 【小问3详解】 的所有子集为，，，． 16. 如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求总费用； （3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 【答案】（1） （2） （3），最小总费用是12200元 【解析】 【分析】（1）总费用包括维修费用和新墙费用，旧墙长度为，新墙长度为，乘单价后相加得到总费用； （2）将代入，得到的值； （3）由基本不等式求得最值. 【小问1详解】 设利用旧墙的长度为，则另一边长为， 所以新墙总长度为， 则 ， 故. 【小问2详解】 由（1）知，， 所以当时，. 【小问3详解】 因为，所以，由基本不等式有， 所以， 当且仅当，即时，等号成立， 故当利用旧墙的长度为时，修建此矩形场地的总费用最小，最小总费用是12200元. 17. 已知函数，集合. （1）若对任意恒成立，求的取值范围； （2）若. ①求函数在上的值域； ②若对，总存在，使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）根据题意结合一元二次恒成立问题以及判别式分析求解； （2）①根据题意可知函数对称轴，即可得，结合二次函数性质求值域；②设函数在上的值域为集合A，可知，结合包含关系运算求解. 【小问1详解】 若对任意恒成立，且， 则，解得， 所以实数的取值范围为. 【小问2详解】 ①若，可知函数对称轴，解得， 则， 当时，可知在单调递减，在上单调递增， 则的最小值为，最大值为， 所以在上的值域为； ②设函数在上的值域为集合A，则由①可知：， 若对，总存在，使得， 则，且， 可得，解得， 所以实数的取值范围为. 18. 已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）命题恒成立；命题，使得，若与不同时为真命题，求的取值范围； （3）若，讨论函数的最小值（其中）. 【答案】（1） 函数在区间上单调递减. 证明：，且，有 所以，又由，得. 于是，即， 所以，函数在区间上单调递减. （2） （3） 当时，， 当时，， 当时，. 【解析】 【分析】（1）由函数单调性的定义代入计算，即可证明； （2）根据题意，先计算真真时，的取值范围，然后取其补集，即可得到结果； （3）由条件可得的解析式，然后结合二次函数的性质，讨论对称轴的范围，即可得到结果. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当命题为真命题时，在时恒成立，所以， 由（1）知当时，，所以， 当命题为真命题时，，即， 所以与同时为真命题时有，解得， 故与不同时为真命题时，的取值范围是. 【小问3详解】 时，由（1）知令， ， 令，对称轴， 当即时，，即， 当即时，即， 当即时，即. 19. 已知集合A为非空数集.定义： （1）若集合，直接写出集合S，T； （2）若集合且．求证：； （3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 【答案】（1）， （2）由于集合且， 所以T中也只包含四个元素，因为 即且，即， 又， 所以，从而， 此时满足题意，所以； （3）1350. 【解析】 【分析】（1）根据新定义直接求出； （2）首先根据定义得出，然后由，得出结论，再验证也是中元素即得； （3）设满足题意，其中利用最大的和最小的构造也中至少含有的元素，以及中至多含有的元素，得，然后由利用，得，再由中最小的元素0与最大的元素得到，然后构造一个集合，由得出的范围，求得中元素个数可以为1350，从而得出结论． 【小问1详解】 由已知，则，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 设满足题意，其中， 2， ， ∵，∴， 又中最小的元素为0，最大的元素为， 则 设，， 则， 因为，可得，即， 故m的最小值为675，于是当时，A中元素最多， 即时满足题意， 综上所述，集合A中元素的个数的最大值是1350. 【点睛】方法点睛：本题考查集合的新定义，解题关键是对新定义的理解，第（3）小题较难，解题方法首先是对集合中元素进行排序，即设满足题意，其中，利用集合中的最大元素和最小元素确定的最小值，的最小值，确定的范围，然后构造出一个集合，使得能取得范围内的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 广东省中山市华侨中学2025-2026学年高一上学期第一次段考 数学试题 试卷满分：150分 考试时间：120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知命题，则是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各图中，可作为函数图象的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知为实数集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（ ） A. B. C. D. 4. 名句“欲穷千里目，更上一层楼”（想看得远就得上高楼，但上了高楼可能起大雾，不一定看的远），由此推断，“更上一层楼”是“穷千里目”的（ ） A. 既不充分也不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 充分不必要条件 5. 给出下列等式，其中因式分解错误的是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集为，则函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7. 某校向5班50名学生调查对A，B两事件的态度，其中有30人赞成A，其余20人不赞成A；有33人赞成B，其余 17人不赞成B；且对A，B都不赞成的学生人数比对A，B都赞成的学生人数的三分之一多1人，则对A，B都赞成的学生人数为（ ） A. 12 B. 15 C. 18 D. 21 8. 已知函数，满足：对任意，当时，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列命题为真命题的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知正数a，b满足，则（ ） A. 的最小值为2 B. 的最小值为4 C. 的最小值为 D. 的最小值为4 11. （多选）已知函数的定义域为， 且，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 函数的定义域是________. 13. 已知，则____________. 14. 定义：为实数、中较小的数，已知，其中、均为正实数，且，则的最大值是____________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设，，且. （1）求的值及集合，； （2）设全集，求； （3）写出的所有子集. 16. 如图所示，学校要围建一个面积为的矩形场地，要求矩形场地的一面利用旧墙（利用旧墙时需要维修），其他三面围墙要新建，在旧墙对面的新墙上要留一个宽度为的出入口，已知旧墙的维修费用为56 元，新墙的造价为200元，设利用旧墙的长度为（单位：），修建此矩形场地的总费用为（单位：元）. （1）求关于的函数表达式； （2）当时，求总费用； （3）试确定的值，使修建此矩形场地的总费用最小，并求出最小总费用. 17. 已知函数，集合. （1）若对任意恒成立，求的取值范围； （2）若. ①求函数在上的值域； ②若对，总存在，使得，求的取值范围. 18. 已知函数. （1）判断函数在区间上的单调性，并用定义证明； （2）命题恒成立；命题，使得，若与不同时为真命题，求的取值范围； （3）若，讨论函数的最小值（其中）. 19. 已知集合A为非空数集.定义： （1）若集合，直接写出集合S，T； （2）若集合且．求证：； （3）若集合记为集合A中元素的个数，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $